Champ magnétique tournant

(1)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP Corrigé proposé par:

M. Afekir - École Royale de l’Air CPGE Marrakech

[email protected]

Résonance magnétique nucléaire - RMN -

Première partie

Champ magnétique tournant

1 . 1

.

^Solénoïde

^(S

¹

⁾

, infiniment long, comportant

n

spires circulaires, jointives, par unité de longueur.

1 . 1 . 1

.

^Solénoïde

^(S

1

)

= superposition de

n

spires circulaires jointives par unité de longueur, on utilisera donc l’expression du champ crée par une spire sur son axe.

OM = x

. Par superposition, le champ

− → B (M )

crée en un point

M

de l’axe

O

₁

x

est la somme vectorielle des champs produits par chacune des spires (de rayons

a

) parcourues par le même courant

I

₁.

P

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊗ ⊗

⊗

⊗ ⊗

⊗

x

X

dX

O

₁

M

I

₁

I

₁

α

a − → u

_x

Le champ magnétique crée par une spire en tout point

M

de son axe :

~b (M ) = µ

_o

I

₁

2a sin

³

α ~ u

_x Le champ magnétique élémentaire crée par une tranche d’épaisseur

dX

vaut , en

M

:

d − → B (M) = µ

_o

I

₁

2a dn sin

³

α~ u

_x

dn

désigne le nombre de spires contenues dans la tranche

dX

:

dn = n dX

avec

X = x + a cotanα ⇒ dn = − na dα sin

²

α

Donc :

− → B (M ) = − µ

_o

I

₁

2 n Z

π

0

sin α dα ~ u

_x

⇒ − → B (M ) = µ

_o

nI

₁

~ u

_x

1 . 1

. 2

.

^Symétrie

Tout plan contenant

Ox

est un plan d’antisymétrie pour la distribution du courant, le pseudo- vecteur

− → B

appartient à un plan d’antisymétrie.

− → B

, en tout point

M

de

Ox

, est donc porté par

Ox

.

−

→ B (M) = B(M )~ u

_x

(2)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP

1 . 1 . 3

.

Invariance (coordonnées cylindriques )

⋄

On a invariance de la distribution par rotation autour de

Ox

. donc

− → B (M)

est indépendant de

θ

:

−

→ B (M) = − → B (r, θ, x) = − → B (r, x)

⋄

On a invariance de la distribution le long de l’axe

Ox

. donc

− → B (M )

est indépendant de

x

:

−

→ B (M ) = − → B (r, x) = − → B (r)

D’où : le champ magnétique

− → B (M)

en un point

M

de l’axe

Ox

du solénoïde ne dépend que de la coordonnée radiales du système de coordonnées cylindriques.

−

→ B (M ) = B (r)~ u

_x

1 . 1 . 4

.

Théorème d’Ampère

⋄

Symétrie et invariance :

− → B (M ) = B (r)~ u

_x

⋄

Choix du contour : On choisit un contour rectangulaire( d’un coté

r = 0

où

− → B (M )

connu, et l’autre à une distance

r

où

− → B (M )

est à déterminer ).

∆x

Γ

₁

Γ

₂

x

M M

I

₁

I

₁

I

₁

a

⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊗ ⊗

⊗

⊗ ⊗

(S

₁

)

Théorème d’Ampère : Soit

M ∈ Γ

_i tel que

B

₁

(M ) = µ

_o

nI

₁ D’où :

I

(Γi)

−

→ B (M ).d~l

=

µ

_o

I

enlacee par le contour(Γⁱ)



 

 

 

 

r < a : I

(Γ1)

−

→ B (M ) = B

₁

∆x − B

_int

∆x = µ

_o

I

_enlacees

= 0 ⇒ B

_int

= B

₁

r > a : I

(Γ2)

−

→ B (M ) = B

₁

∆x − B

_ext

∆x = µ

_o

I

_enlacees

= µ

_o

nI

₁

⇒ B

_ext

= 0

Conclusion :



 

 

A l’inté rieur de

(S

₁

) : − → B

_int

= − → B

₁

(M) = µ

_o

nI

₁

~ u

_x A l’exté rieur de

(S

₁

) : − → B

_ext

= − → 0

1 . 1 . 5

.

Coefficient d’inductance propre de

(S

₁

)

Le champ magnétique

− → B

₁

(M )

est uniforme à l’intérieur du solénoïde

(S

₁

)

. Le flux de ce champ à travers la section

(S)

de

(S

₁

)

:

Φ

₁

= − → B

₁

. − → S = µ

_o

nI

₁

πa

²

= ΛI

₁

= ⇒ Λ = µ

_o

nπa

²

1 . 2

.

Solénoïdes croisés

(3)

1 . 2 . 1

. ⁱ

1

(t) = I

₁

√

2 cos(ωt − π 4 + ϕ

₁

)

En notation complexe :



 



 



u(t) = Ri

₁

(t) + L di

₁

(t)

dt + q(t) C =

R + j

Lω − 1 Cω

i

₁

(t) i

₁

(t) = I

₁

√

2

exp

j ωt − π

4 + ϕ

₁

et

u(t) = U √

2 exp j ωt − π

4 ⇒ I

₁

= U

s R

²

+

Lω − 1 Cω

2 et

tan ( − ϕ

₁

) =

Lω − 1 Cω R

1 . 2 . 2

. ⁱ

2

(t) = I

₂

√

2 cos(ωt − π 4 + ϕ

₂

)

En notation complexe :



 

 

u(t) = Ri

₂

(t) + L di

₂

(t)

dt = (R + jLω) i

₂

(t) i

₁

(t) = I

₂

√

2

exp

j ωt − π

4 + ϕ

₂

et

u(t) = U √

2

exp

j ωt − π

4 ⇒ I

₂

= U

√ R

²

+ L

²

ω

² ^et

tan ( − ϕ

₂

) = Lω R 1 . 2

. 3

.

^{cas où}

^ϕ

2

= − ϕ

₁

Lω − 1 Cω

= − Lω

ou

2LCω

²

= 1 1 . 2

. 4

. ^ϕ

2

− ϕ

₁

= − π 2

⇒ tan (ϕ

₂

) tan (ϕ

₁

) = − 1

ou

L

²

ω

²

− L

C = − R

²

1 . 2

. 5

.

Dans les conditions 1

.

2

.

3

.

et 1

.

2

.

4

.

:

Lω = R

soit :

I

₂

= Lω

R I

₁

= I

₁

= U R √

2 1 . 2

. 6

.

Dans le cadre de l’ARQP(Approximation des Régimes Quasi-Permanents : le courant déplacement est négligeable devant le courant de conduction ), les équations de Maxwell-Flux et Maxwell-Ampère s’écrivent :

−→ rot − → B = µ

_o

− → j (M A)

et

div − → B = 0 (M F )

On retrouve, ainsi, la forme des équations de maxwell (MA et MF) en régime magnétostatique ; par conséquent les résultats utilisés en 1

.

1

.

restent valables dans le cadre de l’ARQP.

1.2.6.1. Théorème de superposition pour le champ magnétique

− → B

Le champ résultant

− → B = − → B

₁

+ − → B

₂ avec

− → B

_i

:

champ crée, en

O

par le solénoïde

S

_i D’après ce qui précède :

−

→ B = µ

_o

ni

₁

(t) − → u

_x

+ µ

_o

ni

₂

(t) − → u

_y

= µ

_o

n U

R (cos(ωt) − → u

_x

+ cos(ωt − φ

₁

+ φ

₂

) − → u

_y

)

φ

₁

− φ

₂

= π

2

^{Soit :}

−

→ B = µ

_o

n U

R [cos(ωt) − → u

_x

+ sin(ωt) − → u

_y

]

(4)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 1.2.6.2.

Il s’agit du champ magnétique de module constant

B

tournant, à la vitesse angulaire

ω

, dans le plan

(xOy)

et dans le sens trigonométrique.

B = µ

_o

n U R

O

ωt x

y

−

→ B

1.2.6.3. Applications numériques :

I

₁

= I

₂

= 7mA ; C = 400nF ; L = 0, 32mH

et

B = 1, 25.10

⁻⁵

T 1 . 2

. 7

.

Le rôle du condensateur est d’introduire le déphasage entres les courants d’intensi- tés

i

₁

(t)

et

i

₂

(t)

.

1 . 2 . 8

.

Pour inverser le sens de rotation du champ magnétique

− → B

total, on doit brancher le condensateur en série avec le solénoïde

S

₂, l’expression de

− → B

et telle que :

−

→ B = µ

_o

n U R

cos(ωt − π

2 ) − → u

_x

+ cos(ωt) − → u

_y

= µ

_o

n U

R (sin(ωt) − → u

_x

+ cos(ωt) − → u

_y

)

Deuxième partie

Théorie élémentaire de la RMN

2 . 1 .

− →

B

_o

= B

_o

− → u

_z(

B

_o

> 0

)

2 . 1 . 1

.

Théorème du moment cinétique appliqué dans le référentiel

R d~ σ

dt

R

= − M → ⇒ 1 γ

d ~ m

dt = m ~ ∧ − → B

_o ou

d ~ m

dt = γ ~ m ∧ − → B

_o

2 . 1

. 2

.

D’après l’équation précédente : Projection suivant

m ~ : m. ~ d ~ m

dt = 0 = 1 2

d k m ~ k

dt ⇒ k m ~ k

est constante Projection suivant

~ u

_z

: ~ u

_z

d ~ m

dt = 0 = dm

_z

dt ⇒ m

_z est constante

2 . 1 . 3

.

^Soit

^α

, l’angle entre

m ~

et

− → B

_o:

~

m. − → B

_o

= m

_z

B

_o

= k m ~ k B

_o

cos α ⇒ cos α = m

_z

k m ~ k ⇒ α

est constant

2 . 1 . 4

.

Par projection, dans la base

(~ u

_x

, ~ u

_y

, ~ u

_z

)

, de l’équation établie en 2

.

1

.

1

.

, on a :



 

  dm

_x

dt dm

_y

dt dm

_z

dt



 

 

= γ



  m

_x

m

_y

m

_z



  ∧



  0 0 B

_o



  = γB

_o



  m

_y

− m

_x

0 

 

(5)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP Soit le système d’é quations différentielles :



 

 

 

  dm

_x

dt − γB

_o

m

_y

= 0 dm

_y

dt + γB

_o

m

_y

= 0 dm

_z

dt = 0

On pose :

m = m

_x

+ jm

_y

⇒ dm

dt + jγB

_o

m = 0

Solution : m = m

_o

exp jγB

_o d’où :



 

 

 

 

m

_x

(t) = m

_o

cos (γB

_o

t)

et

m

_y

(t) = − m

_o

sin (γB

_o

t) 2 . 1

. 5

.

Précession de Larmor

~

m = m

_o

(cos (γB

_o

t) ~ u

_x

+ sin (γB

_o

t) ~ u

_y

) + m

_z

~ u

_z

D’où mouvement de précission autour de

Oz (

ou dans le plan

) (xOy)

à la pulsation

:

~

ω

o

= − γB

_o

~ u

_z

= − γ − → B

_o tel que :

| ~ ω

_o

| = γB

_o

2 . 1

. 6

.

Application numérique

ω

_o

= − 2, 7 × 10

⁸

s

⁻¹ et

f

_o

= | ω

_o

|

2π = 0, 43.10

⁸

Hz

Cette fréquence

f

_o se situe dans le domaine Hertzien.

2 . 2 .

−

→ B

_tot

= − → B

_o

~ u

_z

+ − → B

₁

~ u

_X tel que :

0 < B

₁

<< B

_o

2 . 2

. 1

.

En appliquant le résultat de la question 2

.

1

.

1

. d ~ m

dt

R

= γ ~ m ∧ (B

o

~ u

_z

+ B

₁

~ u

_X

) = − m ~ ∧ (ω

o

~ u

_z

+ ω

₁

~ u

_X

) = − m ~ ∧ (~ ω

_o

+ ~ ω

₁

)

Soit

d ~ m dt

R

= − m ~ ∧ (~ ω

_o

+ ~ ω

₁

) 2 . 2

. 2

. R

¹ est en rotation par rapport à

R

. En appliquant le résultat de la dérivée d’un vecteur par rapport au temps dans un changement de référentiels :

d ~ m dt

R

= d ~ m

dt

R₁

+ − →

Ω

R/R₁

∧ m ~ = − m ~ ∧ (~ ω

_o

+ ~ ω

₁

) ⇒

d ~ m dt

R₁

= m ~ ∧ (~ ω − ~ ω

_o

− ~ ω

₁

)

Soit

d ~ m dt

R₁

= m ~ ∧ − → Ω − ~ ω

₁

2 . 2 . 3

.

Le moment magnétique

m ~

effectue, dans

R

1, un mouvement de précession autour de

~

u

à lapulsation

− → Ω

₁

= − → ω

₁

− − → Ω

(vecteur rotation instantané autour de

~ u

) tel que :

~ u

est colinéaire à

− →

Ω

1.

Projection suivant

Oz

:



 



 



−

→ Ω

₁

.~ u

_z

= − → Ω

₁

cos θ

−

→ Ω

₁

.~ u

_z

= (~ ω

₁

− ~ ω + ~ ω

_o

) .~ u

_z

= ω

_o

− ω

− → Ω

₁

=

q

ω

²₁

+ (ω − ω

_o

)

²

= q

γ

²

B

₁²

+ (ω − ω

_o

)

²

⇒ cos θ = ω

_o

− ω q

γ

²

B

²₁

+ (ω − ω

_o

)

²

(6)

2 . 2 . 4

.

Le mouvement de

− → Ω

₁

= − → ω

₁

− − → Ω

relativement à

R

, est celui du repère

R

1 par rapport à

R

^(car

− → Ω

₁ est un vecteur de

R

1 ) :

− → Ω

₁ est, donc, animé par rapport à

R

d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axe

Oz

, à la vitesse angulaire

~ ω = ω ~ u

_z.

Le mouvement du moment magnétique

m ~

dans

R

est, donc, uneprécession et une rotation.

2 . 2 . 5

.

^{On pose :}

^m ^~

z

= m

_z

~ u

_z 2.2.5.1.

− → Ω = − → 0

. D’après 2

.

2

.

2

.

d ~ m dt

R₁

= − m ~ ∧ ω ~

₁

= ~ ω

₁

∧ m ~

La composante

m ~

_z subit un premier retournement au bout d’un temps

∆t

telle que :

∆t = T

₁

2 = π

| ω

₁

| = π γB

₁ 2.2.5.2. Application numérique :

∆t = 11, 6 ms

2 . 3

.

Prise en compte de la relaxation

2 . 3 . 1

.

Relaxation d’un moment magnétique

d − M →

dt

!

relaxation

= −

− →

M − − M →

_o

τ

2.3.1.1.

τ

est homogène à un temps. Son unité dans le (SI) est laseconde.

2.3.1.2. Résolution de l’équation différentielle

De l’équation :

d − M → dt

!

relaxation

+

− → M

τ =

− → M

_o

τ

, on en déduit que :

− M → (t) = − M →

_o

+ − → C

exp -

t τ

Compte tenu des considération expérimentale citée :







− →

M (t

_o

) = 0

−

→ C = − − M →

_oexp

t

_o

τ

Soit :

− M → (t) = − M →

_o

1 −

^exp

− t − t

_o

τ

;

d’où le ré sultat !

2 . 3 . 2

.

Équations de Bloch

2.3.2.1. En utilisant les questions2.2.2et2.3.1, ainsi que l’hypothèse admise en2.3:

d − M →

dt

!

R₁

= − M → ∧ − → Ω − ~ ω

₁

+ d − M → dt

!

relaxation

= − M → ∧ − → Ω − ~ ω

₁

−

− → M

τ +

− → M

_o

τ

Soit l’équation :

d − M → dt

!

R1

+

− → M

τ − − M → ∧ (Ω~ u

_z

− ω

₁

~ u

_X

) = M

_o

τ ~ u

_z

(7)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 2.3.2.2. Équations de Bloch

− →

M

_(~_u_X_,~_u_Y_,~_uz)



  M

_X

M

_Y

M

_z



  ⇒ − M → ∧ (Ω~ u

_z

− ω

₁

~ u

_X

) =



 

ΩM

_Y

− ω

₁

M

_z

− ΩM

X

M

_Y

ω

₁



 

⇒



 



 

 dM

_X

dt = ΩM

_Y

− M

_X

τ = M

_o

Ωv − u τ

dM

_Y

dt = − ω

₁

M

_z

− ΩM

_X

− M

_Y

τ = − ω

₁

M

_z

− M

_o

Ωu + v τ

dM

_z

dt = M

_Y

ω

₁

− M

_z

τ + M

_o

τ = − M

_z

τ + M

_o

ω

₁

v + 1 τ

D’où les équations de bloch :



 



 

 du

dt + u

τ = Ωv dv

dt + v

τ = − ω

₁

M

_z

M

_o

− Ωu dM

_z

dt + M

_z

τ = M

_o

ω

₁

v + 1 τ

2 . 3 . 3

.

Régime permanent dans le référentielR₁ 2.3.3.1.

En ré gime permanent :



 



 

 u

τ = Ωv (1)

v = − τ

ω

₁

M

_z

M

_o

+ Ωu

(2) M

_z

M

_o

= τ

ω

₁

v + 1 τ

(3)

⋄ (1)

et

(3)

dans

(2)

donne :

v M

_o

+ Ω

²

τ

²

+ ω

²₁

τ

²

= − τ ω

₁

(4)

⋄ (4)

dans

(1)

donne :

u M

_o

+ Ω

²

τ

²

+ ω

²₁

τ

²

= − τ

²

Ωω

₁

⋄ (4)

dans

(3)

donne :

(M

_z

− M

_o

) M

_o

+ Ω

²

τ

²

+ ω

²₁

τ

²

= − M

_o

τ

²

ω

²₁

Soient :



 

 

 

 

u = − τ

²

ω

₁

Ω

1 + (τ ω

₁

)

²

+ (τ Ω)

²

v = − τ ω

₁

1 + (τ ω

₁

)

²

+ (τ Ω)

²

M

_z

= M

_o

− M

_o

(τ ω

1

)

²

1 + (τ ω

₁

)

²

+ (τ Ω)

²

(7)

2.3.3.2. Allures des courbes

u(Ω)

et

v(Ω)

O

Ω u(Ω)

−

₂

√

^{τ ω}¹

1+τ²ω₁²

√

1+τ²ω²₁

−

τ

√

1+τ²ω₁² τ

O

Ω

−

_1+τ^{τ ω}2¹ω²₁

v(Ω)

√

1+τ²ω²₁

−

τ

√

1+τ²ω₁² τ

−

_2(1+τ^{τ ω}¹2ω₁²)

(8)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 2.3.3.3. Largeur à mi-hauteur

∆Ω

de la courbe

v(Ω)

:

v(Ω) = v

_max

2 ⇐⇒ − τ ω

₁

1 + (τ ω

₁

)

²

+ (τ Ω)

²

= − τ ω

₁

2 1 + (τ ω

1

)

²

= ⇒ Ω

₁₂

= ± r

ω

²₁

+ 1 τ

²

soit :

∆Ω = 2 r

ω

²₁

+ 1 τ

²

2 . 3

. 4

.

Dans la pratique , le champ

− → B

₁ est remplacé par

− → B

₂

= 2B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

(ω

^′

> 0)

. 2.3.4.1. Décomposition du champ

− → B

₂

−

→ B

₂

= B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

+ B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

= B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

+ B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

+ B

₁

sin(ω

^′

t)~ u

_y

− B

₁

sin(ω

^′

t)~ u

_y

On pose :

−

→ B

⁺₂

= B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

+ sin(ω

^′

t)~ u

_y

et

− → B

⁻₂

= B

₁

cos(ω

^′

t)~ u

_x

− sin(ω

^′

t)~ u

_y

Soit :

− → B = − → B

⁺₂

+ − → B

⁻₂ 2.3.4.2. On pose :

− → Ω = − → ω

^′

− − → ω

_o

A la résonance :

− → Ω = − → 0 ⇒ − → ω

^′

= − → ω

_o

= − γB

_o

~ u

_z

= ω

^′

~ u

_z

(ω

^′

< 0)

C’est, donc, la composante

− → B

⁻₂ qui permet d’atteidre cette résonance

= ⇒ − → B

₂

(t) = − → B

⁻₂ Le vecteur rotation instantané de cette composante est

− → ω

^′−

= − ω

^′

~ u

_z

2.3.4.3. ! ! ! ! ! !

2 . 4

.

Détection de la réponse du milieu

2 . 4 . 1

.

La bobine étant d’axe

Oy

, les champs

− → B

_oet

− → B

₁ sont, respectivement, suivants

Oz

et

Ox

; donc les flux de ces champs à travers la bobine détectrice sont nuls : la présences de ces champs ne perturbent, donc, pas la détection.

2 . 4 . 2

.

Force électromotrice

e(t)

induite dans la bobine détectrice

−

→ B = K − M → ⇒ Φ = N − → B · S~ u

_y

= N SK − M → · ~ u

_y

= N SKM

_y

soit :

e(t) = − dΦ

dt = − N SK dM

_y

dt

avec :

M

_y

= − M → · ~ u

_y

= M

_o

(u(~ u

_X

· ~ u

_y

) + v(~ u

_Y

· ~ u

_y

)) = M

_o

− u sin(ω

^′

t) + v cos(ω

^′

t)

O ω

^′

t ~ u

_x

~ u

_y

~ u

_X

~ u

_Y

~

u

_Z

(9)

ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP soit :

e(t) = N SKω

^′

M

_o

u cos(ω

^′

t) + v sin(ω

^′

t)

ou :

e(t) = V

₀

cos(ω

^′

t) + V

^π

2

cos(ω

^′

t) tels que :



 

 

V

₀

= N KSM

_o

ω

^′

u V

^π

2

= N KSM

_o

ω

^′

v 2 . 4

. 3

.

On pourra représenter la fonction

η(ω

^′

)

, définie par :

η = V

₀

V

^π

2

= u

v = Ωτ =

− ω

^′

+ γB

_o

τ

η(ω

^′

)

est une droite de pente

− τ

, d’où la détermination de cette dernière..

Troisième partie

Détection synchrone du signal

3 . 1

.

Schéma de principe d’un détecteur synchrone

3 . 1 . 1

.

La constante

K

₀ est homogène à une tension.

3 . 1 . 2

.

Expression de

v

_{M U L}

(t) v

_{M U L}

(t) = 1

K

₀

x

₁

(t)x

₂

(t)

= 1

K

₀

v

_DEP

(t)e(t)

= V

K

₀

cos(ω

^′

t + ∆ϕ)



V

₀

cos ω

^′

t + V π 2

sin ω

^′

t





v

_{M U L}

(t) = V

K

₀

cos(ω

^′

t + ∆ϕ)

V

₀

cos ω

^′

t + V

^π

2

sin ω

^′

t 3 . 1

. 3 .

v

_{M U L}

(t) = V 2K

₀



  V

₀

cos ∆ϕ − V

^π

2

sin ∆ϕ

| {z }

Composantes continues

+ V

₀

cos 2ω

^′

t + ∆ϕ + V

^π

2

sin 2ω

^′

t + ∆ϕ

| {z }

Composantes variables



 

O

ω 2ω

^′

a

₀

a

Amplitude

ω

_c

(10)

3 . 1 . 4

.

La fréquence de coupure

ω

_cdu filtre est très inférieur à

ω

^′ : les composantes variables de fréquences

2ω

^′ sont, donc, atténuées et le filtre (d’amplification

A

) ne laisse passer que les composantes continues. Soit :

v

_{F P B}

(t) = V 2K

₀

A

V

₀

cos ∆ϕ − V

^π

2

sin ∆ϕ 3 . 1

. 5

.

D’après l’expression précédente, on peut remarquer facilement que :

v

_{F P B}

(t) =

V A 2K

₀

V

₀ pour

∆φ = 0

et

v

_{F P B}

(t) = − V A

2K

₀

V

^π

2 pour

∆φ = π

2

Ce qui nous permet d’étudier séparément les termes :

V

₀ et

V

^π

2

3 . 2

.

Étude du circuit déphaseur

3 . 2 . 1

.

Fonction de transfert

Le théorème de Millmann (Loi des noeuds aux termes du potentiel) donne :

2 r v

⁻

= v

_REF

r + v

_DEP

r

^et

v

⁺

1 R + 1 Z

_C

= v

_REF

R

Soit :

H(jω

^′

) = v

_DEP

v

_REF

= 1 − jRCω

^′

1 + jRCω

^′

3 . 2

. 2

.

Amplification

H(ω

^′

)

et déphasage

∆φ

H(ω

^′

) = | H(jω

^′

) | = 1

et

∆φ = arg H(jω

^′

) = − 2 arctan(RCω

^′

)

3 . 2 . 3

.

Diagramme de Bode

O

20 log

₁₀

H(ω

^′

)

log ω

^′

O

∆φ(ω

^′

)

log ω

_o

log ω

^′

−

^π₂

− π 3 . 2

. 4

. ^v

F P B

(t) = V

_M

cos ω

^′

t

et la fréquence

f

^′

= 10 kHz

Le déphasage

∆φ = − π

2

^pour

RCω

^′

= 1

avec

ω

^′

= 2πf

^′

Soit :

R = 1

2πf

^′

C = 1, 6 kΩ 3 . 2

. 5

.

pour prélever la tension

v

_REF

(t)

en phase avec le champ

− → B

₂ , il suffit d’avoir le déphasage

∆φ

nul. Ce qui est réalisable pratiquement en prenant une résistance

R

nulle : ce qui revient à remplacer le circuitdéphaseur par un suiveur !