BLAISE PASCAL PT 2020-2021
DM 10 – à rendre lundi 7 décembre
Champ magnétique
Vous êtes invités à porter une attention particulière à la rédaction et au soin de votre copie. Les numéros des questions doivent être mis en évidence et les résultats encadrés.
Travailler avec vos cours et TD ouverts est chaudement recommandé : un DM est un entraînement, pas une évaluation. En cas de besoin, n’hésitez pas à me poser des questions, à la fin d’un cours ou sur le serveur de la classe.
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Débitmètre électromagnétique
Un débitmètre électromagnétique permet de mesurer le débit d’écoulement d’un fluide conducteur d’électricité. On les trouve par exemple dans les stations d’épuration : l’encombrement des eaux d’égout par des débris solides interdit l’usage de débitmètres comportant des parties mobiles immergées dans le fluide, alors que la présence d’impuretés métalliques dans les eaux usées permet de les assimiler à un fluide conducteur.
Un débitmètre électromagnétique est constitué du circuit électrique représenté figure 1, disposé autour d’une canalisation cylindrique de rayonR. Les deux boucles, de même rayona, sont indépendantes et chacune est parcourue par un courant continu d’intensitéI. L’origineOdu repère (O, x, y, z) est choisie au centre du dispositif. On supposera que les deux segments rectilignes de longueurL disposés d’un même côté de la canalisation sont confondus.
On suppose Laet on se place pour tout l’exercice uniquement dans le plan (xOy), ce qui permet de négliger le champ créé par les portions circulaires des circuits devant celui créé par les portions rectilignes.
R
L
I I
a O
z y
x
(a) Vue d’ensemble tridimensionnelle.
x y
×A
× A0 z I O
I
I
P I Q
a
(b) Vue en coupe dans le plan (xOy).
Figure 1 –Canalisation entourée d’un débitmètre électromagnétique.
1 -Établir, en coordonnées cylindriques, l’expression du champ magnétique créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courant d’intensitéi0.
2 - Montrer que le champ magnétique au pointP de coordonnées (x, y= 0, z= 0) est dirigé selon #”ey. Déduire de la question précédente qu’il vaut
B#”(P) = 2µ0Ia π(a2−x2)
#”ey.
Représenter l’allure de|B#”(P)|pour−a < x < a.
3 - De même, justifier que le champ magnétique au point Q de coordonnées (x= 0, y, z= 0) est également dirigé
1/2 Étienne Thibierge, 24 novembre 2020,www.etienne- thibierge.fr
DM 10 : Champ magnétique Blaise Pascal, PT 2020-2021
selon #”ey. Montrer qu’il s’écrit
B(Q) =#” 2µ0Ia π(a2+y2)
#”ey.
On pourra utilement commencer par représenter sur un schéma les champs créés au pointQpar les deux paires de fils situées enx=±a. Représenter l’allure de de|#”
B(Q)|pour−a < y < a.
4 -La méthode de mesure utilisée nécessite une bonne uniformité du champ magnétique le long d’un diamètre de la conduite. En raisonnant le long du diamètreAA0 représenté figure 1b, déterminer l’écart relatif maximal ∆B/B0, oùB0=|#”
B(x= 0, y= 0)|est la valeur prise par le champ magnétique au centre de la conduite.
5 -On impose ∆B/B0<10 %. En déduire qu’il faut choisirasupérieure à une valeur minimaleamin à exprimer en fonction deR.
Lorsque le fluide conducteur s’écoule dans la canalisation, tout se passe comme si un « circuit électrique » était en mouvement dans le champB#”précédemment étudié : il apparaît alors un phénomène d’induction. En considérant par souci de simplification des écritures que le champ magnétique à l’intérieur de la canalisation est parfaitement uniforme et égal àB0#”ey, la force électromotrice induite apparaissant entre les pointsAetA0 est proportionnelle au débit volumiqueDV et vaut
e=8 3
B0
πRDV .
6 -Exprimer la force électromotrice induite en fonction notamment de l’intensitéI imposé dans le circuit. Calculer numériquementepourI= 10 A,DV = 20 L·s−1,a=aminet R= 10 cm. Justifier la nécessité d’un post-traitement électronique pour que la mesure soit exploitable.
On suppose que le bruit électromagnétique contient une composante continue b0 et une composante alternative à spectre discret composé de fréquencesfi indicées par ordre croissant (f1< f2< f3<etc.). La tension réellement mesurée entre les pointsAetA0 s’écrit ainsi
uAA0 =e+b0+X
i
bicos(2πfit+ϕi).
7 -Proposer une solution simple permettant d’éliminer la composante alternative du bruit.
8 -On suppose la solution précédente mise en place et parfaitement efficace : uAA0 =e+b0. Montrer qu’effectuer deux mesures deuAA0 en inversant le sens du courant Ipermet de s’affranchir également deb0.
2/2 Étienne Thibierge, 24 novembre 2020,www.etienne- thibierge.fr