PROPAGATION D'EXCITATIONS ACOUSTIQUES NON LINÉAIRES DANS DES MATÉRIAUX DOTÉS DE MICROSTRUCTURES

(1)

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DE MICROSTRUCTURES

M. Sayadi, Jean Pouget

To cite this version:

M. Sayadi, Jean Pouget. PROPAGATION D’EXCITATIONS ACOUSTIQUES NON LINÉAIRES

DANS DES MATÉRIAUX DOTÉS DE MICROSTRUCTURES. Journal de Physique Colloques, 1990,

51 (C3), pp.C3-219-C3-230. �10.1051/jphyscol:1990323�. �jpa-00230751�

(2)

COLLOQUE DE PHYSIQUE

Colloque C3, supplément au n017,

Tome

51,

ler

septembre 1990

PROPAGATION D'EXCITATIONS ACOUSTIQUES NON

LINEAIRES

DANS DES MATÉRIAUX DOTÉS DE MICROSTRUCTURES

M.K. SAYADI

et

J. POUGET

Laboratoire de Modélisation en Mécanique, associé au CNRS,

Université Pierre et Marie Curie,

Tour

6 6 , 4,place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05, France

R k s u m é

L e probl&me d ' o n d e s n o n l i n é a i r e s c o u p l é e s r o t a t i o n - d é p l a c e m e n t

est

p r é s e n t é d a n s l e c a d r e d'un m o d & l e d e r é s e a u c r i s t a l l i n p r é s e n t a n t d e s degrcSs i n t e r n e s e n r o t a t i o n Cpar e x e m p l e c r i s t a u x a v e c g r o u p e s molécu- l a i r e s ) . S u r l a b a s e d u m o d é l e m i c r o s c o p i q u e

et

d e s o n a p p r o x i m a t i o n a u x m i l i e u x c o n t i n u s , n o u s m o n t r o n s l ' e x i s t e n c e d ' o n d e s a c o u s t i q u e s n o n l i n é a i r e s e n g e n d r k e s , v i a Ze c o u p l a g e , p o r d e s o n d e s s o l i t a i r e s e n r o t a - t i o n . L ' i m p o r t a n t p r o b l è m e d'un c h a m p s i n u s o ï d a l a p p l i q u é

est

é t u d i é

et

m o n t r e u n e a d a p t a t i o n d u s y s t è m e a u c h a m p e x t é r i e u r . L e s r é s u l t a t s s o n t i l l u s t r é s p a r d e s s i m u l a t i o n s n u m é r i q u e s .

Abstract

T h e n o n l i n e a r w a v e p r o p a g a t i o ~ l i n c r y s t a l i n v o l v i n g c o u p l e d m o t i o n s i n d i s p t a c e m e n t and r o t a t i o n

is

p r e s e n t e d . T h e c r y s t a l

is

m o d e t l e d b y a o n e - d i m e n s i o n a l monoatomic c h a i n e q u i p p e d w i t h r o t a t o r y m i c r o s t r u c t u r e s C f o r i n s t a n c e , c r y s t a l w i t h m o l e c u l a r g r o u p s ) . On the b a s i s of t h e mi- c r o s c o p i c mode1 a n d

its

c o n t i n u u m a p p r o x i m a t i o n , t h e p r o p a g a t i o n o f non- Zinear a c o u s t i c w a v e s g e n e r a t e d & y s o l i t a r y w a v e s

i n

r o t a t i o n

is

e x a m i n e d f o r t w o s i m p l e c o n f i g u r a t i o n s . T h e i n f l u e n c e o f a n a p p l i e d s i n u s u ï d a Z f i e l d u p o n the n o n t i n e a r w a v e s is e x a m i n e d a n d a t r a n s i e n t m o t i o n of t h e r o t a t i o n - d e f o r m a t i o n is p l a c e d i n e v i d e n c e . T h e r e l e v a n t r e s u l t s a r e i t Z u s t r a t e d b y m e a n s o f n u m e r i c a l s i m u l a t i o n s .

i. INTRODUCTION

Nous nous p r o p o s o n s d a n s c e t r a v a i l d'examiner le problème de la propa- g a t i o n d ' e x c i t a t i o n s a c o u s t i q u e s non l i n é a i r e s d a n s d e s c r i s t a u x d o t é s de m i c r o s t r u c t u r e s . En e f f e t , c e r t a i n s m a t é r i a u x p r é s e n t e n t , o u t r e l e u r déforma- t i o n usuelle, d e s d e g r e s d e l i b e r t é i n t e r n e s que s e u l e une d e s c r i p t i o n cinématique s u f f i s a m m e n t f i n e p e r m e t d e m e t t r e e n évidence. C ' e s t le c a s d e s c r i s t a u x moléculaires pour l e s q u e l s les p a r t i c u l e s e n i n t e r a c t i o n a u s e i n du milieu n e p e u v e n t p a s ê t r e r é d u i t e s A un p o i n t dot4 d'une masse; mais e n chaque p o i n t un g r o u p e moléculaire e f f e c t u e d e s mouvements d e r o t a t i o n de c o r p s r i g i d e d e s o r t e qu'un moment c i n é t i q u e p e u t ê t r e défini. Les mouvements de m i c r o - r o t a t i o n e t de d é f o r m a t i o n du c r i s t a l s o n t bien évidemment couplés e t i l e n découle donc l a p r o p a g a t i o n d'ondes couplées e n r o t a t i o n - d é f o r m a t i o n .

T o u t e f o i s , l e c r i s t a l est a s s u j e t t i à d e s i n t e r a c t i o n s i n t e r a t o m i q u e s qui dépendent de l a micro-physique du s y s t é m e , mais p e r m e t t e n t d e s mouvements de r o t a t i o n d e l a r g e s amplitudes d e s g r o u p e s moléculaires Cmouvement d e r e n - v e r s e m e n t d e s mo14cules>. D e t e l s comportements s e r e n c o n t r e n t d a n s les c r i s t a u x liquides t i l , l e s longues c h a i n e s de macromolécules Cpar exemple l'ADN) 12, 31 ou les c r i s t a u x moléculaires f e r r o é l e c t r i q u e s C4, SI. Pour c e s d e r n i e r s , l e n i t r i t e de sodium e n e s t un bon exemple e t d a n s c e c a s le mouvement d e r o t a t i o n d e s g r o u p e s moléculaires d B c r i t l a m i g r a t i o n d'une p a r o i s é p a r a n t deux domaines f e r r o é l e c t r i q u e s à 180" t 21.

Il découle donc que le comportement non l i n h i r e l i é aux mouvements de m i c r o - r o t a t i o n engendre, p a r couplage, d e s o n d e s a c o u s t i q u e s non l i n é a i r e s d o n t l e s c a r a c t é r i s t i q u e s , v i t e s s e s p a r exemple, s o n t f o n c t i o n s de l'excita- t i o n non l i n é a i r e e n r o t a t i o n . Dans c e b u t , n o u s c o n s t r u i s o n s un modèle de r é s e a u c ~ i s t a l l i n unidimensionnel i n c l u a n t d e s i n t e r a c t i o n s dipdle-dipôle

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990323

(3)

e n t r e groupes moléculaires. Une t e l l e approche e s t c e r t a i n e m e n t t r è s appro- p r i é e pour modéliser l e s mouvements r e l a t i f s aux d e g r é s de l i b e r t é i n t e r n e s e t l e u r s couplages avec l a déformation du c r i s t a l . Cependant l e systéme d'&qua- t i o n s a i n s i obtenu e s t difficilement exploitable, a u s s i devons-nous r e q u é r i r B l'approximation d e s milieux continus. Ceci conduit à un s y s t è m e d'équations aux d é r i v é e s p a r t i e l l e s couplées dont nous pouvons t r o u v e r c e r t a i n e s c l a s s e s de s o l u t i o n s du t y p e onde localisée e n r o t a t i o n - d é f o r m a t i o n que nous décrivons p a r d e s s o l i t o n s 61. Les d i f f é r e n t s r é s u l t a t s s o n t i l l u s t r é s p a r d e s simula- t i o n s numériques e t l e problème de l'influence d'un champ appliqué e s t égaie- ment t r a i t é .

L e t r a v a i l e s t organisé de l a maniére s u i v a n t e : l e paragraphe 2 e s t c o n s a c r é à l a c o n s t r u c t i o n d'un modèle de r é s e a u d o t é de m i c r o s t r u c t u r e s . Le c a s d'une c o n f i g u r a t i o n e s t examiné a u paragraphe 3; nous donnons l e s équations du systéme, des s o l u t i o n s d'ondes s o l i t a i r e s e n r o t a t i o n - d é f o r m a t i o n s o n t examinées analytiquement e t numériquement. Une seconde configuration e s t é t u d i é e a u paragraphe 4 m o n t r a n t également d e s ondes s o l i t a i r e s e n r o t a t i o n - déformation. Le paragraphe 5 concerne plus particuliérernent l e probléme de l'influence d'un champ e x t é r i e u r sinusoïdal s u r l e mouvement d e s ondes non l i n é a i r e s . Finalement d e s conclusions e t e x t e n s i o n s du modèle s o n t données au paragraphe 6.

2. DESCRIPTION DU MODELE

Nous considerons une chaine monoatomique unidimensionnelle, c o n s t i t u é e de N cellules c r i s t a l l i n e s d o t é e s chacune d'un moment d ' i n e r t i e e t d'un dipble é l e c t r i q u e microscopique de module c o n s t a n t , indiquant l ' o r i e n t a t i o n de chaque groupe maléculaire. A t i t r e d'exemple, nous pouvons c i t e r l e c r i s t a l f e r r o - é l e c t r i q u e n i t r i t e de sodium NaNOz [ 71. Nous supposerons que N e s t suffisam- ment grand a f i n de négliger l e s e f f e t s de bord e t que c e s cellules r e s t e n t dans le plan x O y , c e que montre l a f i g u r e 1; nous d i s t i n g u e r o n s a l o r s t r o i s t y p e s de mouvements a u s e i n de chaque noeud n de l a chaine atomique : Cs3 l e s d é p l a c e m e n t s l o n g i t u d i n a u x d u c e n t r e d e m a s s e d e Za celluZe c r i s t a l l i n e r n o t é s un. C i i > l e s d é p Z a c e m e n t s t r a n s v e r s a u x d e ce même p o i n t . n o t é s vn e t Ciii3 l e s m o u v e m e n t s d e r o t a t i o n d e c o r p s r i g i d e d u g r o u p e m o t é c u L a i r e o u d u d i p ô l e é l e c t r i q u e , r e p é r é p a r l e s a n g l e s

en

e t (on.

Ces mouvements r é s u l t e n t d e s f o r c e s i n t e r a t o m i q u e s a g i s s a n t s u r le r é s e a u c r i s t a l l i n , s o i e n t : Ci3 l e s i n t e r a c t i o n s a t o m i q u e s e n t r e l e s p r e m i e r s v o i s i n s C i n t e r a c t i o n s d e c o u r t e e t l o n g u e p o r t é e s > . C i i > l e s i n t e r a c t i o n s m u t u e l l e s e n t r e Les d i p ô l e s é l e c t r i q u e s m i c r o s c o p i q u e s , d u t y p e é l e c t r o s t a t i - q u e et <.Lit3 L ' i n t e r a c t i o n & Z e c t r o s t o t i q u e d u e a u c h a m p e x t e r n e

E.

S i de plus nous supposons que les déplacements demeurent infinitésimaux, a l o r s que l e s r o t a t i o n s peuvent a v o i r de grandes amplitudes, nous é c r i r o n s 1'Hamiltonien du s y s t è m e comme s u i t [ 71 :

oh nous avons posé :

@.a>

K = + ) ' 4 +

I*:

+ JE],

L'expression (2.a) r e p r é s e n t e l'énergie cinétique, 00 M e s t la masse de l a cellule c r i s t a l l i n e , 1 e t

J

l e s moments d ' i n e r t i e du groupe mol&culaire,

(4)

correspondant respectivement aux r o t a t i o n s 8, e t (O,. L'énergie de déformation é l a s t i q u e e s t donnée p a r (2.b) dans laquelle KL e t

KT

s o n t l e s c o n s t a n t e s de r i g i d i t é longitudinale e t t r a n s v e r s a l e . L'expression (2.c) donne l ' i n t e r a c t i o n e n t r e l e s dipôles B laquelle s ' a j o u t e n t des t e r m e s d'anisotropie s u i v a n t l e s a x e s O x e t Oy, c e s t e r m e s é t a n t c a r a c t é r i s é s r e s p e c t i v e m e n t p a r les coeffi- c i e n t s v e t

n.

Nous notons :

( 3 . 4

E,, =

POP,,' P, ^X

=

P3'X, P;

=

P,.Y e t oil a e s t l e p a r a m é t r e du r é s e a u e t

C3.b)

< ⁼

( C O S ~ , C O S ~ ,sine cosrp ,sinpn),

L'Bquation (2.d) d é f i n i t l e s i n t e r a c t i o n s e n t r e dipôles e t déplacements, c e t t e i n t e r a c t i o n e s t du t y p e é l e c t r o s t r i c t i f . Enfin, l'énergie due a u champ é l e c t r i q u e e x t é r i e u r e s t exprimée p a r (2.e).

yA Cn- 1

>

^Cn> ^Cn+l>

Fig. 1

-

Chaîne monoatomique é q u i p é e d e d i p 8 2 e s é l e c t r i q u e s m i c r o s c o p i q u e s

A ce s t a d e , nous allons examiner deux c o n f i g u r a t i o n s p a r t i c u l i é r e s ; ce s o n t l e s c a s oii ip

=

0, c o n f i g u r a t i o n A Cles dip8les t o u r n e n t a u t o u r de l'axe Oz>, e t oii û

=

n / 2 , c o n f i g u r a t i o n B Cla r o t a t i o n d e s dipôles s e f a i t a u t o u r de l'axe O x > .

3. ETUDE DE LA CONFIGURATION A

3.1. E q u a t i o n s d i s c r è t e s d u mouvement

Les équations adimensionnalisées du mouvement de l a chaine monoatomique s o n t o b t e n u e s A p a r t i r de la r e l a t i o n cl) de lPHamiltonien e t s ' é c r i v e n t :

oii nous avons posé :

(5)

e t oil :

(5.b)

I c i n o u s a v o n s s u p p o s e que E-r)-v

>

O e t e n plus que On+i-@n= O@).

I l e s t c l a i r que c e s é q u a t i o n s s o n t non l i n é a i r e s ; d e plus, e n r a i s o n de la p r é s e n c e d e s t e r m e s d e couplages, l e u r r é s o l u t i o n a n a l y t i q u e s ' a v é r e trés complexe, v o i r e impossible. Néanmoins, e l l e p e u t se f a i r e numériquement e n c o n s i d é r a n t d e s c o n d i t i o n s i n i t i a l e s e t aux l i m i t e s a p p r o p r i é e s . Le modèle c o n t i n u s'impose a l o r s pour mieux comprendre la dynamique d'un t e l s y s t é m e . 3.2. E q u a t i o n s d u m o d e l e continu

Supposons m a i n t e n a n t que le p a r a m é t r e du r é s e a u a e s t t r è s f a i b l e d e v a n t l a longueur c a r a c t é r i s t i q u e d e s p r o c e s s u s dynamiques Clongueur d'onde ou é- p a i s s e u r de l a p a r o i de domaine>; ceci n o u s p e r m e t de développer t o u t e s l e s q u a n t i t é s d i s c r è t e s e n t e r m e s de séries de Taylor a u t o u r de la p o s i t i o n X

=

n

=

x/a. Nous déduisons a u p r e m i e r o r d r e , e n IJabsence du champ é l e c t r i q u e e x t é r i e u r e t dans l'hypothèse

x <<

i, l e s y s t é m e d'équations aux d é r i v é e s p a r - t i e l l e s s u i v a n t :

La s t r u c t u r e d e c e s é q u a t i o n s p r é s e n t e un g r a n d i n t é r ê t , c a r les deux p r e m i è r e s s o n t c e l l e s de p r o p a g a t i o n d'ondes a c o u s t i q u e s l i n é a i r e s , modifiées p a r la p r é s e n c e d e s dipBles e t la d e r n i è r e e s t une é q u a t i o n non l i n é a i r e du t y p e s i n e - G o r d o n couplée a v e c les déplacements. L e p r é s e n t modéle p e u t B t r e compare à celui d'un milieu c o n t i n u o r i e n t e e t non l i n é a i r e C 81, a u s s i bien qu'à celui d e s c r i s t a u x m i c r o p o l a i r e s é l a s t i q u e s [ 91.

Nous nous p r o p o s o n s m a i n t e n a n t de c h e r c h e r d e s s o l u t i o n s s o u s f o r m e d'ondes p r o p a g a t i v e s , pour lesquelles U, V e t O s o n t f o n c t i o n s de la s e u l e v a r i a b l e d e p h a s e

= ^X -

^Xo

-

^{C r ,}oh C e s t l a v i t e s s e de p h a s e e t Xo la posi- t i o n i n i t i a l e de l'onde. Ainsi les d é f o r m a t i o n s U

e

e t V

e

p e u v e n t O t r e o b t e n u e s e n f o n c t i o n d e 17angle O :

oil l>on a s u p p o s é que

c2

d i f f è r e de C: e t C; e t oO A e s t une c o n s t a n t e d p i n t é - g r a t i o n a r b i t r a i r e . S i nous r e p o r t o n s m a i n t e n a n t l e s e x p r e s s i o n s (7) dans l'équation g o u v e r n a n t le mouvement de O, il v i e n t que :

Nous c o n s t a t o n s a l o r s que l e problème d'ondes s o l i t a i r e s du s y s t é m e (6) s e r a m è n e simplement à l a r é s o l u t i o n de 17équation @.a), qui est une é q u a t i o n d i f f é r e n t i e l l e ordinaire* non l i n é a i r e . L'existence d e c e s

onde^

l o c a l i s é e s dépend d e s p a r a m é t r e s 2, 6 e t C; nous n o u s l i m i t o n s i c i a u c a s oO

x >

0 , 6 5 1 e t ICI

<

1, e t nous é c r i v o n s la s o l u t i o n comme s u i t :

(6)

C9 . a l oil C9.b)

@'

=

22 Arc t g

Notons i c i que e s t une longueur c a r a c t é r i s t i q u e p r o p o r t i o n n e l l e à l ' é p a i s s e u r de la p a r o i de domaine e t que l a s o l u t i o n (9.a) s a t i s f a i t l e s con- d i t i o n s de s t a b i l i t é 1101.

L ' é t a t mécanique du c r i s t a l e s t a l o r s donné p a r les d é f o r m a t i o n s e n élongation e t e n cisaillement qui s ' é c r i v e n t :

oil la c o n s t a n t e d ' i n t é g r a t i o n A e s t remplacée p a r la d é f o r m a t i o n U

=

Ue(0).

0

<

Nous remarquons que l a d é f o r m a t i o n U demeure c o n s t a n t e quand -,km.

I

I l convient d ' a j o u t e r qu'ayant un milieu mécaniquement l i n é a i r e , il e s t possible d'engendrer, p a r couplage électromécanique, une onde s o l i t a i r e de c o n t r a i n t e e t de d é f o r m a t i o n p a r l e b i a i s du mouvement de p a r o i e n t r e deux domaines f e r r o é l e c t r i q u e s . L'épaisseur de l a p a r o i s ' é t e n d s u r une dizaine de p a r t i c u l e s , c e qui c o r r e s p o n d à quelques c e n t i e m e s de Pm d a n s l e c a s du n i t r i - t e de sodium o b s e r v é à l'aide d'un microscope é l e c t r o n i q u e t l l l .

Fig. 2

-

C o n f i g u r a t i o n A. C a ) s o l i t o n e n r o t a t i o n , CBJ s o l i t o n e n é l o n g a t i o n e t Cc) s o l i t o n e n c i s a i l l e m e n t .

(7)

3.3. S i m u l a t i o n s n u m é r i q u e s

Le schéma numérique u t i l i s é e s t d i r e c t e m e n t donné p a r l e s équations dis- c r é t e s (4) pour lesquelles l e s s o l u t i o n s définies préc4dernment s o n t considé- r é e s comme conditions i n i t i a l e s . L a f i g u r e 2.a donne l e mouvement de r o t a t i o n d e s dipbles Cmouvement d>une paroi de domaine à 180°> : c ' e s t une onde soli- t a i r e e n forme de "front", qui r e p r é s e n t e l a t r a n s i t i o n de l ' é t a t @-

=

rr quand X

+

-m, à l P é t a t

O = -n

quand X ^-t+m. Le couplage non l i n é a i r e p e r m e t a i n s i d'engendrer des ondes acoustiques e n compression-extension e t e n cisaillement accompagnant le mouvement de r e n v e r s e m e n t d e s dipôles é l e c t r i q u e s , r e s p e c t i - vement r e p r é s e n t é e s e n f i g u r e s 2.b e t 2.c.

4. ETUDE DE LA CONFIUURATION B

4.2. E q u a t i o n s d i s c r e t e s d u mouvement

En f a i s a n t 8

=

n/2 dans l'expression (1) de 17Hamiltonien, e t en consi- d é r a n t le changement de variable s u i v a n t :

oil nous définissons :

nous écrivons l e s équations du mouvement s o u s l a forme s u i v a n t e :

L,équation gouvernant l e s déplacements t r a n s v e r s a u x n'est pas p r i s e e n compte puisqu'elle ne joue aucun r81e dans c e t t e s i t u a t i o n . Remarquons a u s s i que l e s t e r m e s de couplage p r é s e n t s dans l e s y s t è m e (12) d i f f è r e n t de ceux du s y s t é m e (4) de l a configuration A.

4.3. E q u a t i o n s d u modele c o n t i n u

En procédant d'une manière analogue à l a premiére configuration, l'approximation continue du système d'équations aux d i f f é r e n c e s f i n i e s e s t obtenue pour d e s p r o c e s s u s dynamiques lentement variables e n espace

.

Les équations a i n s i d é d u i t e s s > é c r i v e n t :

oil : (14)

En négligeant l e couplage, nous r e t r o u v o n s 19équation d'ondes acoustiques pour le déplacement longitudinal, e t celle de sine-Gordon pour l a r o t a - t i o n ; i cause de c e couplage, l a s t r u c t u r e de c e s équations devient t r é s complexe e t l e u r r é s o l u t i o n f o r t délicate.

(8)

Les s o l u t i o n s d'ondes s o l i t a i r e s peuvent O t r e également o b t e n u e s SOUS

forme d'ondes propagatives, f o n c t i o n s de l a variable de phase

r .

Nous pouvons a l o r s s u b s t i t u e r l a déformation Ur dans l'équation r é g i s s a n t le mouvement de

#, e t nous obtenons :

e t p a r s u i t e :

(13.b) 3

2 & b,J2mrc ^-<* ^- ^c2 ^-

a ~ > + , ,

-

^xsin#

⁼

^O.

L

Nous supposons que le c o e f f i c i e n t de couplage a e s t non nul; dans c e s conditions, l'équation (15.b) admet une i n t é g r a l e premiére qui s ' é c r i t :

(16.a)

(#cld ^-

2 p a [ a C l 2 + b + pcos$

=

0,

oh nous avons posé :

A

Dans c e qui précéde,

c2

d i f f é r e de

CE,

A e t b s o n t d e s c o n s t a n t e s d'in- t é g r a t i o n a r b i t r a i r e s .

Dans l e c a s l e plus général, l e s s o l u t i o n s de l'équation (16.a) s'expri- ment à l'aide d e s i n t é g r a l e s elliptiques de première e t t r o i s i è m e espèce. Nous allons donc examiner un c a s simple conduisant à une onde s o l i t a i r e pour laquelle nous avons a

= B

e t b

=

^p

=

1, s o i t :

(17)

p a r conséquent :

e t A

=

Arg s h 1.

h

Nous remarquons qu>une t e l l e s o l u t i o n e x i s t e si 1C

1 ^<

i n f ( 1

-

^d,^CL>,

x >

O e t a ^;i: O, ce qui conduit, e n l'absence des t e r m e s de couplages, à I'Oquation usuelle de sine-Gordon. La c o n s t a n t e d'intégration A, f i g u r a n t dans l'expression (i8.b) de l a déformation, a é t é éliminée e n u t i l i s a n t l a r e l a t i o n (i8.c); dans c e t t e d e r n i è r e 8 e s t une longueur c a r a c t é r i s t i q u e l i é e à l'épais- s e u r de la paroi p a r e

=

ni.

+

La solution (18.a) e s t t e l l e que p- t r a n s i t e de S n / 2 quand

r -+

-m. à fn/2 quand

< +

+m; nous r e t r o u v o n s donc une s i t u a t i o n a s s e z similaire à celle d'une chaine compressible de dipBles CI21, ou bien

A

celle d'un modèle d ' H e i s e n b e r g pour l e s chaines de s p i n s ClSI.

4.4. R I s u l t a t s n u m é r i q u e s

Afin de v é r i f i e r l a s t a b i l i t é de c e s ondes localisées a u s s i bien que l'approximation continue, nous avons considéré une simulation numérique a u

(9)

moyen d e s é q u a t i o n s d i s c r è t e s (12). les r é s u l t a t s s o n t r e p r é s e n t é s s u r l a f i g u r e 3.a pour la r o t a t i o n e t s u r l a f i g u r e 3.b pour la déformation; c e t t e d e r n i è r e e s t accompagnée de r a d i a t i o n s de phonon e t d'une p e r t e d'amplitude, l e u r influence s u r l a r o t a t i o n e s t moindre. En f a i t , c e s e f f e t s s o n t d u s à l'approximation c o n t i n u e qui i n d u i t un manque d'information p a r r a p p o r t au modèle d i s c r e t . C e t t e simulation e s t la meilleure pour d e s v i t e s s e s de phase a v o i s i n a n t l'unité c e qui e s t confirmé p a r l p e x p r e s s i o n (i8.b) de l a déforma- t i o n ; e n e f f e t , c e l a r e s p e c t e l e s h y p o t h é s e s de f a i b l e s v a r i a t i o n s s p a t i a l e s . Aussi c e t t e v i t e s s e p e u t e t r e i n f é r i e u r e ou s u p é r i e u r e à 1.

5. INFLUENCE D'UN CHAMP EXTERIEUR S U R LE MOUVEMENT D E S EXCITATIONS NON LINEAIRES

5.1. EQUATIONS

Le probléme que nous nous p r o p o s o n s d'examiner m a i n t e n a n t est l e mouvement t r a n s i t o i r e de l'onde localisée, i n i t i a l e m e n t a u r e p o s , quand un champ é l e c t r i q u e non nul e s t soudainement appliqué à l ' i n s t a n t T

=

ro. Nous d é t e r m i - n e r o n s a l o r s l e s é t a t s e l e c t r i q u e s e t mécaniques d e la p a r o i s o u s l'influence du champ. Physiquement, la p r é s e n c e de c e champ f a v o r i s e la c r o i s s a n c e d'un domaine a u d é t r i m e n t de l ' a u t r e , c e qui e s t un moyen de r a m e n e r une s t r u c t u r e

A

deux domaines à une a u t r e n'en c o m p o r t a n t qu'un s e u l . En s u p p o s a n t que le mouvement de la p a r o i a lieu dans le plan x O y , s e u l e l'&quation e n O e s t modi- f i é e e t s ' é c r i t :

Nous avons i n t r o d u i t d a n s c e t t e é q u a t i o n un p r o c e s s u s d i s s i p a t i f e t un champ appliqué dépendant de la r o t a t i o n elle-meme. En revanche, nous n'avons p a s inclus de p r o c e s s u s de d i s s i p a t i o n lié A la d é f o r m a t i o n é l a s t i q u e d e la chaine, bien que la v i s c o s i t é s o i t le modéle le plus a p p r o p r i é e , celle-ci e s t d i f f i c i l e B i n t r o d u i r e c o r r e c t e m e n t s u r l e plan microscopique.

Les t e r m e s s u p p l é m e n t a i r e s de l'équation (19) s o n t c o n s i d é r 0 s comme de p e t i t e s p e r t u r b a t i o n s a g i s s a n t s u r le s y s t é m e couplé e t o n t pour e f f e t de moduler la p o s i t i o n de l'onde s o l i t a i r e < t r a n s l a t i o n > , d ' a l t é r e r s o n é p a i s s e u r e t de changer sa f o r m e p a r la p r é s e n c e d e s r a d i a t i o n s de phonon. Ainsi l a p a r o i i n i t i a l e m e n t a u r e p o s dépend m a i n t e n a n t du temps. Désormais e t p a r s o u c i de simplification, c e s r a d i a t i o n s s e r o n t i g n o r é e s .

Fig. 3

-

C o n f i g u r a t i o n B. C a > s o L i t o n e n r o t a t i o n et < b > s o l i t o n e n é l o n g a t i o n .

(10)

Un schéma de p e r t u r b a t i o n a é t é développé e n cons6quence; il est b a s é s u r l'hypothése de La v a ~ i a t i o n a d i a b a t i q u e du t e m p s I7, 141, qui c o n s i s t e à remplacer l a variable de phase p r é c é d e n t e p a r

=

X

-

w<T>, oil W < T > e s t la position de l'onde p e r t u r b é e e t C < T >

=

wCr> s a c é l é r i t é .

Grâce à une considération é n e r g é t i q u e simple, i l e s t possible de d4finir c e s g r a n d e u r s e n f o n c t i o n du temps; e n e f f e t , la mkthode r e p o s e s u r le f a i t que l e s s o l u t i o n s (9.a) e t (10) s o n t f o n c t i o n s d e s variables (X, wCT>, T) e t s o n t c o n t r a i n t e s à s a t i s f a i r e un principe variationnel a s s o c i é a u Lagrangien du système. Ce principe e s t v é r i f i é pour t o u t mouvement v i r t u e l de déplacement e t de r o t a t i o n , s o i e n t 6U, 6 V e t 60. Ces mouvements s o n t dus à la position v i r t u e l l e de l'onde, qui elle-m&me e s t provoquée p a r l e s t r a v a u x v i r t u e l s du champ e x t é r i e u r e t de l a dissipation. L a position w p e u t B t r e a l o r s t r a i t é e comme une nouvelle variable dynamique; c e qui conduit A l'équation du mouvement s u i v a n t e :

oil 2 e s t l e Lagrangien défini à p a r t i r de l a s o l u t i o n non p e r t u r b é e CU, V, O), QF l a f o r c e g é n é r a l i s é e d e s e f f o r t s e x t é r i e u r s e t QD celle de l a dissipation, c e s g r a n d e u r s s ' é c r i v e n t comme s u i t :

Dans l e s équations (21) nous avons suppos4 que 6(C)

=

6(O)

<<

i e t nous avons posé :

En u t i l i s a n t l e s e x p r e s s i o n s (21.a-c), l'équation pour la p o s i t i o n WCT>

devient :

Nous avons bien évidemment une équation r e l a t i v i s t e pouvant e t r e aisé- ment résolue. En p a r t i c u l i e r , si y e s t nul e t F c o n s t a n t dans l e temps, nous r e t r o u v o n s l'équation de mouvement d'une p a r t i c u l e r e l a t i v i s t e de masse u n i t é a u r e p o s , uniformement accé1éré.e p a r

F

1151.

5.2. S o l u t i o n s n u m é r i q u e s

L a simulation numérique de c e probléme e s t illustrOe p a r l a f i g u r e 4, qui donne l e s s o l u t i o n s d e s é t a t s de déformations e n élongation e t e n cisaillement ( f i g u r e s 4.a et 4.b> e t celle e n r o t a t i o n ( f i g u r e 4.c>. L'onde e s t initialement au r e p o s <T

<

e t amorce un mouvement p r o g r e s s i f quand F e s t appliquée à T ~ ;elle a c q u i e r t donc une v i t e s s e périodique d4pendant B l a f o i s de F _{e t}de y. La f i g u r e 5 donne l a p o s i t i o n e t l a v i t e s s e de l'onde localisée e n fonction du temps, a i n s i que l a t r a j e c t o i r e dans l e plan d e s phases. De plus, a j o u t o n s que l e s r a d i a t i o n s de phonon dues aux t e r m e s p e r t u r b a t e u r s s o n t difficilement perceptibles; e n revanche l e s e f f e t s de l a d i s c r é t i s a t i o n s o n t a p p a r e n t s au niveau de l a v i t e s s e . C e s r é s u l t a t s confirment la validité de

(11)

n o t r e méthode de p e r t u r b a t i o n a u s s i bien que l'approximation continue.

6. CONCLUSION

Nous a v o n s c o n s t r u i t d a n s c e p r é s e n t t r a v a i l un modèle d e r é s e a u a n h a r - monique, i n c l u a n t d e s d e g r é s de l i b e r t é s u p p l é m e n t a i r e s i n h é r e n t s à la r o t a - t i o n de dip8les. Le s y s t è m e microscopique a i n s i o b t e n u est a l o r s B la f o i s non l i n é a i r e C r o t a t i o n de g r a n d e s amplitudes> e t a u s s i d i s p e r s i f C h é t é r o g é n e i t é e n e s p a c e d e s dip&les>, il e n g e n d r e e n conséquence d e s e x c i t a t i o n s a c o u s t i q u e s BlectromBcaniques du t y p e ondes s o l i t a i r e s ; celles-ci s o n t intimément l i é e s a u mouvement d e la p a r o i s é p a r a n t deux domaines f e r r o é l e c t r i q u e s e t s o n t o b t e n u e s a u moyen d'une approximation c o n t i n u e . Néanmoins, c e t t e d e r n i è r e s'accompagne d a n s c e r t a i n s c a s d'une p e r t e d'information p a r r a p p o r t a u modèle d i s c r e t c o r - r e s p o n d a n t , e t c o n d u i t A d e s p e r t u r b a t i o n s ; une a n a l y s e d e l a s t a b i l i t é p e u t ê t r e menée pour mieux c e r n e r la dynamique du r é s e a u . D e t e l l e s o n d e s non l i n é a i r e s , d a n s la m e s u r e oil l e u r s t a b i l i t é e s t a s s u r é e , p e u v e n t ê t r e appli- q u é e s d a n s d e s d i s p o s i t i f s de t r a i t e m e n t du s i g n a l Cpar exemple, p r o d u i t de convolution, d i f f r a c t i o n d'ondes, c o m p r e s s i o n d'impulsions e t c

... >.

P a r a i l l e u r s , l e modèle p e u t ê t r e & t e n d u a u c a s 0 0 l e s deux configura- t i o n s A e t B s o n t p r é s e n t e s e t nous pouvons, p a r exemple, Bxaminer la s t a b i - l i t é d'une c o n f i g u r a t i o n r e l a t i v e m e n t à l ' a u t r e . D'autre p a r t , Le c a r a c t è r e d i s c r e t du systCme e n g e n d r e d e s phénomènes non l i n 8 a i r e s p a r t i c u l i è r e m e n t i n t é r e s s a n t s A B t u d i e r e t qui n ' e x i s t e n t p a s d a n s le c a s c o n t i n u , t e l s que l ' h y s t é r e s i s ou la t r a n s i t i o n v e r s le chaos, quand nous appliquons un champ Blectrique dependant du temps. Finalement, n o u s pouvons e n v i s a g e r l'extension d e c e modèle à un s y s t è m e bi-dimensionnel qui conduit

B

de nouvelles s t r u c t u - res non l i n é a i r e s e t A de nouveaux problèmes d e s t a b i l i t é .

Fig. 4

-

I n f l u e n c e d ' u n champ a p p l i q u é s u r l e s o n d e s s o 2 i t u i r e s . Ca3 s o l i t o n e n r o t a t i o n . Cb3 s o 2 i . t o n e n é l o n g a t i o n et Cc3 s o l i t o n e n c i s u i l l e m e n t .

(12)

Time (a)

Fig. 5

-

P a r a m è t r e s d e l ' o n d e s o l i t a i r e e n f o n c t i o n d u t e m p s . Ca> p o s i t i o n d e t ' o n d e , <b> v i t e s s e d e L'onde et Cc>

t r a j e c t o i r e d a n s

Ze

plan d e s p h a s e s .

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