Influence de la viscosité et de la conduction thermique dans la propagation guidée des ondes acoustiques

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Submitted on 1 Jan 1973

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Influence de la viscosité et de la conduction thermique dans la propagation guidée des ondes acoustiques

T. Ahiskali, G. Zepp

To cite this version:

T. Ahiskali, G. Zepp. Influence de la viscosité et de la conduction thermique dans la propagation guidée des ondes acoustiques. Journal de Physique, 1973, 34 (10), pp.917-922.

�10.1051/jphys:019730034010091700�. �jpa-00208106�

INFLUENCE DE LA VISCOSITÉ ET DE LA CONDUCTION THERMIQUE

DANS LA PROPAGATION GUIDÉE DES ONDES ACOUSTIQUES

T. AHISKALI et G. ZEPP

Physique

^des

Ondes,

^UER

Sciences,

Université de

Clermont-Ferrand,

⁶³¹⁷⁰

Aubière,

^France

(Reçu

^{le 2 mars}

1973,

^{révisé le 16 avril}

1973)

Résumé. - On étudie le

problème

de l’atténuation d’ondes acoustiques ^se propageant ^{dans un}

guide rigide,

par suite de la viscosité et de la conduction

thermique.

^{On utilise une méthode}

expéri-

mentale

plus précise

que celles

employées

habituellement et on montre, ^{dans le cas de l’air et d’un}

guide rectangulaire,

^{l’accord entre} les résultats

expérimentaux

^{et les}

prévisions

d’une théorie détail- lée.

Abstract. ²⁰¹⁴ Wall losses due to

viscosity

and heat conduction in

rigid-walled waveguides

^are

studied. An

experimental

^{method more exact} than usual methods is used. For a

rectangular tube,

it is shown that the

experimental

^{results are in}

satisfactory

agreement ^{with the}

theory.

Classification

Physics ^Abstracts

03.40

1. Introduction. ^- Si l’on s’intéresse à la _pro-

pagation

des ondes

acoustiques

^à l’intérieur d’un

guide,

^{on est} amené à faire l’étude de l’atténuation de l’onde par suite des effets de viscosité et de conduc- tion

thermique

^{dans le cas où la}

propagation

^{a lieu}

dans un fluide

visqueux.

Les travaux de

Rayleigh, qui

^{donne une solution}

approchée

^{de ce}

problème

^{dans le cas des très hautes}

et des très basses

fréquences,

^{ont été}

développés

par divers auteurs notamment Shaw

[1] ]

^{et Lam-}

bert

[2].

^{Mais du}

point

^{de vue}

expérimental,

^les

études ont été relativement peu nombreuses.

Après

^le

rappel

d’un certain nombre de résultats

classiques

^{nous abordons} l’étude de la

propagation guidée proprement

^dite.

Nous faisons

l’analyse théorique

^{dans le cas d’un}

guide rectangulaire

^et comparons ensuite ^avec les résultats obtenus. Les mesures ont été faites dans l’air pour le mode

(1, 0)

^{et dans la gamme de fré-}

quences 1 900-3 000 Hz

[3].

2. Etude

théorique.

^{- Pour un fluide}

visqueux,

on

peut

^écrire

(équation

^de

Navier-Stokes)

^{en un}

point

^{donné :}

où u est la

vitesse,

p la ^masse

volumique,

p la

pression acoustique (c’est-à-dire

la variation de

pression

^due

au passage de

l’onde) et q, Ç

les coefficients de vis- cosité.

Etudions le cas

plus particulier

^{où u et p sont}

proportionnels

^à

exp { i(k. r - ^cot) }.

Si les vitesses et les variations de

pressions

^sont

suffisamment faibles on

peut

écrire de

façon

appro- chée à

partir

^de

(1)

^{et en mettant u sous la forme}

n ⁼ ui + Ut ^avec rot u, ⁼ 0 et div _u, ⁼ 0 :

ce

qui

^{met en évidence deux}

types

de mouvements, dont la

composition

^{donne le mouvement}

général.

Par ailleurs

l’équation

de conservation de la cha- leur s’écrit en

première approximation :

T étant la

température

^au repos, ⁱ la

température acoustique (variation

^{de la}

température

^{due au}

passage de

l’onde)

^et la variation de

l’entropie.

D’après

^{la théorie}

cinétique

^des gaz, la conductivité

thermique K

^est donnée par

(4) :

Dans

(4)

^{1 est} le libre parcours moyen des molécules du _{gaz, y} le

rapport

des chaleurs

spécifiques ClCv

et c la vitesse du son pour ^une

propagation

^adiaba-

tique.

Définissons

par à

⁼

(ôP/ôT)v

^la variation relative de la

pression

^{avec la}

température,

^{à volume constant.}

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:019730034010091700

918

On

peut alors,

^à

partir

^de

(2), (3),

^{et en tenant}

compte

des relations

thermodynamiques

reliant les différentes

grandeurs,

^{établir les relations}

(on

suppose que les fluctuations de

température

^{et de}

pression

^sont

faibles) :

lc, lv, l’v

^{étant des}

longueurs caractéristiques

^{du milieu}

et définies _{par :}

Li

Les fluctuations

thermiques

^et

dynamiques

^corres-

pondant

^au passage de l’onde ^{en un}

point

^donné

se feront sentir de

façon appréciable

^{à des distances}

d’autant

plus grandes

^{de ce}

point

^que

le

^et

1,, l’v

^res-

pectivement

^{auront des valeurs}

plus

^élevées.

Les

éq. (5)

^à

(8)

^étant

linéaires,

la solution corres-

pondant

^{à un}

problème

^{donné sera obtenue en déter-}

minant la combinaison linéaire de solutions

parti-

culières

qui

^{satisfait aux} conditions aux limites.

Ces solutions

particulières peuvent

être très diffé- rentes de forme. Si on veut une valeur

de p

propor- tionnelle à

exp { i(k.r - wt)}

^{on a :}

la relation entre k et la

pulsation

^{co étant obtenue}

par l’intermédiaire de

(5), (6), (7).

2.1 Pour ^une onde presque

adiabatique ^k2

^sera

voisin de

(W/C)2.

^{On en} déduit alors :

Etant donné que

le

^et

1,

^{sont très}

_petits,

^{dans les}

calculs nous avons

négligé

^{les termes d’ordre}

supé-

rieur à un par

rapport

^à

i

^et

l’v.

^Pour

l’air,

^{dans les}

conditions normales

1,’Ic

^et

1,,Ic

^sont de l’ordre de

10-9

^s. Dans la gamme des

fréquences acoustiques

la vitesse de

propagation

^{est très}

proche

^{de c et}

l’atténuation faible.

Un tel mode favorable à la

propagation

^sera

appelé

^«

propagateur

^{». Pour ce mode :}

2.2 On

peut

^{trouver une autre solution en admet-}

tant que p ^est faible _par

rapport

^{à ai.}

Dans ce cas :

(13)

^montre

qu’il

y ^a alors une atténuation très

rapide, l’énergie perdue

^{par l’onde se} retrouvant sous forme

thermique.

^{Le mode est dit}

thermique.

^{On a}

égale-

ment :

L’expression (14) légitime l’hypothèse

^de

départ.

Par ailleurs il est

possible

^{de montrer} l’existence de modes dits transversaux, associés à

l’éq. (8)

^et

correspondant

^à

ce

qui indique

^un amortissement

également

^très

rapide.

^{Ces modes ne}

s’accompagnent

d’aucune varia- tion de

pression

^{et de}

température.

Considérons maintenant le

problème

de la propa-

gation guidée.

La conductivité

thermique

^{du maté-}

riau des

parois

^étant habituellement nettement

plus grande

que celle du milieu intérieur au

guide,

^on

peut

^{admettre que 1 =} 0 à la surface du

guide.

^Si

les

parois

^du

guide

^ne sont pas

parfaitement rigides,

nous pouvons attribuer à la surface des diverses

parois

^une

impédance acoustique

^{Z =}

P/Un(U.

compo- sante de ^u normale à la

paroi)

^{ou une admittance}

spécifique acoustique

⁼

pc/Z.

Pour un

guide parfaitement rigide

^{on a} u. = 0

(Z

^-i

cc).

On

peut également

considérer _que la

composante tangentielle

de la vitesse doit être nulle sur les

parois.

Si l’on tient

compte

^{de toutes ces} conditions aux

limites on

peut

montrer que la solution est obtenue par

superposition

^{d’un mode «}

propagateur »,

^d’un mode ^«

thermique »

^{et d’un mode «} transversal ».

Les modes «

thermiques »

^{et «} transversaux » sont seulement

importants près

^des

parois.

^Leurs

effets sont totalement

négligeables

^{en dehors de}

zones situées

près

^des

parois

et que ^nous

appellerons

« couches limites » dont

l’épaisseur

^est

de = (2 1 clco)’I’

pour la couche limite

thermique (éq. (13))

^et

d, = (2 1, C/ro)1/2

pour la couche limite de viscosité.

de

^et

dv

^sont de l’ordre de

0,61f ’/’

^{cm pour l’air dans}

les conditions normales

( f

^{étant la}

fréquence

^de

l’onde sonore en

Hz). Puisque

^la

plus grande partie

de la

puissance

^est

perdue

^à l’intérieur de ces couches très minces situées

près

^des

parois,

^nous pouvons considérer _que la

puissance

^est

perdue

^{sur les}

parois.

Dans ces conditions il suffit de tenir

compte

^{de la}

présence

^{de ces} deux modes

uniquement

^{pour les}

conditions aux limites ce

qui permet

de définir une

admittance

fi, correspondant

^{à l’effet}

viscothermique

et de ramener le

problème

à celui de la

propagation

du seul mode «

propagateur »

^à l’intérieur d’un

guide

^non

rigide

dont l’admittance

acoustique

^serait

Pv.

Si la direction de

propagation

^{Oz est}

parallèle

^à

l’axe du

guide

^on

peut

^{écrire :}

D’après (12)

^{on a alors comme} conditions aux limites

en tout

point

de la surface du

guide :

et où

ot/J /on

^{est la dérivée}

de t/J

^dans la direction normale à la

paroi.

Pour ^un

guide

^{de section}

rectangulaire

^limité

par les

plans x

^{= ±}

bl2 et y

^{= ±}

dl2

^{les conditions}

aux limites sont

d’après (17) :

et

Les valeurs

de fi. et Py

^{étant :}

où m et n sont des nombres entiers.

On en déduit le coefficient d’atténuation a

(partie imaginaire

^de

kz) :

avec

et

Le mode

(m, n)

^ne

peut

^se propager que si la fré- quence

f

^est

supérieure

^{à la}

fréquence

de coupure

f,,

définie _par

kmn

^{= 0.}

Pour le mode

(m, 0) (m #- 0)

^{on a :}

où

En utilisant :

Âg

^{étant la}

^{longueur guidée}

^en l’absence d’atténua- tion et A celle en milieu

illimité,

^on

peut

^{écrire :}

où nous avons

posé :

et

Pour le mode fondamental

(0, 0) qui peut

^se pro- pager

quelle

que

soit f, Â

⁼

Âg,

^{on obtient}

(80 = 1) :

3. Méthodes de mesures et résultats

expérimen-

taux. ^- Dans l’étude des modes

supérieurs,

^{la diffi-}

culté vient de l’existence du mode fondamental à

n’importe quelle fréquence.

Pour un

guide rectangulaire

^{défini par les}

plans

x ⁼ +

b/2 et y

⁼ +

d j2 (b

>

d)

^{si on}

opère

^{à une}

fréquence f

telle que

c/2

^b

f c/2 d, c/2

^{b étant la}

fréquence

de coupure du mode

(1, 0)

^et

c/2

^{d celle}

du mode

(0, 1),

^{on voit}

qu’en plus

^du

fondamental,

seul le mode

(1, 0)

^{sera excité si}

f

^satisfait

également

^à

la condition

f le (2, 0).

On

peut

montrer que si l’on a une

paire

^{de sources}

sonores,

synchrones,

^{de même}

amplitude

^{et en}

opposition

^de

phase, placées

^aux

points

^{x =}

+ xg (y

⁼

0)

et que

f le (0, 1),

seuls les modes

(m, 0)

où m est

impair peuvent

^{être excités. Ce}

procédé permet

donc d’éliminer le mode fondamental.

D’autre

part

considérons un

guide

^{avec des}

parois

920

rigides

^{dont une extrémité est} fermée par ^un

piston rigide

mobile. A l’autre extrémité est

placée

^une

source sonore.

Pour le mode

guidé (1, 0) l’amplitude

^{de la}

pression acoustique

^{résultant de la}

superposition

^{de l’onde}

incidente et de l’onde réfléchie

peut

^{s’écrire en choi-} sissant

l’origine

de l’axe des ^z sur le

piston :

où (x est le coefficient d’atténuation et

Ag

^la

^longueur

d’onde

guidée

^réelle.

Pa

^{est minimum}

(noeuds)

pour

Pa

^{est maximum}

(ventres)

^si

En mesurant

l’amplitude

^de

pression acoustique

aux noeuds et aux ventres on

peut

^{calculer a.}

Les méthodes de mesures d’atténuation

généra-

lement utilisées consistent à mesurer le

rapport

P min/P max

directement par l’intermédiaire de sondes

qui

^se

déplacent

à l’intérieur du

guide.

^{Elles sont sou-}

vent difficiles et peu

précises.

La méthode

employée

ici est

analogue

^{à celle de mesure du} facteur de

qualité Q

^des

guides électromagnétiques.

^{On mesure}

le

rapport Pmin/Pmax

par ^une méthode indirecte.

Pour

cela,

nous mesurons la distance

séparant

deux

points

^{très voisins et de}

part

^et d’autre d’un noeud de

pression,

^où

l’amplitude

^de

pression

^{est la}

même. La distance c5 entre ces deux

points

^{étant très}

petite (de

^{l’ordre du}

millimètre)

^nous pouvons écrire

(pour

^{x = ±}

b/2)

^{avec une bonne}

approximation :

En

posant :

on en déduit :

Comme a est faible on a

Pmin/Pmax N

^{sh azm th azm.}

La mesure de

c5, Â 9 ", q

^{et z. avec}

précision,

^nous

donnera le coefficient d’atténuation oc.

3.1 DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL. ^- Le

guide

^d’onde

que nous avons étudié a une

longueur

^{de 240} cm, les dimensions de la section

rectangulaire

^étant

10 ^{cm x}

5,1

^{cm. Il est construit en}

plexiglas

^dont

l’épaisseur

^de

1,5

^{cm a été choisie}

après

divers essais destinés à tester la

rigidité

^des

parois.

Pour

explorer

^le

champ acoustique,

^{nous avons}

pratiqué

^{une fente de}

largeur

^{3 mm sur la médiane}

d’une des

parois placées

^{à x = + 5 cm.}

Cette fente a été couverte par ^une

plaque

^coulis-

sante en

plexiglas

^de

longueur

^telle que pour n’im-

porte quelle position

^{du détecteur}

(fixé

^{sur cette}

même

plaque),

la fente soit

toujours

^{couverte. Cette}

plaque

^{est elle-même soutenue} par ^{une autre}

plaque

fixée sur le

guide,

pour éviter les vibrations.

Pour l’excitation nous avons utilisé deux haut-

parleurs identiques. L’exploration

^du

champ

^acous-

tique

^{a été faite au} moyen d’un

microphone.

^Le

détecteur est un tube d’acier

inoxydable

^{de 2 mm de}

diamètre. Il est connecté ^au

microphone

par ^un autre tube non résonnant.

La

disparition

^{du mode} fondamental est

marquée

par le fait que le détecteur étant

placé

^{sur l’axe du}

guide

^le

champ acoustique indiqué

doit être nul ^en l’absence du fondamental.

La

longueur

d’onde du mode

(1, 0)

^{est calculée}

en mesurant la distance entre les minima

successifs,

cette distance étant

égale

^à

Â’/2.

Pour la mesure de c5 et le calcul de _q, il faut étudier la

réponse

^du

microphone

^en fonction de la distance du détecteur ^au

point

^{où la}

pression

^{est minimale}

et en déduire c5 et q.

Les dimensions transversales doivent rester cons-

tantes sur toute la

longueur

^du

guide.

^{Dans le}

guide

utilisé cette condition a été

respectée

^{à 1 mm}

près.

Etant donné _que nous faisons des mesures

relatives,

il n’est pas nécessaire de calibrer le

microphone.

Il est seulement très

important

de vérifier la fidélité de

reproduction

^du

microphone

^{en fonction de la}

tension d’excitation des sources, et de travailler

avec une

puissance

d’excitation

qui

convient. Il est aussi

indispensable

de maintenir cette tension constante

pendant

^{les mesures.}

D’autre

part,

pour

amplifier

^la

réponse

^{du micro-}

phone

^{et éliminer les}

harmoniques,

nous avons

ajouté

^{dans le circuit}

électrique

^un

amplificateur

sélectif. La

réponse

^du

microphone

^a été mesurée par ^un millivoltmètre

électronique.

3.2 RÉSULTATS. ^- Calculons d’abord a

théorique

pour l’air dans les conditions de

l’expérience.

^On

utilise

(22)

^{avec m = 1.}

On détermine M et

N,

^{avec à 0 = 20 OC et à}

P ⁼ 1 atm

ei

Nous trouvons :

ce

qui donne,

pour le coefficient d’atténuation théo-

rique :

en fonction de la

fréquence

d’excitation.

Agi A

^{est calculé à}

^partir

^de

^(21).

Si on tient

compte

^{des effets} de viscosité et de conduction

thermique

la vitesse de

phase

cp ^{est donnée} par

(A

^{est la}

longueur

^d’onde

guidée

^{en tenant}

compte

^de

l’atténuation)

et la vitesse de _groupe

cg (cp cg - c2)

^{est :}

Pour le mode

(1, 0), le

^{= 1 715 Hz}

(Àc

^{= 20}

cm).

FIG. 1. ^- Variations de l’atténuation en fonction de la fré- quence. La courbe en trait continu correspond ^{aux valeurs} expérimentales. ^{La courbe en} pointillés correspond ^{aux valeurs}

théoriques.

Les résultats

expérimentaux

pour oclo sont

repré-

sentés sur la

figure 1, qui indique

^les variations de alo ^en fonction de la

fréquence f.

Nous donnons ci-dessous

quelques-unes

des valeurs obtenues :

La

précision

^sur _etexp ^est de ±

0,05

^x

10- 5 cm-1.

On voit _que l’atténuation est minimum pour ^une

fréquence

^de la gamme 2 500-2 600 Hz

(pour

^{2 600 Hz}

on a

également

^{a x}

^{105 -} 66,6 cm-1).

Sur la

figure

^{1 on a tracé}

également

^{la courbe}

correspondant

^aux

prévisions théoriques.

^{Les valeurs}

expérimentales

^sont

légèrement supérieures,

^mais

il faut _{noter que} la

rigidité

^du

guide

^{n’est évidemment}

pas

parfaite

^et que d’autre

part

les valeurs

théoriques

de a sont fonctions des

paramètres y, K, Cp qui

^ne

sont connus

qu’avec

^{une relative}

précision.

^Aussi

on

peut

considérer _que les valeurs

expérimentales

de a concordent assez bien avec celles déduites de la théorie.

La

figure

^{2 montre} les variations de

cp/c

^et

cg/c

en fonction de la

fréquence.

^{L’écart entre les valeurs}

théoriques

données par

(21), (27), (28),

^{et les valeurs}

FIG. 2. ^- Variations de la vitesse de phase ^{et de} la vitesse de groupe ^en fonction de la fréquence.

922

déduites de

l’expérience (À)exp/À

^et

À/(À)exp

^étant

inférieures à 1

%

^{nous n’avons}

représenté qu’un

seul

graphique.

4. Conclusion. ^- A

partir

^de la théorie des couches

limites,

nous avons

exprimer

^{la constante} d’affaiblis- sement due à l’effet

viscothermique.

^{Nous avons mesuré}

cet affaiblissement _par une méthode

qui paraît

^mieux

convenir _que les méthodes de mesures habituelles pour des faibles atténuations. L’accord avec la théorie est satisfaisant.

Il serait intéressant de faire des mesures d’atténua- tion dans l’air à différents

degrés

d’humidité afin d’étudier la forte

absorption

^{du son dans ce cas.}

On

peut également envisager

des études en fonction de la

température

^{et pour des gaz} différentes.

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