Champ électrique

ÉLECTROSTATIQUE

Chapitre 1

Champ électrique

1.1. Définition du champ électrique

Loi de Coulomb

En 1777 Charles de Coulomb fabriqua une balance à torsion et à partir de cette balance, fit des recherches sur la force de torsion et l’élasticité des fils de métal. Il utilisa sa balance de torsion pour étudier les forces d’attraction et de répulsion entre des corps électrisés et il publia en 1785 un mémoire présentant la loi exprimant la force d’interaction entre deux charges ponctuelles. Aujourd’hui, cette loi porte son nom :

Deux charges électriques q et ₁ q , disposées dans le vide, exercent l’une sur l’autre des forces ₂ d’interaction opposées, répulsives pour des charges de même signe, attractives pour des charges de signes opposés, dirigées selon la droite qui les joint, de module proportionnel au produit des deux charges et inversement proportionnel au carré de leur distance mutuelle.

Dans le Système international, le coefficient de proportionnalité est noté

0000

1111 4πε 4πε4πε 4πε

εεεε0000 s’appelle la permittivité du vide et a pour valeur 1 ≈ ⋅ µ ^{−12−12−12−12} F m^{−1−1−1−1}

0000 2222 0 0 0 0 0 0 0 0

ε = 8,85×10 ε =ε = 8,85×108,85×10 ε = 8,85×10

c

Remarque : la valeur de ε₀ ne peut faire l’objet d’aucune mesure, elle est actuellement fixée par convention dans le système international. En effet, la perméabilité du vide a, par définition, pour valeur exacte µ = π×₀ 4 10 N A⁻⁷ ⋅ ⁻² et la valeur de la vitesse des ondes électromagnétiques dans le vide, couramment appelée « vitesse de la lumière » est fixée par décret, depuis 1983, à la valeur exacte

299 792 458 m s⋅ ⁻1, définissant ainsi l’unité de longueur comme unité dérivée de l’unité de temps.

e12

F12

1 2

12 2 12

0 12

1 4

F q q e

==== r πε πε πε πε

r12

q1

q2

La force exercée par q sur q' est proportionnelle à q' et traduit ainsi une propriété de l’espace à l’endroit où se trouve la charge q' dont est responsable la charge q. Nous définirons ainsi le champ électrique créé dans tout l’espace par la charge q :

2 0

1

4 ^r

E q e

= r πε

Le champ électrique créé par une charge positive est divergent tandis que le champ créé par une charge négative est convergent.

Les lignes de champs, que l’on définit comme les courbes de l’espace tangentes en tout point au champ électrique et orientées par celui-ci, forment, dans le cas d’une charge positive, un faisceau de demi-droites divergent et, dans le cas d’une charge négative, un faisceau de demi-droites convergent.

Théorème de superposition

On constate expérimentalement que les influences des différentes charges s’ajoutent linéairement : la loi de Coulomb est linéaire par rapport à la charge. La force exercée sur une charge par plusieurs autres charges est égale à la somme des forces qu’exerceraient chacune des charges prise isolément : c’est ce que l’on appelle théorème de superposition. Ce principe s’applique à l’identique aux champs électriques :

Le champ électrique créé en un point de l’espace par un système de charges est égal à la somme des champs électriques qui seraient créés par chaque charge individuelle si elle était seule dans l’espace.

Nous appliquerons ce principe pour déterminer le champ électrique créé par une distribution de charges, aussi bien s’agissant de charges ponctuelles que de répartitions continues.

À l’approche infinie d’une charge ponctuelle, le module du champ électrique tend vers l’infini : les charges sont des singularités pour le champ électrique. Cela implique que le comportement topologique des lignes de champ électrique au voisinage immédiat d’une charge ponctuelle n’est pas modifié par la présence d’autres charges dans l’espace. Il s’ensuit la propriété suivante des lignes de champ électrostatiques :

Quelle que soit la distribution de charges, les lignes de champ électrostatique prennent naissance là où se trouvent des charges positives et aboutissent là où se trouvent des charges négatives.

Remarque : toutefois, dans un modèle « d’école » pour lequel l’Univers n’est pas électriquement neutre, il peut se faire que certaines lignes de champs viennent de l’infini ou se dirigent vers l’infini. Cela se produit dans le cas le plus simple d’une charge ponctuelle « seule dans l’espace ».

++++q −−−−q

Invariances, symétries et antisymétries

Invariance par translation

Il s’agit d’une forme de symétrie particulière : la distribution de charge est invariante par translation dans l’espace. Conformément au principe de Curie affirmant qu’une symétrie des causes implique une symétrie au moins égale des effets, le champ électrique sera lui aussi invariant par la même translation.

On choisira alors pour traiter ce problème un système de coordonnées ayant un axe coïncidant avec cette direction de la translation.

— Il peut s’agir d’une invariance par translation finie : nous décrivons alors une structure cristalline. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge auront la même périodicité.

Par exemple, un cristal de chlorure de sodium correspond à une structure alternée triplement périodique d’anions chlorure Cl⁻ et de cations sodium Na⁺.

— Il peut s’agir aussi d’une invariance par translation quelconque dans une direction donnée : ce cas de figure ne peut bien sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge ne dépendront alors pas de la coordonnée associée à l’axe de translation.

Par exemple, une distribution de charge cylindrique est invariante par translation quelconque dans la direction de l’axe du cylindre. Uns distribution de charge plane uniforme est invariante par translation quelconque parallèle au plan.

Attention ! Une invariance par translation de la distribution de charge implique que l’on envisage l’existence de charges à l’infini, ce qui n’est pas très réaliste. Nous dirons qu’un problème décrit de la sorte est un « problème d’école ». L’étude peut quand même présenter un grand intérêt dans la mesure où les solutions à très haut degré de symétrie que nous mettrons en évidence dans ce cadre d’hypothèse pourront être d’excellentes solutions approchées de certains problèmes réels.

++++q

−−−−q

−−−−q

Invariance par rotation autour d’un axe

Si la distribution de charge est invariante par rotation autour d’un axe, il en sera de même du champ électrique et de toute autre grandeur conséquence de cette distribution de charge. Nous choisirons alors un système de coordonnées comprenant l’angle de rotation autour de l’axe de révolution : selon les autres éléments de symétrie du problème, il s’agira soit des coordonnées cylindriques, soit des coordonnées sphériques.

— Il peut s’agir d’une invariance par rotation d’une fraction entière de tour 2π n : nous parlerons alors d’un axe de symétrie d’ordre n. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge obéiront à la même invariance par rotation.

— Il peut s’agir aussi d’une invariance par rotation d’un angle quelconque : ce cas de figure ne peut bien sûr exister que dans le cas d’une distribution continue de charges et nous parlerons alors d’une symétrie de révolution autour de cet axe. Les grandeurs physiques conséquences de la distribution de charge ne dépendront alors pas de l’angle de rotation.

Existence d’un plan de symétrie

Dire qu’il existe un plan de symétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une charge q en un point M de l’espace, alors il existe la même charge q au point M ' symétrique de M par rapport à ce plan.

Les champs électriques sont dus aux charges et, selon le principe de Curie¹, les conséquences ayant au moins autant de symétries que les causes, dans une telle situation de symétrie les champs E

et E′

en deux points symétriques M et M ' sont nécessairement symétriques par rapport au plan de symétrie.

Cas particulier important : pour un point P appartenant au plan de symétrie de la distribution de charge, le champ doit être son propre symétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il doit être contenu dans ce plan.

Corollaire : s’il existe deux plans de symétries non parallèles, en un point de la droite d’intersection

( )

^∆

de ces plans, le champ appartient à chacun des deux plans. Il est donc nécessairement porté par cette droite

( )

^{∆ .}

1Un des principes les plus généraux de la physique, connu sous l’appellation de « principe de Curie » affirme qu’une symétrie des causes implique une symétrie au moins égale des effets.

q1

1 1

q′ =q q2

2 2

q′ =q

M M′

E

E′

M M′

E

E′

q

q

P

Existence d’un plan d’antisymétrie

Dire qu’il existe un plan d’antisymétrie dans la distribution des charges, c’est dire que s’il existe une charge q en un point M de l’espace, alors il existe la charge opposée −q au point M ' symétrique de M par rapport à ce plan.

Dans une telle circonstance, changer le signe de toutes les charges revient à réaliser une symétrie par rapport au plan d’antisymétrie. Le fait de changer le signe de toutes les charges change le champ en son opposé : en conséquence, en un point M ' symétrique de M, le champ E′

est l’opposé du symétrique (on dira aussi bien l’antisymétrique) du champ E

en M.

Cas particulier important : pour un point appartenant au plan d’antisymétrie de la distribution de charge, le champ doit être son propre antisymétrique par rapport à ce plan, c’est-à-dire qu’il doit être orthogonal à ce plan.

1.2. Théorème de Gauss

Angle solide

Rappel de la définition d’un angle plan

Un angle plan est associé à une portion de plan définie par l’intersection de deux demi-droites.

Considérant un cercle de rayon R centré à l’intersection O des deux demi-droites et la longueur de l’arc de cercle intercepté, la mesure θ de l’angle plan en radians (symbole : rad) est définie comme le rapport de la longueur de l’arc sur le rayon du cercle :

q1

1 1

q′ = −q q2

2 2

q′ = −q

M M′

E

E′ M

M′

E

E′

q −q

P

R

θ θ = R

Définition d’un angle solide

L’angle solide est à l’espace ce que l’angle précédent était au plan : un angle solide est associé à une portion d’espace définie à l’intérieur d’un cône. Considérant une sphère de rayon R centrée au sommet O du cône et la surface S de la calotte sphérique interceptée, la mesure Ω de l’angle solide en stéradians (symbole : sr) est définie comme le rapport de cette surface sur le carré du rayon R² de la sphère :

2

S Ω = R

De façon générale, on dit que, du point O, on voit une surface quelconque 'S sous un certain angle solide.

Cas particuliers importants

1) L’angle solide de tout l’espace est égal, par définition au rapport de la surface d’une sphère et du carré de son rayon, soit 4 srπ .

2) L’angle solide défini par un cône de révolution, de demi angle au sommet α, a pour expression :

( )

2 1 cos Ω = π − α

3) L’angle solide élémentaire δΩ sous lequel on peut, à partir d’un point O, voir une surface élémentaire δ = δS n S

située en un point M à une distance r, a pour expression, e_r étant le vecteur unitaire selon OM

:

En procédant de la sorte, nous avons défini un angle solide algébrique, dont la valeur va dépendre du choix arbitraire d’orientation du vecteur n

.

Remarque : l’angle solide élémentaire peut aussi bien être défini comme le flux du vecteur e r_r ² à travers la surface orientée δS

.

S

S′

R

2 2

r cos

e n S S

r r

⋅ α

δΩ = δ = δ

er

n

δΩ

S α δ

r

α Ω

De la loi de Coulomb au théorème de Gauss

Flux sortant du champ électrique créé par une charge intérieure

Considérons une charge ponctuelle q située en un point P quelconque intérieur à une surface fermée S elle-même quelconque.

Le champ électrique en un point M de la surface obéit à la loi de Coulomb : _{2 PM}

0

1 4 PM

E = q e

πε

Le flux de celui-ci à travers une surface élémentaire δ =S n_extδS

est proportionnel à l’angle solide élémentaire δΩ sous lequel est vue la surface Sδ depuis le point P.

ext 2 PM ext

0 0

1

4 PM 4

q q

E n S e n S

δφ = ⋅ δ = ⋅ δ = δΩ

πε πε

Nous en déduisons que le flux sortant total à travers la surface S fermée du champ électrique créé par la charge q est indépendant de la position du point P à l’intérieur de cette surface. Il ne dépend pas non plus de la forme de cette surface. La seule exigence pour cette surface est d’être d’une topologie permettant de définir un intérieur et un extérieur.

L’intégration se réduit à l’intégration de l’angle solide. Rappelons que la valeur de l’angle solide correspondant à tout l’espace est égale à 4π.

( )

ext

P 0 0

P 4

4

S

q q

E n S

φ = ∈ ⋅ δ = δΩ =

πε ε

π

∫∫ ∫

Flux du champ électrique créé par une charge extérieure

Considérons une charge ponctuelle q située en un point P quelconque extérieur à une surface fermée S elle-même quelconque.

Pour une direction quelconque de l’espace, la surface S est interceptée un nombre pair de fois. À chaque surface élémentaire δ =S n_extδS

traversée dans le sens entrant correspondra une surface élémentaire ' 'ext '

S n S

δ = δ

traversée dans le sens sortant. Les angles solides élémentaires δΩ et δΩ' sous lesquels sont vues les surfaces élémentaires δS

et δS'

conjuguées sont algébriquement opposés.

Il s’ensuit que le flux du champ électrique créé par une charge extérieure à une surface fermée S est nul, quelle que soit la position de cette charge, quelle que soit la forme de la surface S.

next

P

δS δΩ

er

M

E

Expression intégrale du théorème de Gauss

Si nous considérons maintenant un ensemble de charges électriques q_{i int} intérieures à une surface fermée S et q_{j ext} extérieures à cette même surface². Par application du théorème de superposition, le champ électrique en chaque point de la surface S est égal à la somme des champs électriques créés par toutes ces charges, tant intérieures qu’extérieures. Il en est donc de même du flux.

Le flux sortant du champ électrique à travers cette surface S est égal à la somme algébrique des flux des champs créés par chacune des charges, tant intérieures qu’extérieures. Comme nous avons montré que les flux des champs créés par les charges extérieures sont nuls, nous en déduisons cette propriété des champs électriques que l’on appelle « théorème de Gauss » :

Étant donnée une distribution de charges quelconque créant un champ électrique dans l’espace, le flux sortant de ce champ électrique à travers une surface fermée quelconque est toujours égal au rapport par εεεε₀₀₀₀ des seules charges intérieures à cette surface.

L’équation de Maxwell-Gauss, expression locale du théorème de Gauss

Le théorème de Green-Ostrogradski stipule que le flux sortant d’un champ de vecteur à travers une surface fermée est égal à l’intégrale de la divergence de ce champ de vecteur étendue au volume intérieur à cette surface.

2 Nous n’envisageons pas que des charges puissent se trouver exactement sur la surface S. Le cas échéant, on peut démontrer que de telles charges seraient à diviser en deux : moitié à l’intérieur et moitié à l’extérieur.

next

1 ext

q

δS P

2 ext

q

3 ext

q

4 ext

q

5 ext

q

1 int

q

2 int

q

3 int

q

4 int

q

(((( ))))

ext ^int

P 0

P ⁱ

S

E n S q

∈∈

∈∈

φ = ⋅ δ =

φ = ⋅ δ =

φ = ⋅ δ =

φ = ⋅ δ =

εεεε

∑

∑

∑

∫∫ ∑

∫∫ ∫∫

∫∫

E next

P

δS δΩ

er

' M δS 'ext

n E′

E

ext div

S

E n S E

φ =

∫∫

⋅ δ =

∫∫∫

τ δτ _S ^τ

Rappelons l’expression analytique de la divergence d’un champ de vecteur en coordonnées cartésiennes orthonormées :

div E^x E^y E^z

E x y z

∂ ∂ ∂

= + +

∂ ∂ ∂

D’après le théorème de Gauss, le flux φ du champ électrique est proportionnel à la charge Q_τ intérieure à la surface S, que l’on peut aussi exprimer comme l’intégrale de volume de la densité volumique de charge :

0 0

Q_τ

τ

φ = = ρ δτ ε

∫∫∫

ε

En conséquence, quelque soit la portion d’espace de volume τ :

0

divE 0

τ

 − ρ δτ =

 

 ε 

∫∫∫

Pour que l’intégrale soit nulle quel que soit le domaine d’intégration, il faut et il suffit que l’expression intégrée soit nulle en tout point de l’espace. Nous aboutissons ainsi à l’équation de Maxwell-Gauss, expression locale du théorème de Gauss :

0

div E = ρ ε

Remarque : nous avons démontré, dans le cadre restrictif de l’électrostatique, l’équivalence de cette relation et du théorème de Gauss, lui-même équivalent à la loi de Coulomb. Il se trouve cependant que cette équation de Maxwell-Gauss est une loi fondamentale de l’électromagnétisme qui restera valable dans le cas le plus général des régimes variables, y compris en dehors de l’approximation quasi stationnaire.

Note : voici les expressions de la divergence en coordonnées cylindriques et en coordonnées sphériques (ces expressions ne sont pas à mémoriser : en cas de besoin, elles seront données).

En coordonnées cylindriques

(

^{ρ ϕ, , z}

)

^{: divE=}_{ρ ∂ρ}^{1 ∂}

( )

^{ρEρ +}_{ρ ∂ϕ}^{1∂Eϕ +∂}_∂^E_z^z

En coordonnées sphériques

(

^{r, ,θ ϕ}

)

^{: divE=} _r¹² _∂^∂_r

( )

^{r E2 r +}_rsin¹ _{θ ∂θ}^∂

⁽

^sinθEθ

⁾

⁺_rsin¹ _{θ ∂ϕ}^∂Eϕ

Discontinuité de la composante normale du champ électrique à la traversée d’une surface chargée

Considérons une surface chargée de densité surfacique σ et une charge élémentaire δ = σδq S dans le voisinage d’un point M de cette surface que nous supposerons localement plane.

Dans le but d’appliquer le théorème de Gauss, nous allons construire une surface fermée autour du point M en imaginant une boîte cylindrique ayant pour « couvercles » les surfaces élémentaires δS₁ et δS₂ immédiatement voisines de Sδ dans le milieu 1 et dans le milieu 2. Dans la limite considérée, la surface latérale de la boîte cylindrique a une mesure nulle et le flux sortant du champ électrique à travers la surface de Gauss se réduit aux deux seuls flux à travers les surfaces élémentaires δS₁ et δS₂. D’après le théorème de Gauss, ce flux est égal à la charge intérieure σδS divisée par ε₀.

Nous noterons E₁

et E₂

les champs électriques dans les milieux 1 et 2 aux points M et ₁ M ₂ immédiatement voisins de M.

Dans la limite où les pointsM et ₁ M tendent vers M, le théorème de Gauss s’écrit ici, en introduisant le ₂ vecteur unitaire n₁

en M dirigé vers le milieu 1 :

( )

1 1 2 2 1 2 1

0

E S E S E E n S σδS δφ = ⋅δ + ⋅δ = − ⋅ δ =

ε

Nous en déduisons que la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue au franchissement d’une surface chargée :

(

^{1 2}

)

¹

0

E −E ⋅ =n σ ε

Nous montrerons plus loin que la composante tangentielle du champ électrique est quant à elle continue.

1.3. Exemples de calculs de champ par application du théorème de Gauss

Attention ! Tous ces exercices doivent être considérés comme des exercices de cours. Chacun doit les avoir fait un jour ou l’autre et en tout état de cause, chacun doit connaître les méthodes permettant dans chaque cas de symétrie particulière de calculer le champ électrique.

Distributions de charges à symétrie sphérique Une distribution de charge sera dite « à symétrie sphérique de centre O » dès lors que les densités de charges en tout point de l’espace ne dépendent que de la distance au point O. Le système de coordonnées sphériques

(

^{r, ,θ ϕ}

)

de centre O sera alors privilégié : la densité de charge est la même dans toutes les directions de l’espace autour du point O, elle est indépendante des angles d’Euler

(

^{θ ϕ,}

)

^.

Une charge ponctuelle seule dans l’espace obéit à ce critère. Une distribution uniforme de charges à la surface d’une sphère correspond également à cette situation aussi bien qu’une distribution uniforme de charges dans le volume d’une sphère.

S1

δ

S2

δ milieu 1

milieu 2

q S

δ = σδ n1

M M1

M2

E2

E1

er

e_ϕ e_θ r θ

ϕ M

O x

y z

Enfin, l’atome d’hydrogène, dans son état fondamental, correspond également à ce critère : le noyau est porteur d’une charge élémentaire positive quasi ponctuelle au centre de l’atome et se trouve entouré d’un

« nuage » de charge négative correspondant à l’électron dans son état 1s.

Étude de symétrie

Nous pouvons tout d’abord remarquer qu’un tel système de charge présente le plus souvent un facteur d’échelle : il existe un rayon R au-delà duquel l’espace est vide de charges. Dès lors, si l’on se place à une distance très grande par rapport à R

(

^rR

)

, le système de charges sera vu comme une charge quasi ponctuelle et le champ électrique correspondant sera un champ coulombien radial, de module décroissant comme l’inverse du carré de la distance aux charges, divergent si la charge totale est positive, convergent si la charge totale est négative.

Pour chaque point M de l’espace, l’axe OM est un axe de symétrie de la distribution de charge : le champ électrique en M est donc porté par cet axe, c’est-à-dire qu’il est radial. De plus, du fait de l’isotropie, la valeur algébrique radiale du champ ne dépend que de la distance r au centre :

(

^{, ,}

)

^r

( ) (

^{r ,}

)

E r θ ϕ =E r e θ ϕ

L’existence d’un si haut degré de symétrie permettra l’usage efficace du théorème de Gauss en vue de déterminer le champ en un point quelconque de l’espace.

Sphère uniformément chargée en surface

Considérons une sphère de rayon R porteuse d’une charge totale Q répartie uniformément à sa surface. La densité surfacique de charge a donc pour valeur :

4 2

Q Q

S R

σ = = π

Nous choisissons bien sûr une surface de Gauss conforme aux symétries, à savoir une surface S , _G sphérique, de centre O passant par le point M où l’on désire connaître le champ. Pour tout point P de la surface S , le vecteur normal extérieur _G n_ext

s’identifie au vecteur unitaire radial e_r .

er

M ^E

( )

^M

next

SG

er

M next

SG

Qint =Q

int 0

Q =

O O

De plus la valeur algébrique radiale du champ ayant même valeur en tout point de la surface de Gauss, le flux sortant du champ électrique prend la forme plus simple suivante :

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G G G

2

ext ext G

P P P

P _{r r r r r} 4

S S S

E n S E r e n S E r S E r S E r r

∈ ∈ ∈

φ =

∫∫

⋅ δ =

∫∫

⋅ δ =

∫∫

δ = = × π

où r est le rayon de la surface de Gauss.

Pour la suite, c’est très simple : si le point M est à l’extérieur de la sphère chargée

(

^r>R

)

, la charge intérieure à la surface de Gauss S est égale à la charge totale Q. Si, au contraire, le point M se trouve à _G l’intérieur de la sphère chargée

(

^r<R

)

, alors la charge intérieure est nulle. Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :

( ) ( )

2 2

2

2 2

0 0 0 0

2

à l’extérieur : 4 4 soit pour ,

4

à l’intérieur : 4 0 soit pour , 0

r

r r

r

e

Q R Q R

r E r r R E e

r r

r E r r R E

π σ σ

φ = π = = > = =

ε ε πε ε

φ = π = < =

Remarque 1 : le champ électrique présente une discontinuité à la surface de la sphère égale à σ ε₀ . Ce résultat est conforme au théorème démontré à la section précédente : la composante normale du champ électrique est nécessairement discontinue à la traversée d’une surface chargée.

Remarque 2 : à l’extérieur de la sphère, le champ est identique au champ que produirait une charge ponctuelle Q placée au centre de la sphère. On démontre sans difficulté que ce résultat est indépendant de la façon dont les charges sont réparties à la surface ou à l’intérieur de la sphère, pourvu toutefois que cette répartition de charge soit isotrope. En particulier, il en est de même dans le cas d’une sphère uniformément chargée en volume.

Sphère uniformément chargée en volume

Considérons une sphère de rayon R porteuse d’une charge totale Q répartie uniformément dans son volume τ. La densité volumique de charge a donc pour valeur :

3

3 4

Q Q

ρ = = R

τ π

( )

E rr

0 R r

0

σ ε

0

2

1 Champ

coulombien en r Champ nul

Nous choisissons une surface de Gauss de la même façon que dans l’exercice précédent et l’expression du flux sortant est la même :

( ) ( )

G

2 ext

P

P _r 4

S

E n S E r r

φ =

∫∫

∈ ⋅ δ = × π où r est le rayon de la surface de Gauss.

Si le point M est à l’extérieur de la sphère chargée

(

^r>R

)

, la charge intérieure à la surface de Gauss S _G est égale à la charge totale Q et le champ est identique à celui d’une charge Q ponctuelle placée en O. Si, au contraire, le point M se trouve à l’intérieur de la sphère chargée

(

^r<R

)

, alors la charge intérieure ne correspond qu’à une partie de la charge Q proportionnelle au volume délimité par la surface de Gauss.

Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :

( ) ( )

3 3

2

2 2

0 0 0 0

3

2 int

3

0 0 0 0

à l'extérieur : 4 4 soit pour ,

3 4 3

à l'intérieur : 4 4 soit pour ,

3 4 3

r

r r

r r r

e

Q R Q R

r E r r R E e

r r

Q r Q r r

r E r r R E e e

R

π ρ ρ

φ = π = = > = =

ε ε πε ε

π ρ ρ

φ = π = = < = =

ε ε πε ε

Remarque : le champ électrique, cette fois, ne présente aucune discontinuité ni à la surface de la sphère, ni ailleurs. Nous observons de plus que le champ est nul au centre de la sphère : il n’y a pas ici de singularité comme c’est le cas pour une charge ponctuelle.

( )

E rr

0 R r

3 0

ρR ε

0

2

1 Champ

coulombien en r Champ

intérieur en r er

( )

^M

E next

SG

er

M next

SG

Qint =Q

3

int 3

Q Q r

= R

( )

^M

E M

O O

Distributions de charges à symétrie cylindrique de révolution

Étude de symétrie

Considérons une distribution de charge présentant une symétrie cylindrique de révolution autour d’un axe ∆. Nous choisissons donc tout naturellement un système de coordonnées cylindriques

(

^{r, ,ϕ z}

)

dont l’axe polaire Oz coïncide avec l’axe ∆^.

Les composantes E , _r E_ϕ, E du champ électrique doivent être _z invariantes par translation selon Oz ainsi que par rotation quelconque autour de Oz. Cela implique qu’en tout point M de l’espace ces composantes cylindriques du champ E

ne dépendent ni de l’angle ϕ, ni de la cote z.

H étant le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz, HM est un axe de symétrie de la distribution de charge. Le champ ^E

( )

^{M est}

donc porté par cet axe.

En conclusion, nous savons a priori que le champ électrique est radial (au sens cylindrique du terme) et que sa valeur algébrique ne dépend que de la distance r à l’axe polaire :

( )

^{M r}

( )

^r

E =E r e

Attention ! Il n’est pas juste de dire que le champ électrique ne dépend que de r ! En effet, le vecteur e_r

est bien sûr fonction de l’angle ϕ. Le champ électrique est donc fonction de r et de ϕ ^{: E r}

(

^{, ϕ =}

)

^{E r er}

( ) ( )

^{r ϕ .}

Fil rectiligne infini de charge linéique uniforme

Le problème présente un niveau de symétrie suffisant pour que le théorème de Gauss soit efficace dans une telle situation : il ne faut donc pas s’en priver.

Pour calculer le champ électrique en un point ^M

(

^{r, ,ϕ z}

)

^,

nous choisissons pour surface de Gauss la surface S d’une _G boîte cylindrique d’axe ∆ et de hauteur h quelconque dont le rayon est choisi égal à r de telle sorte que le point M appartienne à cette surface.

Comme l’impose le théorème de Gauss, la surface S est une _G surface fermée. Elle se partitionne en une paroi latérale de surface S, d’un « couvercle » supérieur S₊ et d’un couvercle inférieur S₋ :

SG = ⊕S S₊⊕S₋

Le flux φ du champ électrique à travers une telle surface est égal à la somme des flux φ, φ₊ et φ₋ à travers les diverses parties composant cette surface :

ext ext ext

S S S S S S

E n S E n S E n S E n S

+ − + −

⊕ ⊕

+ −

φ = ⋅ δ = ⋅ δ + ⋅ δ + ⋅ δ

φ φ φ

∫∫

∫∫

∫∫ ∫∫

ex

ey

ez M

λ ∆

H E

M

λ ∆

h S

S₋ S₊

E

Le vecteur unitaire normal extérieur s’identifie au vecteur unitaire +e_z

pour la deuxième intégrale et au vecteur −e_z

pour la dernière : les flux φ₊ et φ₋ sont donc nuls et le flux sortant de la surface de Gauss se réduit au seul flux latéral φ.

Pour cette première intégrale, le vecteur unitaire normal extérieur s’identifie au vecteur e_r

et l’on a, pour tout point P appartenant à cette surface : ^{E n⋅ ext = ⋅ =E er E rr}

( )

. Cette composante ne dépendant que de r a même valeur en tout point de la surface S.

Appliquons maintenant le théorème de Gauss : ce flux est égal au rapport par ε₀ de la charge électrique intérieure à la surface de Gauss. Cette charge s’exprime très simplement comme le produit de la charge linéique λ par la longueur h du segment chargé intérieur.

int

0 0

q λh φ = =

ε ε

Nous en déduisons l’expression du champ en faisant correspondre ces deux expressions du flux :

( ) ( )

0 0

2 2

r r

E r rh h E r

r

λ λ

φ = × π = ⇒ =

ε πε soit

( ) ( )

0

, 2

er

E r r

λ ϕ ϕ = πε

Cylindre de révolution uniformément chargé en surface

Considérons un cylindre de révolution de longueur infinie, d’axe ∆, de rayon R, porteur d’une charge répartie uniformément à sa surface avec une densité surfacique σ. Dans le but de calculer le champ en un point M

(

^{r, ,ϕ z}

)

nous choisissons une surface de Gauss conforme aux symétries, à savoir la surface S _G d’une boîte cylindrique d’axe ∆ et de hauteur h quelconque dont le rayon est choisi égal à r de telle sorte que le point M appartienne à cette surface. passant par le point M où l’on désire connaître le champ.

M

∆

h _S

S₋ S₊

σ

int 2

Q = π σRh

M

∆

σ

int 0

Q =

E

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G

ext ext

P P

P P _{r r r r} 2

S S S S

E n S E n S E r S E r S E r S E r rh

∈ ∈

φ =

∫∫

⋅δ =

∫∫

⋅δ =

∫∫

δ =

∫∫

δ = = × π

Comme précédemment, le flux du champ électrique sortant de la surface de Gauss se limite au seul flux à travers la surface latérale et s’écrit :

( )

G

r 2

S

E n S E r rh φ =

∫∫

⋅ δ = × π où r est le rayon de la surface de Gauss.

Pour un point M est à l’extérieur du cylindre chargé

(

^r>R

)

, la charge intérieure à la surface de Gauss S a pour valeur G Q_int = π σ2 Rh tandis qu’au contraire, pour un point M à l’intérieur du cylindre chargé

(

^r<R

)

, la charge intérieure est nulle. Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :

( ) ( )

int

0 0 0 0

2 2

à l'extérieur : 2 soit pour ,

2

à l'intérieur : 2 0 soit pour , 0

r r

r

r

Q Rh R e R e

rh E r r R E

r r

rh E r r R E

π σ π σ σ

φ = π = = > = =

ε ε πε ε

φ = π = < =

Remarque 1 : le champ électrique présente une discontinuité à la surface du cylindre égale à σ ε₀. La composante normale du champ électrique, comme il se doit, est discontinue à la traversée d’une surface chargée.

Remarque 2 : à l’extérieur du cylindre, le champ est identique au champ que produirait une distribution linéique uniforme λ = π σ2 R placée sur l’axe du cylindre. Ce résultat est indépendant de la façon dont les charges sont réparties à la surface ou à l’intérieur du cylindre, pourvu toutefois que cette répartition de charge ait une symétrie cylindrique de révolution. En particulier, il en est de même dans le cas d’un cylindre de révolution uniformément chargé en volume.

Cylindre de révolution uniformément chargé en volume

Considérons un cylindre de révolution de longueur infinie, d’axe ∆, de rayon R, porteur d’une charge répartie uniformément dans son volume avec une densité volumique ρ

Nous choisissons une surface de Gauss de la même façon que dans l’exercice précédent et l’expression du flux sortant est la même :

( )

G

r 2

S

E n S E r rh φ =

∫∫

⋅ δ = × π où r est le rayon de la surface de Gauss.

( )

E rr

0 R r

0

σ ε

0

Champ en 1 r

Champ nul

Si le point M est à l’extérieur du cylindre chargé

(

^r>R

)

, la charge intérieure à la surface de Gauss S a _G pour valeur Q_int = πR h² ρ et le champ est identique à celui d’un fil rectiligne uniformément chargé placé sur l’axe ∆. Si, au contraire, le point M se trouve à l’intérieur de la sphère chargée

(

^r<R

)

, alors la charge intérieure ne correspond qu’à une partie de la charge Q proportionnelle au volume délimité par la surface de Gauss.

Dans chacun de ces cas de figure, le théorème s’écrit :

( ) ( )

2 2 2

int

0 0 0 0

2 int

0 0 0

à l'extérieur : 2 soit pour ,

2 2

à l'intérieur : 2 soit pour ,

2

r r

r

r r

Q R h R e R e

rh E r r R E

r r

Q r h r

rh E r r R E e

π ρ π ρ ρ

φ = π = = > = =

ε ε πε ε

π ρ ρ

φ = π = = < =

ε ε ε

Remarque : le champ électrique, cette fois, ne présente aucune discontinuité ni à la surface du cylindre, ni ailleurs. Nous observons de plus que le champ est nul au centre du cylindre : il n’y a pas ici de singularité comme c’est le cas pour un fil chargé.

M

∆

h _S

S₋ S₊

ρ

int 2

Q = π σRh

M

∆

S S₊

ρ

E ₂

Qint = πR hρ E

( )

E rr

0 R r

2 0

ρR ε

0

Champ

intérieur en r 1

Champ en r

Distributions de charges invariantes par translations planes quelconques

Étude de symétrie

L’on se place en coordonnées cartésiennes orthonormées

(

x y z et l’on considère ^{, ,}

)

une distribution de charges telle que les densités de charge ne dépendent que de z.

Cela revient au même de dire que la distribution de charge est invariante par translation de vecteur quelconque contenu dans le plan

(

^{O, ,x y .}

)

M étant un point quelconque de l’espace et H le projeté orthogonal de M sur le plan

{ }

^ex,ey . La droite MH est alors un axe de symétrie pour la distribution des charges et il s’ensuit que la champ électrique est dirigé selon e_z

. De plus, l’invariance par translation implique que la valeur algébrique du champ électrique ne dépend que de z :

( )

^{M z}

( )

^z

E =E z e

Plan infini uniformément chargé : démonstration utilisant le théorème de Gauss Considérons le cas d’un plan infini porteur

d’une densité surfacique de charge σ uniforme.

Il apparaît alors une symétrie supplémentaire : le plan chargé est lui-même un plan de symétrie de la distribution de charge. En conséquence, en un point M′

symétrique de M, le champ ^E′

( )

^{M′ est}

symétrique de ^E

( )

^M . Cela revient au même de dire que la fonction ^Ez

( )

z est une fonction impaire :

( ) ( )

z z

E − = −z E z

Dès lors, le choix de la surface de Gauss s’impose : nous allons considérer une boîte cylindrique de base quelconque et de hauteur 2z disposée symétriquement de part et d’autre du plan chargé de telle sorte que le couvercle supérieur S₊, de forme quelconque et de surface S, se trouve à la cote +z tandis que le couvercle inférieur se trouve à la cote −z. Le champ électrique étant orthogonal au plan chargé, le flux à travers la surface latérale S est nul.

Il reste à remarquer que la vecteur normal extérieur n_ext

s’identifie à +e_z

sur la surface S₊ et à −e_z

sur la surface S₋ pour obtenir l’expression simplifiée du flux sortant de la surface de Gauss ;

( ) ( )

( ) ( )

ext ext _{z z} 2 _z

S S S S S

E n S E n S E n S E z E z S E z S

+ − + −

φ =

∫∫

⊕ ⊕ ⋅ δ =

∫∫

⋅ δ +

∫∫

⋅ δ = − − =

La charge intérieure étant égale à Sσ , nous en déduisons, par application du théorème de Gauss, pour 0

z> , la relation : ^2Ez

( )

^{z S = σ εS 0.}

ez

M

H E

σ

M′

E′

S₋ S

S₊

Qint = σS ez

ey

ex

M

H E

Un point du plan chargé est un centre de symétrie de la distribution de charge : le champ y est donc nul : pour z=0, ^Ez

( )

^{0 =0.}

Soit, finalement :

( ) ( ) ( )

0

0

pour 0

2

pour 0 0 0

pour 0

2

z

z

z E z e

z E

z E z e

 > = + σ

 ε



= =



 < = − σ

 ε



ou encore :

( ) ( )

0

sgn 2 ^z E z = z σ e

ε

Remarque 1 : dans chaque demi espace, de part et d’autre du plan chargé, le champ électrique est uniforme. En particulier, le champ électrique n’est pas nul à l’infini, ce qui peut paraître paradoxal si l’on oublie que nous sommes en présence d’un problème d’école : de la façon dont le problème est posé, il existe des charges à l’infini en quantité infinie.

Remarque 2 : la discontinuité de la composante normale du champ électrique à la traversée de la surface chargée a bien pour expression

0 0 0

2 2

 

σ − − σ = σ

ε  ε  ε . Nous avons déjà démontré la nécessité de cette relation, conséquence obligatoire du théorème de Gauss.

Plan infini uniformément chargé : démonstration utilisant l’équation locale de Maxwell-Gauss

La démonstration étant faite que les composantes E et _x E_y du champ électrique sont nulles et que la composante E ne dépend que de z, la divergence du champ électrique est simplement égale à la dérivée _z de E par rapport à z : _z

( )

^{M z}

( )

^{z div dEz}

E E z e E

= ⇒ = dz

De part et d’autre du plan chargé, la charge volumique ρ est nulle. Nous en déduisons, d’après l’équation locale de Maxwell-Gauss, que la divergence du champ électrique y est nulle en tout point et que, par conséquent, le champ électrique est uniforme dans chacun de ces demi-espaces.

0

div 0 dE^z 0, soit _z ^te

E E C

dz

= ρ = ⇒ = =

ε

Le plan chargé est un plan de symétrie de la distribution de charge, ce qui implique un champ électrique dans tout l’espace de la forme symétrique :

0 0

pour 0 pour 0

z z

E E e z

E E e z

 = + >



= − <



Enfin, nous connaissons l’expression de la discontinuité de la composante normale du champ à la traversée d’une surface chargée et nous en déduisons : ^{E+−E−= +}

(

^{E e0z}

) (

^{− −E e0z}

)

^{=2E e0z =σ εez 0 .}

Et finalement : ⁰

0

pour 0 2

pour 0 2

z

z

E e z

E e z

σ

 = + >

 ε



 = − σ <

 ε



Remarque : des démonstrations du même type peuvent être faites pour déterminer le champ électrique dans des environnements de symétries cylindrique ou sphérique. Dans chaque cas, une étude préalable de l’implication des symétries est nécessaire. Il faut alors disposer de l’expression de la divergence dans le

1.4. Exemples de calculs de champ par intégration vectorielle

Champ électrique dans le plan médiateur d’un segment rectiligne uniformément chargé On considère un segment AB de longueur porteur

d’une charge totale Q uniformément répartie : la densité linéique de charge est donc uniforme et a pour valeur :

λ =Q Étude de symétrie

M étant un point du plan médiateur du segment AB et O le milieu de AB, l’axe OM est un axe de symétrie de la distribution de charge. Le champ électrique en M est donc selon cette direction : le champ est radial.

Champ élémentaire

Considérons le point P du segment AB, de cote z et la charge élémentaire dq= λdz située au point P. Cette charge ponctuelle produit au point M un champ élémentaire conforme à la loi de Coulomb :

2 PM 0

1 4 PM dE = λdz e

πε

Le champ ^E

( )

^M au point M s’obtient par sommation intégrale de ces champs élémentaires dE

, le point P parcourant le segment AB.

Nous l’avons déjà démontré, le champ ^E

( )

^M est un champ radial. Il nous suffit donc pour l’obtenir, d’intégrer les composantes radiales :

2 PM 2

0 0

1 1

4 PM 4 PM cos

r r

dz dz

dE = λ e ⋅ =e λ α

πε πε

Intégration

L’angle α est l’angle sous lequel est vu depuis le point M le segment algébrique OP , défini par la relation tanα =z r, avec r =OM.

Nous avons donc

(

^tan

) (

^cos

)

²

dz=r d α =r dα

α ^et PM cos

= r

α , ce qui nous permet d’écrire :

2

0 0

1 cos cos

4 PM 4

r

dE dz d

r

λ λ

= α = α α

πε πε

Nous obtenons ainsi la composante radiale du champ électrique en faisant varier α sur le domaine

max max

−α ⋅⋅ + α , soit :

max max

max max

max

0 0 0

cos sin sin

4 4 2

Er d

r r r

+α +α

−α −α

λ λ   λ

=

∫

πε α α = πε  α = πε α er

ez

M λdz

P

α α + αd

z z+dz A

O

B

−αmax dE

dEr

D’où l’expression vectorielle :

2

0 2

1 4

4

r

E Q e

r r

= πε

+

Remarque : deux comportements limites sont particulièrement intéressants à observer.

1. Dans la limite d’un fil infiniment long, α_max → π 2 et nous retrouvons bien l’expression du champ calculée à la section précédente en utilisant le théorème de Gauss :

2 0

er

E ^→∞ r

λ πε

∼

2. Dans la limite où l’on s’éloigne du segment chargé à une distance très grande devant sa longueur , nous avons sinα_max ∼ 2r et, par conséquent :

2

4 0 r r

e E Q

→∞ πε r

∼

Le champ est équivalent au champ coulombien que produirait une charge ponctuelle Q.

Champ électrique sur l’axe d’un anneau circulaire uniformément chargé Un anneau circulaire de rayon R est porteur d’une

charge Q uniformément répartie, ce qui correspond à une densité linéique

2 Q λ = R

π ^. Étude de symétrie

L’axe de la spire est un axe de symétrie de la distribution de charge. En tout point M de cet axe, le champ est donc dirigé selon Oz.

Le plan de la spire, plan de symétrie de la distribution de charge, est aussi un plan de symétrie de la carte de champ : la composante E est donc _z une fonction impaire de z :

( ) ( )

z z

E − = −z E z Champ élémentaire

Considérons une charge élémentaire en un point P et exprimons le champ électrique créé en M par cette charge

2 dq= λR dϕ =Qdϕ

π^.

PM 2 0

1

4 2 PM

d e dE = Q ϕ

πε π

Projetons ce champ sur l’axe Oz :

( )

PM

3 2

2 2 2

0 0

4 PM 2 4 2

z z

e e

Q d Q z d

dE

R z

⋅ ϕ ϕ

= =

πε π πε + π

ez

P M

z

dϕ dE

dEz

2 Q λ = R

π

O

dq

Intégration

Il reste à intégrer selon l’angle ϕ ^:

( ) ( )

2

3 2 3 2

2 2 0 2 2

0 0

1

4 2 4

z

Q z Q z

E d

R z R z

= π ϕ =

πε + π

∫

πε +

Et nous obtenons finalement :

(

^{2 2}

)

^{3 2}

4 0 ^z

Q z

E e

R z

= πε +

Remarque 1 : dans la limite où l’on s’éloigne de l’anneau chargé à une distance très grande devant son rayon R, le champ est équivalent au champ coulombien que produirait une charge ponctuelle Q.

Remarque 2 : le centre de l’anneau est un centre de symétrie de la distribution de charge, le champ électrique y est donc nul.

Champ électrique sur l’axe d’un disque circulaire uniformément chargé en surface Un disque circulaire de rayon R est porteur d’une

charge Q uniformément répartie, ce qui correspond à une densité surfacique σ =Q πR².

Étude de symétrie

L’axe du disque est un axe de symétrie de la distribution de charge. En tout point M de cet axe, le champ est donc dirigé selon Oz.

Le plan du disque, plan de symétrie de la distribution de charge, est aussi un plan de symétrie de la carte de champ : la composante E est donc _z une fonction impaire de z :

( ) ( )

z z

E − = −z E z

max 2

0

2

4 3 3

z

E Q

= R πε Ez

2 z

R R 2R

−2R −R O

M z

dEz

2

Q σ = R

π

O

dq

r r+dr ez

P