Sur la création de paires de corpuscules dans les processus de collisions entre corpuscules de spin ħ/2

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Sur la création de paires de corpuscules dans les

processus de collisions entre corpuscules de spin ħ/2

Peter Havas

To cite this version:

438.

SUR LA

CRÉATION

DE PAIRES DE CORPUSCULES DANS LES PROCESSUS DE COLLISIONS

ENTRE CORPUSCULES DE

SPIN 0127/2

Par PETER HAVAS.

Department of _{Physics, Lehigh University, Bethlehem, Pennsylvania,} U. S. A.

Sommaire. - Dans _un travail récent, M. Petiau _a étudié la création

par choc de paires de corpus-cules, décrite comme le passage d’un _corpuscule E de Dirac d’un état d’énergie négative inobservable à un état _d’énergie positivé. Il n’a _{considéré que des couplages} entre les particules en collision et E _qui, par conséquent, passe par un _{état intermédiaire. Il est établi dans cette Note que l’existence possible}

d’un _couplage entre les _particules en collision elles-mêmes peut donner lieu à des états intermédiaires

additionnels du _système, dont la contribution à l’élément de matrice est du même ordre dans les constantes de _couplage. Les modifications qu’il faut donc _apporter aux calculs de M. Petiau sont

indiquées.

LE _JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME

_13,

OCTOBRE

_1952,

Dans un travail très intéressant

publié

récem-ment dans ce

_{journal [I],}

M. Gérard Petiau a étudié la création de

_paires

de

_corpuscules,

_{représentée}

par le passage à un état

_d’énergie

_positive

d’un

Fig. 1. - Processus considérés dans [1].

élément E d’une

_distribution

de

_corpuscules

de

Dirac de

spin f

_{d’énergie négative}

inobservables,

2

par collision de deux

particules

A et B de

spin 2

2

Il a fait ses calculs suivant le schéma

_{général . de}

la

théorie des

_{perturbations}

et a _{considéré deux}

pro-cessus liant les états initial et final.

Suivant

lui,

« dans le

_premier,

la

particule

A

initialement dans l’état

_{Ao d’énergie, impulsion}

et

, masse propre réduites

KAa, KA0,

[J-A,

représenté

par une onde

_plane

à

_l’énergie

_positive

d’ampli-. tude normée dans le volume unité

Uio,

entre en

couplagé

coulombien par

l’action

d’un

_champ

de

particules

neutres

_Co

de

_spin

zéro ou. It- de masses

propres réduites N Ca, avec la

_particule

E

initiale-ment dans l’état à

_énergie

_négative

inobser-vable

_{E1 (- K1, - Kl,}

_Me;

_U1)

_qui

_{passe à}

l’état

intermédiaire à

_énergie

_{positive Ep, (Kp,, Kpl,}

_Me;

_Ul,,),

tandis que A passe de

_Ao

à l’état final

_{Ai (KA1, KA,,}

P-A;

UA,).

L’intervention d’un second

couplage

coulombien par l’action d’un

champ CI

de

_particules

neutres,

de

_spin

zéro ou

h,

de masses _propres réduites _{[J.cl, amène} ensuite E et B de

_Ep,

à

_,E2

K2 K2,

[J-c;

U2)

et de

Bo

(K:o’ KBo,

[J-I;

UBo)

à

_B1

_(KHi"

_Ku1,

_lui:;

_U’L,).

Dans

le

second processus, il y a d’abord

_couplage

_{coulombien par action du}

champ CI

entre B et E

_{qui passent}

de

_{Bo à B1 et}

de

_Es

au second état intermédiaire à

_énergie

posi-tive

_{Ep" (K,,,, Kplf,}

_,ue;

_{U p’)’}

_.puis

ensuite

_couplage

coulombien par le

champ Co

entre E et A

_qui

_passent

de

_Ep"

à

_E,

et de

_Ao

à

_A,

».

Ces processus sont

_{représentés}

_{schématiquement}

sur la

_figure

1

_(2).

Ces processus sont du

_quatrième

ordre dans les

constantes de

_couplage;

mais il

_peut

_y en avoir

d’autres

et,

dans la théorie des

_{perturbations,}

il

Fig. 2. - Processus additionnels du même ordre.

(1) Remarques sur le travail de même titre de M. GÉRARD PETIAU, J. _{Physique Rad., 195I, 12, 9 1 1.}

(2) Cette figure est une _adaptation simplifiée de la figure i

de _[1], avec correction de quelques fautes d’impression.

439

faut étendre la sommation sur tous _{les processus}

de même ordre.

Les processus additionnels sont dus à l’existence

possible

d’un

_couplage

entre _{A et B par} l’action d’un

_{champ C2}

de

_particules

neutres,

de

_spin

zéro ou

_h,

de masses _{propres réduites [J-c9. Ces processus} sont

_{représentés}

sur la

_figure

2. Dans

_le

pro-cessus

_(III),

_{il y} a d’abord

_couplage

coulombien

par action du

champ C2

entre A et B

qui passent

de

_{A o}

à

_Ai

et de

_{Bo à}

un état intermédiaire B’

(Xa, Kp,

MB;

UB,),

puis couplage

coulombien par le

_{champ Ci}

entre E et B

_{qui passent}

de

_,E1

à

_E2

et de B’ à

_Bi.

Dans le _processus

_(IV),

_{il y} a

_couplage

entre E et B

_{qui passent}

de

_Ei

à

_E2

et de

_Bo

à un

second état intermédiaire B"

_(KB’’,

_KB",

_MB;

_UB,,),

et ensuite

_couplage

entre A et

_B,

_qui

_passent

à leurs états finaux

_respectifs.

Les _processus

_(V)

et

_(VI)

sont

_analogues,

avec

_échange

des rôles de A et B et des

_champs

_Co

et

_Ci.

Notons que l’inclusion de ces _processus a fait entrer les trois

_particules

_{symétriquement}

dans

l’élément de matrice. Tous les

_diagrammes

d’impul-sion ont été obtenus à

_partir

de

_(I)

_par permu-tation des rôles de

A,

B et E dans les deux

inter-actions

coulombiennes

nécessaires pour amener de l’état initial à l’état _{final. Sauf pour} le

_signe

de l’état initial de

_E,

ils sont _{les mêmes que} dans le

cas de la

_diffusion

simultanée de trois

_particules.

Naturellement,

on

_{peut imaginer}

_{que les}

parti-cules A et B sont telles

_qu’elles

ne sont _pas

_couplées

par action d’un

champ C2,

ou _que ce

_couplage

est

beaucoup plus

faible _{que les}

autres,

et

_qu’on

_peut

donc

_négliger

les _processus

_{(1 1 1):" (V 1).}

D’autre

part,,

il se.

_peut

_que ce soit le

_couplage

_{par action} de

_{Co qui}

n’existe _pas. En ce-cas, les seuls processus

possibles

sont

_(III)

et

_(IV).

De

même,

on n’a

que

(V)

et

(VI)

si c’est le

_couplage

_par

action de

_Ci

qui

manque. Il est facile de _{voir que dans} ces deux cas, on

_peut

_toujours

utiliser tous les résultats

de

_[1]

_pour les

_particules

discernables

_(problème

1 du travail

_cité)

si l’on

_échange

le rôle des

parti-cules E et B

_(ou

_A)

et aussi des

_champs

_C2

et

_Co

(ou

Ci)

dans toutes

_les

formules en vertu de la

symétrie

des processus

envisagés (3).

,

Un

_exemple

d’un tel cas est la création d’une

paire

électron-positron

par collision d’un neutron

et d’un

_proton

_(si

l’on suppose que les nucléons. ne sont

_couplés

_{que par} un

_champ

_{neutre), puisque}

le

_couplage

de l’électron avec le neutron est

négli-geable

par

rapport

au

_couplage

avec le

_proton.

Des remarques

analogues

sont

_applicables

si A

et B sont

_identiques,

mais discernables de E

(problème

II de

_[1]).

Les résultats de

_[1]

doivent être modifiés si l’interaction _par

action

de

_C2’n’est

pas

négligeable

par

rapport

à _{celle par} action de

_Co

(identique

avec

_Ci

dans ce

_problème).

Par

contre,

des cas où il n’est _{certainement pas}

possible

de n’omettre aucun _{des processus sont} ceux où la

_particule

E est indiscernable de l’un ou des

deux

_particules

en collision

_{(problèmes III}

et IV

de

_[1]).

Considérons,

par

exemple,

le

problème

III de

[1] :

A et E

_identiques,

mais discernables de B. Dans ce

cas, il y a

_couplage

entre B et E dans les

pro-cessus

(I)

et

_(II).

Mais,

E étant indiscernable de

_A,

évidemment il existe un

_couplage

entre B et A

aussi,

identique

au

_couplage

entre B

_et

E;

autre-ment

dit,

C2

est

_identique

à

_Ci.

Il est donc

inévi-table

_d’inclure

_{les processus}

_(III)-(VI).

Pour illustrer la différence

des

deux

méthodes,

nous donnons ici les formules

_respectives

_{pour l’élément de matrice.} Nous utilisons la notation de

_[1],

avec les

simpli-fications

_adaptés

à notre

_{problème :}

Partant de

_{l’expression}

₍₁₅₎

de

_11],

la méthode

de ce travail donnera :

où le deuxième terme est dû à la nécessité

d’anti-symétriser

par

rapport

aux indices

_Ai

et 2.

_(Ici

et

dans

_H2(i)

nous

_{n’indiquons}

_pas

_{explicitement}

_que

l’énergie

et

_{l’impulsion}

d’une

_particule

dans un état

intermédiaire d’un terme

_d’échange

sont différent

de celles du terme direct

_{correspondant.)}

L’élimina-tion des états intermédiaires de cette

_expression

nous donne les

formules

(64)

et

₍₆₆₎

de

_[1]

dans

les cas

_{pseudoscalaire}

et scalaire

_{respectivement.}

Incluant les _processus

_(III)-(VI),

nous obtenons

les

_expressions

additionnelles suivantes :

(3) En faisant cet échange, on doit tenir _compte du fait que ce sont --

Ki et -

Ki qui correspondent à KBo et _KRa

440

L’élément de matrice total est

Comme il faut calculer la trace du carré de H’(’) _pour

obtenir les sections

efficaces,

il est évident que

nous sommes amenés à des

_{expressions beaucoup}

plus complexes

que les formules obtenues dans

[1],

et nous ne les donnerons _{pas ici. En}

_principe,

elles

peuvent

être obtenues sans difficulté _{par la} belle méthode de calcul des traces dans la forme donnée

par M. Petiau

_[2].

Des modifications

_analogues

doivent être

_apportées

au

_problème

_IV.

_Elles

_{s’appliquent}

_{aussi aux}

problèmes

I et II si aucun des

_couplages

n’est

négligeable

En accord avec

_[1]

nous n’avons considérés _que

des

_champs

neutres. Des modifications

addition-nelles seront nécessaires _{pour des}

_{champs chargés.}

Dans toute la discussion ci-dessus nous avons

supposé,

suivant M.

_Petiau,

_{que les} interactions

entre deux

_particules

_peuvent

_{être décrites par des}

éléments de matrice de Moller

_{généralisés.}

Dans les

processus de second

ordre,

ces interactions ont lieu par

simple échange

de

_quanta

virtuels et en éten-dant la sommation sur tous les états

_{intermédiaires,}

on

_arrive,

en

_effet,

à des éléments de

Miller

géné-ralisés de la forme donnée dans

_[1]

si l’on a des

champs

scalaires ou

_{pseudoscalaires.}

Si l’on a des

champs

vectoriels,

les éléments de matrice sont de la forme donnée dans

_[1]

_{pour le} cas de

_couplage

vectoriel,

mais d’une forme

_{plus compliquée}

si l’on a un

_couplage

tensoriel

_[3].

. Si les

processus

sont d’un ordre

plus grand

que

le

_second,

c’est-à-dire si nous n’avons pas diffu-sion

_simple

de deux

_particules,

la situation devient

beaucoup plus

compliquée.

C’est _{parce que} l’inter-action _{n’a pas lieu seulement par}

_échange

_simple

de

_quanta;

il se

_peut

_que l’émission et

_{l’absorption}

d’un

_quantum

virtuel n’aient _{pas lieu} en succession

immédiate,

mais

_{qu’après l’émission}

d’un

_quantum

le

_système

_{passe par d’autres états} intermédiaires

avant

_{l’absorption.}

Ce

_problème

a été étudié _par l’auteur dans le cas

_.spécial

d’interaction

électro-magnétique [4], [5].

Il a montré _{que, dans} ce cas,

l’effet

de ’tous

ces états

intermédiaires

additionnels

se

_réduit,

en

_fait,

à l’introduction des éléments de matrice de

Moller

généralisés

sans

_emploi

de

_quanta

virtuels.

-Dans les travaux si intéressants de M. Petiau

sur la théorie de

_{Bremsstrahlung}

_[6]

et sur la

création

_{de _ paires}

de

_corpuscules

_[1]

_qui

traitent des _{processus de} troisième et de

_quatrième

ordre

respectivement,

de tels éléments de matrice de

Miller

_{généralisés}

ont été

_employés

_pour décrire des interactions autres

_{qu’électromagnétiques.}

Cela a

conduit

l’auteur

à essayer de démontrer

_qu’un

tel

_emploi

est

_légitime

_{pour des processus d’ordre}

quelconque.

Il a _{trouvé que la} méthode

_employée

dans

_[5]

_peut

bien être

_{généralisée}

pour de tels

pro-cessus entre

_particules

_couplées

_par des

_champs

arbitraires. Dans les cas considérés _{par M.}

Petiau,

on

_arrive,

en

effet,

à des éléments de matrice de la

forme _{donnée par lui.} Ces résultats’feront le

_sujet

d’une

_publication

ultérieure.

Manuscrit reçu le 18 mars _1952.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] PETIAU G. - J.

Physique Rad., I95I, 12, 9II; voir aussi

C. R. Acad. Sc., I95I, 232, I9I0.

[2] PETIAU G. 2014 J.

Physique Rad., I95I, 12, 565.

[3]

Voir, par exemple, VAN HOVE L. -

Phys. Rev., I949,

75, I5I9.

[4] HAVAS P. 2014

Phys. Rev., I944, 66, 69. [5] HAVAS P. -

Phys. Rev., I945, 68, 2I4.