DM 14
Variations autour du thème des mouvements de parti- cules chargées dans les champs E ~ et B ~
à rendre le jeudi 4 février
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• Un soin particulier sera accordé à la rédaction. Les réponses devront contenir : - desschémas;
- desphrasespour expliquer votre raisonnement ;
- desexpressions littérales homogènes et encadrées, avec les grandeurs littérales de l’énoncé ou introduite par vous ;
- desapplications numériques soulignées, cohérentes, avec des unités.
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AMéthode : Comment chercher un devoir maison ?
1 Mouvement dans un champ électrique
1.1 1. Deux plans conducteurs parfaits infinis d’équation respective x=0 et x =a sont portés au potentiel respectifV(x=0)=0 etV(x=a)=U. L’espace interconducteur est le vide.
O x
y
a
V=0 V =U
~v0
~ ux
~uy
On admet que le champ électrique~E=E~ux, dans le vide, est uniforme. CalculerV(x) dans le vide intercon- ducteur.
A.N. : CalculerEavecU=10 kV eta=1 m.
1.2 Un électron de charge -e et de masse m entre à l’instant initial enx=0 avec une vitesse initiale~v0=v0~uy, avecv0>0. Montrer que son poids est négligeable devant la force électrique.
1.3 Calculer sa vitesse à tout instant et déterminer sa trajectoire. A quelle condition surU son mouvement s’effectue-t-il dans l’espace interconducteur ?
1.4 À quelle date sort-il de l’espace interconducteur ? Exprimer alors sa vitessev1et sa position.
1.5 On place eny=y0etx=aune fente très fine. Montrer que ce dispositif permet de sélectionner des électrons de vitessev0donnée. Relierv0ày0.
2 Mouvement dans un champ magnétique
À l’instant initial, l’électron est cette fois introduit à l’origineO du repère avec une vitesse~v0=v0~uy dans une région où règne un champ magnétique uniformeB=B~uz. On supposera toujours son poids négligeable.
MPSI Devoir maison 14 - Mouvement de particules chargées dans les champs~E etB~ 2020-2021
O x
y
~
v0 ~ux
~ uy
~ ¯ uz
~¯ B
2.1 Calculer la puissance de la force magnétique. En déduire que le champ magnétique ne peut modifier la norme de la vitesse de l’électron
2.2 Déterminer les équations différentielles vérifiées par les coordonnées de l’électron.
2.3 Montrer que l’électron reste dans le planz=0.
2.4 Déterminerx(t) ety(t). On poseraωc=eB
m la pulsation cyclotron.
2.5 Montrer que la trajectoire est circulaire et déterminer son rayonRc.
2.6 On montre que toute particule accélérée rayonne une puissance proportionnelle à la moyenne du carré de son accélération :P =K<a2>. CalculerP sur la trajectoire de rayonR, en fonction deωcetv0.
2.7 Dans les anneaux de stockage des accélérateurs de particules, on conserve des particules accélérées en les maintenant sur des trajectoires circulaires. Suffit-il d’un champ magnétique uniforme et constant pour ce stockage ? Quelle solution proposeriez-vous ?
2.8 Dans les accélérateurs de particules, les électrons ont en général des vitesses relativistes.
Le principe fondamental de la dynamique s’écrit dans ces conditions :
d~p
d t =q~v∧B~ avec ~p=mγ~v et γ= 1 q
1−vc22
, cétant la célérité de la lumière.
2.8.1 Vérifier qu’on retrouve le principe fondamental de la dynamique classique si la vitessevest négligeable devantc.
2.8.2 Montrer que, même pour une particule relativiste, la normev de la vitesse n’est pas modifiée par le champ magnétique.
2.8.3 Déduire des calculs précédents le rayon de la trajectoire pour la particule relativiste de vitesse initiale
~v0=v0~uy dans une région où règne un champ magnétique uniformeB~=B~uz. 2.8.4 A.N. : Calculer le rayon de la trajectoire pourγ=1, 0 · 105etB=1, 0 T. Commentaire.
2.9 Comment peut-on utiliser un champ magnétique pour sélectionner, dans un faisceau d’électrons de vitesses initiales toutes parallèles àO y, ceux de vitessevdonnée ? On précisera la réponse.
2.10 Dans le cas non relativiste, on tient compte du frottement exercé par le milieu sur l’électron : l’électron subit la force~f = −λ~voùλest une constante positive et oùvest sa vitesse.
On pose :ω=eB
m etτ=m
λ le temps caractéristique d’amortissement.
2.10.1 Écrire les équations différentielles vérifiées parx,yetz.
2.10.2 En déduire l’équation de la trajectoire. Tracer son allure.
2.10.3 Déterminer les coordonnées du point asymptotiqueP.
3 Mouvement dans des champs électrique et magnétique
L’électron est introduit à l’instant initial, à l’origineOdu repère, avec une vitesse initiale~v0=v0~uy. On revient à un mouvement non relativiste.
Il pénètre dans une zone où règnent un champ électrique~E=E~uxet un champ magnétiqueB=B~uz.
2/3 27 janvier 2021
MPSI Devoir maison 14 - Mouvement de particules chargées dans les champs~E etB~ 2020-2021
O y
z
x
~v0 B~
~E
~ uy
~ uz
~ ux
3.1 Calculer la puissance de la force électromagnétique.
3.2 Montrer que le mouvement est plan.
3.3 Déterminer l’équation de la trajectoire. On poseraω=eB
3.4 Pour quelle valeurvm dev0, la trajectoire est-elle rectiligne ? Où faut-il placer une fente pour sélectionnerm
les électrons ayant cette vitessevm?
3/3 27 janvier 2021
