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Submitted on 1 Jan 1990
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FORMULATION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DE PROPAGATION ET DE DISPERSION DES ONDES
SONORES DANS LES FLUIDES VISCOTHERMIQUES
M. Bruneau, J. Polack, P. Herzog, J. Kergomard
To cite this version:
M. Bruneau, J. Polack, P. Herzog, J. Kergomard. FORMULATION GÉNÉRALE DES ÉQUA- TIONS DE PROPAGATION ET DE DISPERSION DES ONDES SONORES DANS LES FLU- IDES VISCOTHERMIQUES. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-17-C2-20.
�10.1051/jphyscol:1990204�. �jpa-00230372�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2. Tome 51, Février 1990 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
C2-17
FORMULATION GÉNÉRALE DES ÉQUATIONS DE PROPAGATION ET DE DISPERSION DES ONDES SONORES DANS LES FLUIDES VISCOTHERMIQUES
M. BRUNEAU, J.D. POLACK, P. HERZOG et J. KERGOMARD
Laboratoire d'Acoustique, Associé au CNRS (DRA 1101), Université du Maine, BP. 535, F-72017 Le Mans Cedex, France
Résumé - Dans un nombre croissant d'applications acoustiques, les caractéristiques des dispositifs sont fortement influencées par la nature viscothermique du gaz. Il en résulte un besoin d'affinement de la formulation des équations de propagation acoustique et de dispersion dans les fluides. La formulation que nous présentons ici, dérivée de la théorie classique de la propagation acoustique en fluide doué de viscosité et de conduction thermique, dans le domaine temporel, aboutit à une équation de dispersion générale pour les ondes'harmoniques en milieux limités, de laquelle nous déduisons en particulier la constante de propagation des Triodes de tous ordres dans les tubes cylindriques aux parois rigides.
Abstract - In an increasing number of applications in acoustics, the characteristics of devices are strongly influenced by the visco-therraal nature of gases. As a consequence, we need to improve the formulation of equations of acoustic propagation and dispersion in fluids. The formulation which is presented here, derived from the classical theory of acoustic propagation in viscous and heat conducting fluids, in the time domain, provides us with a general dispersion equation for harmonic waves which has application to several boundary problems. We show as a particular example of its application, how we have obtained the propagation constant of waves, for all kinds of modes, in rigid walled cylindrical tubes.
1 - INTRODUCTION
Cette étude a trouvé son origine dans l'absence d'expression générale de relation de dispersion pour la propagation acoustique en fluide visco-thermique en milieux limités. Suivant le contexte géométrique (cartésien , cylindrique ou sphérique) et la complexité des champs acoustiques considérés (mono ou multi-modes), et suivant le degré de précision requis pour l'application envisagée (gyrométrie, mesure fine de célérité en cavité, propagation guidée avec applications diverses, etc . . . ) , diverses relations de dispersions approchées ont été proposées dans la littérature, dont certaines très récemment /l à 6/ ; leur insuffisance dans certains cas peut désormais être palliée, et la justification dans certains autres apportée, par le résultat dont nous proposons la présentation ci-dessous.
En outre, la formulation retenue au départ permet de proposer une nouvelle présentation de la théorie classique fondamentale de la propagation acoustique en fluide visco-thermique qui est valable non seulement dans le domaine fréquentiel, disponible dans la littérature /7/, mais aussi dans le domaine temporel.
2 - LES EQUATIONS FONDAMENTALES
Les variables permettant de décrire les états dynamiques et thermodynamiques des fluides considérés sont la pression acoustique p, la vitesse particulaire v, les variations instantanées de masse volumique p' , les variations d'entropie s et celles de température T. Les paramètres qui traduisent les propriétés et la nature du fluide sont les pression P, température T et masse volumique p, les coefficients de viscosité de cisaillement u et de volume t}, le coefficient de conduction thermique A, les capacités calorifiques par unité de masse à volume constant C et à pression
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990204
COLLOQUE DE PHYSIQUE
constante C leur rapport = C /C et le coefficient d'augmentation de
P ' P v'
pression à volume constant
6 .
Un ensemble complet d'équations homogènes linéaires pour les petites amplitudes des perturbations est obtenu à partir des équations de Stokes-Navier, de conservation de la masse, de conduction de la chaleur (Fourier), et celles exprimant que les masses volumiques et l'entropie sont des différentielles totales exactes ; elles peuvent être écrites comme suit, hors des sources /8/ :
avec div
3
= Ov et ràt
3,
=à
( 5 )où les longueurs caractéristiques
V, eb
et-$,
sont définies comme suit (c est la vitesse du son) :et où
?l
désigne la vitesse laminaire, somme de la vitesse acoustique et de la vitesse entropique (ve+
=3
+3
désigne la vitesse tourbillonnaire vDu système d'équations ( 1 ) à (31, on peut déduire les équations de propagation pour la température acoustique t et de dispersion pour la
a température entropique rh (r = t + rh) :
et les expressions des pressions et des vitesses acoustiques et entropiques :
et
~h
est déduit de a en changeant R en (-RI.Les équations (4.51, (6.7). ( 8 ) et (9) forment l'ensemble complet d'équations à partir duquel les solutions générales du problème peuvent être obtenues.
3
-
CONDITIONS AUX FRONTIERES. EQUATION DE DISPERSIONL'écriture des conditions aux frontières à appliquer à ces solutions, dans le domaine fréquentiel, permet d'obtenir une équation de dispersion générale, englobant toutes les géomktries compatibles. Ces conditions aux frontières sont les suivantes : vitesse particulaire instantanée totale nulle sur les parois parfaitement rigides
(3
+?
+3
= O) et variationsa h v
de température nulle aux parois (r,+th = O). Des calculs assez longs conduisent à l'équation de dispersion générale "exacte" cherchée :
où u désigne la coordonnée généralisée correspondant à un axe normal à la frontière (sortant du domaine),
2
désigne les deux coordonnées généralisées associées aux deux autres axes orthogonaux situés dans le plan tangent à la frontière,as est une notation qui définit la dérivée partielle
au
prise en u = s, i.e. sur la paroi,v (s)représente la composante de la projection de la
VW
vitesse tourbi 1 lonnaire sur 1' un quelconque des deux axes dans le plan tangent.
Cette équation de dispersion (111, exprimée en géométrie cartésienne, redonne l'expression bien connue (voir /9/ par exemple) de l'admittance spécifique équivalente Ya d'un plan rigide,qui traduit les effets des couches limites visqueuses et thermiques:
où k désigne le nombre d'onde acoustique et k sa projection sur la ax
normale au plan.
C O L L O Q U E
DE
PHYSIQUEL'équation (11 1. utilis6e pour un domaine sphérique, conduit à l'équation suivante.qui donne les fréquences de résonance (ka) des résonateurs sphériques (rayon RI :
La méme équation (11). exprimée pour un domaine cylindrique d' axe Oz et de rayon R. conduit à 1'6quation dont la solution donne la constante de propagation k :
az
x
RJ' (2 R) xhR J;(xhR) a m a- -
J~(X,R) a Jm(xhR)
avec
xa
= *x v - -
Nous avons là l'expression générale de l'équation de dispersion pour un cylindre dont seule l'expression approchée au plus bas ordre possible n'était connue auparavant /4,10/. par des solutions qui assumaient au départ le concept d'admittance spécifique équivalente (eq.12). Ce concept n'étant acceptable que lorsque la surface cylindrique peut être supposée localement plane en regard des longueurs d'onde acoustiques considér6es, il interdisait 1' usage des solutions approchées pour les tubes étroits. Des solutions générales de cette équation, généralisant celles de Zwikker et Kosten pour le mode plan, ont été calculées /Il/.
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