Propagation d’ondes acoustiques dans un guide de section variable.

Propagation d’ondes acoustiques dans un guide de section variable.

Patrick Joly Patrick.Joly@inria.fr

1 Introduction

Ce projet est consacr´e `a l’´etude de la propagation d’une onde plane dans un guide d’ondes de section localement variable. Afin de simplifier cette ´etude, on se place dans le cadre d’un probl`eme bidimensionnel et dans le cas du r´egime harmonique en temps.

Le guide d’ondes acoustiques consid´er´e est constitu´e d’un ”tube” de section variable pour

|x|< Let de largeur constante ´egale `a 2bpour|x|> L(voir Figure 1).Les parois sup´erieure et inf´erieure du tube pour |x| < L, not´ees Γ⁺_S et Γ⁻_S, sont respectivement donn´ees par les

´equations y=S⁺(x) et y=S⁻(x).

On noteϕi(x, y) le potentiel des vitesses de l’onde plane incidente et on cherche le potentiel total ϕ(x, y) solution du probl`eme de Helmholtz :

( 4ϕ+k²ϕ = 0 dans Ω

ϕ = 0 sur Γ (1)

o`u Ω d´esigne l’int´erieur du guide, Γ sa fronti`ere et k le nombre d’onde. Afin de r´esoudre num´eriquement ce probl`eme, nous allons en donner une formulation ´equivalente pos´ee en domaine born´e. Celle-ci sera obtenue grˆace `a une technique de s´eparation de variables effectu´ee dans la partie du guide de section constante.

2 D´ etermination de l’onde incidente

Supposons dans un premier temps que la section du guide soit constante, autrement dit queS⁺(x) =b et queS⁻(x) =−b. On peut alors d´eterminer analytiquement les solutions de l’´equation de Helmholtz qui sont `a variables s´epar´ees :

Ψ(x, y) =A(x)B(y)

On a alors `a r´esoudre le probl`eme :

( 4Ψ +k²Ψ = 0 dans R×]−b, b[

Ψ = 0 poury=±b (2)

Question 1: Montrer que les solutions Ψ `a variables s´epar´ees sont de la forme : Ψ^±_n(x, y) =γne^±iβnxsinnπ

2b (y−b) .

avec βn = r

k²−nπ 2b

2

, Re(βn)>0, Im(βn)>0, et γn∈R.

On posera par la suite cn(y) =γnsin nπ(y−b)/2b

et on choisira la constante γn de telle sorte que kcnk_L²_(]−b,b[) = 1. On admettra que la famille de fonctions (cn)_n≥0 forme alors une base orthonormale de L²(]−b, b[).

Il est important de remarquer ici qu’il existe un entier n0 tel que la constante βn, appel´ee constante de propagation, soit r´eelle lorsque n 6 n0, la fonction Ψn ´etant alors oscillante suivant la directionOx.On appelle ces solutions particuli`eres des onde guid´ees. On notera que parmi les ondes guid´ees, Ψ<sup>+</sup><sub>n</sub> correspond `a une onde se propageant vers les x > 0 et Ψ⁻_n vers les x <0 , puisque les solutions harmoniques sont recherch´ees sous la forme :

Φ(x, y, t) = Re e^−iωt Ψ(x, y)

Lorsque n > n0, la constante βn est imaginaire et on a affaire `a des solutions ayant des comportements exponentiels `a l’infini. Ainsi, Ψ⁺_n est exponentiellement d´ecroissant quandx tend vers +∞et exponentiellement croissant quandxtend vers−∞, alors que la situation est invers´ee pour Ψ⁻_n.

On choisira par la suite une onde incidente progressive dans la direction des x >0, autrement dit une onde de la forme

ϕi(x, y) =

( Ψ⁺_m(x, y) = e^+iβmx cm(y) si x <−L

0 si x >−L (3)

avec m 6n0.

3 R´ eduction ` a un domaine born´ e

Afin de pouvoir r´esoudre le probl`eme initial (1) par une m´ethode d’´el´ements finis, il faut se ramener `a un probl`eme pos´e en domaine born´e. Nous allons voir comment la con- naissance des solutions `a variables s´epar´ees dans la r´egion du guide de section constante

|x|> Lpermet d’aboutir `a une telle formulation.

D´ecomposons la solutionϕ du probl`eme (1) sous la forme : ϕ=ϕi+ϕd

ϕd s’appelant le potentiel de diffraction. Nous allons ´etablir des formules explicites pour ϕd dans les r´egions de section contante (x > L etx <−L). Pour ce faire, remarquons que ϕd v´erifie les ´equations :

( 4ϕd+k²ϕd = 0 si |x|> L

ϕd = 0 si |x|> L et |y|=b

D’un point de vue physique, le potentiel de diffraction correspond `a une onde ”induite”

par la perturbation que constitue la variation de la section du guide. Par cons´equent, cette onde rayonn´ee ´etant physiquement born´ee ou se propageant vers l’infini, le potentiel de diffraction ϕd ne se d´ecompose que sur les fonctions Ψ⁺_n en +∞ et que sur les fonctions Ψ⁻_n en −∞.

Question 2 : Montrer que la solution ϕd admet les d´ecompositions suivantes : x > L : ϕd(x, y) =X

n>0

(ϕd, cn)_Γ⁺

LΨ⁺_n(x, y)e^−iβnL (4) x <−L : ϕd(x, y) =X

n>0

(ϕd, cn)_Γ⁻

LΨ⁻_n(x, y)e^iβnL (5)

o`u : (ϕd, cn)_Γ^±

L = Z

Γ± L

ϕd(±L , y)cn(y)dy, avec Γ^±_L ={x=±L} ×]−b, b[.

En d´eduire que si l’on pose T^±(ϕd) =−P

n>0

iβn(ϕd, cn)_Γ^±

Lcn, on a :

∂ϕd

∂n |^Γ±L =−T^±(ϕd),

Cette relation nous fournit les conditions aux limites ad´equates `a imposer en Γ<sup>±</sup><sub>L</sub> pour obtenir pour ϕun probl`eme pos´e dans le domaine born´e ΩL= Ω∩ {|x|< L}. En effet, il suffit de substituer dans cette ´equation ϕd par ϕ−ϕi, ce qui donne :

∂ϕ

∂n|^Γ±L =−T^±(ϕ) + ∂ϕi

∂n|^Γ±L +T^±(ϕi).

Le probl`eme (1) est alors ´equivalent au probl`eme pos´e dans le domaine born´e ΩL :















4ϕ+k²ϕ = 0 dans ΩL

ϕ = 0 sur Γ^±_S

∂ϕ

∂n +T±(ϕ) = ∂ϕi

∂n +T±(ϕi) sur Γ^±_L

(6)

Question 3 : Montrer que si l’onde incidente ϕi est donn´ee par (3), alors :

∂ϕi

∂n +T+(ϕi) = 0 sur Γ⁺_L et ∂ϕi

∂n +T−(ϕi) =−2iβme^−iβmLcm sur Γ⁻_L. Remarque : il est pr´ef´erable de choisir ϕi =e^−iβmLΨ⁺_m afin d’´eviter de conserver un terme exponentiel.

4 Formulation variationnelle et mise en oeuvre

On note V_L⁰ le sous-espace de H¹(ΩL) form´e des fonctions de trace nulle sur Γ⁺_S et Γ⁻_S. Question 4 : Montrer que si l’onde incidente ϕi est donn´ee par (3), le probl`eme aux limites (6) admet la formulation variationnelle suivante :











Trouverϕ∈V_L⁰ tel que ∀v ∈V_L⁰ Z

Ω^L

∇ϕ∇v−k² Z

Ω^L

ϕv+ Z

Γ⁺L

T⁺(ϕ)v+ Z

Γ⁻L

T⁻(ϕ)v = Z

Γ⁺L

giv (7)

o`u gi est une fonction que l’on pr´ecisera.

On admettra pour la suite que ce probl`eme variationnel admet une unique solution.

Afin de r´esoudre num´eriquement ce probl`eme, on utilisera une m´ethode d’´el´ements finis P1 sur un maillage r´ealis´e `a l’aide du logiciel EMC2. On note, par la suite, (wI)_I=1,N les fonctions de base globales associ´ees `a ce mailage et (T`)_`=1,M l’ensemble des triangles du maillage.

Question 5 : On consid`ere le probl`eme variationnel











Trouverϕ∈H¹(ΩL) tel que∀v ∈H¹(ΩL) Z

Ω^L

∇ϕ∇v−k² Z

Ω^L

ϕv+ Z

Γ⁺L

T⁺(ϕ)v+ Z

Γ⁻L

T⁻(ϕ)v = Z

Γ⁺L

giv (8)

Montrer que l’approximation par ´el´ements finis de ce probl`eme conduit `a un syst`eme lin´eaire de la forme :

K−k²M+T⁺+T⁻

X =B (9)

o`u l’on donnera l’expression des diff´erents termes.

Le calcul des matrices K et M est standard. Par contre, le calcul des matrices T^± ne l’est pas. En effet, les termes de ces matrices sont de la forme, pourT⁺IJ par exemple :

T⁺IJ =−X

n≥0

iβn(wI, cn)(wJ, cn)

o`u (wI,cn) = RL

0 wI(L, y)cn(y)dy. On calculera ces termes de fa¸con analytique car cn(y) est une fonction oscillante et tronquera la s´erie apr`es n0+N o`u N est un param`etre de troncature.

Question 6 : Ecrire un programme de r´esolution par ´el´ements finis du probl`eme varia- tionnel (7). En particulier, on ´ecrira pour tenir compte des conditions de Dirichlet une proc´edure de pseudo-´elimination sur les matrices ´el´ements finis et sur le second membre issus du probl`eme variationnel (8).

Question 7 : Afin de tester les conditions aux limites sur Γ^±_L, effectuer un test pr´eliminaire, quiconsiste `a supposer que le guide est de section constante. (on connait dans ce cas la solution exacte !)

Question 8 : Repr´esentez le potentiel total pour un cas test avec S⁺+S⁻= 0(guide non sym´etrique). V´erifiez que la solution obtenue est, suivant les valeurs dem, rigoureusement sym´etrique ou antisym´etrique par rapport `a l’axe du guide? Pourquoi? V´erifier la con- vergence de la m´ethode par rapport `a la finesse du maillage, l’ordre de troncature N ou la position L. Reprendre cette question avec un guide non sym´etrique.

5 Bilan ´ energ´ etique

Le but de cette derni`ere partie du projet est d’obtenir une ´equation de conservation de l’´energie et de la tester num´eriquement.

Question 9 : Montrer en appliquant la formule de Green dans ΩL que le champ total ϕ v´erifie

Im Z

Γ⁺L∪Γ⁻L

∂ϕ

∂n ϕ= 0.

o`u n d´esigne la normale ext´erieure `a ΩL.

Cette ´equation montre que le flux d’´energie Je=−Im

Z

Γ⁻L

∂ϕ

∂n ϕ entrant `a travers Γ⁻_L est ´egal au flux sortant

Js = Im Z

Γ⁺L

∂ϕ

∂n ϕ

`a travers Γ⁺_L, traduisant ainsi la conservation d’´energie dans le domaine ΩL. Question 10 : Montrer que











Js= X

n≤n0

βn

(ϕ, cn)_Γ⁺

L

2

Je=βm− X

n≤n0

βn

(ϕ−Ψ⁺_m, cn)_Γ⁻

L

2

Donner l’interpr´etation physique des diff´erents termes apparaissant dans cette relation.

Question 11 : Tester num´eriquement la relation Js =Je sur diff´erents cas de simulation.