Sur le calcul des sections efficaces de diffusion coulombienne entre corpuscules de spins 0, ħ/2 ou ħ

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Sur le calcul des sections efficaces de diffusion

coulombienne entre corpuscules de spins 0, ħ/2 ou ħ

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR LE CALCUL DES SECTIONS EFFICACES DE DIFFUSION COULOMBIENNE

ENTRE CORPUSCULES DE SPINS

0, 0127/2

OU 0127 GÉRARD

PETIAU,

Institut Henri Poincaré.

Sommaire. 2014 Introduction d’une

représentation simple pour les

systèmes

de matrices irréductibles

de la théorie des corpuscules de _spin o et 0127. _Application au calcul covariant des sections efficaces de diffusion coulombienne _{électromagnétique} ou _{mésique (vectorielle,} scalaire ou _{pseudoscalaire)} entre deux _corpuscules A et B de _spins

o, 0127/2

ou 0127.

TOME 14.

N° 3. MARS 1953.

LE

JOURNAL DE

_PHYSIQUE

ET .

LE

RADIUM

1.

_{Quelques propriétés}

des

_6quations

d’ondes des

_corpuscules

de

_spin

o et fi.

Représentations

ireductibles

_simples.

- Nous

rappellerons

que les

_corpuscules

de

_spin

o ou 1ï sont

_{représentés}

_par

les fonctions

_{d’ondes 4D (x,}

_{y, z,}

_{t), solutions}

_de sys-t6mes

_{d’6quations}

aux dérivées

_partielles,

lin6aires

. et du

_premier

ordre,

de la forme

Les r, forment un

_systeme

de

_quatre

matrices li6es _par les relations

_{générales [1]}

Dès- relations

_{supplémentaires}

entre ces matrices

restrelgnent

celles-ci aux cas

particuliers

des

repre-sentations

irr6ductibles

correspondant,

soit aux

corpuscules

de

_spin

o, soit aux

corpuscules

de

_spin

fi. La

_{representation}

_g6n6rale

la

_plus

_simple

des matrices lIL satisfaisant a la relation

₍₂₎

a 6t6 introduite _par M. L. de

_{Broglie [2]}

dans sa th6orie

du

_photon

dans

_laquelle

on _pose

Les matrices

_y

_y;;)

forment deux

_syst6mes

de matrices de Dirac

_{indépendants}

Nous supposerons, dans ce

_qui

suit,

_{pour faciliter}

1’6criture,

que les matrices

yrl)

et

_yt;)

sont écrites dans la meme

_{representation,}

mais cette

_hypoth6se

n’est pas

indispensable.

Dans les

_{premiers exposes}

de la th6orie du

_photon

donn6s par M. Louis de

Broglie,

cette

_{hypoth6se n’6tait}

pas

adopte.

Les matrices Fv- de la forme

₍₃₎

constituent un

syst6me

r6ductible. Nous

_{indiquerons plus}

loin

une m6thode

_permettant

d’utiliser cette

repre-sentation

_simple

dans les cas

_{d’irréductibilité}

associ6s aux

_spins

o et

A.

Nous

_{d6signerons par f}

une matrice

_quelconque

du

_systeme

des 16

_matrices

_hermitiennes

deduit de

_quatre

ytl,

soit

Nous avons

Désignant .

par

yA+

la matrice

_{transposée de yA}

138

on montre

_qu’il

existe une matrice R hermitienne

telle que l’on ait .

Les

_{matrices ’Y}

se

_r6partissent

au _{moyen de} R en deux groupes :

io Les matrices

_{’Y B1,}

soient

_’Y11-

et

_{i’ltJ.’J,}

telles que

2o Les matrices

y-’,,

soient

telles que

La

_{representation}

₍₃₎

des l’.L 6tant d’ordre

seize,

le

_systeme

₍₁₎

determine seize fonctions d’ondes de

_type

_spinoriel

_(Di,i.

_{(il, 22}

= 1, 2, 3,

4).

On

_{peut remplacer}

ces fonctions d’ondes par de

nouvelles fonctions de

_type

tensoriel 4JA

_(b°,

lW’,

4J’>"’, Wi>vfii,

tJ)[.LVpü’)

en

d6veloppant (Di,i,_,

sur Ie sys-teme

_complet

des seize matrices

y-IR-1.

On 6crit ainsi

et

_{reciproquement}

Tenant

_compte

de

₍₇₎

et

_(8),

on a

Par

suite,

si l’on

_{decompose Pzli2}

en une

_partie

symetrique P(ili2)

et une

_{partie antisymetrique Wj,,,j}

par

rapport

a

_1’6change

des

_{indices i,}

et

_i2,

soit

nous aurons

Les fonctions

_spinorielles

_{symetriques fl(il’2,}

s’expriment

done

_uniquement

au _{moyen des}

fonc-tions d’ondes tensorielles

4 )A,,

les fonctions

antisy-m6triques Wj;,;j

au _{moyen des fonctions} tenso-rielles (D A,.

L’6quation

d’ondes

₍₁₎

avec la

_{representation (3)}

des matrices

r[J.,

soit

nous donne

_multipliée

_{par la} matrice

_(R-(’),,i,

le

systeme

On voit imm6diatement que si

la matrice

_{yP.i,’>}

est du

_type

_y’1

et que si

la matrice

_vy-

est du

_{type yA’2.}

Par

suite,

’Y B

prenant

toutes les valeurs

succes-sive!3 du

_{systeme (5),}

_{1’equation (15)}

nous donne,

en

_prenant

les traces successives, deux

_systemes

tensoriels

_independants

ne faisant intervenir

res-pectivement,

le

_premier

_que les

fonctions

le second que les fonctions +Af..

Ces

_systemes

s’6crivent

Les

_systemes

_(I)

et

_(II)

constituent les

_systemes

maxwellien et non maxwellien de la th6orie du

photon

de M. Louis de

_Broglie

_pour une masse

propre mo evanescente et _pour une masse _{propre mo}

convenable,

independamment

l’un de

l’autre,

les

systèmes

d’6quations

admis

_{généralement}

_pour

representer

les mesons de

_type

« vectoriel » et de

type

«

pseudoscalaire

».

La

_{representation}

matricielle

₍₃₎

conduit done simultanement aux

_systemes

_(I)

et

_(II)

et cette association interdit son

utilisation

dans le calcul des

_phénomènes

dans

_lesquels

interviennent des

corpuscules

repr6sent6s

par un seul de ces

sys-temes,

c’est-a-dire soit de

_{type vectoriel,}

soit de

type

pseudoscalaire.

Les

_{systèmes (I)}

et

_(II)

se rattachent facilement

aux valeurs propres du

_spin

total du

_corpuscule.

En

effet,

on montre sans _{difficulté que} le

_spin

est

_représenté

_{par les matrices}

Le

_spin

total s’ecrit alors

on voit que

-

Tenant

_compte

de la

relation de

Pauli _pour deux

systêmes

de matrices de

_spin

-on 6crit encore

(17)

Par

suite,

si

et si

Ceci montre _{que les} fonctions

_{symétriques O;,;;>}

auxquelles correspondent

les fonctions tensorielles (D4 sont associ6es a la valeur 2 h2 de 82 et _{que les-} fonc-tions

_{antisymétriques}

_4Yj;,;,j,

ou les fonctions

_(DA2,

sont associees a la valeur o de

S2;

la formule

justifie

les valeurs du

_{spin s}

= 1î et s = o attribuees

- aux

corpuscules

_{représentés}

_{par les}

_systèmes

(I)

et

(I I).

Pour obtenir a

_partir

d’une

_{representation}

de la forme

₍₃₎

des

_f!J.,

soit le

_systeme

_(I),

_{soit le} sys-t6me

_(II)

isolement,

nous avons 6t6 _{amene a} pro-poser

[3]

une modification

_simple

des matrices

₍₃₎

telle que dans Ie passage des fonctions d’ondes

spinorielles

aux fonctions d’ondes

tensorielles,

"les

fonctions (D Ai, ou 4DA

_{disparaissent.}

Ceci

exige

que

«Ð it i!t

se rdduire alors

_uniquement,

soit a sa

_{partie sym6trique,}

soit a sa

_partie

antisy-m6trique.

Nous sommes ainsi conduit a introduire les deux matrices de

_projection

On voit immediatement que

Plus

_{generalement,}

_désignant

_par

_T’e,

la matrice

g6n6rale

du

_systeme

d6duit des

_rP.,

soit

on voit _{facilement que}

-

Multipliant l’équation (14)

_par

1)+ _{on n-, on}

obtient

les

_systèmes

_équivalents

a

_(I)

et

_{(II) ,}

-Posant

ces

_systemes

s’ecrivent encore

et constituent des

_{représentations}

matricielles

_simples

des

_{syst ernes}

_(I)

et

_(II).

-Les matrices

_(fj’J.)+

et

_(PU-)-

caract6risant respec-tivement les

_corpuscules

de

_spin

1ï et de

_spin

o

s’6crivent I

Toutes les matrices du

système

d6duit

_des

_(pF)±,

soient

_{(A,):f: s’expriment}

sous la forme

La trace d’une matrice

_(Px,u)--k

s’obtient

immedia-tement sous la forme

En

_particulier,

en évaluant la trace de la matrice i.

ï-::I::.,

on a

2.

_Étude

de la diffusion coulombienne.

-Nous allons maintenant examiner comment se

présente

d’une

_facon

_g6n6rale

le

_problème

de la diffusion coulombienne entre

_particules

de

_spin

quelconque

et

_analyser

_{complètement}

Ie cas de la diffusion entre

_particules

de

_spin

o, /f

et 1£.

Nous examinerons

d’abord,le

cas de la diffusion

électromagnétique

ou

_m6sique

vectorielle. D’une

_fagon

_generale,

nous considérons un

cor-puscule

représenté

par les solutions d’une

_équation

d’ondes lin6aire _que nous 6crivous

Nous ne

_pr6cisons

_{pas la forme} des

_matrices

140

qu’impose

la th6orie

_g6n6rale

des

_equations

d’ondes relativistes.

Nous admettons que

l’op6rateur

P,,

p

d6finit

un

_{quadriyecteur}

densite-courant pour

_lequel

nous avons

_1’equation

de conservation

Nous admettons

_egalement

_que

_{1’equation (33)}

poss6de

des solutions

_repr6sent6es

_par des ondes

planes

a

_{énergie positive}

de la forme

avec

M

_pouvant

_{etre distinct de mo.}

L’amplitude

u est alors solution de

_{l’équation}

Pour une transition entre deux 6tats

_repr6sent6s

par les ondes

planes

a

energies positives

On a

Nous allons maintenant montrer _{que, par} une

extension immediate de la théorie de l’interaction

électromagnétique

coulombienne

_{(ou mesique}

vec-torielle),

on obtient dans le cas de deux

corpus-cules A et B

_repr6sent6s

_{par des}

_equations

d’ondes du

_type

_(33),

un element de matrice d’interaction

g6n6ralisant

1’616ment de matrice de

Miller.

Nous considerons un

_corpuscule

A

_poss6dant

la

charge e.B

(ou

le

_couplage

caractérisé _{par la}

cons-tante _9A avec un

_champ

mesique

_vectoriel),

_passant

de 1’6tat

_{A,(KA,,, K,t,,,}

_{p-.Bo) represente}

_par l’onde

plane

a

_{energie positive}

a 1’etat

_{Al (K’B.l’}

_{KAl’ jJ-,,) represente}

par 1’onde

plane

a

_{energie positive}

en 6mettant un

corpuscule

de

_champ

neutre

_Co

(ko,

ko,

po).

Ce dernier est _{absorbe par Ie}

_corpuscule

B

qui

passe de 1’etat

_{Bo(Kl3u’ Kl3o’}

_[-LBo;

_UBo)’

à l’ état

_Bl

_(KB1,

_Kll1,

_«iD,;

_Uni)

Dans un second _processus, il y aura d’abord emission de

e’o

(ko, - k,, lj-,)

par B et ensuite

absorption

de

_c§

_par A.

La conservation de

_l’énergie

dans le processus

global

et de la

_quantite

de mouvement dans’ les processus 616mentaires nous donne les relations

A 1’emission ou a

_{l’absorption}

de

_{co repr6sent6}

par une onde

_{photonique (ou m6sique}

vectorielle)

de

_type,

soit

transversal,

soit

_{longitudinal, correspond}

les elements de matrice

n,

n’,

n"

designant

trois vecteur unitaires formant

un triedre associ6 au

_quantum

_{eo(ko), (kon)}

₌

_{I ko I.}

Tenant

_compte

des relations d6duites de

_(37),

on

_obtient,

_après

_{simplifications,}

un element de

matrice

_{global qui}

s’ecrit

Posant

nous 6crivons encore

Le

_premier

terme est l’extension immediate de 1’element de matrice de Moller. Le second terme

constitue ce _{que l’ on}

_appelle

le

_potentiel

de

coinci-dence et l’on

_peut

attribuer a son introduction un

caractere artificiel

_permettant

de le

_negliger

dans la suite du calcul.

La formule de Moller est donc valable dans l’interaction coulombienne entre deux

_corpuscules

de

_spin

_{quelconque repr6sent6s}

_{par des}

_equations

d’ondes de la forme

_{(33) lorsque}

1’6mission ou

par

1’intermediaire d’un

_{quadrivecteur}

densite-courant satisfaisant A une

_equation

de

conserva-tion de la forme

_(34).

La section efficace de diffusion coulombienne des

particules

A et B se calculera a

_partir

de 1’616ment de matrice

en evaluant

l’expression

_{1 :jel(l)}

.

Nous supposons ici les

particules

A et B discer-nables.

Posant

nous ecrivons encore

Pour 6valuer

_{S.,o.,l;’°v}

et

_S’B.B,;Ax

en fonction des elements

_dynamiques

initiaux et

_finaux,

il faut

nous

_rappeler

_{que u.Bo’ UA1, UB,,, uB,} sont des

ampli-tudes d’ondes

_planes

a

_énergie

_positive,

norm6es dans le volume unite.

Mais alors que dans le cas du

_corpuscule

de

spin 11,

cette norme, définie _par,

ne souleve aucune

difficult6,

il n’en est _{pas de} meme dans la th6orie des

_corpuscules

de

_spin

o ou h. En

effet,

dans cette derni6re

th6orie,

on montre

qu’en

l’absence de

_champ

ext6rieur

_l’equation

entraine,

a titre de

_{conséquence,}

_1’equation

avec

11 en resulte les deux

_equations

de conservation

Dans le

_premier

cas, la

grandeur

conservative

peut

etre considérée comme un flux d’electricite

en _{caract6risant} 1’« existence » du

_corpuscule

par

une constante

_{intrinsèque,}

ou

_charge

de telle sorte

que celui-ci soit mis en evidence _{par la densite de}

presence

e4)*PO4)

et le courant

_{- ec.p*(3tÐ.}

Dans le second cas, la

grandeur

conservative

peut

etre consideree comme un flux

_d’6nergie

et 1’existence du

_corpuscule

_{caract6ris6e par} une

constante ou

_{pseudocharge g}

de telle sorte _que celui-ci soit mis en evidence par la densite

d’énergie g+*W

et le flux -

gcw*p’W.

11 en resulte deux

possibilités

de normer les fonc-tions d’ondes selon que l’on considère 1’existence du

_corpuscule

mise en evidence par rune ou 1’autre

des densités de

_{presence (D*P,(D}

ou 4D*(D.

Si l’on

_d6signe

_par u+

_{I’amplitude}

de 1’onde

_plane

a

_energie

_positive

normee _{par la condition}

par v+,

I’amplitude

de la m6me onde

plane

A

6nergie

positive

norm6e

_pat

la condition

on a entre ces

_amplitudes

la relation

et cette relation

_permettra

_{de passer d’une} norme

a l’autre.

Dans Ie cas du

_corpuscule

de Dirac de

spin -

-nous savons _{que l’on}

_peut

dans Ie cas de

S,,_,;’x

remplacer

les

_amplitudes

u+- des ondes à

_energie

positive

par une

_{amplitude correspondant}

à 1’onde totale en introduisant un

_projecteur

11 tel _que

et,

par

suite,

Si l’on

adopte

la

_{representation}

₍₄₈₎

des

_pv-,

on

obtient imm6diatement en th6orie du

_corpuscule

de

_spin

o et 1i le

_projecteur

et l’on a encore

Nous _{remarquerons que} ce

_projecteur

II commute avec Y}+ et Ar;-.

- L’introduction de ce

projecteur

va nous

per-mettre de ramener le calcul de

SI.A,;),’,,

a un calcul

142

Nous

_remplacerons

d’aoord les fonctions U

I-P.qr

les

_expressions

IiH

_{correspondantes,}

doil

à

_{Si les fonctions u sont norm6es}

_à

_{l’aide de}

cette

_hypoth6se

_ayant

6t6 admise dans nos Notes

précédentes

[4],

on obtient I

Si Fen

admet,

au

_contraire,

_que les fonctions u

sont normées à 1’aide de

_{l’int6grale}

il faut introduire le facteur de _passage des fonc-tions u+ aux fonctions 1)+

ce

_qui

nous donne

Dans ce

_qui

_suit,

nous

_adopterons

la norme

₍₆₁₎

et

_{l’expression (63)}

de

_S’OAi?Y..

Nos résultats

differeront

t _{done par les facteurs}

K,%,, KA,

Kp.oKD1

de

>x p.jj

ceux _que nous avons

_{indiqu6s précédemment}

_[3].

3. _Galcul

des

sections

efftoaces de

diffusion

coulombienne. - Nous introduisons les covariants

On a notamment

Les relations

₍₃₈₎

donnent alors

Nous évaluerons d’abord

_A.Ai

_{pour les trois}

cas de

_{spin corpusculaire}

2013 ?

o et fl. Dans Ie cas

du

corpuscule

de

_spin

-?

on a

en

_posant

Dans le cas des

spins

o et h, on a

d’ou,

pour le

spin

pour

le

_{spin h}

La section efficace

_{correspondant}

a la diffusion du

_corpuscule

A dans

l’angle

solide

_DUKA,

autour de la direction

_KB1’

tandis que Ie

_corpuscule

B recule dans la direction

_KB1’

a _pour

_expression

ou

ou nA, nn == I, 2, 3 suivant . le

spin

o, it-

ou h des

corpuscules

A et B.

Au _moyen des

_{expressions (67), (68), (70)}

et

_(71),

nous obtenons facilement

_SAuBo;AtB;

_{pour les}

différents-cas de

_spin

_{des particules}

A et

B,

celles-ci restant

discernables.

143

qo Pour A- et B tous deux de

_spin

o,

30 Pour A et

B,

tous

_deixx

de

_{spi-n h}

40

Pour A de

_spin

o, B de

spin ri,

2

5o Pour A de

_{spin li-,}

B de

spin

it-60 Pour A de

spin A,

B de

_spin

o

On voit imm6diatement que ces

_expressions

et, par

suite,

les sections efficaces

_{correspondantes}

ne

sont _pas

_{indépendantés.}

On a les relations

- 4. Interactions coulombiennes

par des

champs mesiques

de

_types

scalaires et

pseudo-scalaires. 2013 Dans _ces

interactions,

les elements

de matrices d’dmission ou

_{d’absorption}

sont f ormes

au _moyen des invariants et des

_{pseudo-invariants}

de la thdorie des

_corpuscules

consideres.

On voit facilement

_qu’il

existe dans le cadre de

la th6orie des

_corpuscules

de

_spin

o et 1ï. les deux

invariants

_{représentés}

_{par les matrices}

et dans le cas du

_{spin h}

seulement,

le

pseudo-invariant

_représenté

_{par la}

matrice

On démontre pour les

champs

scalaires associ6s à des vecteurs ou â des

_{pseudovecteurs}

des th6or6mes

d’équivalences

analogues h

ceux _{que l’on} rencontre dans la th6orie des interactions scalaires et

pseudo-scalaires des

corpuscules

de

spin

2

On

_peut

donc ne _{considérer que les interactions}

associ6es aux invariants et

_{pseudo-invariants}

Wi

(i

= _{I , 2,}

_3).

-

On obtient alors immediatement les éléments de matrice de diffusion coulombienne par un

_champ

m6sique

neutre,

scalaire ou

_{pseudoscalaire}

dans le cas des

particules

discernables .

-et dans le cas d’indiscernabilité

_{entre A1}

et B1 (IIA

= jmB)

Le calcul des sections efficaces de diffusion se

ram6ne donc a 1’evaluation des

_expressions

de la

forme .

144

Dans le cas des

_spins

o

_{et 1i,}

on a

On verine sur la

seconde

de ces

_expressions

l’impossibilite

que

nous avons

_{deja signal6e}

d’un

couplage pseudoscalaire

direct entre un

_champ

pseudoscalaire

et une

_particule

de

_spin

o

_{(de nature}

scalaire ou

pseudoscalaire).

Dans le cas d’indiscernabilite entre A et

B

(P.A = P-B)’

le calcul des termes croisés’ conduit

aux

_expressions

On obtient ainsi :

-10 Dans le cas du

champ

scalaire

2° Dans le cas du

champ -

pseudoscalaire

Au moyen de ces diverses

_expressions,

on construit

sans dinlcultés les formules

globales

donnant les

sections efficaces de diffusion coulombienne _par un

champ

mésiquè

scalaire ou

_{pseudoscalaire}

entre deux

_corpuscules

A .et B dont les

_spins

sont

o,

it-2

ou 5.

Manuscrit recu le 17 novembre 19 5 2.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] PETIAU G. 2014 Thèse, Paris, I936; Mém. Acad. Sc. Belgique,

I936, 16.

[2] DE BROGLIE L. 2014 Une nouvelle conception de la lumière,

Paris, I934; Une nouvelle théorie de la lumière, t. _I,

Paris, I940.

[3] PETIAU G. - _{C. R. Acad.}

Sc., I952, 234, I534. [4] PETIAU G. - C. R. Acad.