HAL Id: jpa-00230707
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Submitted on 1 Jan 1990
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PROPAGATION D’UNE ONDE HARMONIQUE LINÉAIRE EN MILIEU FLUIDE STRATIFIÉ,
SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
V. Martin
To cite this version:
V. Martin. PROPAGATION D’UNE ONDE HARMONIQUE LINÉAIRE EN MILIEU FLUIDE
STRATIFIÉ, SOLUTION ÉLÉMENTAIRE. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-
353-C2-356. �10.1051/jphyscol:1990285�. �jpa-00230707�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2, Tome 51, Février 1990 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
C2-353
PROPAGATION D'UNE ONDE HARMONIQUE LINÉAIRE EN MILIEU FLUIDE STRATIFIÉ, SOLUTION ÉLÉMENTAIRE
V. MARTIN*1(
Laboratoire de Mécanique et d'Acoustique (LMA), CNRS, F-13402 Marseille Cedex 09, et Institut Méditerranéen de Technologie (IMT), F-13451
Marseille Cedex 13, France
Résumé - Pour calculer le champ harmonique dans un milieu fluide stratifié du type air/eau/sédiment avec une célérité, plus généralement une impédance, qui dépend de la profondeur, il existe des méthodes analytiques approchées / l / pour des profils de vitesses particuliers. La méthode semi- numérique proposée ici donne une solution quel que soit le profil de célérité. Après séparation du champ axisymétrique en un champ horizontal et un champ vertical, on calcule ce dernier par une méthode d'élément finis. La synthèse des champs conduit à la solution. Sans nuire à la généralité, on résoud le problème quand la source est dans la strate marine anisotrope.
Abstract - When dealing with the harmonic problem of propagation in a layered medium -e.g.
air/water/sediment- with a vertical anisotropy due to the speed, more generally the impedance, analytical methods exist for special cases of profiles of speed along the depth / l / . The proposed method here allows us to calculate the field whatever the profiles. The axisymmetrical field is separated into a horizontal and a vertical field. In the latter the finite element method is used. The total solution is reached by synthesizing the two fields. We are involved in this paper with the source situated inside the water layer, seen as an anisotropic medium along the depth.
1 - FORMULATION DU PROBLEME ET ANALYSE
Soit (R3 le domaine spatial de propagation harmonique. La solution élémentaire g, dont la dépendance temporelle en e~i<w est implicite dans tout ce papier, satisfait l'équation de Helmholtz munie d'une condition de rayonnement "sortant" à l'infini de volume :
(Axyz + k2)g(x) = -4 it 5(xs)
avec k = co/c nombre d'onde qui dépendra de la profondeur z via la célérité. Parce que le milieu est constitué de plusieurs strates homogènes, il est hétérogène dans son ensemble. Mais, pour les propriétés en jeu ici, ces strates sont isotropes en x,y, anisotropes en z sur un intervalle fini de IR. Dans ces conditions l'équation aux dérivées partielles peut être ramenée à une équation algébrique en x,y -à l'aide de la transformée de Fourier- et une équation différentielle en z .
Soit g(x,y,z) recherchée sous la forme G(x,y)Z(z). H vient
Z AxyG + G d2zzZ + k2 GZ = -4ÎC ô(xs,ys) © 5(zs) Soient les transformées de Fourier directe et inverse suivantes :
G(kx,ky)=J.L,+~ dxdy G(x,y)e-i(kx.x+ky.y) e t G(x,y)=l/(27t)2 JL+~ dkxdky G(kx,ky)e+i(kx-x+ky-y) Il s'ensuit G(kx,ky) [d2zz + k2 - kx2 - ky2] Z(z) = - 4ir e-i(k*-Xs+ky-ys) © 5(zs)
(^adresse actuelle : I.M.T., 13451 Marseille Cedex 13
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990285
C2-35 4 COLLOQUE DE PHYSIQUE
A kL et kY-, cette forme peut se séparer en :
6
G(kx,ky) = 2x e-i(kx.xs+ky-~s)
a
[d2,,+
k2-
kx2 - ky2] Z(kx,ky,z) =-
2 6(zs) Le retour à l'original donneg(x,y ,z) = 1/(2n) l/-,+" dkxdky [e+i(kx-(x-xs)+k~.(Y-Ys)) Z(kx,ky ,z)]
soit en coordonnées cylindriques
g(r,z) =
JO+
dk, k, JO&, r) Z(kr,z)où il a été tenu compte de l'axisymétrie du problème et de la représentation intégrale de la fonction de Bessel JO.
Pour k, fixé non nul la forme asymptotique de la fonction JO est en lldr, décroissance compatible avec la condition de rayonnement à l'infini de Sommerfeld en 2D. Par commodité posons C(k,,z) = k, Z(k,,z). Il vient
(1) g(r,z) = JO+" Jo(krr)C(kr,z)dk, avec [d2,,
+
k2-
kr2] C(k,,z) = - 2 k, 6(zs) La condition de rayonnement se traduit par la présence d'ondes sortantes uniquement (vers z-m).On suppose a priori que C(k, ,z) est continue et borné (en k, Vz). D'après le théorème d'Abel l'intégrale qui définit g(r,z) est convergente. En effet pour K suffisamment grand, dépendant de r (MO), on a
g(r,z)
+C
joK C(k, ,z) Jo(k, r) dk, +JK*
C(k, ,z)-% cos (k,r-x/4) dk,1
et Ig(r,z)l I ICI,, [ joK IJo(krr)l dk,
+
112- qui est borné pour tout r non nul.Comme k ne dépend de z que sur un intervalle fini de IR, disons [O,H], l'équation qui régit C(k,,z) est équivalente à (indice 1 pour l'air et 3 pour le sédiment par ex.):
[d2,,
+
k12 - kr2] C(k,,z) =O si zs>O et - 2 k, 6(zs) sinon ; sur ]-=,O] et onde divergente unique vers Izl infini [d2,,+
k2(z)-
kr2] C(k,,z) =O si Z,P [O,H] et - 2 k, 8(z,) sinon ; continuités de C et d,C/p (si non seulement c dépend de z mais aussi p tout en étant constant par sous-domaine) en O et H[d2,,
+
ks2-
kr2] C(k,,z) =O si zS<H et-
2 k, 6(zs) sinon ; sur [H,-[ et onde divergente unique vers izl infini Notons que si zs<O la résolution de l'équation aux distributions dans le milieu 1 conduit à la présence d'une source de pression sphérique de la forme exp(ikiR)/R.Dans le milieu 1 la solution analytique est de la forme C(k,,z) = A exp (-iki, z) bornée si C(k,,O) est fini et si i k l , ~ R + lorsque kl, devient imaginaire pur. Dans le milieu 3 la solution analytique est de la forme C(k,,z)= A exp (+ik3, (z-H)) bornée si C(k,,H) est fini et si ik3,~IR- lorsque k3, devient imaginaire pur. Enfin C(k,,z) est borné dans le milieu anisotrope tant que le nombre d'onde k, n'est pas un nombre d'onde de résonance du milieu [O,w muni de ses conditions aux limites.
2
-
TECHNIOUE DE RESOLUTION ET SYNTHESE Approchons l'intégrale (1) par la sommeJo(kn r) C(k,,z) Ak, avec Ak, = kJN et kn = (n-1/2)Akr où M et N sont définis heuristiquement comme les bornes au delà desquelles le résultat est stable.
Pour chaque k,, l'équation différentielle est résolue sur la domaine [O,H] par la méthode des éléments finis couplée avec les conditions d'impédance analytiques aux bornes du domaine. Soit la forme faible du problème sur [O,H] dans le cas où la source se trouve dans le milieu anisotrope: trouver Cn(z)= Hl(0,H) tel que VD(Z)E H1(O,H) on ait (avec le produit scalaire dans C )
a ( z ) , (d2zz + k2(z) - kn2) Ç~Z)>[OH] = a ( z ) , -2kn ~(zs)>[oH]
soit après intégration par parties
(2)
-
< ~,D(z), ~ z ~ ( ~ ) > [ o H I + <D(z), (k2(z) - kn2) G(~)>[oH] + [D(z) dzCn(z)loH= -2kn D(zs) vD(z) Après discrétisation de [OH] en éléments égaux et approximation nodale linéaire de C,(z) (Le.Ç,(z)=ZiNi(z)C~ avec Gi=G(zi) et Ni(zj)=Gij), on obtient la forme matricielle suivante du problème selon Oz (3) 1-K+ M(kn,z) + mi~(kn)
-
mio(kn)l {Cnj) = [Ad (Cnj) =-
2 kn(Ni(zs))où mio(kn) et ma(kn)proviennent des relations en O et H. En effet
en O dzG(0)
+
ip;?/pl ki,Cn(0) = O avec klz2 = kl2-kn2 et mi0 =-
ipdplkl, en H dzCn(H)-
ipz/p3 k3,Cn(H) = O avec k3,2 = k&kn2 et miH = ip;?/p3kszNotons que la détermination des racines, lorsque kl,2 et k3,2 sont négatifs,est nécessairement k l z = + i m
---.
et k3,=+i.\l(kn2-k32) afin de satisfaire les conditions de Sommerfeld en z = h et assurer la finitude de C,(z) dans les milieux isotropes.
Il est clair dans (3) que la matrice "rigidité" [KI est calculée une fois pour toutes et que la mamce "masse"
[M+m] et le second membre sont à calculer pour chaque k,. De plus la matrice "masse" dépend de z parce que la célérité dépend de z. Finalement la synthèse des valeurs de &=Ç,(zi) pondérées par JO donne
3 - SOURCE DANS LA STRATE MARINE HOMOGENE
On prend confiance dans le modèle semi-numérique en comparant les résultats avec la solution due à la théorie modale (vide,eau, fond) dans le cas du problème aux données suivantes :
Or ce problème présente des difficultés car il existe des résonances sur [O,H] sur lesquelles on ne manque pas de passer avec notre équation différentielle en z. Les instabilités numériques qui en résultaient ont été maîtrisées dès qu'on a rendu le milieu marin très légèrement visqueux i.e. en introduisant une célérité complexe à partie imaginaire très inférieure à la partie réelle. Le choix s'est porté sur
c = CR^
+
i CR^ 10-6/2 et les valeurs de N et M sont respectivement 5000 et 30000Le graphe suivant permet la comparaison entre les résultats de la théorie modale et ceux de la méthode semi- numérique.Seuls quelques points, reliés par une interpolation linéaire, sont présentés.
0.8 1 , O 1.2 1.4
distance r (en m) à la cote de la source
COLLOQUE DE PHYSIQUE
4
-
CAS DE LA SOURCE DANS LA STRATE MARINE A FORT GRADIENT DE CELERITESuite au résultat en milieu homogène on étudie le champ de pression à la cote de la source quand la célérité varie l i n b m e n t entre O et H (avec les densités précédentes) :
Pour trois de ces gradients les courbes ci-dessous donnent, en quelques points reliés par interpolation linéaire, le module de la pression en fonction de la distance r à la source.
O
0.4 0.6 0.8 1 .O 1.2 1.4
distance r (en m) à la cote de la source
5
-
CONCLUSION ET REMERCIEMENTSSi non seulement la célérité mais aussi la densité varie avec la profondeur, on peut résoudre Ie problème avec la même démarche car un changement de variable adéquat nous ramène au même type d'équations. La mise en oeuvre d'une méthode semi-numérique pour connaitre le champ de propagation linéaire harmonique dans un milieu anisotrope verticalement a servi, dans ce papier, à montrer l'éloignement au cas homogène en fonction du gradient de célérité lorsque celle-ci est à variation linéaire.
L'auteur remercie Jacques Jouhaneau (CNAM) de lui avoir donné l'occasion de se pencher sur ce type de problème, Paul Cnstini &MA) d'avoir fourni la solution due à la théorie modale quand la strate marine est homogène et enfin Marc Lenoir tout autant que baniei Euvrard (ENSTA) pour les discussions et commentaires enrichissants.
/l/Brekhovskikh, LM., Waves in layered media, Academic Press, (1980)
