Ondes sonores dans les fluides.

Ondes sonores dans les fluides.

P. Ribi`ere

Coll`ege Stanislas

Ann´ee Scolaire 2017/2018

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 1 / 50

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 2 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 3 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probl`eme et approximation acoustique

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

Position du probl`eme et approximation acoustique Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation de propagation des ondes sonores.

C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 4 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probl`eme et approximation acoustique

Situation de d´epart : milieu `a l’´equilibre sans perturbation.

Fluide au repos :~v(M,t) =~0 (∀Mett).

(Mˆeme si les mol´ecules ont une vitesse, comme le mouvement est d´esordonn´e, en moyenne, la vitesse moyenne d’une particule de fluide est bien nulle.)

Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme :p0etµ0(∀M ett) (sur des ´echelles pas trop grandes en z tout du moins).

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Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probl`eme et approximation acoustique

Situation de d´epart : milieu `a l’´equilibre sans perturbation.

Fluide au repos :~v(M,t) =~0 (∀Mett).

Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme :p0etµ0(∀M ett)

En pr´esence de l’onde, i.e. de la perturbation :

~v(M,t) =~0 +~v1(~r,t) p(M,t) =p0+p1(~r,t) µ(M,t) =µ0+µ1(~r,t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont desperturbations infiniment petites du mˆeme ordre de grandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1. L’´ecoulement ´etudi´e est sans aucune pertes.

Remarque :

Les deux premi`eres hypoth`eses sont coh´erentes entre elles et mˆeme ne pourraient en former qu’une.

Ces hypoth`eses devront ˆetre v´erifi´eesa posteriori et confront´ees `a l’exp´erience.

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Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probl`eme et approximation acoustique

Situation de d´epart : milieu `a l’´equilibre sans perturbation.

Fluide au repos :~v(M,t) =~0 (∀Mett).

Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme :p0etµ0(∀M ett) En pr´esence de l’onde, i.e. de la perturbation :

~v(M,t) =~0 +~v1(~r,t) p(M,t) =p0+p1(~r,t) µ(M,t) =µ0+µ1(~r,t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont desperturbations infiniment petites du mˆeme ordre de grandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1.

L’´ecoulement ´etudi´e est sans aucune pertes.

Remarque :

Les deux premi`eres hypoth`eses sont coh´erentes entre elles et mˆeme ne pourraient en former qu’une.

Ces hypoth`eses devront ˆetre v´erifi´eesa posteriori et confront´ees `a l’exp´erience.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 6 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Position du probl`eme et approximation acoustique

Situation de d´epart : milieu `a l’´equilibre sans perturbation.

Fluide au repos :~v(M,t) =~0 (∀Mett).

Champ de pression et de masse volumique stationnaire et uniforme :p0etµ0(∀M ett) En pr´esence de l’onde, i.e. de la perturbation :

~v(M,t) =~0 +~v1(~r,t) p(M,t) =p0+p1(~r,t) µ(M,t) =µ0+µ1(~r,t)

Approximation acoustique.

Tous les champs d’indice 1 sont desperturbations infiniment petites du mˆeme ordre de grandeur.

Les calculs se limitent au premier ordre dans les infiniment petits d’ordre 1.

L’´ecoulement ´etudi´e est sans aucune pertes.

Remarque :

Les deux premi`eres hypoth`eses sont coh´erentes entre elles et mˆeme ne pourraient en former qu’une.

Ces hypoth`eses devront ˆetre v´erifi´eesa posteriori et confront´ees `a l’exp´erience.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 6 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

Position du probl`eme et approximation acoustique Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation de propagation des ondes sonores.

C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 7 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation locale de conservation de la mati`ere.

div(µ~v) +∂µ

∂t = 0 (1)

Equation de conservation de la mati` ere lin´ earis´ ee.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t = 0

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 8 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation d’´evolution d’un fluide parfait (´equation d’Euler).

µD~v Dt =µ(∂~v

∂t + (~v.

−→

grad)~v) =−grad p^−→ (2)

Equation d’´ evolution lin´ earis´ ee.

µ0

∂~v1

∂t =−

−→

grad p1

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 9 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation d’´evolution thermodynamique (fluide compressible) : coefficient de dilatation isentropique (adiabatique r´eversible).

χs= 1 µ

∂µ

∂p soit Dµ Dt =µχs

Dp

Dt (3)

Remarque :

Coefficient isentropique car l’´evolution est sans perte (pas de diffusion de la chaleur ni de viscosit´e).

Erreur historique car premier mod`ele ´etabli avecχT coefficient de dilatation isotherme.

Equation d’´ evolution thermodynamique lin´ earis´ ee (fluide compressible).

∂µ1

∂t =µ0χs

∂p1

∂t

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 10 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Syst`eme de3 ´equations lin´eaires aux d´eriv´es partielles du premier ordre `a 3 inconnues coupl´ees.

3 ´ equations lin´ eaires coupl´ ees du premier ordre des ondes sonores.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t = 0 µ0

∂~v1

∂t =−

−→

grad p1

∂µ1

∂t =µ0χs∂p1

∂t

Cons´equence :

Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du mˆeme ordre de grandeur. (Approximation acoustique auto-consistante).

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Syst`eme de3 ´equations lin´eaires aux d´eriv´es partielles du premier ordre `a 3 inconnues coupl´ees.

3 ´ equations lin´ eaires coupl´ ees du premier ordre des ondes sonores.

µ0div(~v1) +∂µ1

∂t = 0 µ0

∂~v1

∂t =−

−→

grad p1

∂µ1

∂t =µ0χs∂p1

∂t Cons´equence :

Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du mˆeme ordre de grandeur.

(Approximation acoustique auto-consistante).

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 11 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Syst`eme de2 ´equations lin´eaires aux d´eriv´es partielles du premier ordre `a 2 inconnues coupl´ees.

2 ´ equations lin´ earis´ ees des ondes sonores.

div(~v1) +χs

∂p1

∂t = 0 µ0

∂~v1

∂t =−

−→

grad p1

Cons´equence :

Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du mˆeme ordre de grandeur. (Approximation acoustique auto-consistante).

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Syst`eme de2 ´equations lin´eaires aux d´eriv´es partielles du premier ordre `a 2 inconnues coupl´ees.

2 ´ equations lin´ earis´ ees des ondes sonores.

div(~v1) +χs

∂p1

∂t = 0 µ0

∂~v1

∂t =−

−→

grad p1

Cons´equence :

Tous les champs d’indice 1 sont bien des infiniment petits du mˆeme ordre de grandeur.

(Approximation acoustique auto-consistante).

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 12 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

Position du probl`eme et approximation acoustique Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation de propagation des ondes sonores.

C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 13 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Recherche d’´equations lin´eaires aux d´eriv´ees partiellesd´ecoupl´eesdu second ordre

Equation (scalaire) de d’Alembert du champ de surpression.

∆p1− 1 c²

∂²p1

∂t² = 0

p1= 0 Equation de d’Alembert tridimensionnelle.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 14 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. Equation de propagation des ondes sonores.

Recherche d’´equations lin´eaires aux d´eriv´ees partiellesd´ecoupl´eesdu second ordre L’´ecoulement associ´e `a l’onde sonore est irrotationnel.

Equation (vectorielle) de d’Alembert du champ de vitesse.

∆~~v1− 1 c²

∂²~v1

∂t² =~0

~~v1=~0 Equation de d’Alembert vectorielle tridimensionnelle.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 15 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

Position du probl`eme et approximation acoustique Lin´earisation des ´equations de la m´ecanique des fluides.

Equation de propagation des ondes sonores.

C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 16 / 50

Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide. C´el´erit´e des ondes sonores dans les fluides.

cson= s 1

µ0χs

La c´el´erit´e augmente quand la raideur du milieu _χ¹

s (inverse de la compressibilit´e) augmente.

La c´el´erit´e diminue quand l’inertie du milieuµ0augmente.

C´ el´ erit´ e des ondes sonores dans les fluides.

ceau= s

1 µ0χs

'1000m.s⁻¹

c_air= rγRT0

M '330 ou 340m.s⁻¹

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 17 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 18 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 19 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commen¸cons par nous ramener `a l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct) La pression est la superposition d’une OPP_+~ux et d’une OPP_+~u.

Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’´equation est lin´eaire, l’utilisation (implicite) de l’id´ee de Fourier permet de ramener la solution `a une fonction sinuso¨ıdale : p1(x,t) =p1Acos(ωt−kx−ϕ)

R´e´ecrivons cela sous une forme plus g´en´erale.

p1(x,t) =p_1Acos(ωt−k~ux.~r−ϕ) =p_1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~ux, pour OPPH+~u_x

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r,t) =p1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~u, pour OPPH+~u

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commen¸cons par nous ramener `a l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct) La pression est la superposition d’une OPP_+~ux et d’une OPP_+~u.

Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’´equation est lin´eaire, l’utilisation (implicite) de l’id´ee de Fourier permet de ramener la solution `a une fonction sinuso¨ıdale : p1(x,t) =p1Acos(ωt−kx−ϕ)

R´e´ecrivons cela sous une forme plus g´en´erale.

p1(x,t) =p_1Acos(ωt−k~ux.~r−ϕ) =p_1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~ux, pour OPPH+~u_x

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r,t) =p1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~u, pour OPPH+~u

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commen¸cons par nous ramener `a l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct) La pression est la superposition d’une OPP_+~ux et d’une OPP_+~u.

Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’´equation est lin´eaire, l’utilisation (implicite) de l’id´ee de Fourier permet de ramener la solution `a une fonction sinuso¨ıdale : p1(x,t) =p1Acos(ωt−kx−ϕ)

R´e´ecrivons cela sous une forme plus g´en´erale.

p1(x,t) =p_1Acos(ωt−k~ux.~r−ϕ) =p_1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~ux, pour OPPH+~u_x

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r,t) =p1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~u, pour OPPH+~u

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert tridimensionnel.

Commen¸cons par nous ramener `a l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x−ct) +g(x+ct) La pression est la superposition d’une OPP_+~ux et d’une OPP_+~u.

Puis en gardant qu’une des deux solutions, et comme l’´equation est lin´eaire, l’utilisation (implicite) de l’id´ee de Fourier permet de ramener la solution `a une fonction sinuso¨ıdale : p1(x,t) =p1Acos(ωt−kx−ϕ)

R´e´ecrivons cela sous une forme plus g´en´erale.

p1(x,t) =p_1Acos(ωt−k~ux.~r−ϕ) =p_1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~ux, pour OPPH+~u_x

Onde Plane Progressive Harmonique ”tridimensionnelle”.

p1(~r,t) =p1Acos(ωt−~k.~r−ϕ) avec le vecteur d’onde~k=k~u, pour OPPH+~u

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 20 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

L’OPPH permet d’utiliser la notation complexe et donc de transformer les´equations aux d´eriv´ees partielles lin´eaires `a coefficients constants (ou ind´ependants du temps)en des ´equations alg´ebriques plus simples `a manipuler.

Onde Plane Progressive Harmonique OPPH

et notation complexe.

∂

∂t =jω et ∇~ =j~k

(∇~ =_∂x^∂~ux+_∂y^∂~uy+_∂z^∂~uz et tous les op´erateurs vectoriels s’expriment avec∇~ pour OPPH+~u)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 21 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 22 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Il est important de comprendre que les ´equations de propagations de d’Alembert (´equation aux d´eriv´ees partielles d´ecoupl´ees du second ordre), d´ej`a tr`es riche en sens physique,ne sont que des conditions n´ecessaires et non pas des conditions n´ecessaires et suffisantes.

En d´erivant les ´equations, i.e. en passant d’´equationscoupl´eesdu premier ordre aux ´equations d´ecoupl´eesdu second ordre de d’Alembert, une information a ´et´e perdue, ici en l ?occurrencele couplage entrep1etv1.

Il est donc essentiel, lorsque l’on souhaite d´ecrire la structure de l’onde, de donner ce couplage, donc de revenir aux ´equations coupl´ees du premier ordre.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 23 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Il est important de comprendre que les ´equations de propagations de d’Alembert (´equation aux d´eriv´ees partielles d´ecoupl´ees du second ordre), d´ej`a tr`es riche en sens physique,ne sont que des conditions n´ecessaires et non pas des conditions n´ecessaires et suffisantes.

En d´erivant les ´equations, i.e. en passant d’´equationscoupl´eesdu premier ordre aux ´equations d´ecoupl´eesdu second ordre de d’Alembert, une information a ´et´e perdue, ici en l ?occurrencele couplage entrep1etv1.

Il est donc essentiel, lorsque l’on souhaite d´ecrire la structure de l’onde, de donner ce couplage, donc de revenir aux ´equations coupl´ees du premier ordre.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 23 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

Ce r´esultat est ind´ependant deω.

Il est donc vrai pour toutes les OPPH+~u, quelque soit leur fr´equence.

Par superposition (recomposition de Fourier), il est vrai pour une OPP_+~u

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive Harmonique.

L’OPPH+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

Ce r´esultat est ind´ependant deω.

Il est donc vrai pour toutes les OPPH+~u, quelque soit leur fr´equence.

Par superposition (recomposition de Fourier), il est vrai pour une OPP_+~u

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 24 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP_+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP−~u est une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon−~u, direction de propagation.)

Z−=p1

v1

=−µ0c=− rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP_+~uest une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon +~u, direction de propagation.)

Z+=p1

v1

=µ0c= rµ

χs

Imp´ edance acoustique d’une Onde Plane Progressive

.

L’OPP−~u est une onde longitudinale.

(La perturbation~v1est selon−~u, direction de propagation.)

Z−=p1

v1

=−µ0c=− rµ

χs

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 25 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

Solution Onde Plane Progressive Harmonique de l’´equation de propagation.

Imp´edance acoustique d’une Onde Plane Progressive.

Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 26 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut aussi s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x)g(t) En injectant dans l’´equation de propagation,

en s´eparant les variables,

eten exploitant les Conditions aux Limites, la forme de f et g est d´eduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins g´en´erale certes mais en lien direct avec une situation physique :

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0. La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 27 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut aussi s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x)g(t) En injectant dans l’´equation de propagation,

en s´eparant les variables,

eten exploitant les Conditions aux Limites, la forme de f et g est d´eduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins g´en´erale certes mais en lien direct avec une situation physique :

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0. La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 27 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Etudions le champ de pression, solution de l’´equation de d’Alembert unidimensionnel, d´ej`a connue.

∂²p1

∂x² − 1 c²

∂²p1

∂t² = 0 avecc²= 1 µ0χs

La solution (g´en´erale) de cette ´equation peut aussi s’´ecrire alors :p1(x,t) =f(x)g(t) En injectant dans l’´equation de propagation,

en s´eparant les variables,

eten exploitant les Conditions aux Limites, la forme de f et g est d´eduite.

Il est possible d’avoir une autre approche, moins g´en´erale certes mais en lien direct avec une situation physique :

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 27 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v_1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH. p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx)

M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre. Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v_1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH. p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx)

M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre. Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ)

En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v_1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH. p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx)

M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre. Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ) En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH. p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx)

M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre. Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ) En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx) M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre.

Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ) En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx) M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre.

Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsr´eels.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Consid´erons une OPPH se propageant suivant +~ux arrivant dex=−∞sur un mur, situ´e en x=0.

La condition au limite impos´ee par le mur estv1(x= 0,t) = 0∀t.

Il est alors judicieux de chercher la forme de la solution sous forme d’une onde stationnaire, qui v´erifie la condition au limite et qui est la superposition de l’onde incidente et de l’onde r´efl´echie.

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx) +v1rcos(ωt+kx+ϕ) En exploitant la Condition au Limite, il vient :

v1(x,t) =v1icos(ωt−kx)−v1rcos(ωt+kx) v1(x,t) = 2.v1Asin(kx) sin(ωt) v1est une onde stationnaire qui admet un noeud enx= 0.

De l`a, il est possible de calculerp1: M´ethode 1 : en exploitant la superposition des OPPH.

p1=µ0cv1Acos(ωt−kx)−(−µ₀c)v1Acos(ωt+kx) M´ethode 2 : en revenant directement `a une ´equation coupl´es du premier ordre.

Dans les deux cas, on obtient :

p1= 2µ0cv1Acos(kx) cos(ωt) p1est aussi une onde stationnaire qui admet un ventre enx= 0.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ pour une onde stationnaire.

Remarque :

Les OPS ne sont pas adapt´ees `a la notation complexe.

Il faut donc, en l’absence de consigne sp´_{P. Ribi`ere (Coll`}ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides.ecifique de l’´enonc´e, conserver des champsAnn´ee Scolaire 2017/2018r´eels. 28 / 50

Structure des ondes sonores dans un fluide. Solution Ondes Stationnaires de l’´equation de propagation.

Les ventres de pression sont les noeuds de vitesse et r´eciproquement pour une onde sonore. Les champs de pression et de vitesse sont d´ephas´es de ^π₂ spatialement et temporellement pour une onde stationnaire.

Figure–Etude d’un tube de Kundt.

Attention `a la d´efinition du mode fondamental des tuyaux sonores <sup>λ</sup><sub>4</sub><sup>0</sup> =L, qui diff`ere du mode fondamental d’une corde vibrante^λ₂⁰ =L.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 29 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 30 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting Equation ´energ´etique de l’onde sonore.

Intensit´e acoustique : le d´ecibel acoustique.

Etude ´energ´etique des OPPH.

Etude ´energ´etique des OPS.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 31 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

La puissance ´echang´ee `a travers une surface infinit´esimaled~Spar l’onde sonore est : dP=d~F.~v= (p0+p1)d~S.~v1=p0d~S.~v1+p1d~S.~v1

Le premier termep0d~S.~v1est de valeur moyenne nulle donc il est sans grand int´erˆet pour l’´etude

´energ´etique. Le second terme est donc celui que nous retiendrons.

Vecteur de Poynting sonore ou vecteur densit´ e de flux de puissance acoustique.

La puissance transport´ee par l’onde sonore `a travers la surface S orient´ee est : P=

Z Z

S

p1~v1.d~S= Z Z

S

~Π1.d~S avec~Π =p1~v1vecteur densit´e de flux de puissance sonore La puissance transport´ee par l’onde sonore `a travers la surface S orient´ee est le flux du vecteur densit´e de flux de puissance sonore.

Remarque :

La puissance n’estpas une grandeur lin´eaire mais une grandeur quadratique. Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, revenir `a des champs (de pression et de vitesse)r´eels avant de la calculer, i.e. renoncer `a la notation complexe si pratique jusqu’alors pour l’OPPH.

N´eanmoins, l’´enonc´e peut vous amener `a utiliser une astuce de calcul (sans principe physique derri`ere) pour calculer plus vite la valeur moyenne du vecteur de Poynting sonore en utilisant la notation complexe :

< ~Π>=1

2Re(p1~v₁^∗) =1

2Re(p^∗₁~v1)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 32 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting

La puissance ´echang´ee `a travers une surface infinit´esimaled~Spar l’onde sonore est : dP=d~F.~v= (p0+p1)d~S.~v1=p0d~S.~v1+p1d~S.~v1

Le premier termep0d~S.~v1est de valeur moyenne nulle donc il est sans grand int´erˆet pour l’´etude

´energ´etique. Le second terme est donc celui que nous retiendrons.

Vecteur de Poynting sonore ou vecteur densit´ e de flux de puissance acoustique.

La puissance transport´ee par l’onde sonore `a travers la surface S orient´ee est : P=

Z Z

S

p1~v1.d~S= Z Z

S

~Π1.d~S avec~Π =p1~v1vecteur densit´e de flux de puissance sonore La puissance transport´ee par l’onde sonore `a travers la surface S orient´ee est le flux du vecteur densit´e de flux de puissance sonore.

Remarque :

La puissance n’estpas une grandeur lin´eaire mais une grandeur quadratique. Il faut donc, en l’absence de consigne sp´ecifique de l’´enonc´e, revenir `a des champs (de pression et de vitesse)r´eels avant de la calculer, i.e. renoncer `a la notation complexe si pratique jusqu’alors pour l’OPPH.

N´eanmoins, l’´enonc´e peut vous amener `a utiliser une astuce de calcul (sans principe physique derri`ere) pour calculer plus vite la valeur moyenne du vecteur de Poynting sonore en utilisant la notation complexe :

< ~Π>=1

2Re(p1~v₁^∗) =1

2Re(p^∗₁~v1)

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 32 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Equation ´energ´etique de l’onde sonore.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting Equation ´energ´etique de l’onde sonore.

Intensit´e acoustique : le d´ecibel acoustique.

Etude ´energ´etique des OPPH.

Etude ´energ´etique des OPS.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 33 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Equation ´energ´etique de l’onde sonore.

Pour trouver l’´equation locale de l’´energie, il faut partir des ´equations coupl´ees du premier ordre.

(µ0

∂~v1

∂t =−grad p^−→ 1).~v1

(div~v1=−χ_s∂p1

∂t ).p1

Equation ´ energ´ etique de l’onde sonore.

D´efinition de l’´energie volumique en pr´esence d’une onde sonore : e=1

2µ0v₁²+1 2χsp₁²

On reconnaˆıt un terme d’´energie cin´etique et un terme d’´energie potentiel.

Et l’´equation ´energ´etique locale est :

div(Π) +~ ∂e

∂t = 0 La forme int´egr´ee (avec le th´eor`eme d’Ostrogradski) :

I I

S

~Πd~S+ d dtEtot= 0

L’interpr´etation de ces deux expression est la suivante, l’´energieEtot=RRR

VedV d’un volume V de fluide (d´elimit´e par une surface S) varie du fait de la propagation de l’onde,HH

S⊃VPi d~ ~S´etant la puissance sonore entrant `a travers la surface S.

Il s’agit donc d’une ´equation de conservation de l’´energie. La structure de l’´equation de conservation est claire.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 34 / 50

Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide. Intensit´e acoustique : le d´ecibel acoustique.

Plan

1 Mise en ´equation des ondes sonores dans un fluide.

2 Structure des ondes sonores dans un fluide.

3 Etude ´energ´etique de la propagation d’une onde dans un fluide.

Puissance `a travers une surface, flux du vecteur de Poynting Equation ´energ´etique de l’onde sonore.

Intensit´e acoustique : le d´ecibel acoustique.

Etude ´energ´etique des OPPH.

Etude ´energ´etique des OPS.

4 R´eflexion et transmission d’une onde sonore.

5 Etude d’une onde sonore sph´erique.

P. Ribi`ere (Coll`ege Stanislas) Ondes sonores dans les fluides. Ann´ee Scolaire 2017/2018 35 / 50