Alors, il existe au moins un pointαP ra, bs vériantΦpαq “α.Le pointαest appelé point xe de la fonctionΦ

(1)

1

Denition 2.1

On dit qu'une suite pxkq_kPN , obtenue par une méthode numérique, converge vers α avec un ordre pě1 si

Dk0PN, DCą0 tels que |x_k`1´α|

|xk´α|^p ďC, @kěk0. (2.1) oùCă1 sip“1.

Théorème 2.2: Théorème du point xe dans R

Soient ra, bs un intervalle non vide de R et Φ une application continue de ra, bs dans lui-même.

Alors, il existe au moins un pointαP ra, bs vériantΦpαq “α.Le pointαest appelé point xe de la fonctionΦ.

De plus, siΦest contractante (lipschitzienne de rapportLP r0,1r), c'est à dire

DLă1t.q.|Φpxq ´Φpyq| ďL|x´y| @px, yq P ra, bs², (2.2) alorsΦadmet un unique point xeαP ra, bs,la suite dénie en (??) converge versαavec un ordre 1pour toute donnée initialex^p0q dansra, bs,et l'on a les deux estimations suivantes :

|xk´α| ď L^k|x0´α|, @kě0, (2.3)

|xk´α| ď L

1´L|xk´xk´1|, @kě0, (2.4)

Théorème 2.3: Convergence globale de la méthode du point xe SoitΦPC¹pra, bsqvériantΦpra, bsq Ă ra, bset

DLă1 tel que@xP ra, bs, |Φ¹pxq| ďL, (2.5) Soitx0P ra, bset pxkq_kPN la suite dénie parxk`1“Φpxkq.On a alors

1. la fonction Φadmet un unique point xeαP ra, bs, 2. @kPN, xkP ra, bs,

3. la suite px_kqconverge versαavec un ordre1 au moins.

4.

lim

kÑ`8

xk`1´α

xk´α “Φ¹pαq. (2.6)

Théorème 2.4: Convergence locale de la méthode du point xe Soitαun point xe d'une fonctionΦde classeC¹ au voisinage deα.

Si|Φ¹pαq| ă1,alors il existeδą0pour lequelxk converge versαpour toutx0tel que|x0´α| ăδ.

De plus, on a

lim

kÑ`8

xk`1´α

x_k´α “Φ¹pαq. (2.7)

Proposition 2.5

SoitpPN^˚,etΦPC^p`1pVqpour un certain voisinageV deαpoint xe deΦ.SiΦ^piqpαq “0,pour 1 ďiďpet si Φ^pp`1qpαq ‰0, alors la méthode de point xe associée à la fonction Φ est d'ordre

(2)

2

p`1 et

lim

kÑ`8

x_k`1´α

pxk´αq^p`1 “ Φ^pp`1qpαq

pp`1q! . (2.8)

Proposition 2.6: convergence, méthode de la corde

Soitf PC¹pra, bsqtel quefpbq ‰fpaqetλ“ ^fpbq´fpaq_b´a .On notepxkq_kPNla suite dénie parx0P ra, bs et pour tout kě0

x_k`1“x_k´fpx_kq

λ . (2.9)

On suppose de plus que @xP ra, bs

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.10) minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (2.11) alors la suite px_kqconverge vers l'unique racineαP ra, bsdef.

Exercice 2.0.1

Soit f une fonction de classe C¹ sur ra, bs vériantfpaqfpbq ă0.et λ“ ^fpbq´fpaq_b´a . Soitx₀ P ra, bs donné. La suite obtenue par la méthode de la corde est donnée par

xk`1“xk´fpxkq

λ , @kPN. On note Φpxq “x´^fpxq_λ .

Q. 1 Montrer que si pour tout xP ra, bson a

minpλpx´aq, λpx´bqq ďfpxq ďmaxpλpx´aq, λpx´bqq (2.12) alors Φpra, bsq Ă ra, bs.

Q. 2 Montrer que si pour tout xP ra, bson a

minp0,2λq ăf¹pxq ămaxp0,2λq (2.13) alors |Φ¹pxq| ă1.

Q. 3 En déduire que sous les deux conditions précédentes la méthode de la corde converge vers l'unique solution αP ra, bs defpxq “0.

Proposition: ordre de convergence de la méthode de la corde

Soit f PC¹pra, bsqtel quefpbq ‰ fpaq. Si la suitepx_kqdénie par la méthode de la corde en (2.9) converge versαPsa, bralors la convergence est au moins d'ordre1.

De plus, si f est de classe C² sur un certain voisinage V de α et si f¹pαq “ ^fpbq´fpaq_b´a alors la convergence est au moins d'ordre2.

Proposition 2.7: convergence de la méthode de Newton

Soitf une fonction de classeC²sur un certain voisinage d'une racine simple αdef.Soitx0 donné dans ce voisinage, la suitepxkq_kPN dénie par la méthode de Newton

xk`1“xk´ fpxkq

f¹pxkq, @kPN. (2.14)

(3)

3 est localement convergente d'ordre2.

Exercice 2.0.2

En ´1700 av. J.-C., les babyloniens ne connais- saient que les nombres rationnels (fractions) et ils utilisaient le système sexagésimal (base60). Pour approcher la valeur?

2,ils utilisaient comme approximation (voir tablette YBC 7289)

α“1`24 60` 51

60² ` 10

60³ “ 30547 21600 L'erreur commise est|α´

?2| «5.994e´7.

Q. 1 Comment feriez-vous pour trouver à la main une méthode permettant de trouver des nombres rationnels approchant?

2.

Q. 2 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?

a où a est un réel positif.

Q. 3 Généraliser la méthode pour trouver une approximation rationnelle de ?ⁿ

a où a est un réel positif etnPN^˚.

Proposition 2.8: Convergence méthode de la sécante (Admis)

Soitf une fonction de classeC² sur un certain voisinage d'une racine simpleαdef.Soient x´1 et x0donnés dans ce voisinage tels quefpx´1q ‰fpx0q, la suitepxkq_kPNdénie par la méthode de la sécante

xk`1“xk´ xk´xk´1

fpx_kq ´fpx_k´1qfpxkq, @kPN. (2.15) est localement convergente d'ordre ^1`₂^?⁵«1.618.

TrouverαααPU ĂR^N tel que

ΦΦ

Φpαααq “ααα ðñ

$

’’

’&

’’

’% ΦΦ

Φ1pααα1, . . . , αααNq “ ααα1

ΦΦ

Φ2pααα1, . . . , αααNq “ ααα2

...

ΦΦ

ΦNpααα1, . . . , αααNq “ αααN

Théorème 2.9

SoitB un espace de Banach et U ĂB un sous-ensemble fermé. On suppose queΦΦΦ :U ÝÑ U est une application strictement contractante, i.e.

DLPs0,1r, }ΦΦΦpxxxq ´ΦΦΦpyyyq} ďL}xxx´yyy}, @pxxx, yyyq PUˆU. (2.16) Alors

1. ΦΦΦadmet un unique point xeαααPU (i.e. unique solution dexxx“ΦΦΦpxxxq).

2. La suite des itérésxxxxxxxxx^rk`1s“ΦΦΦpxxxxxxxxx^rksqconverge versαααpour toute valeur initialexxxxxxxxx^r0sPU.

(4)

4

3. Pour toutkPN,

›

›ααα´xxxxxxxxx^rks

›

›ď L^k´l 1´L

›

›xxxxxxxxx^rl`1s´xxxxxxxxx^rls

›

›, 0ďlďk (2.17)

On déni la matrice Jacobienne de fff ,notéeJ_fff,par

Jfff “

¨

˚

˝

Bf₁ Bx₁

Bf₁

Bx₂ . . . _Bx^Bf¹

Bf₂ N

Bx1

Bf₂

Bx2 . . . _Bx^Bf² ... ... ...N

Bf_N Bx₁

Bf_N

Bx₂ . . . ^Bf_Bx^N

N

˛

‹

‚

Théorème 2.10

Soitfff P C³pR^N;R^Nq.On suppose que la matrice Jacobienne appliquée enxxx, Jfffpxxxq est inversible dans un voisinage deααα,avecfffpαααq “0.Alors pour toutxxx^r0s susament proche deαααla suite dénie par

xxx^rk`1s“xxx^rks´

´

pJ_fffpxxx^rksq

¯´1

f ffpxxx^rksq converge versαααet la convergence est d'ordre2.