Sur le calcul de la diffusion des corpuscules de spin ħ/2 par un potentiel pseudoscalaire radial

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Sur le calcul de la diffusion des corpuscules de spin ħ/2

par un potentiel pseudoscalaire radial

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR LE CALCUL DE

_LA

DIFFUSION DES CORPUSCULES DE

SPIN 0127/2

PAR UN POTENTIEL PSEUDOSCALAIRE RADIAL

Par M. GÉRARD

PETIAU,

Institut Henri Poincaré.

Sommaire.

_{2014 Calcul}

de l’onde diffusée _{correspondant} à une onde incidente _{plane représentant} un

faisceau de corpuscules de _spin

0127/2, dans

le cas d’une interaction pseudoscalaire; 1° constante dans une

sphère de rayon R; 2° de la forme

03B2 0127/r.

JOURNAL PHYSIQUE

14,

1953,

1. Introduction. - Alors

que l’étude de la

diffusion

par un

_potentiel

_{électrostatique}

des

cor-puscules

de

spin A

_{représentés}

_{par les} solutions de

2

l’équation

de Dirac a fait

_l’objet

de très nombreux

travaux

_(1),

le

_problème

de la diffusion de ces

cor-puscules

par un

_{potentiel correspondant}

à une

interaction

_{pseudoscalaire}

n’a _pas été étudié à notre connaissance.

Nous nous _proposons

_ici,

en utilisant les résultats

d’un travail

_précédent

₍₂₎

sur la résolution des

équations

d’ondes du

_corpuscule

de

spin il-

en

inter-2

action avec un

_{potentiel pseudoscalaire}

radial,

de

déterminer

_{complètement}

l’onde diffusée

corres-pondant

à une onde incidente

_{monochromatique}

plane

dans les cas où le

_potentiel

_{pseudoscalaire}

est,

soit constant dans une

_sphère

_{de rayon}

_donné,

soit coulombien de la forme

Ap

r

Nous considérons donc un faisceau de

_corpuscules

incidents

_{représentés}

_{par les solutions} ondes

_planes

monochromatiques

de

_{l’équation}

de Dirac

Dans la

_région

_{d’interaction,}

_{électrostatique}

U

_(r)

et

_{pseudoscalaire h}

I

_(r),

les

_corpuscules

considérés seront

_{représentés}

_{par les solutions} de

_{l’équation}

Pour un flux

stationnaire

caractérisé _par la valeur W de

_{l’énergie,}

on a

(’) Voir, par exemple :

N. F. MOTT et H. S. W. MASSEY. The Theory of Atomic

collisions;

G. PARZEN. _Phys. Rev., 1950, 80, 261 et 355.

(2) à PETIAU. J. _{Physique Rad., ig5i, 12,} 810.

Avec la

_{représentation}

des matrices a

utilisée

_par

H.

Bethe,

le

_{système (2)}

_{pour les fonctions}

_tfj(x,

_y,

_z)

se

_développe

suivant ,

Les fonctions d’ondes solutions de ce

_système

_que nous considérerons seront

_{représentées}

_par des

.combinaisons

de fonctions radiales et de fonctions

sphériques.

Nous utiliserons les

_polynomes

de

Legendre

associés,

normés à

l’unité, q?l

(cos

6)

définis _par

et les fonctions

_sphériques

normées à l’unité

Dans ces

expressions,

1 est un entier

ù

o et l’on a

>

Nous

utiliserons

les fonctions

649 Z,

_(x)

étant une solution de

_{l’équation}

de Bessel

d’ordre v.

En

_particulier,

Z ,

1 pourra être une fonction de

P+,

Bessel

J

1 ou une fonction

de

Hankel

Ht 1) t.

p+g P i

-Nous écrirons alors

’

Les fonctions

xp

satisfont

aux relations de

récur-rence

Asymptotiquement,

à

_partir

de

nous avons

Pour p

= l,

entier ù o,

. Dans le cas où U = _o, I = _o, le

système

(3)

admet deux

_systèmes

de solutions

_{représentant}

des ondes

_planes

_{monochromatiques}

se

_propageant

dans la direction de l’axe Oz :

. On

a

Ã,

Ci,

C2

sont trois constantes. Pour une solution

_{Ç; ’}

mélange

des deux

_systèmes

en

_Ci

et

_C2

_{tel que}

la constante de

normalisation À

a _pour valeur

Nous utiliserons le

_{développement}

de eiK° donné par la

formule

de

Rayleigh

Nous

examinerons successivement le calcul des

ondes

diffusées

_{correspondant}

aux

ondes

inci-dentes

₍₇₎

et

_(8),

d’une

_part

dans le cas d’une

inter-action

_{électrostatique}

.

et d’une interaction

_{pseudoscalaire}

à l’intérieur d’une

_sphère

de

_{rayon R,}

nuls à l’exté-rieur

et,

d’autre

_part,

dans le .cas d’un

_potentiel

pseudoscalaire

2. Calcul des ondes diffusées _par une

_sphère

d’interaction U = const. et I == const. - Dans la

_région

extérieure à la

_sphère

de _rayon

R,

nous aurons à considérer une onde

_plane

incidente de la forme

₍₇₎

ou

(8)

et une onde diffusée

_t.JIf,

solution de

_{l’équation}

Dans la

_région

intérieure à la

_sphère,

nous consi-dérerons

une

onde

_{transmise §§}

solution de

Les solutions

_{’§), rfj,}

_rf}

se raccorderont sur la

sphère

de rayon R de telle sorte _que nous aurons

Ceci nous conduit à

_préciser

la forme des

solutions

de

₍₁₀₎

et

₍₁₁₎

_{représentées}

_{par des} ondes

sphé-riques.

Nous caractériserons ces solutions par les valeurs propres W

de,

l’énergie,

( /n+

1) h

du moment

ciné-tique

total

Nz

et fiK de

_{l’intégrale}

_{première (p. a)}

dont on montre facilement l’existence dans le cas

Écrivant

le

_{système (11)}

se

_décompose

selon ’

Introduisant

la valeur 1t K de

_(p.o-),

on voit

immé-diatement que

-K étant déterminé _par

Avec cette valeur de

K,

la solution _du sys-tème

₍₁₅₎

s’écrit :

’

avec

Tenant

_compte

de la définition de _p, on a

_par

itération

Passant en coordonnées

_polaires,

on en déduit

la solution

_générale

Les

_fonctions

solutions de

_(19),

associées à la valeur

_propre

(ID + ;;) 1i

de

N=

s’écrivent alors :

2

Nous

_désignons

ici

_par

1 K I,

la valeur

_positive

déduite de

_{(1 7)}

,

(

K

1

est réel ou

_imaginaire

_pur).

Considérant les

deux

valeurs _propres

_{± K j}

₁

de

_{(p .0)}

et associant les constantes Al’n

corres-pondantes

en de nouvelles constantes

a?B

but

ou

_{ci, d’i",}

_posant

_. ,

nous

obtenons

les solutions

générales

suivantes,

définies à un facteur de normalisation

_près

et

valables,

soit à

l’extérieur,

soit à l’intérieur de la

sphère

de _{rayon R :}

1° Pour l’onde diffusée

651

Pour déterminer les coefficients

aÍll,

b"z

c"t

d"i

nous écrirons

_{explicitement}

la condition de raccor-dement

₍₁₂₎

pour r = R.

Nous considérerons successivement la diffusion des ondes incidentes en

_Ci

et en

_C2.

1

A. Calcul de la

_diffusion

de l’onde

_plane

en

_Ci.

-La condition de raccordement montre immédia-tement _que les ondes

d’indices

1 et 3 ne font inter-venir que les fonctions

tandis que les ondes d’indices

2

et

₄

ne font inter-venir que les fonctions

Ceci nous conduit à poser

pour §f

et

y;j

les

déve-loppements

suivants dans

_lesquels

ai,

hl,

çr,

di

sont _{des constantes que} déterminera la condition de raccordement :

Nous écrirons maintenant la condition de

raccor-dement

₍₁₂₎

pour r = R _entre

ǧ, § )1,

§J.

Dans ce

_qui

suit

nous

écrirons il

pour il(KoR),

hl _pour

_A/(XoR),

Xl pour

?,(K1R).

Nous obtenons les relations

Nous en déduisons _par

combinaisons,

posant

le

_système

déterminant les constantes a/,

bi,

ci,

dl :

Les coefficients de l’onde diffusée ai et bi sont

alors solutions du

_système

.

Dans le cas de

l’interaction

_{électrostatique}

seule

(1

=

_o),

_ces

équations

se réduisent aux

_expressions

de al et bl. Dans le cas

_général,

la résolution de

₍₃₀₎

donne

Ces

_expressions

déterminent ai et bi

et,

par

suite,

. l’onde diffusée

(26).’

- Des

expressions analogues

déduites facilement de

₍₂₉₎

déterminent ci et

di

et l’onde transmise

_(27).

B.

Calcul

de la

_{di f f usion}

de l’onde

_plane

en

_Cz.

-Le raccord

entre

_{solutions pour} r =

Rlmontre

dans la solution

_{générale (24),}

(25)

que les termes pour

lesquels

m = - I .

’

Tenant

_{compte de}

°

. et introduisant de nouvelles constantes ai,

bi,

ci, di

distinctes des

_{précédentes,}

nous _{posons :}

et

Les conditions de raccordement _pour r = R nous

donnent en écrivant encore _xi

pour j l (KiR),

il

pour

jl(Ko R),

hl

pour

h¡(KoR) :

Posant

nous en déduisons les

_équations

déterminant ai,

bi,

ci, di

Les coefficients de l’onde diffusée

_(33),

ai et

bi

sont _{alors donnés par} le

_système

Pour

1= o,

7 7

o, cas

électrostatique

_pur, on obtient directement par

_(37),

ai et bi. Dans le

cas

_général,

ces

_équations

donnent _par une

réso-lution immédiate les

_expressions

de ai et br

_qui

reportées

dans

₍₃₃₎

déterminent

_{complètement}

l’onde diffusée en

_C2.

Les solutions

_générales

_(24),

_{(25) peuvent}

être

obtenues

d’une

_façon

différente

_susceptible

d’être

généralisée

au cas du

_potentiel

_{pseudoscalaire I (r)}

fonction

_quelconque

de r alors que

_{(p. o-)}

n’est

plus

intégrale première.

Si nous considérons le

_système

_(3),

nous avons montré

dans

un travail

_précédent

(2)

_que celui-ci admettait une solution

générale

combinaison de

fonctions radiales et de fonctions

_sphériques

_qui

s’écrit avec des fonctions

sphériques

normées à

653

Les

_quatre

fonctions

_{F (r), G (r), H (r), K (r)}

sont

_solutions

du

_système

avec

Si U

=

const.,

I ==

_const.,

_posant

on voit immédiatement que

F, G, H,

K sont dé la forme

Les constantes cl, c., c3, c4 ne sont _pas

indépen-dantes.

Les relations de récurrence

₍₄₎

entre fonctions. _Z, donnent

_appliquées

au

_système

(39),

ai ,

b7t

t

dési-gnant

deux nouvelles constantes arbitraires

Nous retrouvons donc les solutions

_générales

₍₂₄₎

et

_(25).

3. Calcul des ondes diffusées par un

_potentiel

pseudoscalaire

coulombien. - Nous considérons maintenant le cas où

7(r)==-’

Les fonctions

r

radiales

F,

G, H,

K sont solutions du

_système

avec ici

La structure du

_{système (44)}

_suggère

immé-diatement de chercher une

_première

solution en

posant

on trouve alors les conditions

çe

qui

détermine

K;

ce

_qui

détermine _p.

Ces conditions étant

_satisfaites,

on a

Si l’on cherche de la même

façon

une seconde solution en

_posant

on obtient les conditions :

déterminant

_{K ;}

d’où

on a

alors,

ces conditions

satisfaites,

Nous

’ obtenons ainsi la solution

_générale

de

_{l’équation}

₍₃₎

_{pour I}

_(r)

== t

_{sous la forme}

r

L’onde

_plane

incidente sera encore

_{représentée}

par les solutions en

_CI

et en

_C2

_que nous avons

données ci-dessus en

₍₇₎

et

_(8).

Pour déterminer l’onde

_diffusée,

nous écrirons que le

système

des ondes incidentes

_q;J

se raccorde

avec une onde

_’fi

_régulière

_pour r = o et dans

laquelle,

par

suite,

les fonctions

_Xp(Kr)

sont des fonctions

_jp(Kr)

et avec une onde

diffusée

_rfd

qui asymptotiquement

se

_comporte

comme une

onde

_divergente,

les fonctions

_yp(Kr)

se réduisant . ici à des fonctions

_{hp (Kr).}

Nous _{écrirons donc que les}

_différences

se ramènent

_{asymptotiquement}

à des

_expressions

de la forme

La

relation

₍₅₅₎

montre

immédiatement

_{que pour} la

diffusion

des ondes en

_Ci,

seules

interviennent

les solutions

₍₅₄₎

_pour

_lesquelles

m =

o, tandis que

dans la diffusion des ondes en

_C2

seules seront à considérer les solutions

₍₅₄₎

_pour

_lesquelles

m = - _{I .}

Nous poserons

donc

avèc

_p

_{et q}

définis _par

655

, Utilisant

l’expression asymptotique (5)

dé

jp (Kr),

nous obtenons pour déterminer les coefficient ai

et

_bi,

les relations suivantes :

I0 Pour l’onde en

_{CI :}

Nous en déduisons

2° Pour

l’onde

en

_{C2 :}

les relations

_analogues

à

₍₆₀₎

donnent dans ce cas

Reportant

ces

_expressions

de ai, bi et celles

de ai-1, bl-1

_qui

s’en

déduisent,

on obtient les

expressions

des ondes diffusées.

Écrivant

les

_expressions

_{asymptotiques}

de ces ondes sous la forme

Nous poserons

Évaluant

de même les fonctions d’ondes diffusées en

_C2,

on trouve facilement

L’onde diffusée totale aura _pour

_expressions

asymptotique

--Si le flux incident est

_représenté

_par un

_mélange

dans

_lequel

CI

=

C2,

la relation

nous donne

Nous aurons alors

La densité diffusée

_{correspondante}

aura _pour

expression asymptot,ique

Tenant

_compte

des

_expressions

de

a2,

k2, M2,

on a

Prenant la _{moyenne sur les valeurs de m} dont

l’origine

est

arbitraire,

on obtient

l’expression

asymptotique

de la densité diffusée dans une direc-tion

_{6, Cf}

.

Si nous

calculons

le flux radial

1.r

= - ctJ* CXr,-¥’

où

en

_prenant

la _moyenne sur _y et en introduisant

l’expression

du flux initial

nous obtenons

L’introduction

dans les

_{expressions (69), (70),}

₍₇₁₎

des fonctions

_{f j}

et _{g; données par}

₍₆₄₎

et

₍₆₆₎

résoud

_{complètement}

le

_problème

de la diffusion des

_corpuscules

de

spin l

_par

un

_potentiel

pseudo-2

scalaire coulombien.