ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP Corrigé proposé par:
M. Afekir - École Royale de l’Air CPGE Marrakech
cpgeafek@yahoo.fr
Résonance magnétique nucléaire - RMN -
Première partie
Champ magnétique tournant
1 . 1
.
Solénoïde(S
1)
, infiniment long, comportantn
spires circulaires, jointives, par unité de longueur.1 . 1 . 1
.
Solénoïde(S
1)
= superposition den
spires circulaires jointives par unité de longueur, on utilisera donc l’expression du champ crée par une spire sur son axe.OM = x
. Par superpo- sition, le champ− → B (M )
crée en un pointM
de l’axeO
1x
est la somme vectorielle des champs produits par chacune des spires (de rayonsa
) parcourues par le même courantI
1.P
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊗ ⊗
⊗
⊗ ⊗
⊗
⊗
⊗
x
x
X
dX
O
1M
I
1I
1α
a − → u
xLe champ magnétique crée par une spire en tout point
M
de son axe :~b (M ) = µ
oI
12a sin
3α ~ u
x Le champ magnétique élémentaire crée par une tranche d’épaisseurdX
vaut , enM
:d − → B (M) = µ
oI
12a dn sin
3α~ u
xdn
désigne le nombre de spires contenues dans la tranchedX
:dn = n dX
avecX = x + a cotanα ⇒ dn = − na dα sin
2α
Donc :− → B (M ) = − µ
oI
12 n Z
π0
sin α dα ~ u
x⇒ − → B (M ) = µ
onI
1~ u
x1 . 1
. 2
.
SymétrieTout plan contenant
Ox
est un plan d’antisymétrie pour la distribution du courant, le pseudo- vecteur− → B
appartient à un plan d’antisymétrie.− → B
, en tout pointM
deOx
, est donc porté parOx
.−
→ B (M) = B(M )~ u
xConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP
1 . 1 . 3
.
Invariance (coordonnées cylindriques )⋄
On a invariance de la distribution par rotation autour deOx
. donc− → B (M)
est indépendant deθ
:−
→ B (M) = − → B (r, θ, x) = − → B (r, x)
⋄
On a invariance de la distribution le long de l’axeOx
. donc− → B (M )
est indépendant dex
:−
→ B (M ) = − → B (r, x) = − → B (r)
D’où : le champ magnétique
− → B (M)
en un pointM
de l’axeOx
du solénoïde ne dépend que de la coordonnée radiales du système de coordonnées cylindriques.−
→ B (M ) = B (r)~ u
x1 . 1 . 4
.
Théorème d’Ampère⋄
Symétrie et invariance :− → B (M ) = B (r)~ u
x⋄
Choix du contour : On choisit un contour rectangulaire( d’un cotér = 0
où− → B (M )
connu, et l’autre à une distancer
où− → B (M )
est à déterminer ).∆x
∆x
Γ
1Γ
2x
M M
I
1I
1I
1a
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊙ ⊙ ⊙ ⊙
⊗ ⊗
⊗
⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗
(S
1)
Théorème d’Ampère : Soit
M ∈ Γ
i tel queB
1(M ) = µ
onI
1 D’où :I
(Γi)
−
→ B (M ).d~l
=µ
oI
enlacee par le contour(Γi)
r < a : I
(Γ1)
−
→ B (M ) = B
1∆x − B
int∆x = µ
oI
enlacees= 0 ⇒ B
int= B
1r > a : I
(Γ2)
−
→ B (M ) = B
1∆x − B
ext∆x = µ
oI
enlacees= µ
onI
1⇒ B
ext= 0
Conclusion :
A l’inté rieur de
(S
1) : − → B
int= − → B
1(M) = µ
onI
1~ u
x A l’exté rieur de(S
1) : − → B
ext= − → 0
1 . 1 . 5
.
Coefficient d’inductance propre de(S
1)
Le champ magnétique− → B
1(M )
est uniforme à l’intérieur du solénoïde(S
1)
. Le flux de ce champ à travers la section(S)
de(S
1)
:Φ
1= − → B
1. − → S = µ
onI
1πa
2= ΛI
1= ⇒ Λ = µ
onπa
21 . 2
.
Solénoïdes croisésConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP
1 . 2 . 1
. i
1(t) = I
1√
2 cos(ωt − π 4 + ϕ
1)
En notation complexe :
u(t) = Ri
1(t) + L di
1(t)
dt + q(t) C =
R + j
Lω − 1 Cω
i
1(t) i
1(t) = I
1√
2
expj ωt − π
4 + ϕ
1et
u(t) = U √
2 exp j ωt − π
4
⇒ I
1= U
s R
2+
Lω − 1 Cω
2 ettan ( − ϕ
1) =
Lω − 1 Cω R
1 . 2 . 2
. i
2(t) = I
2√
2 cos(ωt − π 4 + ϕ
2)
En notation complexe :
u(t) = Ri
2(t) + L di
2(t)
dt = (R + jLω) i
2(t) i
1(t) = I
2√
2
expj ωt − π
4 + ϕ
2et
u(t) = U √
2
expj ωt − π
4
⇒ I
2= U
√ R
2+ L
2ω
2 ettan ( − ϕ
2) = Lω R 1 . 2
. 3
.
cas oùϕ
2= − ϕ
1Lω − 1 Cω
= − Lω
ou2LCω
2= 1 1 . 2
. 4
. ϕ
2− ϕ
1= − π 2
⇒ tan (ϕ
2) tan (ϕ
1) = − 1
ouL
2ω
2− L
C = − R
21 . 2
. 5
.
Dans les conditions 1.
2.
3.
et 1.
2.
4.
:Lω = R
soit :I
2= Lω
R I
1= I
1= U R √
2 1 . 2
. 6
.
Dans le cadre de l’ARQP(Approximation des Régimes Quasi-Permanents : le courant déplacement est négligeable devant le courant de conduction ), les équations de Maxwell-Flux et Maxwell-Ampère s’écrivent :−→ rot − → B = µ
o− → j (M A)
etdiv − → B = 0 (M F )
On retrouve, ainsi, la forme des équations de maxwell (MA et MF) en régime magnétostatique ; par conséquent les résultats utilisés en 1
.
1.
restent valables dans le cadre de l’ARQP.1.2.6.1. Théorème de superposition pour le champ magnétique
− → B
Le champ résultant
− → B = − → B
1+ − → B
2 avec− → B
i:
champ crée, enO
par le solénoïdeS
i D’après ce qui précède :−
→ B = µ
oni
1(t) − → u
x+ µ
oni
2(t) − → u
y= µ
on U
R (cos(ωt) − → u
x+ cos(ωt − φ
1+ φ
2) − → u
y)
φ
1− φ
2= π
2
Soit :−
→ B = µ
on U
R [cos(ωt) − → u
x+ sin(ωt) − → u
y]
ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 1.2.6.2.
Il s’agit du champ magnétique de module constant
B
tournant, à la vitesse angulaireω
, dans le plan(xOy)
et dans le sens trigonométrique.B = µ
on U R
O
ωt x
y
−
→ B
1.2.6.3. Applications numériques :
I
1= I
2= 7mA ; C = 400nF ; L = 0, 32mH
etB = 1, 25.10
−5T 1 . 2
. 7
.
Le rôle du condensateur est d’introduire le déphasage entres les courants d’intensi- tési
1(t)
eti
2(t)
.1 . 2 . 8
.
Pour inverser le sens de rotation du champ magnétique− → B
total, on doit brancher le condensateur en série avec le solénoïdeS
2, l’expression de− → B
et telle que :−
→ B = µ
on U R
cos(ωt − π
2 ) − → u
x+ cos(ωt) − → u
y= µ
on U
R (sin(ωt) − → u
x+ cos(ωt) − → u
y)
Deuxième partie
Théorie élémentaire de la RMN
2 . 1 .
− →
B
o= B
o− → u
z(B
o> 0
)2 . 1 . 1
.
Théorème du moment cinétique appliqué dans le référentielR d~ σ
dt
R
= − M → ⇒ 1 γ
d ~ m
dt = m ~ ∧ − → B
o oud ~ m
dt = γ ~ m ∧ − → B
o2 . 1
. 2
.
D’après l’équation précédente : Projection suivantm ~ : m. ~ d ~ m
dt = 0 = 1 2
d k m ~ k
dt ⇒ k m ~ k
est constante Projection suivant~ u
z: ~ u
zd ~ m
dt = 0 = dm
zdt ⇒ m
z est constante2 . 1 . 3
.
Soitα
, l’angle entrem ~
et− → B
o:~
m. − → B
o= m
zB
o= k m ~ k B
ocos α ⇒ cos α = m
zk m ~ k ⇒ α
est constant2 . 1 . 4
.
Par projection, dans la base(~ u
x, ~ u
y, ~ u
z)
, de l’équation établie en 2.
1.
1.
, on a :
dm
xdt dm
ydt dm
zdt
= γ
m
xm
ym
z
∧
0 0 B
o
= γB
o
m
y− m
x0
ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP Soit le système d’é quations différentielles :
dm
xdt − γB
om
y= 0 dm
ydt + γB
om
y= 0 dm
zdt = 0
On pose :
m = m
x+ jm
y⇒ dm
dt + jγB
om = 0
Solution : m = m
oexp jγB
o d’où :
m
x(t) = m
ocos (γB
ot)
etm
y(t) = − m
osin (γB
ot) 2 . 1
. 5
.
Précession de Larmor~
m = m
o(cos (γB
ot) ~ u
x+ sin (γB
ot) ~ u
y) + m
z~ u
zD’où mouvement de précission autour de
Oz (
ou dans le plan) (xOy)
à la pulsation:
~
ω
o= − γB
o~ u
z= − γ − → B
o tel que :| ~ ω
o| = γB
o2 . 1
. 6
.
Application numériqueω
o= − 2, 7 × 10
8s
−1 etf
o= | ω
o|
2π = 0, 43.10
8Hz
Cette fréquencef
o se situe dans le domaine Hertzien.2 . 2 .
−
→ B
tot= − → B
o~ u
z+ − → B
1~ u
X tel que :0 < B
1<< B
o2 . 2
. 1
.
En appliquant le résultat de la question 2.
1.
1. d ~ m
dt
R
= γ ~ m ∧ (B
o~ u
z+ B
1~ u
X) = − m ~ ∧ (ω
o~ u
z+ ω
1~ u
X) = − m ~ ∧ (~ ω
o+ ~ ω
1)
Soit
d ~ m dt
R
= − m ~ ∧ (~ ω
o+ ~ ω
1) 2 . 2
. 2
. R
1 est en rotation par rapport àR
. En appliquant le résultat de la dérivée d’un vecteur par rapport au temps dans un changement de référentiels :d ~ m dt
R
= d ~ m
dt
R1
+ − →
Ω
R/R1∧ m ~ = − m ~ ∧ (~ ω
o+ ~ ω
1) ⇒
d ~ m dt
R1
= m ~ ∧ (~ ω − ~ ω
o− ~ ω
1)
Soit
d ~ m dt
R1
= m ~ ∧ − → Ω − ~ ω
12 . 2 . 3
.
Le moment magnétiquem ~
effectue, dansR
1, un mouvement de précession autour de~
u
à lapulsation− → Ω
1= − → ω
1− − → Ω
(vecteur rotation instantané autour de~ u
) tel que :~ u
est colinéaire à− →
Ω
1.Projection suivant
Oz
:
−
→ Ω
1.~ u
z= − → Ω
1cos θ
−
→ Ω
1.~ u
z= (~ ω
1− ~ ω + ~ ω
o) .~ u
z= ω
o− ω
− → Ω
1=
q
ω
21+ (ω − ω
o)
2= q
γ
2B
12+ (ω − ω
o)
2⇒ cos θ = ω
o− ω q
γ
2B
21+ (ω − ω
o)
2ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP
2 . 2 . 4
.
Le mouvement de− → Ω
1= − → ω
1− − → Ω
relativement àR
, est celui du repèreR
1 par rapport àR
(car− → Ω
1 est un vecteur deR
1 ) :− → Ω
1 est, donc, animé par rapport àR
d’un mouvement de rotation uniforme autour de l’axeOz
, à la vitesse angulaire~ ω = ω ~ u
z.Le mouvement du moment magnétique
m ~
dansR
est, donc, uneprécession et une rotation.2 . 2 . 5
.
On pose :m ~
z= m
z~ u
z 2.2.5.1.− → Ω = − → 0
. D’après 2.
2.
2.
d ~ m dt
R1
= − m ~ ∧ ω ~
1= ~ ω
1∧ m ~
La composante
m ~
z subit un premier retournement au bout d’un temps∆t
telle que :∆t = T
12 = π
| ω
1| = π γB
1 2.2.5.2. Application numérique :∆t = 11, 6 ms
2 . 3
.
Prise en compte de la relaxation2 . 3 . 1
.
Relaxation d’un moment magnétiqued − M →
dt
!
relaxation
= −
− →
M − − M →
oτ
2.3.1.1.
τ
est homogène à un temps. Son unité dans le (SI) est laseconde.2.3.1.2. Résolution de l’équation différentielle
De l’équation :
d − M → dt
!
relaxation
+
− → M
τ =
− → M
oτ
, on en déduit que :− M → (t) = − M →
o+ − → C
exp -t τ
Compte tenu des considération expérimentale citée :
− →
M (t
o) = 0
−
→ C = − − M →
oexpt
oτ
Soit :− M → (t) = − M →
o1 −
exp− t − t
oτ
;
d’où le ré sultat !2 . 3 . 2
.
Équations de Bloch2.3.2.1. En utilisant les questions2.2.2et2.3.1, ainsi que l’hypothèse admise en2.3:
d − M →
dt
!
R1
= − M → ∧ − → Ω − ~ ω
1+ d − M → dt
!
relaxation
= − M → ∧ − → Ω − ~ ω
1−
− → M
τ +
− → M
oτ
Soit l’équation :
d − M → dt
!
R1
+
− → M
τ − − M → ∧ (Ω~ u
z− ω
1~ u
X) = M
oτ ~ u
zConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 2.3.2.2. Équations de Bloch
− →
M
(~uX,~uY,~uz)
M
XM
YM
z
⇒ − M → ∧ (Ω~ u
z− ω
1~ u
X) =
ΩM
Y− ω
1M
z− ΩM
XM
Yω
1
⇒
dM
Xdt = ΩM
Y− M
Xτ = M
oΩv − u τ
dM
Ydt = − ω
1M
z− ΩM
X− M
Yτ = − ω
1M
z− M
oΩu + v τ
dM
zdt = M
Yω
1− M
zτ + M
oτ = − M
zτ + M
oω
1v + 1 τ
D’où les équations de bloch :
du
dt + u
τ = Ωv dv
dt + v
τ = − ω
1M
zM
o− Ωu dM
zdt + M
zτ = M
oω
1v + 1 τ
2 . 3 . 3
.
Régime permanent dans le référentielR1 2.3.3.1.En ré gime permanent :
u
τ = Ωv (1)
v = − τ
ω
1M
zM
o+ Ωu
(2) M
zM
o= τ
ω
1v + 1 τ
(3)
⋄ (1)
et(3)
dans(2)
donne :v M
o+ Ω
2τ
2+ ω
21τ
2= − τ ω
1(4)
⋄ (4)
dans(1)
donne :u M
o+ Ω
2τ
2+ ω
21τ
2= − τ
2Ωω
1⋄ (4)
dans(3)
donne :(M
z− M
o) M
o+ Ω
2τ
2+ ω
21τ
2= − M
oτ
2ω
21Soient :
u = − τ
2ω
1Ω
1 + (τ ω
1)
2+ (τ Ω)
2v = − τ ω
11 + (τ ω
1)
2+ (τ Ω)
2M
z= M
o− M
o(τ ω
1)
21 + (τ ω
1)
2+ (τ Ω)
2(7)
2.3.3.2. Allures des courbes
u(Ω)
etv(Ω)
O
Ω u(Ω)
−
2√
τ ω11+τ2ω12
√
1+τ2ω21−
τ√
1+τ2ω12 τO
Ω
−
1+ττ ω21ω21v(Ω)
√
1+τ2ω21−
τ√
1+τ2ω12 τ−
2(1+ττ ω12ω12)ConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP 2.3.3.3. Largeur à mi-hauteur
∆Ω
de la courbev(Ω)
:v(Ω) = v
max2 ⇐⇒ − τ ω
11 + (τ ω
1)
2+ (τ Ω)
2= − τ ω
12
1 + (τ ω
1)
2= ⇒ Ω
12= ± r
ω
21+ 1 τ
2soit :
∆Ω = 2 r
ω
21+ 1 τ
22 . 3
. 4
.
Dans la pratique , le champ− → B
1 est remplacé par− → B
2= 2B
1cos(ω
′t)~ u
x(ω
′> 0)
. 2.3.4.1. Décomposition du champ− → B
2−
→ B
2= B
1cos(ω
′t)~ u
x+ B
1cos(ω
′t)~ u
x= B
1cos(ω
′t)~ u
x+ B
1cos(ω
′t)~ u
x+ B
1sin(ω
′t)~ u
y− B
1sin(ω
′t)~ u
yOn pose :
−
→ B
+2= B
1cos(ω
′t)~ u
x+ sin(ω
′t)~ u
yet
− → B
−2= B
1cos(ω
′t)~ u
x− sin(ω
′t)~ u
ySoit :
− → B = − → B
+2+ − → B
−2 2.3.4.2. On pose :− → Ω = − → ω
′− − → ω
oA la résonance :
− → Ω = − → 0 ⇒ − → ω
′= − → ω
o= − γB
o~ u
z= ω
′~ u
z(ω
′< 0)
C’est, donc, la composante− → B
−2 qui permet d’atteidre cette résonance= ⇒ − → B
2(t) = − → B
−2 Le vecteur rotation instantané de cette composante est− → ω
′−= − ω
′~ u
z2.3.4.3. ! ! ! ! ! !
2 . 4
.
Détection de la réponse du milieu2 . 4 . 1
.
La bobine étant d’axeOy
, les champs− → B
oet− → B
1 sont, respectivement, suivantsOz
etOx
; donc les flux de ces champs à travers la bobine détectrice sont nuls : la présences de ces champs ne perturbent, donc, pas la détection.2 . 4 . 2
.
Force électromotricee(t)
induite dans la bobine détectrice−
→ B = K − M → ⇒ Φ = N − → B · S~ u
y= N SK − M → · ~ u
y= N SKM
ysoit :
e(t) = − dΦ
dt = − N SK dM
ydt
avec :M
y= − M → · ~ u
y= M
o(u(~ u
X· ~ u
y) + v(~ u
Y· ~ u
y)) = M
o− u sin(ω
′t) + v cos(ω
′t)
O ω
′t ~ u
x~ u
y~ u
X~ u
Y~
u
ZConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP soit :
e(t) = N SKω
′M
ou cos(ω
′t) + v sin(ω
′t)
ou :
e(t) = V
0cos(ω
′t) + V
π2
cos(ω
′t) tels que :
V
0= N KSM
oω
′u V
π2
= N KSM
oω
′v 2 . 4
. 3
.
On pourra représenter la fonctionη(ω
′)
, définie par :η = V
0V
π2
= u
v = Ωτ =
− ω
′+ γB
oτ
η(ω
′)
est une droite de pente− τ
, d’où la détermination de cette dernière..Troisième partie
Détection synchrone du signal
3 . 1
.
Schéma de principe d’un détecteur synchrone3 . 1 . 1
.
La constanteK
0 est homogène à une tension.3 . 1 . 2
.
Expression dev
M U L(t) v
M U L(t) = 1
K
0x
1(t)x
2(t)
= 1
K
0v
DEP(t)e(t)
= V
K
0cos(ω
′t + ∆ϕ)
V
0cos ω
′t + V π 2
sin ω
′t
v
M U L(t) = V
K
0cos(ω
′t + ∆ϕ)
V
0cos ω
′t + V
π2
sin ω
′t 3 . 1
. 3 .
v
M U L(t) = V 2K
0
V
0cos ∆ϕ − V
π2
sin ∆ϕ
| {z }
Composantes continues
+ V
0cos 2ω
′t + ∆ϕ + V
π2
sin 2ω
′t + ∆ϕ
| {z }
Composantes variables
O
ω 2ω
′a
0a
Amplitudeω
cConcoursNationalCommun—PHYSIQUEI—Filière:MP
3 . 1 . 4
.
La fréquence de coupureω
cdu filtre est très inférieur àω
′ : les composantes variables de fréquences2ω
′ sont, donc, atténuées et le filtre (d’amplificationA
) ne laisse passer que les composantes continues. Soit :v
F P B(t) = V 2K
0A
V
0cos ∆ϕ − V
π2
sin ∆ϕ 3 . 1
. 5
.
D’après l’expression précédente, on peut remarquer facilement que :v
F P B(t) =
V A 2K
0V
0 pour∆φ = 0
etv
F P B(t) = − V A
2K
0V
π2 pour
∆φ = π
2
Ce qui nous permet d’étudier séparément les termes :
V
0 etV
π2
3 . 2
.
Étude du circuit déphaseur3 . 2 . 1
.
Fonction de transfertLe théorème de Millmann (Loi des noeuds aux termes du potentiel) donne :
2
r v
−= v
REFr + v
DEPr
etv
+1
R + 1 Z
C= v
REFR
Soit :H(jω
′) = v
DEPv
REF= 1 − jRCω
′1 + jRCω
′3 . 2
. 2
.
AmplificationH(ω
′)
et déphasage∆φ
H(ω
′) = | H(jω
′) | = 1
et∆φ = arg H(jω
′) = − 2 arctan(RCω
′)
3 . 2 . 3
.
Diagramme de BodeO
20 log
10H(ω
′)
log ω
′O
∆φ(ω
′)
log ω
olog ω
′−
π2− π 3 . 2
. 4
. v
F P B(t) = V
Mcos ω
′t
et la fréquencef
′= 10 kHz
Le déphasage∆φ = − π
2
pourRCω
′= 1
avecω
′= 2πf
′Soit :