OD4 – Phénomènes de propagation linéaire

OD4 – Phénomènes de propagation linéaire

I – Propagation dans un plasma

I-1) Interaction entre une OPPH et un plasma a) Modèle du plasma

Dans un modèle simple, un plasma est un milieu dilué homogène et isotrope, dont les propriétés sont assimilables à celle d’un gaz ionique globalement neutre. L’état plasma, souvent appelé quatrième état de la matière, est le plus représenté dans l’univers avec des densités particulaires de 10 ⁴⁰ 𝑚𝑚 ⁻³ dans les étoiles et de 10 ⁶ 𝑚𝑚 ⁻³ dans les gaz interstellaires.

Un plasma est un milieu ionisé, constitué d’ions positifs, de charge +e et de masse M, et d’électrons, de charge -e et de masse m. Le plasma est supposé peu dense, de telle sorte que les interactions entre les charges électriques puissent être négligées.

Le milieu est neutre, il comporte 𝑛𝑛 ₀ ions et 𝑛𝑛 ₀ électrons par unité de volume.

Le champ électrique de l’onde envisagé se met sous la forme, en notation complexe :

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸�⃗ ₀ 𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑜𝑜ù 𝐸𝐸�⃗ ₀ ⊥ ( 𝑂𝑂𝑂𝑂 )

⇒ _{𝐵𝐵�⃗ = 𝐵𝐵�⃗ 0 𝑒𝑒} 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑜𝑜ù 𝐵𝐵�⃗ ₀ = 𝑘𝑘

𝜔𝜔 𝑢𝑢 ����⃗ ∧ ^𝑘𝑘 𝐸𝐸�⃗ ₀

Mais la relation entre le vecteur d'onde k et la pulsation 𝜔𝜔 est a priori quelconque.

b) Aspects microscopiques

Sous l’action du champ électromagnétique, les particules chargées

vont se mettre en mouvement. Les ions étant beaucoup plus lourds

que les électrons, on les supposera fixes et on ne considérera que le

mouvement des électrons.

On écrit la relation fondamentale de la dynamique pour un volume d τ comportant 𝑛𝑛 ₀ électron :

𝑚𝑚 𝑛𝑛 ₀ 𝑑𝑑 τ _� ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝜕𝜕 + �𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗� = −𝑛𝑛 ₀ 𝑑𝑑 τ _{𝑒𝑒�𝐸𝐸�⃗ +} 𝑣𝑣⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗�

On a pour cela négligé le poids de l'électron devant la force de Lorentz. De plus, on a supposé que le plasma fût assez dilué pour que les interactions électron-électron et électron-ion soient négligeables.

On a établi que l'action du champ magnétique d'une onde plane progressive monochromatique dans le vide, sur une particule chargée, était négligeable devant celle du champ électrique. Étudions ce qu'il en est ici :

𝐹𝐹 _𝑚𝑚

𝐹𝐹 _𝑒𝑒 = 𝑣𝑣𝐵𝐵

𝐸𝐸 = 𝑣𝑣𝑘𝑘 ω ∼ ^𝑣𝑣

𝑐𝑐 ≪ 1

Comme le plasma est dilué, on suppose que 𝜔𝜔 reste au moins de l'ordre de ck, et le rapport ^𝐹𝐹 _𝐹𝐹 ^𝑚𝑚

𝑒𝑒 est alors négligeable par rapport à 1.

Donc :

𝑚𝑚 � 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 + �𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗� = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗

Par une analyse en ordre de grandeur des deux accélérations on a :

�𝜕𝜕𝑣𝑣⃗ 𝜕𝜕𝜕𝜕�

��𝑣𝑣⃗. 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗�𝑣𝑣⃗� ∼ 𝑇𝑇 𝑣𝑣 𝑣𝑣 ²

λ

= λ

𝑣𝑣𝑇𝑇 = 𝑐𝑐

𝑣𝑣 ≫ 1

⇒ _𝑚𝑚 ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗

Ce qui donne en régime harmonique : 𝑚𝑚𝑚𝑚 ω _{𝑣𝑣⃗ = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗}

⇒ _{𝑣𝑣⃗ = 𝑚𝑚} ^{𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗}

𝑚𝑚 ω

On remarque que :

𝑣𝑣⃗ é𝑙𝑙𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑣𝑣⃗ _{𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙} = 𝑀𝑀

𝑚𝑚 ≫ 1

Il est naturel de s’intéresser aux seuls mouvements des électrons.

Cela revient à dire que le courant est constitué du mouvement des seuls électrons.

I-2) Conductivité complexe du plasma

Évaluons alors la densité volumique de courant : 𝚥𝚥⃗ = −𝑒𝑒 𝑛𝑛 ₀ 𝑣𝑣⃗ = −𝑚𝑚 𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒²𝐸𝐸 ^��⃗

𝑚𝑚 ω

On peut écrire cette relation sous la forme suivante : 𝚥𝚥⃗ = −𝑚𝑚 ε ₀ ω _𝑝𝑝 ²

ω 𝐸𝐸 ^{��⃗ 𝑜𝑜ù ω} 𝑝𝑝 = � 𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒 ² 𝑚𝑚 ^ε 0

ω _𝑝𝑝 a bien la dimension d’une pulsation car :

� ω _𝑝𝑝 ² _{� = 𝐿𝐿} ⁻³ _𝑀𝑀 ⁻¹ _� ^{𝑒𝑒 2}

ε ₀ � = 𝐿𝐿 ⁻³ 𝑀𝑀 ⁻¹ [𝐹𝐹𝐿𝐿 ² ] = 𝐿𝐿 ⁻³ 𝑀𝑀 ⁻¹ 𝑀𝑀𝐿𝐿𝑇𝑇 ⁻² 𝐿𝐿 ² = 𝑇𝑇 ⁻² Cette loi ressemble à la loi d'Ohm locale, car la densité volumique de courant et le champ électrique sont proportionnels. En revanche, le terme qui joue le rôle de la conductivité est ici imaginaire pur :

γ _{= −𝑚𝑚 𝑛𝑛 0} ^{𝑒𝑒 2} 𝑚𝑚 ω

La conductivité complexe du plasma s’écrit :

𝚥𝚥⃗ = γ _𝐸𝐸 ^��⃗ _𝑜𝑜ù

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ γ _{= −𝑚𝑚 𝑛𝑛 0} ^{𝑒𝑒 2}

𝑚𝑚 ω ^{= −𝑚𝑚 ε 0}

ω _𝑝𝑝 ² ω ω _{𝑝𝑝 =} � 𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒 ²

𝑚𝑚 ^ε 0

Alors que la conductivité est réelle positive pour un métal. Le champ électrique et le courant sont donc toujours en quadrature et la puissance volumique moyenne cédée par le champ aux charges est nulle. En effet :

〈 𝑑𝑑𝑑𝑑

𝑑𝑑 τ ^{〉 = 〈𝚥𝚥⃗ . 𝐸𝐸�⃗〉 = 1} ₂ ^{𝑅𝑅𝑒𝑒 �𝚥𝚥⃗ . 𝐸𝐸 ����⃗� ∗ = 1} ₂ 𝑅𝑅𝑒𝑒 �−𝑚𝑚 𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒 ²

𝑚𝑚 ω ^{. 𝐸𝐸 2 � = 0}

Lors de certaines alternances, le champ accélère les charges. À l'alternance suivante, les charges ralentissent en rayonnant un champ électromagnétique (les charges en mouvement constituent un courant et sont donc une source du champ électromagnétique).

I-3) Équation de propagation dans le plasma a) Densité volumique de charges

On s'intéresse désormais à la densité volumique de charge ρ. Le plasma est globalement neutre (il y a autant de charges positives que négatives au total), mais rien ne garantit qu'il reste localement neutre.

On s'intéresse à l'équation de conservation de la charge : 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 𝚥𝚥⃗ + 𝜕𝜕 ρ

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0

⇔ γ 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣𝐸𝐸�⃗ + 𝑚𝑚 ωρ _{= 0}

⇔ γ ρ

ε ₀ ^{+ 𝑚𝑚} ωρ _{= 0}

⇔ _� γ

ε ₀ ^{+ 𝑚𝑚} ω _� ρ _{= 0}

La puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule est nulle :

〈 ^{𝑑𝑑𝑑𝑑} _{𝑑𝑑 τ} 〉 = 〈𝚥𝚥⃗ . 𝐸𝐸�⃗〉 = 0

Or :

γ _{= −𝑚𝑚} ε ₀ ω _𝑝𝑝 ² ω

⇒ � −𝑚𝑚 ω _𝑝𝑝 ²

ω ^{+ 𝑚𝑚} ω _� ρ _{= 0}

⇒ � ω ² ₋ ω _𝑝𝑝 ² _� ρ _{= 0}

Ainsi si la pulsation est différente de ω _p , la densité volumique de charge est nulle. Le plasma est localement neutre.

Pour avoir un ordre de grandeur, évaluons ω _p dans une haute couche de l'atmosphère située entre 60 et 300 km d'altitude : l'ionosphère. Le rayonnement du Soleil provoque l'ionisation d'une partie des molécules présentes (photo ionisation) en journée.

Ce milieu est ainsi assimilable à un plasma, pour lequel : 𝑛𝑛 ₀ = 10 ¹² 𝑚𝑚 ⁻³ ⇒ ω _{𝑝𝑝 = 5,7 10} ⁷ _{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 𝑠𝑠} ⁻¹ ⇒ _{𝑓𝑓 𝑝𝑝} = 9,0 𝑀𝑀𝑀𝑀𝑂𝑂

La fréquence plasma de l'ionosphère se situe ainsi dans le domaine hertzien.

b) Equation de propagation

Une première conséquence est que, comme dans le vide, l'onde plane progressive monochromatique est transverse. Rappelons que ce résultat provient des équations de Maxwell-Thomson et Maxwell- Gauss avec ρ = 0.

Soit :

𝐸𝐸�⃗ ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ����⃗ ₀ e ^{i( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)} Et :

𝑔𝑔𝑜𝑜𝜕𝜕 ������⃗ 𝑔𝑔𝑜𝑜𝜕𝜕 ������⃗ 𝐸𝐸�⃗ = 𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑 ����������⃗ �𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 𝐸𝐸�⃗� − ∆��⃗𝐸𝐸�⃗ = −∆��⃗𝐸𝐸�⃗

⇔ _{𝑔𝑔𝑜𝑜𝜕𝜕} ������⃗ �− 𝜕𝜕𝐵𝐵�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 � = −∆��⃗𝐸𝐸�⃗

⇔ − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 �𝑔𝑔𝑜𝑜𝜕𝜕 ������⃗𝐵𝐵�⃗� = −∆��⃗𝐸𝐸�⃗

⇔ − 𝜕𝜕

𝜕𝜕𝜕𝜕 � µ ₀ 𝚥𝚥⃗ + ε ₀ µ ₀ 𝜕𝜕𝐸𝐸�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 � = −∆��⃗𝐸𝐸�⃗

⇔ − µ ₀ 𝜕𝜕𝚥𝚥⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 − 1 𝑐𝑐 ²

𝜕𝜕 ² 𝐸𝐸�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 ² = −∆��⃗𝐸𝐸�⃗

⇔ ∆��⃗𝐸𝐸�⃗ = µ ₀ 𝜕𝜕𝚥𝚥⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 + 1 𝑐𝑐 ²

𝜕𝜕 ² 𝐸𝐸�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 ²

⇔ ∆��⃗𝐸𝐸�⃗ − 1 𝑐𝑐 ²

𝜕𝜕²𝐸𝐸�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕² = µ ₀ γ 𝜕𝜕𝐸𝐸�⃗

L'équation de propagation est l'équation de d'Alembert, avec un 𝜕𝜕𝜕𝜕

terme supplémentaire lié à la présence de courants.

c) Equation de dispersion

Pour arriver à l'équation de dispersion, on reporte la forme de l'onde plane progressive monochromatique dans l'équation de propagation. On en déduit :

−𝑘𝑘 ² 𝐸𝐸�⃗ + ω ²

𝑐𝑐 ² 𝐸𝐸�⃗ = µ ₀ γ 𝑚𝑚 ω 𝐸𝐸�⃗

Or :

γ _{= −𝑚𝑚} ε ₀ ω _𝑝𝑝 ²

ω ⇒ _{− 𝑘𝑘} ² _{𝐸𝐸�⃗ +} ω ²

𝑐𝑐 ² 𝐸𝐸�⃗ = µ ₀ ε ₀ ω _𝑝𝑝 ² _{𝐸𝐸�⃗}

⇒ 𝑘𝑘 ² = ω ² − ω _p ² 𝑐𝑐 ²

La relation obtenue est différente de celle rencontrée dans le vide : elle est caractéristique du milieu dans lequel l'onde se propage.

L’équation de dispersion dans un plasma s’écrit :

⇒ 𝑘𝑘 ² = ω ² − ω _p ²

𝑐𝑐 ² (𝐾𝐾𝐾𝐾𝑒𝑒𝑚𝑚𝑛𝑛 − 𝐺𝐺𝑜𝑜𝑔𝑔𝑑𝑑𝑜𝑜𝑛𝑛)

I-4) Nature des solutions

a) Onde évanescente pour ω _< ω _p

La pulsation plasma joue un rôle primordial. En effet, pour ω _<

ω _p , cela correspond à un vecteur d'onde imaginaire pur : 𝑘𝑘 = ±𝑚𝑚� ω _𝑝𝑝 ² ₋ ω _²

𝑐𝑐 ² = ±𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂

Afin d'interpréter ce résultat, on remplace la valeur de k dans l'expression du champ électrique :

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 ₀ ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔±𝑖𝑖𝑘𝑘 2 𝑘𝑘)} En passant à la partie réelle,

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ����⃗ ₀ e ^{±𝑘𝑘 2 𝑘𝑘} cos( ω _𝜕𝜕)

On s’intéresse à une onde se « propageant » suivant les z positifs, par conséquent, on conserve l’expression : 𝑘𝑘 = −𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂ qui entraîne une atténuation de l’onde et non une amplification qui n’est physiquement pas acceptable.

⇒ _{𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 0} ^{−𝑘𝑘 2 𝑘𝑘} _{𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 (} ω _𝜕𝜕 )

Cette onde ne se propage pas car les variables d'espace et de temps sont découplées. L'amplitude s'amplifie s'atténue au fur et à mesure que z augmente. Cette onde est nommée onde évanescente, car celle-ci ne prend de valeurs notables que sur des distances de l'ordre de _𝑘𝑘 ¹

2 et s'évanouit rapidement au-delà, le tout sans propagation.

Supposons l’onde polarisée rectilignement suivant 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 :

⇒ _{𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 0 𝑒𝑒} ^{−𝑘𝑘 2 𝑘𝑘} _{𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(} ω _{𝜕𝜕) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥}

On pose δ , la distance caractéristique d’atténuation : δ ₌ ¹

𝑘𝑘 ₂ = 𝑐𝑐

� ω _𝑝𝑝 ² ₋ ω ² ⇒ _{𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 0 𝑒𝑒} ^{− 𝑘𝑘 δ} _{𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 (} ω _{𝜕𝜕) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥}

b) Milieu transparent pour ω > ω _p

Pour ω > ω _p ∶ 𝑘𝑘 = ± � ^{ω 2 −} _{𝑙𝑙 2} ^{ω 𝑝𝑝 ²} = ±𝑘𝑘 ₁

Le vecteur d'onde est réel et on a une onde plane progressive monochromatique se propageant selon ± 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑘𝑘 selon le sens choisi. On choisit +𝑢𝑢 ����⃗ _𝑘𝑘 d’où :

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 ₀ ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 1 𝑘𝑘)}

⇒ _{𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 0 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(} ω _{𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 1 𝑂𝑂) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥}

Dans l’ionosphère, les ondes électromagnétiques de fréquence inférieure à 900 kHz ne se propagent donc pas. Les communications entre un satellite et le sol se font à des fréquences de quelques centaines de mégahertz, ce qui correspond bien à des fréquences pouvant se propager dans l’ionosphère.

II – Propagation dans un conducteur

II-1) Modèle de Drude

Pour décrire le comportement électrique d’un conducteur métallique, nous adopterons le modèle de Drude : un électron libre P est soumis à la force qu’exerce le champ électromagnétique et à la force de frottement visqueux qui traduit globalement l’effet des collisions à l’intérieur du milieu :

𝑓𝑓⃗ = −𝑚𝑚 𝑣𝑣⃗

𝜏𝜏 𝑜𝑜ù τ _{= 10} ⁻¹⁴ _𝑠𝑠

Au final, seules les ondes de pulsation supérieure à ω _𝑝𝑝

peuvent se propager dans le plasma. Le plasma agit vis-à-vis

des ondes électromagnétiques comme un filtre passe-haut de

pulsation de coupure ω _p .

L’étude sera similaire à celle du plasma, la seule différence étant l’introduction de la force de frottement modélisant l’interaction avec le milieu ambiant, supposée nulle dans la partie « plasma » puisque le plasma était dilué.

⇒ _𝑚𝑚 ^{𝜕𝜕𝑣𝑣⃗}

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗ − 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

τ II-2) Conductivité complexe

En notation complexe on a donc : 𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗ − 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

τ

⇔ _{𝑚𝑚𝑣𝑣⃗ �𝑚𝑚} ω ₊ ¹ τ ^{� = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗}

⇔ _{𝑣𝑣⃗ = −} ^𝑒𝑒 τ

𝑚𝑚(𝑚𝑚 ωτ _{+ 1)} ^{𝐸𝐸�⃗}

Or : 𝚥𝚥⃗ = −𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒𝑣𝑣⃗

⇒ _{𝚥𝚥⃗ =}

𝑛𝑛 ₀ 𝑒𝑒 ² τ 1 + 𝑚𝑚 𝑚𝑚 ωτ ^{𝐸𝐸�⃗}

⇒ γ ₌ γ ₀

1 + 𝑚𝑚 ωτ ^𝑜𝑜ù γ _{0 =} ^{𝑛𝑛 0 𝑒𝑒 2} τ

- Si ωτ _{≪ 1} , on retrouve l’expression de la conductivité statique. 𝑚𝑚 - Si ωτ _{≫ 1,} on retrouve une conductivité imaginaire pure comme dans le plasma. (On reverra ce principe dans la dernière partie de ce chapitre)

- Dans le cas général, la conductivité complexe traduit un

déphasage entre le vecteur densité de courant électrique et le

champ électrique : quand celui-ci varie trop vite, les électrons

n’ont pas le temps de suivre instantanément les variations du

champ électrique et réagissent avec un certain retard.

II-3) Équation de propagation

a) Densité volumique de charges

Ecrivons l’équation de conservation de la charge à l’aide de la notation complexe :

𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 𝚥𝚥⃗ + 𝜕𝜕𝜌𝜌

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0

⇔ _{𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣 �} γ _{𝐸𝐸�⃗� +} ^{𝜕𝜕𝜌𝜌}

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 ⇔ γ 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑣𝑣�𝐸𝐸�⃗� + 𝜕𝜕𝜌𝜌

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0

⇔ γ ε ^𝜌𝜌 ₀ ⁺

𝜕𝜕𝜌𝜌

𝜕𝜕𝜕𝜕 = 0 ⇔ _{𝜌𝜌 �𝑚𝑚} ω ₊ γ

ε ₀ ^{� = 0} D’où :

𝜌𝜌 = 0

b) Relation de dispersion

L’équation de propagation est la même que pour les plasmas sauf que γ n’est plus imaginaire pur mais complexe :

⇔ ∆��⃗𝐸𝐸�⃗ − 1 𝑐𝑐 ²

𝜕𝜕 ² 𝐸𝐸�⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 ² = µ ₀ γ ^{𝜕𝜕𝐸𝐸�⃗}

𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑜𝑜ù γ ₌ γ ₀ 1 + 𝑚𝑚 ωτ On en déduit :

−𝑘𝑘 ² 𝐸𝐸�⃗ + ω ²

𝑐𝑐 ² 𝐸𝐸�⃗ = µ ₀ γ _𝑚𝑚 ω _{𝐸𝐸�⃗}

⇔ _𝑘𝑘 ² ₋ ω ²

𝑐𝑐 ² = − µ ₀ ^𝑚𝑚 γ ₀ ω 1 + 𝑚𝑚 ωτ

⇔ _𝑘𝑘 ² ₌ ω ²

𝑐𝑐 ² − µ ₀ ^𝑚𝑚 γ ₀ ω 1 + 𝑚𝑚 ωτ

⇔ _𝑘𝑘 ² ₌ ω ²

𝑐𝑐 ² − µ ₀ γ ₀ ω ^{( 𝑚𝑚 +} ωτ ₎ 1 + ω ² τ ²

⇔ _𝑘𝑘 ² ₌ ω ²

𝑐𝑐 ² − µ ₀ γ ₀ ω ² τ 1 + ω ² τ ^{2 − 𝑚𝑚}

µ ₀ γ ₀ ω 1 + ω ² τ ² Pour la suite du cours on posera :

𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₁ − 𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂

II-4) Absorption et propagation Soit :

𝐸𝐸�⃗ ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 ₀ ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)}

⇔ _{𝐸𝐸�⃗ ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 0} ^{−𝑘𝑘 2 𝑘𝑘} _𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 1 𝑘𝑘)}

Le signal est une onde progressive dans la direction Ox, de vecteur d’onde 𝑘𝑘 ₁ 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑘𝑘 dont l’amplitude varie avec z. Le milieu est passif, il dissipe de l’énergie donc l’onde s’atténue au fur et à mesure de sa propagation.

Donc, si 𝑘𝑘 ₁ > 0 , alors 𝑘𝑘 ₂ > 0 et réciproquement.

III – Paquets d’onde

III-1) Signal comportant deux pulsations voisines

Dans cette partie, nous nous intéresserons à l’influence de la dispersion sur les ondes réelles. Nous négligerons les phénomènes d’absorption, c’est-à-dire que le vecteur d’onde sera supposé réel, mais dépendant de la pulsation. Il s’agit par exemple de la propagation d’une onde dans un plasma peu dense pour ω _> ω _𝑝𝑝 .

Commençons par un cas simple : le signal étudié ne comporte que deux composantes, de pulsation ω _{1 𝑒𝑒𝜕𝜕} ω ₂ tel que :

𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑠𝑠 ₀ cos( ω _{1 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 1 𝑂𝑂) + 𝑠𝑠 0 cos(} ω _{2 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 2 𝑂𝑂 +} ϕ ₎ Pour une onde du type :

𝐸𝐸�⃗ ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ����⃗𝑒𝑒 ₀ ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)} 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₁ − 𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂ - Le milieu sera passif si 𝑘𝑘 ₁ 𝑘𝑘 ₂ > 0 , sinon il sera actif.

- La vitesse de phase sera définie par : 𝑣𝑣 ϕ = _|𝑘𝑘 ^ω

1 |

- La distance caractéristique d’atténuation par : δ _{= |𝑘𝑘} ¹

2 |

= 2𝑠𝑠 ₀ cos � ω _{1 +} ω ₂

2 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 ₁ + 𝑘𝑘 ₂

2 𝑂𝑂 + ϕ

2 � cos � ω _{1 −} ω ₂

2 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 ₁ − 𝑘𝑘 ₂

2 𝑂𝑂 − ϕ 2 � On pose :

�

ω _{1 =} ω _{0 −} δω ω _{2 =} ω _{0 +} δω 𝑘𝑘 ₁ = 𝑘𝑘 ₀ − δ _𝑘𝑘 𝑘𝑘 ₂ = 𝑘𝑘 ₀ + δ _𝑘𝑘

𝑜𝑜ù � ^δω _{δ 𝑘𝑘 ≪ 𝑘𝑘} ^{≪ ω 0}

0

⇒ _{𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕)} ∼ _{2𝑠𝑠 0 cos �} ω _{0 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 0 𝑂𝑂 +} ϕ

2 � cos � ^δω 𝜕𝜕 − δ _{𝑘𝑘 𝑂𝑂 +} ϕ 2 � Le signal est constitué d’une sinusoïde de période 𝑇𝑇 ₀ = ^2𝜋𝜋 _𝜔𝜔

0 , dont l’enveloppe est une sinusoïde de période ∆ _{𝑇𝑇 =} ² _δω ^π beaucoup plus grande. Le premier terme est une onde plane progressive harmonique de célérité 𝑣𝑣 ϕ = ^ω _𝑘𝑘 ⁰

0 alors que le second terme est une onde plane progressive harmonique de célérité 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ^δω _{δ 𝑘𝑘} ^.

L’onde « moyenne » se propage à la vitesse de phase : 𝑣𝑣 ϕ = ^ω _𝑘𝑘 ⁰

0

à l’intérieur de l’enveloppe qui, elle, se propage à la vitesse de groupe 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ^δω _{δ 𝑘𝑘} = ^𝑑𝑑 _{𝑑𝑑𝑘𝑘} ^ω � _ω

0

III-2) Obtention d’onde localisée

Une onde plane progressive monochromatique seule n’est absolument pas localisée.

La somme de deux ondes sinusoïdales de fréquences voisines est un signal oscillant à la fréquence moyenne dont l’amplitude évolue lentement : nous pouvons dire que l’onde globale est essentiellement localisée au voisinage des ventres des fuseaux de modulation de son amplitude.

En superposant un nombre plus important d’ondes planes progressives monochromatiques, nous pouvons essayer de réduire encore l’extension de l’enveloppe du signal. Envisageons donc un paquet de (2N+1) ondes planes sinusoïdales, de pulsations voisines ω _𝑙𝑙 autour de la valeur moyenne ω ₀ :

𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � 𝑠𝑠 ₀

𝑁𝑁

−𝑁𝑁

cos� ω _{𝑙𝑙 𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 𝑙𝑙 𝑂𝑂 +} ϕ _{𝑙𝑙 � 𝑜𝑜ù} ω _{𝑙𝑙 =} ω _{0 + 𝑛𝑛} δω

Adoptons le point de vue d’un observateur placé en x=0 qui

regarde défiler devant lui ce paquet d’ondes. Dans tous les cas,

l’observateur voit passer devant lui un signal oscillant rapidement,

dont l’amplitude est lentement modulée.

Remarquons que la durée de ces « paquets » est d’autant plus réduite que le nombre d’ondes planes progressives monochromatiques superposées, et donc la largeur spectrale sont importants : ∆ω _{= (2𝑁𝑁 + 1)} δω

III-3) Paquet d’ondes

a) Paquet d’ondes localisés

L’augmentation de N a pour effet de "localiser" d’un point de vue temporel l’information, c’est à dire l’amplitude de l’enveloppe.

La période de la modulation (enveloppe) est ∆ _{𝑇𝑇 =} ² _δω ^π _.

Ainsi, pour modéliser une onde physique localisée et non périodique, il faut envisager :

- De faire tendre δω vers 0 afin d’avoir une période de l’enveloppe infinie, correspondant en fait au phénomène non périodique

- D’obtenir une extension temporelle du pic à une valeur finie.

Pour décrire une onde physique réelle il faut donc :

� ∆ _𝑇𝑇 = 2 π

δω ^{→ ∞} ⇒ δω→ ₀

∆ω _{= ( 2𝑁𝑁 + 1 )} δω _{≠ 0} ⇒ _𝑁𝑁 → _∞

On constate que :

∆ 𝜕𝜕 𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑛𝑛𝑢𝑢𝑒𝑒 𝑠𝑠𝑚𝑚 ∆ω _{= (2𝑁𝑁 + 1)} δω 𝑔𝑔𝑢𝑢𝑔𝑔𝑚𝑚𝑒𝑒𝑛𝑛𝜕𝜕𝑒𝑒

Un paquet d’ondes localisé dans le temps et l’espace est une

superposition d’ondes planes progressives monochromatiques à

répartition continue de fréquences.

b) Définition

Le passage du discret au continu permet d’obtenir la forme du paquet d’onde. C’est l’analyse de Fourier permet d’écrire la fonction s(z,t) sous la forme :

𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 �𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕 )� 𝑜𝑜ù 𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � 𝐴𝐴 ^∞ ( ω _{) 𝑒𝑒} 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑 ω

On parle de paquet d’ondes quand l’amplitude 0 𝐴𝐴 ( ω ) ne prend de valeurs significatives que sur un petit intervalle de pulsations d’où la forme complexe du paquet d’ondes, défini par :

𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � ^{ω 0 +} 𝐴𝐴( ω _)𝑒𝑒 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑 ω

∆ω 2

ω ₀ − ∆ω 2

Cette expression prend une forme plus simple dans le cas où 𝐴𝐴 est réel.

Sur le document suivant sont représentées les amplitudes détectées par un observateur regardant le paquet passer en x=0 dans deux cas particuliers :

- Pour un spectre rectangulaire.

- Pour un spectre gaussien telle que 𝐴𝐴 ( ω _{) = 𝑔𝑔 0 𝑒𝑒} ^{−2 ( ω − ∆ω ω 0 )²} Un paquet d’onde est représenté par le forme suivante :

𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � ^{ω 0 +} 𝐴𝐴( ω ) 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝜔𝜔𝜕𝜕 − 𝑘𝑘𝑂𝑂) 𝑑𝑑 ω

∆ω 2 ω ₀ − ∆ω

2

Ou sous sa forme complexe :

𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � ^{ω 0 +} 𝐴𝐴 ( ω _{) 𝑒𝑒} 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑 ω

∆ω 2 ω ₀ − ∆ω

2

Sur tous ces exemples, nous remarquons une propriété importante des signaux réels : s(0,t) ne prend de valeurs significatives que dans un intervalle de temps d’autant plus grand que l’extension spectrale du spectre donné est petite d’où :

L’extension spectrale et temporelle du paquet d’onde sont liées par :

∆ _𝜕𝜕 ∆ω ∼ ₁ De même on a :

∆ _𝑂𝑂 ∆ _𝑘𝑘 ∼ ₁

c) Propagation avec ou sans dispersion

Pour une propagation régie par l’équation de d’Alembert, la relation de dispersion donne une vitesse de phase indépendante de ω. Toutes les ondes planes progressives monochromatiques d’un paquet se propagent à la même vitesse : la propagation n’est pas dispersive.

Si les ondes planes progressives monochromatiques du paquet se propagent à des vitesses de phase qui diffèrent les unes des autres, la propagation est dispersive, et le paquet d’ondes se déforme en se propageant. Ce fait est illustré dans le cas de la relation de dispersion de Klein-Gordon.

III-4) Vitesse de groupe

Imaginons que l'onde soit quasi monochromatique. La distribution de l'onde est alors très restreinte autour d'une valeur ω ₀ .

Alors, en effectuant un développement limité de k au voisinage de 𝑘𝑘( ω _{0 )} :

𝑘𝑘( ω _{) = 𝑘𝑘(} ω _{0 ) +} ^{𝑑𝑑𝑘𝑘}

𝑑𝑑 ω ^� _{𝑘𝑘 0} ⁽ ω ₋ ω _{0 ) + 𝑜𝑜(} ω ₎

On peut réécrire l’onde sous la forme :

𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � ^{ω 0 +} 𝐴𝐴 ( ω _{) 𝑒𝑒} 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑑𝑑 ω

∆ω 2 ω ₀ − ∆ω

2

⇔ _{𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � 𝐴𝐴 (} ω _{) 𝑒𝑒} 𝑖𝑖(𝜔𝜔𝜔𝜔−�𝑘𝑘( ω _{0 )+𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑑𝑑} ω ^� _𝑘𝑘0 ⁽ ω ₋ ω _{0 )�𝑘𝑘)}

𝑑𝑑 ω

ω ₀ + ∆ω 2 ω ₀ − ∆ω

On pose : ω ₌ ω _{0 +} δω 2

⇒ _{𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = � 𝐴𝐴 (} ω _{) 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖�( ω 0 + δω �𝜔𝜔−�𝑘𝑘( ω 0 )+𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑑𝑑 ω � 𝑘𝑘0 δω �𝑘𝑘)} _{𝑑𝑑 (} δω ₎

∆ω 2

∆ω 2

⇒ _{𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖( ω 0 𝜔𝜔−𝑘𝑘 0 𝑘𝑘)} _{� 𝐴𝐴 (} ω _)𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 δω (𝜔𝜔−𝑑𝑑𝑘𝑘 𝑑𝑑 ω � 𝑘𝑘0 𝑘𝑘)} _𝑑𝑑( δω ₎

∆ω 2

∆ω 2

⇒ _{𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖 ω 0 �𝜔𝜔−𝑘𝑘 ω 0 0 𝑘𝑘�} _{� 𝐴𝐴 (} ω _{) 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖 δω (𝜔𝜔− 𝑘𝑘 𝑣𝑣 𝑔𝑔 )} _{𝑑𝑑 (} δω ₎

∆ω 2

∆ω 2

Si on choisit une fenêtre spectrale carré alors 𝐴𝐴 ( ω _{) = 𝑔𝑔 0} et : 𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑔𝑔 ₀ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 ω 0 �𝜔𝜔−𝑘𝑘 ω 0 0 𝑘𝑘�} 𝑒𝑒 ^𝑖𝑖

∆ω 2 (𝜔𝜔− 𝑘𝑘 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 )

− 𝑒𝑒 ^𝑖𝑖

∆ω 2 (𝜔𝜔− 𝑘𝑘 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 )

𝑚𝑚 �𝜕𝜕 − 𝑂𝑂 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 �

⇒ _{𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑔𝑔 0 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖 ω 0 �𝜔𝜔−𝑘𝑘 ω 0 0 𝑘𝑘� 𝑒𝑒}

𝑖𝑖 ^∆ω 2 (𝜔𝜔− 𝑘𝑘 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 )

− 𝑒𝑒 ^𝑖𝑖

∆ω 2 (𝜔𝜔− 𝑘𝑘 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 )

𝑚𝑚 �𝜕𝜕 − 𝑂𝑂 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 �

⇒ _{𝑠𝑠 ( 𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 2𝑔𝑔 0 𝑒𝑒} ^{𝑖𝑖 ω 0 �𝜔𝜔−𝑘𝑘 ω 0 0 𝑘𝑘� sin}

� ^∆ω 2 �𝜕𝜕 − 𝑂𝑂 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 ��

𝜕𝜕 − 𝑂𝑂 𝑣𝑣 _𝑔𝑔

⇒ _{𝑠𝑠(𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑔𝑔} ����������� ₀ ∆ω 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 ω 0 �𝜔𝜔−𝑘𝑘 ω 0 0 𝑘𝑘�}

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒

sinc � ^∆ω 2 �𝜕𝜕 − 𝑂𝑂 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 ��

�������������

𝑒𝑒𝑙𝑙𝑣𝑣𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒

𝑜𝑜ù 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑛𝑛𝑐𝑐 = sin(𝑥𝑥 )

𝑥𝑥

IV – Aspects énergétiques

IV-1) Propagation dans un plasma a) Milieu transparent pour ω > ω _p i- Vitesse de phase et de groupe

On a la relation de dispersion : 𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₁ = � ^{ω 2 − ω 𝑝𝑝 2}

𝑙𝑙 ²

D’où :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧𝑣𝑣 ϕ = ω

𝑘𝑘 = 1 ω 𝑘𝑘

= 1

� 1 − ω _𝑝𝑝 ² ω ² 𝑐𝑐 ²

= 𝑐𝑐

� 1 − ω _𝑝𝑝 ² ω ² 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = 𝑑𝑑 ω

Or : ω ² _{= 𝑘𝑘} ² _𝑐𝑐 ² ₊ ω _𝑝𝑝 ² ⇒ ₂ ω _𝑑𝑑 ω _{= 𝑐𝑐} ² _{2𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘} 𝑑𝑑𝑘𝑘

⇒ ω

𝑘𝑘 × 𝑑𝑑 ω

𝑑𝑑𝑘𝑘 = 𝑐𝑐 ² ⇒ _{𝑣𝑣 ϕ × 𝑣𝑣 𝑔𝑔 = 𝑐𝑐} ²

⇒

⎩ ⎪

⎪ ⎨

⎪ ⎪

⎧ 𝑣𝑣 ϕ = 𝑐𝑐

� 1 − ω _𝑝𝑝 ² ω ²

𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = 𝑐𝑐 ²

𝑣𝑣 ϕ = 𝑐𝑐 � 1 − ω _𝑝𝑝 ² ω ² Le paquet d’onde peut s’écrire sous la forme :

𝑠𝑠 (𝑂𝑂, 𝜕𝜕) = 𝑔𝑔�𝑂𝑂 − 𝑣𝑣 ������� _𝜑𝜑 𝜕𝜕�

𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑒𝑒

. 𝑒𝑒(𝑂𝑂 − 𝑣𝑣 ������� _𝑔𝑔 𝜕𝜕)

𝑒𝑒𝑙𝑙𝑣𝑣𝑒𝑒𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑒𝑒

L’onde moyenne se propage à la vitesse de phase : 𝑣𝑣 _𝜑𝜑 = ^ω _𝑘𝑘 ⁰

0 . L’enveloppe à la vitesse de groupe : 𝑣𝑣 _𝑔𝑔 = ^𝑑𝑑 _{𝑑𝑑𝑘𝑘} ^ω �

𝑘𝑘 ₀

La vitesse de phase est supérieure à c, ce qui n’est pas gênant car elle ne représente pas la propagation d’une grandeur « matérielle

». En revanche, la vitesse de groupe est nécessairement inférieure à c, car elle représente la vitesse de propagation de l’information.

ii- Vitesse de propagation de l’énergie Supposons :

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ₀ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥

⇒ _{𝐵𝐵�⃗ =} ω ^{𝑘𝑘 𝑢𝑢} ����⃗ ∧ 𝐸𝐸�⃗ ^𝑘𝑘 = 𝑘𝑘

ω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑚𝑚}

On cherche a déterminer la vitesse de propagation de l’énergie par :

𝑣𝑣 = 〈 Π _〉 Or : 〈𝑢𝑢〉

〈 Π ���⃗ 〉 = 1

2 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 � 𝐸𝐸�⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗ ^∗

µ ₀ ^{� = 1} ₂ µ ^𝑘𝑘 ₀ ω ^{𝐸𝐸 0 2 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑘𝑘}

Ici la densité d’énergie est représentée par deux termes : - L’énergie électromagnétique : 𝑢𝑢 _{𝑒𝑒𝑚𝑚}

- L’énergie cinétique des électrons : 𝑢𝑢 _{𝑒𝑒𝑙𝑙} Or :

〈𝑢𝑢 _{𝑒𝑒𝑚𝑚} 〉 = 〈 ε _{0 𝐸𝐸} ² 2 +

𝐵𝐵 ² 2 µ ₀ ^{〉 =}

ε _{0 𝐸𝐸 0} ²

4 + � 𝑘𝑘 ω ^�

2 𝐸𝐸 ₀ ²

4 µ ₀

⇔ _{〈𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑚𝑚 〉 =} ε _{0 𝐸𝐸 0} ² 4 +

ε _{0 𝐸𝐸 0} ²

4 �� 𝑘𝑘 ω ^�

2

𝑐𝑐 ² �

⇔ _{〈𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑚𝑚 〉 =} ε _{0 𝐸𝐸 0} ²

4 �1 + 𝑘𝑘 ² 𝑐𝑐 ² ω ^{2 �} Et :

〈𝑢𝑢 _{𝑒𝑒𝑙𝑙} 〉 = 𝑛𝑛 ₀ 〈 1

2 𝑚𝑚𝑣𝑣 ² 〉 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑣𝑣⃗ = 𝑚𝑚 𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗

𝑚𝑚 ω

⇒ _{〈𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑙𝑙 〉 =} ^{𝑛𝑛 0 𝑒𝑒 2}

2𝑚𝑚 ω ^{2 × 1} ₂ ^{𝑅𝑅 𝑒𝑒 �𝑚𝑚𝐸𝐸�⃗ × (−𝑚𝑚 ) 𝐸𝐸�⃗ ∗ �}

⇒ _{〈𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑙𝑙 〉 =} ^{𝑛𝑛 0 𝑒𝑒 2}

4𝑚𝑚 ω ^{2 × 𝐸𝐸 0 2} Or : ω _{𝑝𝑝 = �} ^{𝑛𝑛 0 𝑒𝑒 2}

𝑚𝑚 ^ε 0

⇒ _{〈𝑢𝑢 𝑒𝑒𝑙𝑙 〉 =} ω _𝑝𝑝 ² ω ^{2 ×}

ε _{0 𝐸𝐸 0} ² Donc : 4

〈𝑢𝑢〉 = ε _{0 𝐸𝐸 0} ²

4 �1 + 𝑘𝑘 ² 𝑐𝑐 ² ω ^{2 +}

ω _𝑝𝑝 ² ω ^{2 �} Or : ω ² _{= 𝑘𝑘} ² _𝑐𝑐 ² ₊ ω _𝑝𝑝 ²

⇒ _{〈𝑢𝑢〉 =} ε _{0 𝐸𝐸 0} ² Et par conséquent : 2

𝑣𝑣 =

1 2 𝑘𝑘 µ ₀ ω ^{𝐸𝐸 0 2}

ε _{0 𝐸𝐸 0} ² 2

= 𝑘𝑘

ω ε ₀ µ ₀ ^{= 𝑐𝑐}

2

𝑣𝑣 ϕ = 𝑣𝑣 _𝑔𝑔

Dans un milieu transparent la vitesse de propagation de l’énergie

est la vitesse groupe.

b) Onde évanescente ω < ω _p Dans ce cas :

𝑘𝑘 = −𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂ = −𝑚𝑚� ω _𝑝𝑝 ² ₋ ω ² 𝑐𝑐 ² Donc :

𝐸𝐸�⃗ = 𝐸𝐸 ₀ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖( ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘𝑘𝑘)} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥 = 𝐸𝐸 ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝑘𝑘 2 𝑘𝑘} 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖 ω 𝜔𝜔} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥

⇒ _{𝐵𝐵�⃗ = −} ^{𝑚𝑚𝑘𝑘} ω ^{2 𝑢𝑢} ����⃗ ∧ 𝐸𝐸�⃗ ^𝑘𝑘 = − 𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂

ω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 2 𝑘𝑘 𝑒𝑒 𝑖𝑖 ω 𝜔𝜔 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑚𝑚}

Le champ électrique et le champ magnétique sont en quadrature de phase, la valeur moyenne du vecteur de Poynting est donc nulle.

〈 Π ���⃗ 〉 = 1

2 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 � 𝐸𝐸�⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗ ^∗

µ ₀ ^{� = 0 �⃗}

*

Une onde électromagnétique de fréquence inférieure

𝑓𝑓 _𝑝𝑝 arrivant sur un plasma ne lui transmet pas d’énergie, toute

l’énergie de l’onde est réfléchie. Le plasma se comporte comme

un miroir.

IV-2) Propagation dans le cuivre (conducteur) en basse fréquence a) Relation de dispersion

En prenant les valeurs numériques du cuivre :

� ω _{𝑝𝑝 = 2 10} ¹⁶ _{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑. 𝑠𝑠} ⁻¹ τ _{= 10} ⁻¹⁴ _𝑠𝑠

On obtient les courbes représentant 𝑘𝑘 ₁ 𝑒𝑒𝜕𝜕 𝑘𝑘 ₂ tracées ci-dessus. On observe trois domaines :

- ω _≪ ¹ _{τ <} ω _{𝑝𝑝 : 𝑘𝑘 1 = 𝑘𝑘 2} - ω _≫ ω _{𝑝𝑝 ∶ 𝑘𝑘 2 ≪ 𝑘𝑘 1} - ¹ _τ ≪ ω _< ω _{𝑝𝑝 ∶ 𝑘𝑘 1 ≪ 𝑘𝑘 2}

b) Champ électromagnétique

Plaçons-nous dans le cas des « basses fréquences », c’est-à-dire dans le cas où :

ω _≪ ¹ τ ^{𝑒𝑒𝜕𝜕 𝑘𝑘 1 = 𝑘𝑘 2} La relation de dispersion :

⇔ _𝑘𝑘 ² ₋ ω ²

𝑐𝑐 ² = − µ ₀ ^𝑚𝑚 γ ₀ ω 1 + 𝑚𝑚 ωτ

⇔ _𝑘𝑘 ² ∼ ω ²

𝑐𝑐 ² − 𝑚𝑚 µ ₀ γ ₀ ω

⇔ _𝑘𝑘 ² ∼ _{− 𝑚𝑚} µ ₀ γ ₀ ω _{�1 + 𝑚𝑚} ω µ ₀ γ _{0 𝑐𝑐} ^{2 �} Or :

⎩ ⎪

⎨

⎪ ⎧ ω _{< 10} ¹⁴ _{𝑔𝑔𝑔𝑔𝑑𝑑. 𝑠𝑠} ⁻¹ µ _{0 = 4} π ₁₀ ⁻⁷ _{𝑀𝑀 𝑚𝑚} ⁻¹

γ _{0 = 6.10} ⁷ _{𝑆𝑆𝑚𝑚} ⁻¹ 𝑐𝑐 ² = 9.10 ¹⁶ 𝑚𝑚 ² 𝑠𝑠 ⁻²

⇒ ω

µ ₀ γ _{0 𝑐𝑐} ^{2 ≲ 10 −5 ≪ 1} Donc :

𝑘𝑘 ² ∼ _{− 𝑚𝑚} µ ₀ γ ₀ ω Or :

−𝑚𝑚 = 𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖� 2� π} = �𝑒𝑒 ^{−𝑖𝑖� π 4�} � ² = � 1 − 𝑚𝑚

√2 � ² On en déduit :

𝑘𝑘 = ± 1 − 𝑚𝑚

√2 � γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀ = ± 1 − 𝑚𝑚

δ où δ = � 2 γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀ Pour plus de simplicité choisissons 𝑘𝑘 ₁ > 0 d’où :

𝑘𝑘 = 1 − 𝑚𝑚

δ ^{= 𝑘𝑘 1 − 𝑚𝑚𝑘𝑘 2} 𝑔𝑔𝑣𝑣𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑘𝑘 ₁ = 𝑘𝑘 ₂

On retrouve la propriété observer sur le graphique à basse fréquence.

On obtient alors :

𝐸𝐸�⃗ ( 𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ₀ 𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖� ω 𝜔𝜔+𝑘𝑘 δ (1−𝑖𝑖)�} 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑥𝑥

⇔ _{𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 0 𝑒𝑒} ^{−𝑘𝑘 δ} _𝑒𝑒 ^{𝑖𝑖� ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 δ �} _{𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥} Soit, en prenant la partie réelle :

𝐸𝐸�⃗(𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ��� ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝑘𝑘 δ}

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^�

���������

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑢𝑢 _𝑥𝑥

����⃗

De plus :

𝐵𝐵�⃗ = 1 − 𝑚𝑚

δω ^𝑢𝑢 ����⃗ ∧ 𝐸𝐸�⃗ ^𝑘𝑘 = 1 − 𝑚𝑚

δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑒𝑒 𝑖𝑖� ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 δ � 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑚𝑚}

Soit, en prenant la partie réelle : 𝐵𝐵�⃗ = � 𝐸𝐸 ₀

δω ^{𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 �} ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^{� +} δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑠𝑠𝑚𝑚𝑛𝑛 �} ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^{�� 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑚𝑚}

⇔ _{𝐵𝐵�⃗ = �} δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 �} ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^{� +} δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 �} π

2 − ω _{𝜕𝜕 +} ^𝑂𝑂 δ ^{�� 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑚𝑚}

⇔ _{𝐵𝐵�⃗ = 2} δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 �} π

4 � 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ⁻ π 4 � 𝑢𝑢 ����⃗ _𝑚𝑚

⇔ _{𝐵𝐵�⃗ = √2 �������} δω ^{𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ}

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ⁻ π 4 �

�����������

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑢𝑢 _𝑚𝑚

����⃗

Le terme 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑘𝑘 _{δ �} correspond à une onde plane progressive monochromatique se propageant selon z croissant. Cependant, cette onde s'atténue en se propageant à cause du terme e ^{− 𝑧𝑧 δ} . L'onde devient de plus en plus faible au cours de sa propagation, et la distance d'atténuation est δ . À cause du terme propagatif, cette onde n'est pas évanescente.

c) Puissance moyenne

La valeur moyenne du vecteur de Poynting est égale à :

〈𝛱𝛱��⃗〉 = 1

2 𝑅𝑅 _𝑒𝑒 � 𝐸𝐸�⃗ ∧ 𝐵𝐵�⃗ ^∗ µ ₀ ^�

= 1

2 µ ₀ ^{𝑅𝑅 𝑒𝑒 �𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑒𝑒 𝑖𝑖� ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 δ � 𝑢𝑢 ����⃗ ∧ � 𝑥𝑥 1 +} δω ^{𝑚𝑚 𝐸𝐸 0 𝑒𝑒 −𝑘𝑘 δ 𝑒𝑒 −𝑖𝑖� ω 𝜔𝜔−𝑘𝑘 δ � 𝑢𝑢 ����⃗�� 𝑚𝑚}

= 𝐸𝐸 ₀ ²

2 µ ₀ δω ^{𝑒𝑒 −2𝑘𝑘 δ 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑘𝑘}

La puissance moyenne transportée par l’onde s’atténue avec une distance caractéristique égale à : ^δ

2

d) Epaisseur de peau

Les amplitudes des champs et des courants dans le conducteur décroissent en 𝑒𝑒 ^{− 𝑧𝑧 δ} .

La longueur caractéristique de cet amortissement est : δ = � 2

γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀

On l’appelle épaisseur de peau. Elle représente la profondeur de pénétration du champ électromagnétique à l’intérieur du conducteur : à une distance supérieure à quelques fois δ de l’interface entre le conducteur et le milieu extérieur, les champs et les courants peuvent être considérés comme nuls. Ce phénomène est appelé effet de peau parce que δ prend des valeurs très faibles pour un bon conducteur aux fréquences moyennes et élevées.

Pour le cuivre, on calcule :

- A une fréquence de 50 Hz, δ = 9,2 𝑚𝑚𝑚𝑚 ∼ _{1 𝑐𝑐𝑚𝑚;}

- A une fréquence de 1 MHz, δ _{= 65} µ _𝑚𝑚;

À haute fréquence, les courants sont donc localisés sur une très faible épaisseur au voisinage de la surface du conducteur.

Dans le cas d’un métal à basse fréquence, le champ électromagnétique pénètre sur une longueur caractéristique appelée épaisseur de peau tel que :

𝐸𝐸�⃗ ( 𝑀𝑀, 𝜕𝜕) = 𝐸𝐸 ��� ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝑘𝑘 δ}

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^�

���������

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑢𝑢 _𝑥𝑥

����⃗ 𝑜𝑜ù δ = � 2

γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀

A 50Hz, pour le cuivre δ ∼ _{1 𝑐𝑐𝑚𝑚.}

IV-3) Propagation dans le cuivre (conducteur) en haute fréquence Dans le cas du modèle de Drude on a écrit :

𝑚𝑚 𝜕𝜕𝑣𝑣⃗

𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗ − 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

τ

⇔ 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗ �𝑚𝑚 ω + 1

τ � = −𝑒𝑒𝐸𝐸�⃗

Dans le cas où ω ≫ ¹ _τ , on néglige alors les collisions et on se retrouve dans le cas du plasma.

IV-4) Conclusion

Domaine spectral

Ondes radios, micrométriques

ω _≪ ¹ τ ^< ω _𝑝𝑝

IR, UV…

1

τ ^≪ ω _< ω _𝑝𝑝

UV lointain, X-ray 1

τ ^≪ ω _{𝑝𝑝 <} ω Relation de

dispersion 𝑘𝑘 ² = −𝑚𝑚 µ ₀ γ ₀ ω

𝑘𝑘 ² = ω ² − ω _p ² 𝑐𝑐 ² Vecteur

d’onde ( 𝑘𝑘 ₁ ≥ 0)

𝑘𝑘 = 1 − 𝑚𝑚

δ ^{= 𝑘𝑘 1 − 𝑚𝑚𝑘𝑘 2}

𝜕𝜕𝑒𝑒𝐾𝐾 𝑞𝑞𝑢𝑢𝑒𝑒 δ = � 2 γ ₀ 𝜔𝜔 µ ₀

𝑘𝑘 = −𝑚𝑚𝑘𝑘 ₂

= −𝑚𝑚� ω _𝑝𝑝 ² ₋ ω ² 𝑐𝑐 ²

𝑘𝑘 = 𝑘𝑘 ₁

= � ω ² ₋ ω _𝑝𝑝 ² 𝑐𝑐 ² Type

d’onde 𝐸𝐸�⃗(𝑂𝑂, 𝜕𝜕)

Onde propagative atténuée 𝐸𝐸 ��� ₀ 𝑒𝑒 ^{−𝑘𝑘 δ}

𝑎𝑎𝑎𝑎𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠 � ω _{𝜕𝜕 −} ^𝑂𝑂 δ ^�

���������

𝑝𝑝𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑎𝑎𝑔𝑔𝑎𝑎𝜔𝜔𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙

𝑢𝑢 _𝑥𝑥

����⃗

Onde évanescente 𝐸𝐸 ₀ 𝑒𝑒 ^−𝑘𝑘

^𝑘𝑘 cos ( ω _{𝜕𝜕) 𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥}

Milieu transparent 𝐸𝐸 ₀ cos ( ω _{𝜕𝜕 − 𝑘𝑘 1 𝑂𝑂)𝑢𝑢 ����⃗ 𝑥𝑥}

Equivalence Plasma dilué