Champ magnétique

(1)

Champ magnétique

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 12 juin 2020

sous licencehttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/2.0/fr/ 1/1

(2)

Caractéristiques générales du champ magnétique Configurations usuelles Moment magnétique

Champ magnétique

Julien Cubizolles

Lycée Louis le Grand

Vendredi 12 juin 2020

(3)

I on connaît les aimantsdroits(fermeture de porte), « plats » (frigo), les boussoles

I leur champ magnétique est la manifestation macroscopique de champs magnétiques atomiques qui s’ajoutent, pour les matériaux ditsferromagnétiques

I aimantsmicroscopiquesutilisés pour les disques durs par exemple I aimantspermanents macroscopiquespour les fermetures de porte,

électroaimantspour l’imagerie médicale et les accélérateurs de physique des particules

I champ magnétique terrestre dû à des courants dans le noyau liquide

(4)

(5)

(6)

I aimantsmicroscopiquesutilisés pour les disques durs par exemple

I aimantspermanents macroscopiquespour les fermetures de porte, électroaimantspour l’imagerie médicale et les accélérateurs de physique des particules

(7)

(8)

(9)

I dans le cours sur la force de Lorentz, on a vu son effet sur un aimant I on va « observer » le champ #»

Bavec des aiguilles de boussole et présenter les outils de représentation d’unchamp vectoriel I on distinguera des propriétés générales, mais sans rien calculer

(2^eannée)

I on verra le champ des structures fondamentales : fil, spire, bobines de Helmholtz, solénoïde

(10)

I dans le cours sur la force de Lorentz, on a vu son effet sur un aimant

I on va « observer » le champ #»

(2^eannée)

(11)

Bavec des aiguilles de boussole et présenter les outils de représentation d’unchamp vectoriel

I on distinguera des propriétés générales, mais sans rien calculer (2^eannée)

(12)

(2^eannée)

(13)

(2^eannée)

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Sources du champ Visualisation

Intensité du champ magnétique

1. Caractéristiques générales du champ magnétique 2. Configurations usuelles

3. Moment magnétique

(15)

1. Caractéristiques générales du champ magnétique 1.1 Sources du champ

1.2 Visualisation

1.3 Intensité du champ magnétique

2. Configurations usuelles 3. Moment magnétique

(16)

Expérience d’Ørsted

I un aimant droit fixe l’orientation d’une boussole

I un courant dans un fil rectiligne a le même effet : il produit lui aussi unchamp magnétique

I son intensitéBest d’autant plus grande que la fréquence d’oscillation de la boussole est grande :

I Bcroît quand on est proche du fil I Bcroît quand l’intensitéIcroît

I la direction de la position d’équilibre de la boussole donne celle de #» B:

I la direction de#»

B dépend de la position I #»

B« tourne » autour du fil

I le sens est donné par larègle de la main droite

(17)

Expérience d’Ørsted

(18)

Expérience d’Ørsted

(19)

Expérience d’Ørsted

I Bcroît quand on est proche du fil

I Bcroît quand l’intensitéIcroît

(20)

Expérience d’Ørsted

(21)

Expérience d’Ørsted

I la direction de la position d’équilibre de la boussole donne celle de #»

B:

(22)

Expérience d’Ørsted

B: I la direction de#»

B dépend de la position

I #»

(23)

Expérience d’Ørsted

(24)

Expérience d’Ørsted

(25)

1.2 Visualisation

(26)

Champ vectoriel

Définition (Champ vectoriel)

Le champ magnétique est unchamp vectorielassociant à toutpointMde l’espace unvecteurdeR³.

il « suffit » de placer une aiguille de boussole en chaque point pour déterminer son sens et sa direction…

(27)

Limaille de fer

I des « copeaux » de fer (limaille) dans un champ #»

Bs’aimantent

I ils s’alignent comme des aiguilles de boussole, et s’agglomèrent pour former des « lignes de champ »

I ils ne fournissent aucune information sur l’intensité de#» B

(28)

Limaille de fer

Bs’aimantent I ils s’alignent comme des aiguilles de boussole, et s’agglomèrent pour

former des « lignes de champ »

I ils ne fournissent aucune information sur l’intensité de#» B

(29)

Limaille de fer

I ils ne fournissent aucune information sur l’intensité de#»

B

(30)

Limaille de fer

B

Définition (Ligne de champ) Une ligne de champ#»

Best une courbeCde l’espace telle qu’en chacun de ses pointsMle champ#»

B(M)est tangent àC.

(31)

Limaille de fer

B

Définition (Ligne de champ) Une ligne de champ#»

Best une courbeCde l’espace telle qu’en chacun de ses pointsMle champ#»

B(M)est tangent àC.

tracée approximativement de proche en proche, à partir d’un point particulier

(32)

Cartes de champ magnétique

I laloi de Biot et Savartpermet de calculer le champBen tout pointM connaissant la distribution du courant en tout pointP(voir plus loin) I on représente #»

Bdans un plan par une flèche indiquant direction/sens/intensité aux nœuds d’une grille

(33)

Cartes de champ magnétique

I laloi de Biot et Savartpermet de calculer le champBen tout pointM connaissant la distribution du courant en tout pointP(voir plus loin)

I on représente #»

(34)

Cartes de champ magnétique

I laloi de Biot et Savartpermet de calculer le champBen tout pointM connaissant la distribution du courant en tout pointP(voir plus loin) I on représente #»

(35)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini

I fil orthogonal au plan et courant

« sortant » de la feuille I k#»

Bkinvariante par rotation autour du fil, dans un plan orthogonal au fil

I #»

Btourne avec l’espace comme un vecteur de l’espace

I k#»

Bkvarie en1/ravecrla distance au centre du fil

(36)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

Champ magnétique créé par un fil rectiligne infini I fil orthogonal au plan et courant

« sortant » de la feuille

I k#»

I #»

I k#»

(37)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

(38)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

(39)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

(40)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

I figure indépendante du plan orthogonal au fil :invariance par translation le long du fil

I #»

B(M)n’a pas de composante orthogonale au plan I icik#»

Bkdiverge quandr→0: cette anomalie disparaît quand on tient compte du rayon non nul du fil

(41)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

Bkvarie en1/ravecrla distance au centre du fil I figure indépendante du plan orthogonal au fil :invariance par

translation le long du fil

I #»

(42)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

translation le long du fil

#»

I icik#»

(43)

Cartes de champ magnétique

3 2 1 0x 1 2 3

3 2 1 0 1 2 3

y

I #»

I k#»

translation le long du fil I #»

(44)

1.2 Visualisation

(45)

Mesure

I k#»

Bks’exprime en T

[F] = [qvB] → 1 T=1 N·s·m⁻¹·C⁻¹

I on mesurek#»

Bkà l’aide d’une sonde à effet Hall I elle indique la composante de #»

B dans la direction où elle pointe

(46)

Mesure

I k#»

Bks’exprime en T

[F] = [qvB] → 1 T=1 N·s·m⁻¹·C⁻¹ I on mesurek#»

Bkà l’aide d’une sonde à effet Hall

I elle indique la composante de #»

(47)

Mesure

I k#»

Bks’exprime en T

[F] = [qvB] → 1 T=1 N·s·m⁻¹·C⁻¹ I on mesurek#»

Bkà l’aide d’une sonde à effet Hall I elle indique la composante de #»

(48)

Ordres de grandeur

I un champ de 1 T correspond à une très grande intensité, on utilisera également le gauss 1 G=1·10⁻⁴T

I composante horizontale du champ terrestreB_H'0,2 G, aimant droit 5 mT, petits aimants très « puissants » : 1 T à la surface.

I les plus intenses : imagerie médicale, 50 T,1·10⁸T dans une étoile à neutrons.

(49)

Sur une carte de champ

Champ d’une spire circulaire.

I le long d’une ligne de champ, l’intensité maximale dans le plan de la spire

I la spire « resserre » les lignes de champ :k#»

Bkest maximale là où elles sont le plus serrées

I au voisinage des fils, on retrouve que#»

B leur tourne autour (main droite)

(50)

Sur une carte de champ

(51)

Sur une carte de champ

(52)

Fil rectiligne infini Spire Solénoïde

(53)

2.1 Fil rectiligne infini 2.2 Spire

2.3 Solénoïde

(54)

Expression

I àrd’un fil parcouru parI:k#»

Bk ∝I/r; il manque une constante pour la dimension

I laloi de Biot et Savart(2^eannée) permet de calculer le champBen tout pointMconnaissant la distribution du courant en tout pointP

(55)

Expression

(56)

Expression

(57)

Expression

Champ magnétique d’un fil infini

Le champ créé par un fil rectiligne infini parcouru par un courantI stationnaire est orthoradial :

#»B = µ₀I 2πr

e#»θ.

(58)

Expression

I µ₀=4π·10⁻⁷kg·m·s⁻²·A⁻²est laperméabilité magnétique du vide

I ♥forme générale :[B] = µ0×intensité longueur

(59)

Courbe

2 4 6 8 10

0,1 0,2 0,3 0,4

0 r(mm)

Bθ(mT)

I=1 A

I le T est une « grande » unité (il faut aller à 0,2 µm) pour k#»

Bk '1 T

I expression valable si on est suffisamment proche de tout fil non rectiligne

(60)

Courbe

2 4 6 8 10

0,1 0,2 0,3 0,4

0 r(mm)

Bθ(mT)

I=1 A

I le T est une « grande » unité (il faut aller à 0,2 µm) pour k#»

Bk '1 T

I expression valable si on est suffisamment proche de tout fil non rectiligne

(61)

2.3 Solénoïde

(62)

Une seule spire

I on « boucle un fil rectiligne sur lui même »

I 1 enroulement circulaire de rayonRparcouru par un courant d’intensitéI

I la contribution fils l’alimentant peut être rendue négligeable (en les entortillant)

(63)

Une seule spire

Champ d’une spire circulaire d’axe Oz.

I carte du champ dans le plan Oxz

I on reconnaît le champ du fil au voisinage dex=±R

I invariance par rotation autour deOz: on aurait la même dans le planOzy

I on n’a plus l’invariance par translation le long de l’axeOz I #»

B(M)∝e#»zpourM∈(Oz):

#»B =µ0I

2R sin³(α)e#»_z, I nouvelle « règle de la main

droite » pour déterminer le sens de#»

B sur l’axe

(64)

I maximal au centre de la spire

I si on aNtours, l’intensité est multipliée parN

I pour une spire

carré/rectangulaire/… l’ordre de grandeur sera le même

−30 −20 −10 10 20 30 0,2

0,4 0,6

0 z(cm)

Bz(G)

Composante selone#»zdu champ d’une spire d’axeOz. Rayon

(65)

I maximal au centre de la spire I si on aNtours, l’intensité est

multipliée parN

I pour une spire

carré/rectangulaire/… l’ordre de grandeur sera le même

−30 −20 −10 10 20 30 0,2

0,4 0,6

0 z(cm)

Bz(G)

Composante selone#»zdu champ d’une spire d’axeOz. Rayon R=10 cm, intensitéI=1 A.

(66)

I maximal au centre de la spire I si on aNtours, l’intensité est

multipliée parN I pour une spire

carré/rectangulaire/… l’ordre de

grandeur sera le même −30 −20 −10 10 20 30 0,2

0,4 0,6

0 z(cm)

Bz(G)

Composante selone#»zdu champ d’une spire d’axeOz. Rayon

(67)

Configuration de Helmholtz

I on adoucit les variations dek#»

Bk sur l’axe en rajoutant une spire identique parallèle et coaxiale à la distanceD

I c’est pourD=Rquek#»

Bkest la plus uniforme au centre du dispositif

−20 −10 10 20

20 40 60 80

0 z(cm)

Bz(G)

Composante selone#»zdu champ d’une paire de bobines d’axeOzen

configuration Helmholtz. Rayon R=10 cm, intensité 1 A,100tours.

(68)

Configuration de Helmholtz

I les lignes de champ sont assez parallèles proche du centre I rajouter une bobine « canalise »

les lignes de champ magnétique et le rend plus uniforme

(69)

2.3 Solénoïde

(70)

Champ d’un solénoïde

I on accole plusieurs spires identiques pourcanaliser le champ

I le champ est de plus en plusuniforme à l’intérieur,faibleà l’extérieur I l’intensité à l’intérieur estindépendante du rayon

(71)

Champ d’un solénoïde

(72)

Champ d’un solénoïde

I le champ est de plus en plusuniforme à l’intérieur,faibleà l’extérieur

I l’intensité à l’intérieur estindépendante du rayon

(73)

Champ d’un solénoïde

(74)

Champ d’un solénoïde

(75)

Champ d’un solénoïde

Le champ d’un solénoïde infini d’axeOz, formé d’un enroulement den spires par unité de longueur accolées est

I uniforme dans le solénoïde, I nul à l’extérieur.

À l’intérieur, on a : #»

B =µ0nIe#»_z,

avecIl’intensité du courant parcourant chaque spire.

(76)

Champ d’un solénoïde

I le sens du champ #»

Best donné par la règle de la main droite de la spire I nest en m⁻¹, le nombretotalde spires n’a aucune influence sur

l’intensité du champ

I expression valable si le solénoïde est assez grand (lR), le diamètre des fils négligeable et si on regarde loin des bords

(77)

Aimant permanent et spire en champ lointain Modèle du dipôle magnétique

(78)

3.1 Aimant permanent et spire en champ lointain 3.2 Modèle du dipôle magnétique

(79)

I on connaissait avant tout le champ d’un aimant permanent I sa structure est-elle radicalement différente de celle d’un

électro-aimant ?

(80)

Lignes de champ d’un aimant droit vertical

Lignes de champ d’une spire d’axe de révolution vertical, observées à une

distance grande devant son rayon

(81)

distance grande devant son rayon

I structure identique à grande distance pour une spire, une paire de Helmholtz, un solénoïde fini, un aimant droit

I les lignes de champsortent du pôle Nordetrentrent dans le pôle Sud I la spire est la « brique fondamentale » des sources de champ

magnétique statique comme la charge ponctuelle pour le champ électrique statique

(82)

distance grande devant son rayon I structure identique à grande distance pour une spire, une paire de

Helmholtz, un solénoïde fini, un aimant droit

I les lignes de champsortent du pôle Nordetrentrent dans le pôle Sud I la spire est la « brique fondamentale » des sources de champ

magnétique statique comme la charge ponctuelle pour le champ électrique statique

(83)

I les lignes de champsortent du pôle Nordetrentrent dans le pôle Sud

I la spire est la « brique fondamentale » des sources de champ magnétique statique comme la charge ponctuelle pour le champ électrique statique

(84)

I les lignes de champsortent du pôle Nordetrentrent dans le pôle Sud

(85)

3.1 Aimant permanent et spire en champ lointain 3.2 Modèle du dipôle magnétique

(86)

Définition

Définition (Dipôle et moment magnétiques)

Undipôle magnétiqueest une spire circulaire plane de rayonRparcourue par un courant d’intensitéI. Il est caractérisé par sonmoment dipolaire magnétique, notém, défini par :#»

m#»=IAe#»_z =IπR²e#»_z, avec :

I A=πR²la surface de la spire I kmk#» en A·m²

#»

(87)

Approximation dipolaire

Approximation dipolaire Quand on l’observe à une distance grande devant ses dimensions caractéristiques, toute boucle de courant plane est équivalente au dipôle

magnétique correspondant.

#»B

I

I pour une spire rectangulaire :m#»=Iabe#»_z I m#»suffit pour calculer le champ#»

B créé par le dipôle, la force qu’il subit quand il est placé dans le champ magnétique créé par d’autres sources

(88)

Approximation dipolaire

#»B

I

I pour une spire rectangulaire :m#»=Iabe#»_z

I m#»suffit pour calculer le champ#»

(89)

Approximation dipolaire

#»B

I

I pour une spire rectangulaire :m#»=Iabe#»_z I m#»suffit pour calculer le champ#»

(90)

Aimants permanents

I un électron en mouvement de révolution autour de son noyau (en mécanique classique) constitue un dipôle magnétique, le résultat demeure en mécanique quantique

I le moment magnétique macroscopique dans un matériau ferromagnétique est la somme de ces moments magnétiques atomiques, qui s’alignent quand on l’aimante et restent alignés par leur interaction mutuelle

I le vecteur moment magnétique est aligné avec l’aimant droit, dirigé du sud vers le nord magnétique

I on caractérise un matériau par sonaimantationnotéeM, moment magnétique par unité de volume

I Mest dans le sens sud-nord pour un aimant droit I un aimant brisé donne deux aimants…

(91)

Aimants permanents

I un électron en mouvement de révolution autour de son noyau (en mécanique classique) constitue un dipôle magnétique, le résultat demeure en mécanique quantique

I le moment magnétique macroscopique dans un matériau ferromagnétique est la somme de ces moments magnétiques atomiques, qui s’alignent quand on l’aimante et restent alignés par leur interaction mutuelle

I le vecteur moment magnétique est aligné avec l’aimant droit, dirigé du sud vers le nord magnétique

I on caractérise un matériau par sonaimantationnotéeM, moment magnétique par unité de volume

I Mest dans le sens sud-nord pour un aimant droit I un aimant brisé donne deux aimants…