Champ magnétique

Champ magnétique

Loi de Biot et Savard

A la suite des travaux d’Oersted, Biot et Savard proposèrent de déterminer le champ magnétique dû à un circuit réel en décomposant ce dernier en éléments infinitésimaux, chacun de ces éléments contribuant au champ total par l’élément de champ magnétique :

( )

0

2

0

0

3

2

ˆ

4 B

4 4

sin

d Id

r Idl d Id r

r µ

π µ

π µ

π

= ∧

θ

=

= ∧

   

   

 

 

B l r

l r

(1.1)

Champ dû à un fil indéfini parcouru par un courant d’intensité I

La loi de Biot et Savard donne une direction de champ conforme à ce qu’indique la figure 1. Soit a la distance du point d’observation au fil et r la distance d’un point courant du fil au point d’observation. D’après (1.1).

0

B 2

4

sin

z z

I dz

r

µ

π

θ

=+∞

=

∫

=−∞

or,

0

= 2

4 =0

et sin

sin tan sin

a

a a ad I

r z dz B d

θ π

θ

µ π

θ θ θ

θ θ θ

= = − ⇒ = ⇒ = ∫

d’où

0

2 a

B µ I

= π

(1.2) a. P

r.

O.

z.

M θ. dz.

Fig.1. : Champ d’un fil rectiligne infini.

I

On considère (Fig.2.) un conducteur mince, illimité dans la direction z et décrit par la relation y = y(x) pour a<x<b. Ce conducteur est parcouru par un courant i constant qui s’écoule dans la direction des z croissants. On se propose de déterminer le champ magnétique dû à cette distribution de courant.

Comme le montre la relation (1.2), la contribution dB au champ en P(x, y) du filament mince parcouru par le courant dI1 = idl1 passant par le point P(x1, y1) est :

0 1 0 1

1 1

2 r 2 r

dI id

dB µ µ

π π

= =

l

Posant

( ) ( ) ( )

1 1

2 2 2 2 2 2 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

ˆ ˆ

, et ˆ x x y y

r x x y y d dx dy

r r

 −   − 

 

=  − + − 

l

= +

r

=    

i

+    

j On trouve que dB pointe dans la direction k

ˆ ∧

r

ˆ

, que dBz = 0 et que

( ) ( )

1 1

1 1

1 1 1 1

0 0

2 2

1 1

2 2

x y

y y x x

r r r r

y y dI x x dI

i i

dB dB µ dB dB µ

π π

−

−

−

−

= − = − = =

(1.3)

Le champ total s’obtient par intégration de (1.3) le long de la ligne y1 = y1(x1)

Rubans minces et plats Ruban fini

Nous avons traité deux cas limite du ruban : le fil et le plan. Retrouvons les.

L’intégration de la relation (1.3) pour le ruban défini dans la figure 3 donne d’une part :

z

x y

x1

a b

dI1

P(x, y) r1

Fig.2. : Ruban infini et très fin ; champ en P dû au courant filamentaire dI1

dB

ˆj ˆi kˆ

( )

0

2 1

2 2 2

1

2

2

2

w w x

i y L B dx

x x y L µ

π

⁻

 

 − 

 

= −  

− +  − 

 

∫

(1.4) ici

d

l₁

=

dx₁

0

, ,

2 2

x

i L

B µ F x y w

π

 

=  − 

 

1 1

2 2 2

, , tan tan

2

2 2 2

L w w

y x x

F x y L w

L L L

y y y

− −

 

−  − + 

 

 

− = − +

 

 

 

−   − −  

(1.5)

et

( )

( )

1 1

0 2

2 2 2

1

2

2

w w y

x x dx B i

x x y L

µ π

⁻

= − −

− +



−



 

 

∫

(1.6)

0

, ,

2 2

y

i L

B µ G x y w

π

 

=  − 

 

     

− + −

     

 −  = −      

   

     

+ + −

     

     

 

l

2 2

2 2

1 2 2

, , n

2 2

2 2

w L

x y

G x y L w

w L

x y

(1.7)

Deux cas particuliers sont connus, correspondant l’un et l’autre à L = 0. Le premier est celui du plan infini dans des directions x et z :

w → ∞

, i restant fixé. On déduit de (1.4) et (1.5) :

z

x y

w/2

Fig.3. : Ruban parallèle au plan xz, défini par 1

( )

1

2

y x = L^, ₁

2 2

w w

x

− ≤ ≤ ^.

ˆj

ˆi kˆ - w/2

2 L

0

2 i y

y

=

µ

B (1.8)

En accord avec l’égalité qui conclut ; noter, encore une fois, la discontinuité du champ dans l’épaisseur du plan.

Le second cas est celui du filament :

w → 0

; on suppose que le courant

I = iw

reste fini. Développant les relations obtenues en série de Taylor à l’ordre le plus bas, on trouve :

( )

2

0 0

2 2

sin 2 2

x

r

B Iy

r

I x y

µ µ θ

π π

= −

=

−

1424

+

3

( )

2

0 0

2 2

cos 2 2

y

r

B Ix

r

I x y

µ µ θ

π π

=

=

1424

+

3