Le champ magnétique

(1)

1

Magnétisme

v 7

15

(2)

2

Soleil

Enveloppe magnétique de la terre dévie les

particules chargées du vent solaire

Quelques champs magnétiques dans le système solaire

(3)

3

Magnetar

Système binaire. Une des étoiles explose et devient une étoile "à neutrons" qui va cannibaliser l'autre. Dans ce processus, elle augmente son énergie rotatoire.

A la fin, on a un pulsar avec période de l'ordre d'un ms

(4)

4

Le magnétisme

Une vieille application: la boussole.

Seulement en 1820, H. C. Hoersted découvre qu'un courant électrique induit un champ magnétique (électroaimant).

On observe aussi le phénomène réciproque: un champ magnétique affecte les charges électriques. On peut ainsi induire un courant par l'action d'un champ magnétique (dynamo).

(5)

5

Le champ magnétique

Convention: les lignes du champ magnétique B sont orientées à l'extérieur de l'aimant du Nord vers le Sud

Boussole

Nord géo- graphique B

(6)

6

Force exercée par un champ B

N

S N

S

En utilisant des aimants très longs, on

a pu montrer que la force entre deux pôles est proportionnelle à 1/r².

En introduisant une substance dans un champ magnétique on en modifie l'intensité.

On introduit la constante magnétique K_m (comparer à la constante diélectrique K).

Types de substance

diamagnétique: K_m<1 paramagnétique: K_m>1 ferromagnétique: K_m>>1 r

(7)

7

Champ magnétique et courant électrique

B

I I

B

(8)

8

Force magnétique sur une charge en mouvement

Force de Lorentz

v q

F

B

€

F r = q v r × r B

Puisque v et F sont orthogonaux, le travail est nul:

€

W = Fd l = Fvdt = 0

F est orthogonal à v et à B

(9)

9

Le Tesla

L'unité du champ magnétique est le Tesla (T).

1 T est défini à partir des courants électriques qui permettent de le générer (voir plus loin).

Champ magnétique terrestre ~ 10^-4 T

Plus fort champ dans un aimant ~ 10 T (impulsions 100 T) Pulsar ~10⁸ T

fil rectiligne

€

B = 2k'I R

k' = 10^-⁷T m A^-¹ =10^-7N A^-2 I

R B I = 1 A, R = 2 m ⇒ B = 10 ^-⁷ T

€

B = µ₀I

Autre forme: 2πR µ₀=4πk'

(10)

10

Force magnétique sur un fil

I B I = dQ/dt dQ est la charge qui circule sur un segment dL du

fil dans un temps dt = dL/v avec v la vitesse (de dérive)

F = dQ v × B = I (dL/v) (v × B) I = dQ (v/dL) dQ = I dL/v

F = I B sinθ dL F est orthogonal à l'élément de fil dL et au champ B

θ

F = I (dL × B) donc:

dL

(11)

11

Force magnétique sur une boucle

I B

L

F₁ = I L B F₂ = I L B F₁

F₂

I courant dans la boucle surface A = hL

La force totale est nulle mais le champ B va faire pivoter la boucle autour d'un axe // L

h

Moment du couple de forces τ = h × F₁// à L

τ = h I L B = IAB τ = IA (n × B) n est le vecteur unité normal à la boucle

(12)

12

Moment dipolaire magnétique

d'où τ = IA (n × B) = µ × B

Déf.: µ = IAn est le moment dipolaire magnétique

I A

n

La situation d'équilibre du dipôle est quand µ//B.

De façon analogue au dipôle électrique, l'énergie potentielle de µ dans un champ B vaut

U = - µB cosθ

(13)

13

µ d'une charge sur une orbite fermée

A. M. Ampère avait imaginé que l'origine du champ magnétique macroscopique d'un aimant était le très grand nombre de courants électriques microscopiques présents dans chaque atome.

Calculons le moment dipolaire magnétique pour une charge q en mouvement circulaire. r est le rayon de l'orbite, parcourue à vitesse v.

v q

Courant I = dQ/dt, valeur moyenne: I = q/T r T est la période T = 2πr/v

€

I = qv 2πr Surface A = πr²

€

µ = qv

2 π r π r

²

= qrv

2

(14)

14

µ d'une charge sur une orbite fermée .2

v q

r

€

µ = qrv 2

On peut aussi tirer une relation avec le moment cinétique L L = mvr entraîne:

€

µ = q

2m L

(15)

15

Champ B par un courant

Loi de Biot et Savart

dL

I

€

dB = k'I dL × r ˆ r

²

r

B

Boucle circulaire, rayon R, champ au milieu:

€

B = k'I 2 π R

R

²

= k'I 2 π

B

R

€

k'= µ₀

4π =10⁻⁷ TmA⁻¹

(16)

16

Champ B par un courant .2

€

dB= k'I dL × r ˆ r²

Solénoïde, N spires

L

n = N/L spires/m Champ à l'intérieur:

€

B = 4 π k'In

Fil rectiligne "infini"

P R

r

0 z

€

B = k'I dz

−∞

+∞

∫

^sin_r²^θ ⁼ ^{k'I dz}

−∞

+∞

∫

^{R /r}_r² ⁼ ^{k'IR dz}

−∞

+∞

∫

_(z² ₊¹_R²₎^{3 / 2}

€

B = 2k'I R

θ

dz

(17)

17

Force magnétique entre deux courants

F = I₁ (dL × B) Force sur dL parcouru par I₁,

dans le champ B

€

B = 2k'I₂ r

B ˆ Champ B produit par un fil rectiligne infini, parcouru par le courant I₂

I₂

I₁

dL

où la direction de B est orthogonale à r et au fil.

B r

La force du champ B, créé par I₂, sur le segment dL de I₁:

€

F = I₁ 2k'I₂

r dL × B ˆ

(18)

18

Force magnétique entre deux courants .2

I₂ I₁

dL B

r

Force du champ créé par I₂ sur le segment dL de I₁

€

F = I₁ 2k'I₂

r dL × B ˆ Deux fils parallèles, à distance r:

€

F = I₁I₂ 2k'

r dL sinθ = I₁I₂ 2k' r dL la force est attractive si les courants

sont //, répulsive si anti-//

cas // cas anti-//

B

€

dF

dL = I₁I₂ 2k' r

force par unité de longueur:

(19)

19

La mesure de e/m pour l'électron

-

+

A B C

S Thomson 1897

Les bobines ne sont pas montrées

d

L

y

P₁ P₂ B

B E D

E

1) E=B=0 trajectoire faisceau d'électrons en P₁ 2) E=V_DE/d trajectoire en P₂

3) on garde V_DE et on ajuste B de façon à ramener en P₁.

(20)

20

La mesure de e/m pour l'électron .2

d

L

y

P₁ P₂ B

1) E=B=0 trajectoire faisceau d'électrons en P₁ 2) E=V_DE/d trajectoire en P₂

3) on garde V_DE et on ajuste B de façon à ramener en P₁.

3) les forces magnétiques et électriques s'annulent: evB = eE 2) E=V_DE/d la force est F=eE, a=F/m:

€

y = 1

2 at² = 1 2

eE m

L v

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

où v est la vitesse des électrons

v = E/B

€

e

m = 2y 1 E

v L

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 2y 1 E

E LB

⎛

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟

2

= 2y E

( )LB ²

(21)

21

Spectromètre de masse

source

d'ions

€

F = qv × B

a = F/m = qvB/m

a = v²/R doit compenser

R

⇒ R = mv / qB fonction de p=mv donc de m

E B' v=cte

champs B et E croisés v=E/B'

B

m₁ m₂

détecteur à localisation chambre

à vide

(22)

22

Heidelberg 1944 Cyclotron de E. O. Lawrence

en 1930

10 cm

Cyclotron

Lawrence Berkeley Lab

(23)

23

Cylcotron .2

aimant

aimant cavité en "D"

Injection

de particules chargées

sortie des particules

haute énergie

€

R(t) = mv(t) qB

€

T = 2πR

v = 2πmv

qBv = 2πm

période qB est constante

Au temps t la trajectoire a un rayon:

(24)

24

Trajectoires de particules dans champ B

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25