ACTIONS MÉCANIQUES SUR LES CONDUCTEURS
Donnée : perméabilité magnétique du vide µ0 = 4π.10−7 H.m−1
1 Définition de l’ampère
On rappelle la définition du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensitéI, dans un système de coordonnées cylindriques dont l’axeOz correspond au fil, l’orientation de l’axe Oz correspondant à l’orientation du courant :
B~ = µ0I 2πr~eθ
La définition de l’ampère repose sur la force qui s’exerce entre deux fils rectilignes parcourus par deux courants électriques.
Considérons donc deux fils parallèles à l’axe Oz, séparés d’une distance d, et parcourus par des courants d’intensité respectives I1 etI2 orientées dans le même sens.
1) Exprimer le champ magnétique créé en un point du fil 2 par le fil 1, en fonction de µ0,I1, etd.
2) Exprimer la force de Laplace correspondante sur une longueur` du fil 2 en fonction de µ0, I1, I2, d et `. Préciser le sens de cette force.
3) Vérifier la compatibilité de votre expression avec la définition de l’ampère1
"Un ampère est l’intensité d’un courant constant qui, s’il est maintenu dans deux conduc- teurs linéaires et parallèles, de longueurs infinies, de section négligeable et distants d’un mètre dans le vide, produit entre ces deux conducteurs une force par unité de longueur égale à 2.10−7 N.m−1".
2 Champ magnétique terrestre
Pour mesurer approximativement la composante horizontale du champ magnétique terrestre, on utilise un solénoïde dans lequel on place une aiguille de boussole. Lorsqu’aucun courant n’est appliqué, sa direction est perpendiculaire à l’axe de la bobine.
1) Indiquer qualitativement ce qui se produit lorsqu’un courant circule dans le solénoïde.
2) Avec un courant d’intensité i= 96mA, la boussole tourne d’un angleα tel que α = 53◦. a) Faire un schéma représentant le solénoïde (en coupe), le sens du courant dans le solénoïde, la position de la boussole, l’angle α, la composante horizontale B~H du champ magnétique terrestre et le champ magnétique créé par le solénoïde.
b) Sachant que le solénoïde comporte130spires étalées sur une longueurL= 60cm calculer la valeur de la composante horizontale du champ magnétique terrestre.
1. une nouvelle définition de l’ampère entre en vigueur le 20 mai 2019 : "L’ampère, A, est l’unité du courant électrique ; sa valeur est définie en fixant la valeur numérique de la charge élémentaire à exactement 1,602 176 634×10−19 quand elle est exprimée en A.s, ce qui correspond à des C."
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3 Oscillations d’un aimant dans un champ magnétique
Un aimant, caractérisé par son moment magnétique M~, est susceptible de tourner librement autour d’un axe vertical ∆passant par son centre de masse G. Cet aimant est placé dans un champ magnétique uniforme horizontal B.~
1) Rappeler quelle est la position d’équilibre stable de l’aimant.
2) On écarte légèrement l’aimant de cette position d’équilibre. On repère par l’angle θ la position de l’aimant.
a) En utilisant la loi scalaire du moment cinétique, établir l’équation du mouvement de l’aimant. On notera J∆ le moment d’inertie de l’aimant par rapport à l’axe de rotation.
b) En déduire la période des petites oscillations en fonction de J∆, M etB.
4 Réalisation d’un champ magnétique tournant
On considère un solénoïde d’axe Ox, de longueur L, de rayon R, comportant n spires par unité de longueur et parcouru par un courant d’intensité I.
On peut montrer que le champ magnétique créé en un point M de l’axe repéré par son abscisse xa pour expression :
B~(M) = µ0nI 2
L 2 −x q
R2+ L2 −x2 +
L 2 +x q
R2+ L2 +x2
~ux
1) Discuter de la parité de cette fonction. Montrer que cette formule est compatible avec la valeur du champ obtenue pour un solénoïde infini.
Soient deux solénoïdes denspires par unité de longueur, de longueurLet de rayonRdistants de2`, de même axe et parcourus par le même courantI dans le même sens.
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Calculer, en utilisant la formule fournie précédemment, le champ magnétique B~ en O centre du système. On pose B =kI. Expliciterk.
A.N : R= 3 cm ; L= 5 cm ; n= 5000 m−1;l = 7,5 cm ; µ0 = 4π.10−7 H.m−1.
2) On dispose trois paires de tels solénoïdes dans un même plan, orientés à120◦ selon le schéma ci- contre. On suppose dans un pre- mier temps qu’ils sont alimentés en série (les intensités des cou- rants circulant dans chaque paire de bobines sont toutes en phase).
Que vaut dans ce cas le champ magnétique au centre O?
3) Les trois paires de solénoïdes sont alimentés par trois courants sinusoïdaux déphasés entre eux de 2π
3 :
i1 =I√
2 cosωt, i2 =I√ 2 cos
ωt− 2π 3
, i3 =I√ 2 cos
ωt−4π 3
En admettant que l’expression du champ magnétique reste inchangée avec un courant d’in- tensité variable (on discutera de cette hypothèse), montrer qu’on obtient au centre un champ magnétique tournant dont on calculera le module en fonction de k et I. Quelle est la vitesse angulaire de rotation du vecteur B~ ?
Réponses : k= 2,8.10−4 S.I. ;B~ = 32kI√
2 (cosωt ~ux+ sinωt ~uy) On peut visualiser le résultat sur le site :
http://ressources.univ-lemans.fr/AccesLibre/UM/Pedago/physique/02/electri/triphase.
html
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5 Principe du moteur synchrone
Un montage convenable de bobines fixes (le stator, non représenté sur la figure) parcourues par des courants alternatifs sinusoïdaux de pulsation ω produit dans un certain volume un champ magnétique B, d’amplitude~ B0, qui tourne dans un plan xOy autour d’un axe Oz à la vitesse angulaire ω.
D’autre part, une pièce mobile (le rotor), constituée d’un aimant cylindrique allongé, de moment magnétique M~, peut tourner dans le plan xOy autour de l’axe Oz passant par son centre et perpendiculaire à son moment magnétique M~. On supposera que la rotation s’effectue sans frottement.
1) Dans un premier temps on suppose l’aimant immobile. Quelle est la valeur moyenne du couple~ΓLap qui s’exerce sur lui ?
2) L’aimant étant maintenant initialement mis en rotation, il s’établit un régime permanent où les vecteursM~et −→
B, tournant à la même vitesse an- gulaireω, font entre eux un angleα (voir schéma).
Calculer le moment du couple ~ΓLap = ΓLap~uz qui s’exerce sur l’aimant. Pour quelles valeurs deαest- il moteur ? Quel est le couple maximum atteint ?
Le moteur doit entraîner un dispositif mécanique (charge) qui exerce alors un couple résistant sur l’aimant. On suppose ce couple résistant constant et on note−Γu son moment par rapport à l’axe Oz, avec Γu > 0 (en l’absence de frottement Γu correspond au couple fourni par le moteur).
3) Que vaut sinα en régime permanent pour une valeur de Γu donnée ? Montrer que mathé- matiquement, il existe deux solutions possibles pourα (on pourra raisonner graphiquement à l’aide de ΓLap(α)).
4) Un régime permanent de fonctionnement du moteur est dit stable si lorsque le rotor prend accidentellement de l’avance (α diminue) ou du retard (α augmente) sur son régime perma- nent, l’action du couple qu’il subit lui fait perdre cette avance ou rattraper ce retard ; il est instable dans le cas contraire. Déduire du graphe de ΓLap(α)les valeurs de α pour lesquelles le fonctionnement du moteur est stable. Déterminer alors la valeur de α correspondant à un fonctionnement stable du moteur pour une valeur de Γu donnée.
Que risque-t-il de se passer si la "charge" du moteur devient trop importante ? 5) La vitesse de rotation dépend-elle de la charge ?
6) Le moteur synchrone peut-il démarrer tout seul ? Si non, que faut-il faire au démarrage ?
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