Accélération d une particule dans un champ électrique

Accélération d’une particule dans un champ électrique

« Linac2 » est un accélérateur linéaire du CERN dans lequel les protons passent par une succession de zones modélisables par des condensateurs plans et où règne un champ électrique et des zones où ne règne aucun champ électrique. On cherche à comprendre comment une tension peut accélérer des protons et plus généralement des particules.

I. Tension accélératrice :

1. Champ électrique uniforme

▪ Un champ électrostatique 𝐸→

uniforme a même valeur, même direction et même sens en tout point de l’espace.

▪ Il peut être obtenu entre deux armatures métalliques planes P et N, séparées d’une distance d, entre lesquelles une tension U^PN est appliquée. Ce champ est orthogonal aux armatures, orienté de l’armature de plus haut potentiel (plaque positive) vers l’armature de plus bas potentiel (plaque négative).

▪ Intensité du champ entre les deux armatures : 𝐸 =^{|𝑈𝑃𝑁|}

𝑑 où 𝑑 est la distance entre les plaques P et N.

2. Rappels : la tension et sa mesure

- La tension caractérise la différence d’état électrique des 2 bornes (par exemple + et – aux bornes d’une pile, analogie avec chaud et froid aux extrémités d’un radiateur)

- Par définition : 𝑈_𝐴𝐵 = 𝑉_𝐴− 𝑉_𝐵

où 𝑉_𝐴 est le potentiel (état électrique) de la borne A et 𝑉_𝐵 est le potentiel de la borne B.

- Conséquences : si 𝑈_𝐴𝐵 > 0 alors 𝑉_𝐴 > 𝑉_𝐵 ; si 𝑈_𝐴𝐵 < 0 alors 𝑉_𝐴 < 𝑉_𝐵 - La tension se mesure avec un voltmètre (joue le rôle de comparateur)

Pour mesurer la tension UAB, on branche le voltmètre en parallèle avec le dipôle, de façon suivante :

A est relié à la borne V du voltmètre B est relié à la borne COM du voltmètre

- On représente la tension UAB avec une flèche qui pointe vers A (La pointe de la flèche représente le « V » de la borne V du voltmètre)

- Sur les schémas suivants, indiquer quelle est la plaque de plus haut potentiel (+) et celle de plus bas potentiel (-). Dessiner en rouge le champ électrique →𝐸

entre les deux plaques.

P UPN>0 N

A B

V

II. Force électrique et travail de la force électrique :

1. Forces électriques

▪ Une particule chargée de charge électrique q dans un champ électrostatique 𝐸→

subit une force électrique →𝐹

telle que : →𝐹

= 𝑞 ⋅ 𝐸→

d’intensité

▪ Dessiner la force électrique subie par la particule de charge q dans les deux cas suivants :

□

□

▪ Sur les schémas suivants, dessiner la force électrique subie par la particule de charge q :

2. Travail de la force électrique :

▪ Le travail d'une force est l'énergie fournie/consommée par cette force lorsque son point

d'application se déplace. Le travail est exprimé en joules (J), et est souvent noté W, initiale du mot anglais Work.

▪ Définition mathématique du travail d’une force : 𝑊_𝐹⃗

𝐴𝐵 = 𝐹→

⋅ 𝐴𝐵→

soit 𝑊_𝐹⃗

𝐴𝐵 = 𝐹 ⋅ 𝐴𝐵 ⋅ 𝑐𝑜𝑠 𝛼

La partie de la force qui « encourage » le mouvement est la composante 𝐹 ⋅ cos qui est dans le sens du déplacement.

q > 0

q < 0

A UAB>0 B U < 0

U > 0 U < 0

q > 0 U < 0

q < 0 U > 0

F F_t

A B

α

Si 𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) > 0 alors le système qui subit la force 𝐹_𝑒 ⃗⃗⃗⃗_𝑒 gagne de l’énergie. On dit que le travail est

« moteur »

Si 𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) < 0 alors le système qui subit la force 𝐹_𝑒 ⃗⃗⃗⃗_𝑒 perd de l’énergie. On dit que le travail est

« résistant »

▪ Cas de la force électrique accélératrice : on cherche à

accélérer la particule de charge 𝑞 de A vers B. Dessiner sur le schéma la force électrique 𝐹⃗⃗⃗⃗_𝑒 responsable de cette

accélération.

▪ En déduire l’expression du travail de la force en fonction de 𝐹_𝑒 et de 𝐴𝐵.

𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) = 𝐹_𝑒 ⃗⃗⃗⃗ ⋅ 𝐴𝐵_𝑒 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐹_𝑒⋅ 𝐴𝐵 car les deux vecteurs sont parallèles et dans le même sens.

▪ Quel est le signe de 𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) ? _𝑒

La force électrique est responsable de l’accélération. Son travail est moteur donc positif.

▪ Soit 𝑈 la tension accélératrice. Exprimer le travail de la force en fonction de 𝑈.

𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) = 𝐹_{𝑒 𝑒} ⋅ 𝐴𝐵 = |𝑞| ⋅ 𝐸 ⋅ 𝐴𝐵 = |𝑞| ⋅^|𝑈|

𝐴𝐵⋅ 𝐴𝐵 = |𝑞| ⋅ |𝑈|

3. Théorème de l’énergie cinétique :

La force permet d’accélérer la particule. L’augmentation de vitesse entraine une augmentation de l’énergie cinétique. Le gain d’énergie cinétique est égale au travail de la force :

𝛥𝐸𝑐 = 𝑊_𝐴𝐵(𝐹⃗⃗⃗⃗) _𝑒 III. Application : étude du Linac2 :

Un proton entre dans le condensateur plan avec une vitesse initiale nulle en O (figure 1). Une tension électrique 𝑈 = 𝑉₁− 𝑉₂ est appliquée entre les plaques du condensateur séparées d’une distance d.

Le champ électrique 𝐸⃗⃗ créé entre les plaques est supposé uniforme, dirigé dans le sens de l’axe 𝑂𝑥. Les plaques sont percées en O et S pour laisser passer les protons.

Données :

- distance entre les plaques : 𝑑 = 10,0 𝑐𝑚

- tension électrique appliquée : 𝑈 = 𝑉₁ – 𝑉₂ = 2,00 𝑀𝑉 - masse du proton : 𝑚_𝑝 = 1,67 × 10⁻²⁷ 𝑘𝑔

𝐴 𝐵

𝑞

1. Déterminer le signe de la tension 𝑈 pour que le proton soit accéléré. Représenter 𝑈 sur le schéma.

Pour être accéléré, le proton doit subir une force orientée de 𝑂 à 𝑆.

Comme la charge du proton est positive et que 𝐹⃗⃗⃗⃗ = 𝑞_{𝑒 𝑝}⋅ 𝐸⃗⃗, le champ électrique 𝐸⃗⃗ est également orienté de O vers S.

Or le champ est orienté dans le sens des potentiels décroissants, donc 𝑉₁> 𝑉₂, ce qui entraîne que 𝑈 > 0.

Déterminer l’expression de la vitesse 𝑣_𝑆 du proton à la sortie du premier condensateur en S en fonction de 𝑚_𝑝, 𝑒 et 𝑈. Déterminer sa valeur et commenter le résultat.

On utilise le théorème de l’énergie cinétique : 𝛥𝐸𝑐 = 𝑊_𝑂𝑆(𝐹⃗⃗⃗⃗) _𝑒 avec 𝛥𝐸𝑐 =¹

2𝑚𝑣_𝑆²

et 𝑊_𝑂𝑆(𝐹⃗⃗⃗⃗) = 𝐹_{𝑒 𝑒} ⋅ 𝑂𝑆 (dans le cas d’une force constante) où 𝐹_𝑒 = 𝑒 ⋅ 𝐸

avec 𝐸 = ^𝑈

𝑂𝑆

soit 𝑊_𝑂𝑆(𝐹⃗⃗⃗⃗) = 𝑒 ⋅ 𝑈 _𝑒

donc ¹₂𝑚𝑣_𝑆² = 𝑒 ⋅ 𝑈 soit 𝑣_𝑆 = √^2𝑒𝑈

𝑚

2. Dans une enceinte où règne un vide poussé, on fait passer les protons dans une série de tubes métalliques reliés alternativement à l’une ou à l’autre des bornes d'un générateur de tension alternative 𝑢_𝑎(𝑡) (voir figure 2). Cette tension crée, dans les intervalles qui séparent les tubes, un champ électrique dans la direction de l’axe Ox.

Le champ électrique régnant dans les intervalles étant variable au cours du temps, la fréquence de la tension 𝑢_𝑎(𝑡) et la longueur des tubes sont choisies très précisément pour que les protons arrivent dans chaque intervalle à l’instant où le sens du champ est tel qu’il permet leur accélération. On considère qu'à l'intérieur des tubes le champ électrique est nul et donc que les particules s'y déplacent à vitesse constante (figure 3).

L'énergie cinétique des protons augmentant au passage dans chaque intervalle, l’énergie cinétique atteinte à la sortie de l’accélérateur dépend, entre autres, du nombre de tubes. L’un des intérêts d’un tel dispositif est qu’il suffit d’ajouter des tubes ou d’augmenter la valeur du champ électrique pour augmenter l’énergie cinétique finale des protons. Son principal inconvénient est son

encombrement qui est, pour le Linac2, une longueur de 34 m.

Chaque intervalle se comporte comme le condensateur plan étudié dans la première partie. Le générateur produit une tension sinusoïdale de période 𝑇 = 40 𝑛𝑠.

a. Indiquer le sens du champ électrique qui règne dans l’intervalle 1 et dans l’intervalle 2 entre les tubes à l’instant 𝑡 =^𝑇

4 . Représenter, sans soucis d’échelle, le vecteur champ électrique 𝐸⃗⃗ dans l’intervalle 1 et celui dans l’intervalle 2 sur le schéma de la figure 3.

Mêmes questions à la date 𝑡 =^3𝑇

4

D’après la figure 2, 𝑢_𝑎(𝑡) = 𝑉_𝐴− 𝑉_𝐵 𝑢_𝑎(^𝑇

4) > 0 donc 𝑉_𝐴 > 𝑉_𝐵. Le champ électrique est orienté de A vers B 𝑢_𝑎(^3𝑇

4) < 0 donc 𝑉_𝐵 > 𝑉_𝐴. Le champ électrique est orienté de B vers A

b. Déterminer la durée 𝛥𝑡 que mettent les protons pour traverser un tube pour être accélérés de manière optimale dans chaque intervalle. Justifier.

Le proton qui a subi 𝐸^𝑇

4

⃗⃗⃗⃗⃗ dans l’intervalle 𝑂₁𝑆₁ à 𝑡 =^𝑇

4 doit arriver au plus tard en 𝑆₁ à la date 𝑡 =^𝑇

2

pour ne pas subir une décélération.

Pour optimiser son accélération, il doit se situer en 𝑂₂ à l’instant 𝑡 = 𝑇 (ou après), moment auquel le champ retrouve son sens accélérateur (𝑢_𝑎 > 0).

La durée minimale que doit mettre le proton pour traverser un tube est donc 𝛥𝑡 = 𝑇 −^𝑇

2 = ^𝑇

2. c. Expliquer qualitativement pourquoi les tubes du Linac 2 sont de plus en plus longs.

Les protons étant accélérés, leur vitesse augmente en fonction du nombre d’accélérations subies.

La longueur d’un tube s’exprime de façon suivante : 𝐿 = 𝑣_𝑝⋅^𝑇

2

Si 𝑣_𝑝 augmente, 𝐿 augmente également puisque 𝑇 est constant.

𝐸𝑇 4

⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸𝑇

4

⃗⃗⃗⃗⃗

𝐸3𝑇 4

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸3𝑇

4

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗