Exercice Spires dans un champ magnétique attachées à un ressort

Electromagnétisme : induction(PC*)

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Exercice Spires dans un champ magnétique attachées à un ressort

On considère une bobine de masse m constituée de N spires carrées de côté a et attachée à un ressort vertical suivant − u → z , de longueur à vide l 0 et de constante de raideur k . L'ensemble représente une résistance R et on négligera l'autoinduction. On notera − u → x la direction de la normale sortante de la spire.

1. Déterminez la position d'équilibre de la bobine. On prendra la position du centre de la bobine comme référence pour xer z = 0 . On suppose dans la suite qu'un champ uniforme −B ₀ − u → _x règne dans le demi espace z > 0 et que − →

B = 0 dans le demi plan z < 0 .

On déplace la bobine de sa position d'équilibre d'une distance L ₀ < ^a ₂ et à la lache avec une vitesse initiale nulle.

2. Etablir l'équation électrique du système.

3. Etablir l'équation mécanique du système.

4. En déduire l'existence de diérents modes d'évolution du système en fonction B ₀ . On distinguera 3 cas : B ₀ < B _c , B ₀ > B _c et B ₀ = B _c . Résoudre explicitement l'équation du mouvement pour B ₀ = ^{√ B}

^c

2 .

5. Déterminez le bilan énergétique du système.

6. Expliquez qualitativement ce qui change lorsqu'on prend en compte l'autoinductance du circuit.

Solution

Commencer par faire un dessin, ORIENTER le dessin

1. Position d'équilibre : 0 = mg − k(z eq − l 0 ) donc z eq = l 0 + ^mg _k . (Vérier le signe de la force de rappel en faisant tendre z vers ±∞ )

2. φ = −N B 0 az donc e = N B 0 a z ˙ = Ri (Attention de bien multiplier par le nombre de spires !)

3. PFD à la spire dans R labo galiléen : ¸ m¨ z = −k(z − l ₀ ) − N aIB ₀ + mg en calculant la force de laplace i − →

dl ∧ − →

B = −N aIB 0 − u → z . Avec le changement de variable Z = z − z eq , on obtient m Z ¨ = −kZ − N aIB 0

(astuce systématique avec les ressorts pour retirer les termes constants dans l'équa di) 4. on a donc ¨ z + ^N

²

_mR ^a

²

^B

²⁰

z ˙ + _m ^k z = 0

∆ = _N

2

a

²

B

₀²

mR

²

− 4ω ₀ ² . On pose B c tel que ∆(B c ) = 0 : B c =

q 2ω

0

mR

N

²

a

²

. On a donc ∆ = 4ω ² _{0 B}

4 0

B

_c⁴

− 1 et on a donc un régime non oscillant pour B ₀ > Bc , critique pour B ₀ = B _c et oscillant pour B ₀ < B _c .

• Pour B 0 = ^{√ B}

^c

2 =

q ω

0

mR N

²

a

²

,

∆ = −3ω ₀ ² et z = e ⁻

^ω20

^t

Acos ^√

3 2 ω ₀ t

+ Bsin ^√

3 2 ω ₀ t

= L ₀ e ⁻

^ω20

^t cos ^√

3 2 ω ₀ t

+ ^{√ 1}

3 sin ^√

3 2 ω ₀ t car A = L 0 et − ^ω ₂

⁰

A +

√ 3 2 B = 0 5. m¨ z = −kz − N aIB ₀ → _dt ^{d 1} ₂ mv ²

= − _dt ^{d 1} ₂ kz ²

− N aB ₀ iv en multipliant par z ˙ N B ₀ a z ˙ = Ri → N B ₀ a zi ˙ = Ri ² en multipliant par i

d'où _dt ^{d 1} ₂ mv ²

+ _dt ^{d 1} ₂ kz ²

= −Ri ²

6. φ = −N B 0 az + Li donc e = N B 0 a z ˙ − L ^di _dt = Ri

m¨ z = −kz − N aiB 0 donc N B 0 a¨ z = L ^d _dt

²2

ⁱ + R ^di _dt = −k z ˙ − N a _dt ^di B 0 = − _{N B} ^k

0

a Ri + L ^di _dt

− N a ^di _dt B 0 ie L ^d _dt

²₂

ⁱ +

R + N aB ₀ + _{N B} ^kL

0

a

di dt + _{N B} ^kR

0

a i = 0

1

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Exercice Canon Gauss

On considère le montage ci contre : deux rails parallèles de longueur D sont séparés d'une dis- tance l et reliés par un mobile de masse M . On repère la position du mobile par son abscisse x et on note R(x) = R ⁰ x et L(x) = L ⁰ x la résistance et l'inductance que représentent ce dispositif.

Initialement, le mobile est au repos en x = 0 , l'interrupteur est fermé et l'alimentation est gérée par un générateur idéal de tension relié à une bobine d'inductance L ₀ et à une résistance R ₀ . Lorsque le régime stationnaire est atteint, on ouvre l'interrupteur.

1. Décrivez qualitativement le comportement de l'intensité dans le circuit, jusitiez le rôle de la bobine et expliquez le fonctionnement du dispositif.

2. Donnez l'équation électrique du circuit.

3. On admet que la force subie par le mobile s'exprime sous la forme − →

F = ¹ ₂ L ⁰ I ² − u → x . Etablir l'équation mécanique et donnez l'ensemble des conditions initiales.

4. Etablir et interprêtez l'équation

1

2 L 0 I ₀ ² − ¹ ₂ L 0 I ² (t) = ¹ ₂ M x ˙ ² + ¹ ₂ L ⁰ x(t)I ² (t) + ´ t

0 dt ⁰ ((R 0 + R ⁰ x(t ⁰ )) I ² (t ⁰ )

5. On suppose que l'inductance L ₀ est très grand devant les autres paramètres du problème. Justiez l'approximation I(t) = I ₀ . En déduire le temps d'expulsion du projectile et sa vitesse de sortie pour M = 3 10 ⁻³ kg , D = 3m , L ⁰ = 4 10 ⁻⁷ H m ⁻¹ , e = 3 10 ³ , R ₀ = 10 ⁻² Ω

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2 Daniel Suchet - 2012

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Question de cours

On considère une spire de rayon a placée à une distance d d'un moment magnétique − →

M = M − u → _z . Déterminez le ux magnétique du dipole au travers de la spire.

Exercice Moment cinétique du champ magnétique

On considère une coquille sphérique isolante de rayon a ₀ , de masse m et de moment d'inertie I , unifor- mément chargée en surface avec une densité σ . Un moment magnétique − →

M = M − u → _z est placé au centre de la coquille. On fais passer progressivement le dipole de sa valeur initiale à 0 .

1. Justiez l'apparition d'un champ électrique en tout point de la coquille. On admettra que ce champ est de la forme − →

E = E(θ) − u → _ϕ .

2. On repère un point M = (a 0 , θ, ϕ) sur la coquille. Calculez le champ électrique induit au point M . 3. En déduire la force appliquée sur l'élement de surface compris entre θ, ϕ et θ +dθ, ϕ+dϕ . Expliquez

pourquoi le moment δ − →

Γ de la force appliquée sur l'ensemble de la bande comprise entre θ et θ + dθ est suivant − u → z . Déterminez son expression. En déduire l'expression du moment de la force totale exercée par le dipole sur la coquille.

4. En déduire la vitesse angulaire de la coquille lorsque le moment dipolaire est complètement annulé.

Commentez le résultat obtenu.

Solution

Le champ électrique au point M est créé par la variation du moment dipolaire. Considérons une spire d'axe

− →

u _z contenant M . Le ux du dipole au travers de cette spire vaut φ(θ) = _2a ^µ

⁰

^M

0

sinθ sin ³ θ = ^µ _2a

⁰

^M

0

sin ² θ et ¸ − → E . − →

dl = 2πa 0 sinθE(θ) = − _2a ^µ

⁰

0

sin ² θ ^dM _dt donc − →

E (θ) = − _4πa ^µ

⁰2 0

sinθ ^dM _dt − u → ϕ .

La force exercée sur l'élement de surface compris entre θ, ϕ et θ +dθ, ϕ +dϕ vaut d − → F = dq − →

E (θ) = σdS − → E (θ) = σa ² ₀ sinθdθdϕE(θ) − u → ϕ . Le moment de cette force vaut δ ² − →

Γ = −−→

OM ∧ d − →

F . Par symétrie, on sait que δ − →

´ ϕ=2π Γ =

ϕ=0 δ ² − →

Γ est suivant − → u z . On calcul donc δ ² Γ = δ ² − →

Γ . − → u z = −−→

OM ∧ d − → F

. − u → z =

−

→ u z ∧ −−→

OM .d − →

F et avec

−−→ OM = a ₀ cosθ − u → _z + a ₀ sinθ − u → _ρ , δ ² Γ = σa ² ₀ sinθdθdϕE(θ)a ₀ sinθ ( − → u _z ∧ − → u _ρ ) . − u → _ϕ = σa ³ ₀ sin ² θdθdϕE(θ) soit δ ² Γ =

− ^µ _4π

⁰

^dM _dt σa 0 sin ³ θdθdϕ et en intégrant sur ϕ , δΓ = − ^µ

⁰

^σa ₂

⁰

^dM _dt sin ³ θdθ . On a enn Γ = ´ θ=π

θ=0 δΓ = ^µ

⁰

^σa ₂

⁰

^dM _dt ´ θ=π

θ=0 sin ² θd (cosθ) =

µ

0

σa

0

2 dM

dt

´ cosθ=−1

cosθ=1 1 − cos ² θ

d (cosθ)

= ^µ

⁰

^σa ₂

⁰

^dM _dt h

X − ^X ₃

³

i −1 1

= ^µ

⁰

^σa ₂

⁰

^dM _dt −1 + ¹ ₃ − 1 + ¹ ₃

= − ^µ

⁰

^σa ₂

⁰

^dM _dt ⁴ ₃ = − ^2µ

⁰

₃ ^σa

⁰

^dM _dt . Enn, Γ = I ^dω _dt ⇒ ω F = − ^2µ

⁰

_3I ^σa

⁰

(0 − M 0 ) = ^µ

⁰

_ma ^σM

2⁰

0

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Question de cours

On considère une spire de rayon a placée à une distance d d'un moment magnétique − →

M = M− u → z . Déterminez le ux magnétique du dipole au travers de la spire.

Exercice Chute d'un aimant dans un tube métallique

On lache un aimant de masse m doté d'un moment dipolaire − →

M dans un tube de rayon a , d'épaisseur e et de hauteur h . On note γ la conductivité électrique du tube.

1. On repère un point P du tube par l'angle polaire α . Déterminez la densité volumique de courant

−

→ j (P, t) et le champ électrique − →

E (P, t) en fonction de la vitesse v(t) de l'aimant à l'instant t et de l'angle α .

Solution

Symétries : − →

E k − u → θ et − → j k − → u θ .

Champ aimant spire : φ M→S = ^µ _2a

⁰

^M sin ³ α , donc ^dφ

^M→S

_dt = ^3µ _2a

⁰

^M sin ² αcosα ^dα _dt . Or _tanα ¹ = ^z

^P

^−z _a

^M

donc

d dt

1

tanα = − _sin ¹

2

α dα

dt = − ¹ _a ^dz _dt

^M

= − ^v _a et on en déduit ^dφ

^M→S

_dt = ^3µ _2a

⁰

^M

2

sin ⁴ αcosαv . Or − ^dφ _dt = ¸ − → E . − →

dl = 2πaE donc − →

E (P, t) = − ^3µ _4πa

⁰

^M

3

sin ⁴ αcosαv − u → θ . Et comme − → j = γ − →

E = − ^3µ _4πa

⁰

^γM

3

sin ⁴ αcosαv − u → θ

3 Daniel Suchet - 2012

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Exercice Lévitation magnétique d'une spire

On considère une petite spire de masse m , de rayon b , de résistance nulle et d'autoinductance L , à une hauteur z au dessus d'un solénoïde de longueur H constitué de spires de rayon a b à raison de n spires par unité de longueur. Initiallement, la spire est à l'inni suivant − → u _z et n'est parcourue par aucun courant.

1. Le solénoïde est alimenté par une intensité constante I 0 . Déterminez le champ − →

B 0 (z) = I 0 β (z) en tout point de son axe.

2. Montrez qu'à une distance r de l'axe − → u z , le champ crée par le solénoïde s'écrit B r (r, z) − → u r + B z (r, z) − u → z

On admet que B z (r, z) = B 0 (z). Montrez que B r (r, z) = − ^r ₂ ^dB _dz

⁰

.

3. Déterminez le coecient d'inductance mutuelle M (z) entre le solénoïde et la spire.

4. Justiez l'apparition d'un courant i lorsque la spire se déplace et montrez que la somme Li+M (z)I 0

est constante. En déduire l'expression de l'intensité i en fonction de l'altitude z de la spire.

5. Déterminez la force de Laplace − →

dF = dF _r − u → _r + dF _z − → u _z appliquée sur une portion bdθ de la spire.

En déduire la résultante des forces de Laplace sur la spire et montrez qu'elle dérive d'un potentiel E _p ^mag (z)

6. En déduire l'existence d'une position d'équilibre pour la spire en lévitation et étudiez en la stabilité.

Solution

Champ sur l'axe d'une spire : B 1 (z) = ^µ _2a

⁰

^I sin ³ α . La portion comprise entre z et z + dz comprend ndz spires et fournit donc une contribution dB = ndzB 1 (z) . De plus, tanα = ^a _z donc z = _tanα ^a et dz = − _sin ^a

2

α dα donc dB = −n ^µ _2a

⁰

^I sin ³ α _sin ^a

₂

_α dα = −n ^µ ₂

⁰

^I sinαdα et B(z) = ^µ

⁰

₂ ^nI (cosα ₁ − cosα ₂ ) où α ₁ est l'angle sous lequel est vu l'entrée du solénoïde et α ₂ la sortie.

Petit tube de ux : 0 = πr ² B _z (z + dz) − πr ² B _z (z) + 2πrdzB _r (r, z) donc B _r = − ^r ₂ ^dB _dz

^z

= − ^r ₂ I ₀ ^dβ _dz Inductance mutuelle : φ _B→S = ˜ − →

B (z, r). − u → z rdrdθ = B z (z)πb ² = I 0 β(z)πb ² donc M (z) = β(z)πb ² Résistance nulle donc e = 0 = − _dt ^d (M (z)I 0 + Li(z)) et i = − ^πb

²

_L ^β(z) I 0

dF _r = ibB _z dθ dF _z = −ibB _r dθ donc − →

F = −2iπbB _r − → u _z = − ^π

²

^b _L

⁴

^I

⁰²

β(z) ^dβ _dz − u → _z E p = ^π

²

^b _L

⁴

^I

²⁰

^β

²

₂ ^(z)

E _p,totale = ^π

²

^b _L

⁴

^I

⁰²

^β

²

₂ ^(z) + mgz . Equilibre : 0 = ^π

²

^b _L

⁴

^I

⁰²

β(z)β ⁰ (z) + mg.

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Cours champ dipole spire

On assimile le dipole à une spire de surface S M parcourue par une intensité i M telle que − → M = i M

−→ S M . D'après la dénition de l'inductance mutuelle, φ _M→S = M i M et φ _S→M = M i S . On cherche à calculer M . Imaginons pour cela que la spire soit parcourue par un courant i S . Le champ créé sur l'axe de la spire vaut alors B = ^µ _2a

⁰

ⁱ

^S

sin ³ α . On a donc φ _S→M ' BS M = ^µ _2a

⁰

ⁱ

^S

sin ³ αS M donc M = ^µ _2a

⁰

sin ³ αS M et φ _{M →S} = ^µ _2a

⁰

sin ³ αS _M i _M = ^µ

⁰

_2a ^M sin ³ α .

4 Daniel Suchet - 2012