1. Exemples d’applications du champ magnétique 2. Etudier le champ magnétique crée par des

COURS L2- PC, E2i (ESGT, ENSIM),), L2-MATH

Partie II: Magnétostatique

Objectifs

1. Exemples d’applications du champ magnétique 2. Etudier le champ magnétique crée par des

courants constants (Loi de Biot-Savart, Théorème d’Ampère)

Bobines de Helmholtz

Action d’un champ magnétique sur des charges en mouvement

Tube de Crooks

Déviation d’un faisceau d’électrons

par un champ magnétique Trajectoire Hélicoïdale des électrons

•Formulation : Force de Lorentz r r r

F = qv ∧ B

Mesure d’un champ magnétique

1.Principe de la sonde à EFFET HALL

Une plaque (conductrice, semi-conductrice), parcourue par I et soumise au champ magnétique à mesurer.

B

r

Régime transitoire

I I

B b

c a

v B

F - - - -- - - - θ

- - - -- - - - - - - -- - - -

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

-eE H

e

I e I

e ee

B b

c a

v B

F θ

Régime permanent

La force subie par un électron est donné par la loi de Lorentz :

r r r

F = − ∧ ev B

migration des électrons vers la partie haute de la plaque

La nouvelle répartition de charges à l’intérieur de la plaque engendre un champ électrique de Hall et une force électrique de Hall :

r r

F

= − eE

qui s’oppose à la force de Lorentz.

Le régime transitoire s’estompe lorsque les deux forces se compensent exactement :

r r r r r r

F

+ = F 0 ⇒ E

= − ∧ v B ⇒ E

= vB + = vB sin( π 2 θ ) cos θ

la d.d.p de Hall VH entre les faces opposées de la plaque:

V = − E dl = E c = Bvc

+

∫ ^{r r}

( )

. cos θ

Intensité du courant électrique

I nevac vc I

= ⇒ = nea

Tension de Hall

V Bvc I

nea B

H

= = 

  

 

cos θ cos θ

•Si I, n,a, sont fixés par le constructeur,

la mesure de V_Hpermet de déduire Bcos

θ

.

Exemples numériques

Plaque de cuivre : n=8,48.10²⁸m-3, a=0,1 cm et B=1,2 Tesla pour i = 5A la tension de Hall est VH=0,5 .10^-6Volt Plaque semi-conductrice : n=10²⁰m^-3 a = 0,1 cm et B=1,2Tesla

pour i = 0,1 mA , VH=7mV

Un semi-conducteur est plus approprié pour mettre en évidence et utiliser l’effet Hall

Action d’un champ magnétique sur un conducteur parcouru par un courant : Loi de Laplace

B L I B l Id F

fil t

r r r r

r = ∫ ∧ = ∧

) (

Balance de Cotton (intérêt historique) : Illustration des forces de Lapalce

B I

F O

mg H

G

d d’

(I=0), la balance est équilibrée avec une masse mo (le brin du fil centré en H est horizontal).

En présence d’un courant, l’équilibre de la balance est assurée par une masse additionnelle (m).

Condition d’équilibre en fonction des moments:

0 ) ( )

(

/

r r

r F + M mg = M

F : représente la force de Laplace sur le brin du fil de longueur L centré en H (les moments des forces sur les autres brins sont nuls ;

les brins étant des arcs de cercles de centre O).

B L I F

r r r =

∧

F OH F M

r v

∧

= )

/

(

;

g m OG mg

M r

r

∧

= )

/

(

' . .

. .

d L I

d g B= m

⇒

H

O

G

d’ d

L

II- MAGNETOSTATIQUE Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart relie les sources (courant) au champ magnétique crée en tenant compte de la géométrie du système support du courant électrique.

•Le champ magnétique crée en M est donné par :

r

r r

B M idl SM

conducteur

SM ( )

( )

= ∧

µ ∫

π

4

Unités B en S.I : Tesla (T) Sous-unité : Gauss (10^-4T)

µ

= 4 10 π .

H m .

S

M I

dl

I

SM B

Spire circulaire

i x

M dB

R θ

Par raison desymétrie de révolutionautour de l’axe Ox, le champ magnétique total en M est dirigé selon Ox et dans le sens des x croissants (règle du tire bouchon).

Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire

dB M idl SM SM

r r r

( ) = µ ∧

π

4

1ère méthode( intégration)

Les deux vecteurs dl et SM

r r

sont orthogonaux et sachant que le champ total est dirigé selon Ox, on ne va retenir que la composante du champ élémentaire selon cet axe :

dB M idl

SM u

r r

( ) = µ sin

π

θ 4

r r r r

B M idl

SM u i

R Sin

R u i

R u

spire

x x x

( ) sin . sin sin

( )

= ^µ _π

∫

^θ = ^µ _π ^{π θ θ} = ^{µ θ}

0

2 2

0 3

4 4 2

2

http://res-nlp.univ-lemans.fr/NLP_C_M01_G01/co/contenu_37.html

dl S

2ème méthode

r r r

B M idl SM

spire SM ( )

( )

= ∧

µ ∫

π

4

SM SO OM

dl OM dl OM

dl SO S

spire spire

spire

r r r

r r r r r

r r r

= +

∧ =









∧ =

∧ =

∫

∫

∫

( )

( )

( )

0 2

r r

B M i S r SM

i

R u

( ) = µ = sin

π

µ θ

0 3

0 3

4 2

2

r r

S =

π

Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .

i x

R

B(x)

Si on considère une bobine plate constituée de N spires avec un rayon moyen R et de faible épaisseur, le champ magnétique crée par la bobine en un point de son axe est Nx le champ magnétique crée par une spire.

AIMANT

BOBINE

1)Bobines de Helmholtz

Utilité: c’est l’un des rare système qui permet de réaliser un champ magnétique constant dans un certaine région de l’espace. La condition repose sur le choix d’un écartement des deux bobines d’une distance égale à leur rayon moyen.

Bobines identiques

comportant N spires parcourues par un courant I

Composition des champs magnétiques des deux bobines

r r

B M B O ( ) = ( )  − . R

  

  1 1152

4 4

ε

∆ x = ε

Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe Bobines de Helmholtz

R R

O

Symétrie en Magnétostatique

Le champ magnétique est un champ axial et se transforme par les opérations de symétrie différemment que le champ électrostatique ( champ polaire).

Ci-dessous les transformations d’un champ magnétique par des plans de symétrie et d’antisymétrie.

PS

PAS

Champ magnétique = Champ axial

III. Théorème d’Ampère

1.Enoncé

Soit une boucle de courant © parcourue par un courant i.

Soit un parcours fermé (g) et orienté de façon arbitraire.

si (g) intercepte la boucle © :

la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est égale à:

± µ

ⁱ

Si (g) n’intercepte pas la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est nulle.

Formulation mathématique

r r

B dl i

g

.

( )

∫ = ± ^µ

r r B dl i

g

.

( )

∫ = ⁰

(g) ng i (C)

(-)

(g) ng i (C)

(+)

Applications du théorème d’Ampère.

Fil rectiligne infini parcourue par un courant constant

i

(g) r

ng

Symétrie de révolutionimplique que le champ magnétique a une norme dépendante uniquement de r.

Le sens de B est défini par la règle du tire bouchon - ou la règle du Bonhomme d’Ampère ( couché sur le fil et regardant le point ou on cherche le champ magnétique,

sa main gauche indique la direction du champ magnétique).

Le sens du parcours (g) est choisi de telle façon que sa normale soit dans le sens de i.

Le fil ayant une longueur infini, on peut considérer que c’est une boucle de courant de rayon infini.

Le théorème d’Ampère donne :

r r r r

B dl i B r B r i

r u

g

. . ( )

( )

= = ⇒ =

∫ ^µ

^{π µ} _π

2

2

Champ magnétique crée par un solénoïde de longueur infini

i B

Γ1

Γ2

Γ3

Γ

• La circulation de B est nul implique que B est uniforme dans le solénoïde :

r r

B dl. B l. B l. B

( )

= ₋ − ₊ ⇒

∫

Γ1

uniforme dans le solénoïde.

Γ

La valeur de B est nécessairement nulle en dehors du solénoïde.

Γ

r r r r

B dl. = B .l= nli⇒B = ni(−u)

∫

Champ magnétique d’un solénoïde dans le cas où l’on ne tient pas compte des effets de bords (solénoïde de longueur infinie)

FIN COURS L2 (2016-2017)

Conducteur massif de longueur infini parcouru par un courant i de densité j constante

Plan d'Anti- symétrie

Plan de symétrie

Symétrie :

•Axe de révolution implique que B ne dépend que de r.

•Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur

•Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur

•Règle du tire Bouchon : fixe le sens de B

•Symétrie de translation : B indépendant de z.

Calcul de B à l’extérieur du conducteur

(g)

R r

r r

B dl i B r B i

spire

r

. .

( )

= = ⇒ =

∫ ^µ

^{2 π} ₂ ^µ _π

Calcule de B à l’intérieur r r

B dl j r B r B jr ir

spire R

. . .

( )

= = ⇒ int= =

∫

2 0 0

2 2

2 2

Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.

i

n B

La surface délimité par la spire est orienté positivement par le sens de (i) par la règle du tire-bouchon.

Φ = ∫ ^{B dS r r} = ^{B S r r}

S

. .

( )

si le champ magnétique est uniforme.

Flux du champ magnétique

Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde

i B

Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde :

r r

B = − µ

niu

Le flux de B à travers les nl spires se trouvant sur la longueur l est :

Φ = nLB S = n ilS = iL r r

. µ

L’inductance d’une longueur l d’un solénoïde est :

L = µ

n Sl

2 Unité (H : Henry)

Coefficient d’induction mutuelle entre deux portions de deux solénoïdes de même section

i i B

Le flux du solénoïde (1) à travers n2xl spires du solénoïde (2) est :

Φ

= r

r

=

=

=

B n lS . µ n n S li L i Mi

Donc le coefficient de mutuelle-induction est M=L21=L12, son signe est positif si les courants sont orientés dans le même sens sinon , il est négatif.

Inductance propre d’une bobine torique de N spires rectangles ((b-a),c) parcourues par i

a b

i

r r

B Ni

r u

= µ

π

0

2

Montrer que le champ magnétique est donné par :

En calculant le flux, en déduire que l’inductance est de la forme:

a Ln b a N b

L ( )

2

2

0

−

= π µ

Voir l’application du flux magnétique dans le phénomène De l’induction Électromagnétique