Forme et propagation des ondes sonores dans un espace limité par des surfaces absorbantes

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Forme et propagation des ondes sonores dans un espace

limité par des surfaces absorbantes

Jacques Brillouin

To cite this version:

FORME ET PROPAGATION DES ONDES SONORES

DANS UN ESPACE LIMITÉ PAR DES SURFACES ABSORBANTES

Par _JACQUES BRILLOUIN.

Sommaire. 2014 L’auteur examine

au moyen de l’équation générale du potentiel des vitesses divers

problèmes de _propagation et de vibrations _{forcées dans des espaces limités par des surfaces} absor-bantes. L’absorption est _{définie par l’impédance} de la surface limite.

Cet examen montre l’existence, dans _{les espaces limités par des} plans, d’ondes planes non uniformes de structure spéciale : vibration _elliptique dans un _plan contenant la direction de propagation, amplitudes

suivant une loi exponentielle dans la direction du _plan d’onde contenant les _{trajectoires elliptiques,} uniformité dans la direction du _plan d’onde normale au _plan des _{trajectoires,} vitesse de phase et vitesse de _propagation de _{l’énergie égales} entre elles et inférieures à la vitesse du son.

Ces ondes jouent, dans _{les espaces} considérés, le rôle tenu par les ondes planes uniformes dans les espaces limités par des plans rigides.

Le calcul donne enfin pour les espaces non clos les différentes formes d’onde _{progressives,} avec leur vitesse de _phase et leur affaiblissement, pour les espaces clos, les vibrations forcées.

1. Position des

_problèmes

traités.

Définition

de la surface absorbante. - Nous _{nous sommes} limités

au cas où les surfaces absorbantes

peuvent

être

représentées

par des conditions de la forme

où _p est la

_{pression acoustique, v,,}

la

_composante

normale à la

_{paroi, prise}

vers

_{l’extérieur,}

de la

vitesse vibratoire et Z une

_{impédance complexe.}

Cette condition

_signifie

_{que la}

_{paroi réagit}

comme

si elle était formée de

_{petits pistons jointifs}

indé-pendants

les uns des autres. Cette

_supposition

est raisonnable dans le cas de la

_plupart

des matériaux absorbant

usuels,

qui agissent

par leur

porosité.

Elle ne

_peut,

en

_revanche,

servir à

_représenter

une

paroi

dont la surface soit

_susceptible

de restituer à distance

_l’énergie

sonore

_qu’elle

_reçoit

du milieu fluide.

Espaces

considérés. - Nous examinons le _cas d’un

_demi-espace

_{limité par} un

_plan,

de

_l’espace

compris

entre deux

_{plans parallèles,}

des

_tuyaux

de section

_{rectangulaire}

et

_circulaire,

de la salle

paral-lélipipédique.

Dans ce dernier cas ce n’est

_plus

un

problème

de

_propagation,

mais de vibrations forcées. 2. Méthodes de calcul. - Ces méthodes dérivent de celles

_qui

sont utilisées dans le cas

_d’espaces

limités par des

parois rigides.

L’une,

largement

développée

par lord

Rayleigh

(Theory

of

_Sound)

et

_employée

_par mon

_{père (1)}

(1) Marcel _{BRILLOUIN, Propagation} anormale des sons _aigus

dans les _tuyaux larges, Congrès international de _Physique,

1900,1, p. ?46; Sur la propagation du son dans les gros tuyaux cylindriques, à propos des expériences de Violle et Vauthier,

Annales de Chimie et Physique, 8e série, 1906, 8, p. 443.

en _{I goo pour l’étude de la}

_propagation

et de la

dispersion

du son dans les

_tuyaux

_larges,

consiste à

_partir

de

_{l’équation générale}

du

_potentiel

des vitesses et à chercher les solutions sous forme

d’ondes

_planes

non uniformes cheminant

parallèle-ment aux surfaces limites.

L’autre,

_{plus géométrique}

et

_plus

_intuitive,

s’applique

aux _{espaces limités par des}

_plans

rectan-gulaires.

On

_part

d’ondes

_planes

uniformes d’inci-dence

_oblique

_{que l’on groupe deux} à deux

_(onde

incidente et onde

_réfléchie)

de manière à annuler sur

les

_plans

limite la

_composante

normale de la vitesse vibratoire. On trouvera un

_exemple

de cette

méthode,

appliquée

à des

_{problèmes électriques,}

dans divers

articles de mon

_frère,

Léon Brillouin

_(2).

Nous avons conduit nos _{calculs par} la

_première

méthode. Elle

_permet

d’ailleurs aisément de trouver les

_{décompositions}

en ondes

_obliques,

et montre que, sauf dans le cas où il

_n’y

a

_{qu’un plan}

_limite,

ces ondes ne sont pas

uniformes,

mais sont du

type

spécial

que nous avons décrit sous le nom

d’ondes S dans un

_précédent

article

(3).

Ces ondes

jouent

un rôle

_important

dans tous les

problèmes

concernant les _espaces limités _{par des}

plans

absorbants. D’autre

_part

elles ont _pour forme (2) Léon BRILLOUIN, Revue gén. de l’Électricité, 1936, 40,

p. 22~; Electrical Communication, 1938, 16, p. 350; Bulletin Soc. _{f r,} des _{Électriciens, 1938,9,} p. 899.

Signalons enfin, dans la Revue d’Acoustique, 1 939, vol _VIII, fasc. 1-3 : Léon _BRILLOUIN, Le tuyau acoustique comme _filtre

passe-haut, p. i. -

Jacques BRILLOUIN, Propagation d’ondes

sonores _plaines au _voisinage d’un plan absorbant, p. 97. Et d’intéressants travaux expérimentaux ; H. E. HARTIG et C. E. SwANSON, Transverse acoustic wawes in rigid Tubes, Phys. Rev., 1938, 54, p. 618. - F. V.

HUNT, Investigation

of Room Acoustics by Steady-State Transmission

Measu-rements, Journ. _of the acoustical Soc. _{of --Imerica, janvier 1939,} p. 2 ~ 6.

(3) e f . Revue d’Acoustique, p. 104 et figure p. 99.

498

limite l’onde

_plane

_uniforme,

de sorte

_qu’une

décom-position

en ondes S

_obliques

tend vers la

décompo-sition

_classique

en ondes uniformes

_lorsque

l’impé-dance des

_plans

limite tend vers l’infini

_(plans

rigides).

Nous commencerons donc par donner la forme

générale

de

_{l’équation}

de ces ondes et la

_description

de leurs

_{propriétés.}

3. Les ondes S. -

L’équation générale

du

_potentie

des vitesses étant

on

_peut

la

satisfaire -par

une solution de la forme

où

_{°1’ ~~, °3}

sont des

_{quantités complexes.}

Posant alors il vient entre ces _divérses

quan-tités,

les relations

Un

_changement

d’orientation des axes

_permet

de réduire la forme

₍₂₎

à la forme

nous nommerons

_{caractéristique}

de l’onde l’arc

hyper-bolique ! qui

détermine sa vitesse de

_phase

et la

répartition

des

_amplitudes

dans la direction des y. L’onde

_générale

₍₂₎

est donc une onde

_oblique

du

type (4).

Cette dernière se _propage sans déformation dans le sens ox avec une vitesse de

_phase

W = 1

.

"

chL 1

in f érieure

à la vitesse du son V.

’

L’onde est uniforme dans le sens oz.

Les

_composantes

de la vitesses vibratoire sont

et les

_composantes

du

_déplacement

Les

_trajectoires

sont donc des

_ellipses

situées dans des

_plans

_parallèles

à Leur

_grand

axe

est

_parallèle

à ox

_(direction

de

_propagation)

et leur

petit

axe à _oy

_(direction

de

_{non-uniformité).}

Le

rapport

des axes est

_{th ~.}

Tous les

_points

du

_plan

d’onde ont donc des vibra-tions

_elliptiques

en

_phase

dont

_{l’amplitude}

suit dans

le sens _oy une loi

_{exponentielle,}

et est constante dans le sens oz. Le sens _{de parcours} est

_indiqué

sur la

figure.

Les

_{pressions acoustiques}

sont

et sont donc en

_phase

avec la

_composante

longitu-de la vitesse vibratoire. Le maximum de

pression

se

_{produit quand}

les

_particules

_passent

à l’extrémité A du

_petit

axe de leur

_trajectoire,

c’est-à-dire

_quand

la dilatation dans le sens trans-versal oy est maxima.

Lorsque ~

tend vers zéro l’onde tend vers l’onde

plane

unif orme. ’

La _{densité moyenne}

_d’énergie

est

Il est aisé de voir que

l’énergie

se _{propage dans}

le sens ox. En considérant une

_paroi

normale au sens de

_propagation

et

_{d’impédance}

qui

absorbe totalement

l’onde,

on trouve _{que la} vitesse de

propagation

de

_l’énergie

est

_égale

à la

T/-vitesse de

_phase

20132013’

Fh- 17,

*

499 De telles

ondes, évidemment,

ne sauraient avoir

d’existence

_physique

dans un _espace

_illimité,

car

cela conduirait à y admettre des

_amplitudes

indé-finiment croissantes avec -

y.

Nous avons montré

_qu’on

_peut

limiter ces ondes

dans cette direction par des

plans

doués

d’absorp-tion totale. Les ondes S

_peuvent

donc exister dans

un

_demi-espace

limité _par un

_plan

absorbant.

4.

_Propagation

le

_long

d’un

_plan

absorbant. -Le

_plan

absorbant est le

_plan

_L’espace

considéré est celui des z

_positifs.

Nous nous limitons aux

solutions

_ayant

la forme d’ondes

_planes

uniformes

en _y, non uniformes en z, cheminant vers les x croissants avec une vitesse de

_phase

W et un

affai-blissement a.

Nous écrivons alors le

_potentiel

des vitesses sous

la forme

, fi) B.

et la condition à la limite

D’où,

pour déterminer F

(z),

l’équation

et la condition

pour Z = 0

Appelant

a2 la

_quantité

entre

crochets,

facteur de F dans

_(12),

les solutions sont

et la condition

₍₁₃₎

donne

L’onde définie par ces conditions est la résul-tante de deux ondes S

_obliques,

l’une

_incidente,

l’autre

réfléchie,

d’incidence _p, de

_{caractéristique §}

et il vient

Il est _{aisé de voir que}

C,

1

_représente

le coefficient de réflexions des

_amplitudes.

Le coefficient de réflexion des

_énergies

est

alors,

en

_posant

et le coefficient

_{d’absorption}

On a

_réflexion

totale si A = _o, c’est-à-dire si

Si donc on se donne le

_plan

absorbant

_(~)

et la

caractéristique v

de

l’onde,

on pourra

toujours

trouver un

_angle

_{d’incidence (Dcompris entre. - § et + )}

122

pour

lequel

il _y ait

_absorption

totale.

Si ~ >

o ( Y >

o)

cp

et ~

seront de

signes

contraires,

c’est-à-dire que l’onde incidente aura des

ampli-tudes indéfiniment croissantes

_lorsqu’on

_s’éloigne

du

_plan

limite.

Si ~

o

(Y

_o)

_p

_{et à}

sont de même

_signe,

l’onde aura des

_amplitudes

décroissantes

_lorsqu’on

s’éloigne

du

_plan

limite.

Pour i =

o

(onde plane)

on trouve la condition

c’ est-à-dire :

Soit ~

= o

_(X

= _o,

paroi

_sans

viscosité,

ce

_qui

est

_évident).

Soit _(p = o incidence rasante. Il faut alors remarquer que l’onde incidente et l’onde réfléchie sont en

_opposition

de

_phase.

L’onde résultante est évanouissante.

_{Il y a}

donc

_{incornpatibilité}

entre l’existence d’un

_plan

absorbant et d’une onde

_plane

uniforme

cheminant sous incidence rasante le

_long

de ce

_plan.

’

L’absorption

totale nécessite que dans

₍₁₇₎

les deux carrés

_composant

le numérateur soient nuls. On en tire les conditions suivantes :

Pour §

= _o

(onde uniforme)

il vient

tg ~

= o

_{( Y =}

_o,

_paroi

_purement v

_isqueuse),

Si le

_plan

absorbant est

donné,

les formules

₍₁₉₎

permettent

de calculer la valeur

_{de ~}

et celle

_{de cp}

correspondant

à

_{l’absorption}

totale.

Éliminant

_{o il}

vient, pour déterminer

~,

qui

donne

_toujours

_pour une racine

_positive

) _dans (1) C’est par erreur que nous avons donné une autre valeur

500

unique.

est donc déterminé au

_{signe près.}

La

première

condition

₍₁₉₎

détermine alors la valeur de _p

_{correspondante.}

Le

_changement

de

_{signe de}

entraîne celui de _{9. On pourra} donc

_prendre

₉ entre zéro et ’-‘ ~ *

A

_{chaque plan}

absorbant.

_correspond

donc une

onde S

_unique

et une incidence

_unique

_pour

lesquelles

il y a

absorption

totale.

5.

_Propagation

entre deux

plans

absorbants

parallèles.

- Ces

plans

seront les

_{plans z}

=

z’, z

- z"

avec z’ > z". Leurs

_{impédances respectives}

sont

Z~;

et

_Z;.

Les conditions aux limites deviennent

nous nous limitons aux ondes

_planes

uniformes en _~,

non uniformes en z, normales à ox et cheminant vers

les x

_positifs.

6b

_prend

alors la forme

_(12),

F

_(z)

la forme

₍₁₄₎

et les conditions aux limites donnent

d’où,

pour déterminer

o,

l’équation

transcendante

La résolution de

_{l’équation}

transcendante

₍₂₂₎

nous donnera

donc,

pour

chaque

valeur de 5>, une

infinité de racines _

_{0’ + j}

a’,

d’où nous tirerons les formes d’onde

possibles,

leurs vitesses de

_phase,

leurs affaiblissements.

Se

_reportant

à la valeur de ~2

_[équation

_(12)]

on trouve en eff et

a2 et

- )

sont donc les deux

racines,

l’une

positive,

l’autre

_négative,

de

_{l’équation}

du second

degré

en u

La forme

₍₁₄₎

de

_F(z)

_{montre que} l’onde est le résultat de la

_{superposition}

de deux ondes S

_obliques

de

_{caractéristique ~}

et

_{d’incidence iD}

aisément cal-culables.

Ainsi le cas de deux

_plans

absorbants

parallèles

est

_analogue

à celui de deux

_{plans rigides,}

mais,

au lieu de deux ondes

_planes

uniformes

_obliques,

ce sont deux ondes S

_obliques

_que l’on devra

_associer,

et

_qui

fourniront une onde résultante se

_propageant

avec une vitesse de

_phase

qui

pourra être inférieure à

V,

et un

affaiblisse-ment

que la structure des ondes S

indique

clairement. Dans le cas ou les deux

_plans

ant la même

impé-dance

_Z,,

nous _{poserons z’ = zQ, z"} _-

z,. La condi-tion

₍₂₂₎

donne alors :

soit

d’où

soit

d’où

Nous

_appellerons

les

_premières

solutions

_paires

et les secondes

_impaires,

car, pour Z === oc;

(plan

rigide),

elles donnent

_{respectivement}

les valeurs

classiques

Remarquons

que, pour les solutions

paires,

le

plan z

= o est un

_plan

de

_symétrie

et

_qu’on

y a

a F

= o, c’est-à-dire _que la vitesse vibratoire

d z;

normale à ce

_plan

est nulle. On

_peut

donc le

rem-placer

par un

_{plan rigide.}

Les solutions

_paires

sont donc les solutions du

problème

de

_propagation

entre un

_{plan rigide}

z = o

et un

_plan

absorbant z =

z,.

Les

_équations

₍₂₅₎

et

₍₂₆₎

_peuvent

s’écrire sous

une forme sans dimensions

_qui

sera utile pour une

discussion. Posant

et,

A étant la

_longueur

d’onde

_(en

_espace

_libre)

du

son

considéré,

avec

(25)

et

₍₂₆₎

deviennent

_{respectivement}

Lorsque

Z = oo

(plans rigides),

nous avons donc

1-

-Nous

_reportant

aux

_{équations (23),}

nous trouvons que

c’est la _forme

_classique

d’une onde formée _par

superposition

de deux ondes

_planes

uniformes

obliques,

et se

_propageant

sans affaiblissement sous une incidence _p, avec

et les

_{équations (16)}

montrent

_qu’alors

le

_système

stationnaire

_représenté

par cette solution est le

résultat

de la

_{superposition}

de deux ondes S d’in-cidence normale

_((p

=

o), qui

donnent bien

~

étant _{déterminé par la relation}

Pour une valeur de 1. donnée il _y a donc deux

groupes de

phénomènes,

les uns

_progressifs

se

pro-pageant

sans

affaiblissement,

les autres

station-naires et

_comportant

un affaiblissement dans le sens

des x.

Ce résultat _{subsiste tant que les}

_impédances

des

plans

limites sont

_purement

_{imaginaires (parois}

sans

_viscosité).

Il est évident en ce cas

_qu’il

ne

saurait y avoir

_propagation

avec

_{dissipation d’énergie.}

Les solutions 6

_complexes,

s’il s’en

trouvait,

seraient

incompatibles

avec les conditions

_physiques.

La

relation

₍₂₂₎

_peut

alors donner à soit

réel,

soit

ima-ginaire

pur, les deux cas entraînant soit W fini

avec a = o

(ondes progressives

sans affaiblisse-ment résultant de la

_{superposition}

de deux ondes

planes

uniformes

_obliques),

soit W = oc avec

_{a ~}

o

(phénomènes

stationnaires résultant de la

super-position

de deux ondes S d’incidence

_normale).

Si l’une au moins des

_impédances

_Z’;,

_Z’.’,,

contient

un terme réel

(viscosité),

(22)

montre que les

solu-tions à sont

_complexes.

Dans ce cas

(24),

_qui

donne a2 et

- -‘~~.,

a deux racines de

_signes

contraires. Il y a

donc

toujours

à la fois

_propagation

et affaiblis-sement.

Ainsi

_{l’apparition}

de la viscosité sur les

_parois

a deux

_{conséquences :}

la

_première,

_qui

est

intuitive,

est d’introduire dans les ondes

_progressives

un

affaiblissement en cours de

propagation,

c’est-à-dire

de transformer en ondes S les deux ondes uni-formes

_obliques

dont la

_{superposition}

forme l’onde

considérée;

la seconde est de rendre

_progressifs

les

phénomènes

stationnaires,

c’est-à-dire de rendre

obliques

les deux ondes S d’incidence normale

_qui

les

_composaient.

6.

_Propagation

dans un

_tuyau

de section

rectan-gulaire.

- Les

plans

limitant le

_tuyau

seront :

Employant toujours

la même méthode de

décom-position

nous écrirons

2013(

( , w j

_IY

( fl9 )

et nous trouverons

avec, pour satisfaire à

l’équation générale

du

_potentiel

des

vitesses,

.10’ , " ....

52

et

_a31

_pour

_remplir

les conditions aux limites

doivent chacun être racine d’une

_équation

du

type

(22).

Chaque racine °2

peut

être

_accouplée

avec

_chaque

racine

_~3

_{pour former} une solution

complète.

Ainsi l’onde est le résultat de la

_{superposition}

de

_quatre

ondes S

_obliques.

L’affaiblissement et la vitesse de

_phase

sont alors données _par

₍₃₁₎

et il vient

(.) 2

qui

permettent

de calculer a2 et -

2013

., comme

racines d’une

_équation

du second

_{degré analogue}

à

_(23).

Si l’on a Z]

=

Z:; ou Z‘.;

=

Z"

l’une des conditions

502

en

_paires

et

_{impaires, qui}

_permettent

de traiter le cas où certaines

_parois

du

_tuyau

sont

_rigides.

Comme dans le cas

_précédent,

si les

_parois

sont

sans

viscosité,

les solutions se divisent en deux

groupes : ondes

progressives

sans

_{affaiblissement,}

phénomènes

stationnaires résultant de la combi-naison de

_quatre

ondes S normales aux

_parois.

Si

les

_parois

ont de la viscosité toutes les solutions sont des ondes

_progressives

avec affaiblissement.

7.

_Tuyau

de section circulaire. - Le

potentiel

des vitesses

s’écrit,

en coordonnées

_polaires

r, 9

prises

autour de l’axe ox du

_tuyau,

et la condition à la

limite,

si ro est le _{rayon du}

tuyau,

’B--Y-

1-On

_{prend pour 4J}

la forme

_classique

on trouve alors

J n étant la fonction de Bessel d’ordre n et la

condi-tion

₍₃₃₎

donne

-qui,

avec les mêmes notations _que

_{précédemment}

dans

_lesquelles

_r,

_{remplace zo, prend}

la forme sans

dimensions

8.

_Tuyaux

étroits. - On obtient le

résultat,

_qui

est celui de la théorie élémentaire

_{(tuyaux souples,}

de

Helmholtz;

coups de

bélier),

où l’on considère

une tranche comme animée d’un mouvement

d’en-semble,

en confondant dans

_{(22), (25)}

ou

(26)

la

tangente

avec

_l’angle,

_ou, dans le cas du

_tuyau

de

section

_circulaire,

en

_posant

9. Vibrations forcées des espaces clos. Salle

parallélépipédique.

- La recherche des sons propres

d’espaces

clos _par des surfaces absorbantes

₍₁₎

conduit à poser

(1) Voir, par exemple, SCHUSTER et WAETZIANN, Uber

den Nachhall in geschlossenen Raumen, Annalen der Physik,

5 _folge, Bd _1, Heft _{5, 1929, p. 6y.}

avec une condition aux limites

qui

donne _pour W

où Z est une fonction des coordonnées et de la

pulsation

(ü.

On obtient alors deux séries de valeurs : ú) 1

..., 1 ~. de la

pulsation,

et OC2, ..., de

l’amortissement;

et la série de fonctions

_{qr1’ ~Y’2,}

...,

qui

leur

_{correspondent.}

Ces

_fonctions,

contrairement à ce

_qui

se _passe

dans les cas

_classiques,

ne sont _{pas propres} à l’étude des états stables de vibrations forcées. En

effet,

il faut dans ce cas _poser

Si l’on

_prend

_pour Il’ une des fonctions qrk

précé-demment

déterminées,

les conditions aux limites

ne sont _pas

satisfaites,

et ce _{pour deux raisons :}

la

_suppression

du terme ce dans la condition

(38),

la variation de valeur de Z en fonction de G~.

L’étude des vibrations forcées

_peut

être _{faite par} la voie suivante : si les forces extérieures

_(sources

sonores) agissant

sur _{l’élément de volume dx,}

_dy,

dz dérivent d’un

_potentiel

R,

ce

_qui

est

_{généralement}

le cas,

l’équation

du

potentiel

des vitesses

prend

la forme

qui,

si R = doit donner des solutions de la

d’où,

pour déterminer les fonc-tions ’If

_{l’équation}

Nous chercherons les fonctions

W k

satisfaisant à

l’équation

où M est la

_pulsation

donnée,

et dk une

_quantité

complexe

à déterminer de manière à ce _que

_{W k}

satisfasse à la condition aux limites

A toute valeur donnée de ú),

(41)

et

(42)

font

correspondre

une

suite W l’ W 2’ ...,

Tk

de

fonctions,

303

sera _{donné par} une autre série

Se

_reportant

à

_(40),

en tenant

_compte

de

_(41),

il vient

et

₍₄₂₎

montre

_{que -4’}

satisfait à la condition aux

limites.

L’étude des aibrations

_forcées

doit donc se

_faire

au _moyen des

_équations

tirées de la condition aux

limites

_(42),

_qui

est du même

_{type que les}

conditions

rencontrées dans les

_problèmes

de

_propagation,

et

non au _{moyen des}

équations

tirées des conditions du

type

(43)

rencontrées dans les

_problèmes

de sons _propres

amortis.

_

Nous traiterons le cas à trois

dimensions,

de la Salle

_{parallélépipédique}

dont

_chaque

_paroi

a une

impédance

donnée. Nous posons

alors,

comme

précédemment

où les trois fonctions

_{Fl, F2, F 3}

ont la même forme

al, d2, a,

étant chacun racine d’une

_équation

du

type

(22).

En associant trois valeurs de

_{al, ô2,}

_Os’

et les trois

.

fonctions

_{FI, F~, F3}

nous formerons la fonction

qui

satisfait aux conditions aux limites. Portant Bj’k

dans

_{l’équation (41),}

nous obtiendrons la

_quantité

complexe d/, qui

lui

_correspond

10. Problèmes se rattachant aux

_problèmes

pré-cédents. - I,es mêmes méthodes et les mêmes

types

de

conditions,

conduisant aux

_équations

trans-cendantes

_{(22), (25),}

₍₂₆₎

et

_(36),

_permettent

de traiter les

_problèmes

suivants.

Tuyaux

rigides

étroits ou cordes terminés à leurs

extrémités _{par deux}

_impédances

Z’ et

Z".,

couche fluide mince

_comprise

entre deux

_{plans parallèles}

rigides,

ou

_membrane,

limitée par un contour

rectangulaire

ou circulaire

_{d’impédance ponctuelle}

Z. Ces

_problèmes

sont

alors,

comme celui de la Salle

parallélipipédique,

des

_problèmes

de vibrations forcées.

11.

_{Classement des ondes,}

discussion des résultats. -

Ce travail suppose la résolution des

équations

transcendantes

_régissant

le

_problème

étudié,

puis

à

partir

du classement des

_racines,

l’étude du classe-ment des vitesses de

_phase

et affaiblissements.

Nous l’avons

_entrepris

sous la forme

_simplifiée

- et

déjà

fort laborieuse - des

équations (2G)

et

_(27),

et en donnerons les résultats dans un

_prochain

article.