Sur les équations d'ondes des corpuscules de spin quelconque. II

HAL Id: jpa-00233977

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00233977

Submitted on 1 Jan 1946

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur les équations d’ondes des corpuscules de spin

quelconque. II

Gérard Petiau

To cite this version:

SUR LES

_ÉQUATIONS

D’ONDES DES CORPUSCULES DE SPIN

_QUELCONQUE.

II. Par GÉRARD PETIAU.

Institut Henri Poincaré.

Sommaire. 2014 Étude des _{équations d’ondes} des _corpuscules de _spin total

maximum 32

h 203C0

et 2.

2 h/2~

dans la théorie _générale introduite dans la _{première partie} en mettant en évidence la séparation des équations d’ondes générales en systèmes relatifs aux différents états de masse.

.

Nous avons étudié dans la

_{première partie}

₍₁₎

les

_{prôpriétés générales}

des

_corpuscules

de

_spin

n

‘,~ ’l _t= , / 4

au _moyen d’une

_équation

d’ondes

_{généralisant}

les

équations

considérées dans les théories de Fierz

et de L. de

_Broglie.

Dans notre théorie le

corpus-cule de

_spin

total maximum, n

h

était

_représenté

_par

les solutions

_{If 11J¡,... ln}

d’un

_système

_{d’équations}

linéaires aux dérivées

_partielles

du

_premier

ordre

que nous avons écrit sous la forme

aBec

Nous

_développons

ici l’étude des solutions de

ce

_système

dans les cas

_particuliers

n - 3

et

_{n = fi}

_{correspondant}

au

_corpuscule

de

_spin

total

maximums /1

et au

_corpuscule

de

_spin

total maximum 2 .

:~

dont l’introduction semble

_permettre

de donner

_{une interprétation quantique}

des

phéno-mènes d’interaction

_gravifique

à l’échelle

micro-scopique

et de

conduire,

dans une théorie

super-quantifiée,

à une

_{interprétation}

nouvelle des théories

des

_champs

de la relativité

_{généralisée.}

."

1.

Étude

du cas

_particulier

n = 3. -

L’équa-tion d’ondes s’écrit ici

et

_{l’opérateur S}

satisfait à

_{l’équation}

et, par

suite,

nous avons .

(1) J. Phys., 4, 1946, p. I?4

Nous aurons à considérer deux classes due

solu-tions ul,,,

telles que

Ces solutions

_{appartiendront}

donc à des états de

masse _{mo et}

_3mo.

Si nous _posons nous aurons Si nous _posons nous aurons avec

Les solutions de

₍₄₉₎

et

₍₅₀₎

sont solutions

simul-tanées de

qui

se ramènent à

avec comme

_conséquence

Les solutions de

₍₄₉₎

et de

₍₅₁₎

sont solutions de

qui

peut

s’écrire encore, l’ordre de

_numérotage

étant

indifférent,

"

182

Ces

_systèmes

se

_remplacent

soit _par

soit par

avec _pour

_{conséquences}

Si _{l’on pose dans}

₍₅₄₎

où clans

_(54’)

.,

ces

systèmes

s’écriront

On retrouve

ainsi,

dans le cas de masse _{3 mo,} un

système

de même forme que

(51)

dans

_lequel

on a substitué 3~,, et

_{~ri1,2i3 â ~~}

et

Nous introduisons des ondes tensorielles mixtes en

_posant

L’application

de

_{l’opérateur}

à

l’équa-tion

₍₄₉₎

nous donne le

_{système général}

Dans le cas

_{où û}

se réduit c’est-à-dire où est solution de

d’après

les résultats de l’étude

_précédente

ce

_système

doit se ramener à

Dans le cas

_{où ul}

se réduit à solution de

le

_{système (57)}

se

ramené,

soit selon le

_type

₍₅₄₎

à

soit suivant le

_type

_(54’)

à

Nous allons retrouver directement ces

décompo-sitions à

_partir

des

_{équations (57).}

10 Considérons le cas où , .

Posant = les deux

premières

équa-tions du

_systèmes

₍₅₇₎

s’écrivent

Appliquons d,,

à

_{(61, 2),}

nous avons ,

et, par

itération,

d’où

De même formant avec

_(61,

₁₎

la

combinaison

nous obtiendrons

et, par

itération,

nous en tirons

L’équation

(61,

1)

nous donne alors

éliminant à

_partir

de

_(61,

_2),

nous obtenons d’où

reportant

dans cette

_expression

la valeur de

J

tirée de

_(61),

nous obtenons

écrites sous la forme

nous donnent

et, par

itération,

(66, 1) multipliée

par s donne

Éliminant

_{s O, ;}

et on obtient

et de même

D’autre

_part,

on voit immédiatement que

Nous avons donc bien obtenu avec les

équa-tions

_{(64), (65), (68),}

₍₆₉₎

et

₍₇₀₎

le

_système

_(58).

Zo Nous allons maintenant considérer le

sys-tème

₍₅₇₎

avec la restriction

s

appliqué

à

(61,

1)

donne

d’où

Nous avons

donc,

soit

soit

De

même,

en

_{appliquant s}

à

_{(61, 2),}

nous obtenons

d’où

De même

_{(66, 1)}

et

_(66,

₂₎

nous donnent

d’où

et les

_équations

_(71),

_{(72), (73), (74)}

nous redonnent

bien dans le cas a le

_système

_(59),

dans le cas b

le

_système

_(60).

L’hypothèse

de Fierz sous la forme

_symétrie

en

_{i,, i2,}

_i3

de

_~~;l,i:,~,

annule

_yl

et réduit le

_{système (57)}

aux deux

_équations

°

avec

2.

Étude

du cas

_particulier

rt ----

_Q.

-

L’équa-tion fondamentale s’écrit

où

L’opérateur S

satisfait à identité

d’où l’on tire

Les solutions de

₍₇₆₎

se

_{répartissent}

en deux

types

correspondant

aux états de masse mo et 2mo, avec

Les solutions

_{If¡ 0)}

sont solutions

simultanées

de

système

équivalent

à

avec, comme

_{conséquences,}

Ce cas

_correspond

à la théorie

_développée

par M. L. de

_{Broglie (Théorie générale}

des

_{particules à}

spin,

Chap. XI).

184

qui

s’écrivent encore

avec, comme

_{conséquences,}

Si nous introduisons la transformation

et si nous _posons

le

_système

₍₇₈₎

s’écrit encore

Nous inlroduirons des ondes _{tensorielles par} les

combinaisons linéaires

et nous aurons de même des liés aux par

"

Sous forme tensorielle le

_système

₍₇₆₎

s’écrit

Dans le cas où

on a

et ce

_système

se

_simplifie

en se réduisant à

Dans ce cas on

_peut

introduire des fonctions d’ondes

_symétriques

et

_{antisymétriques}

et

_remplacer

le

_système

_{ci-dessus par} des

_systèmes

entre ces fonctions.

Dans le

cas où

nous avons

et le

_système

tensoriel

_général

se réduit aux

équa-tions .

Nous obtenons ainsi les

_systèmes

_{correspondant .}

aux deux états de masse à

_partir

du

_système

prin-cipal.

Je remercie M. le Professeur Louis de

_Broglie

pour la bienveillante attention

qu’il

a

bien

voulu