Rappelez à quoi correspond l'hypothèse d'un milieu linéaire, homogène et isotrope et comment ce milieu modie la forme des équations de Maxwell et de leurs solutions ondes planes.

Electromagnétisme dans les milieux diélectriques (PC*)

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Question de cours

Rappelez à quoi correspond l'hypothèse d'un milieu linéaire, homogène et isotrope et comment ce milieu modie la forme des équations de Maxwell et de leurs solutions ondes planes.

Exercice Relations de Descartes

On considère en z = 0 une interface entre un milieu d'indice n

₁

et un milieu d'indice n

₂

. Une onde plane de vecteur d'onde − →

k

i

= k

i



 sinθ

i

0 cosθ

i



 et de pulsation ω

i

arrive sur le dioptre depuis z > 0 . On la notera − →

E

i

( − → r , t) = −−→

E

0,i

e

ⁱ

ωit−→−

ki.−→r

. Elle donne naissance à une onde rééchie ω

r

, − →

k

r

et à une onde transmise

ω

_t

, − → k

_t

.

1. Exprimez ω

_i

, ω

_r

et ω

_t

en fonction de − → k

_i

, − →

k

_r

et − →

k

_t

et des indices des milieux.

2. L'interface ne présente pas de charge surfacique. Déterminez les relations de continuité du champ électrique.

3. Montrez qu'on doit avoir ω

i

= ω

r

= ω

t

. 4. Montrez que − →

k

r

et − →

k

t

appartiennent au plan d'incidence de l'onde. On les notera − → k

r

= k

r



 sinθ

r

0 cosθ

r





et − → k

_t

= k

_t



 sinθ

_t

0 cosθ

t



 .

5. Déterminez les relations entre les angles d'incidences et de réexion.

Solution

Voir rubrique Cours & Analyse

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1

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Exercice Coefficients de Fresnel

On considère en z = 0 une interface entre un milieu d'indice n

₁

et un milieu d'indice n

₂

. Une onde plane transverse magnétique de vecteur d'onde − →

k

i

= k

i



 sinθ

i

0 cosθ

_i



 et de pulsation ω arrive sur le dioptre depuis z > 0 . On la notera − →

B

i

( − → r , t) = B

0,i

e

ⁱ

ωit−−→

ki.−→r

− →

u

y

. Elle donne naissance à une onde rééchie



ω, − → k

_r

= k

_r



 sinθ

r

0 cosθ

r







 et à une onde transmise



ω, − → k

_t

= k

_t



 sinθ

t

0 cosθ

t







. On admettra les relations de Descartes n

₁

sinθ

_i

= n

₂

sinθ

_t

et θ

_i

= −θ

_r

.

1. Exprimez ω

i

, ω

r

et ω

t

en fonction de − → k

i

, − →

k

r

et − →

k

t

et des indices des milieux.

2. Ecrire les équations de continuité du champ − →

B et du champ E tangentiel.

3. Exprimez les champs − → B

i

, − →

B

r

et − →

B

t

en fonction des champs − → E

i

, − →

E

r

et − →

E

t

et des indices des milieux.

4. Ecrire les équations vériées par les coecients de réexion r =

^E_E^0,r

0,i

et de transmission t =

^E_E^0,t

0,i

. 5. En déduire la valeur de ces coecients. Commentez.

Solution

Voir rubrique Cours & Analyse

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2 Daniel Suchet - 2012

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Question de cours

Conditions de raccordement Exercice Miroir laser

1. On envoie en incidence une onde monochromatique de pulsation ω sur une lame d'indice n comprise entre z = 0 et z = e . On note − →

E = E − u →

_x

et − →

B = B − u →

_y

les champs en z = 0

⁻

et − →

E

⁰

= E

⁰

− u →

_x

et

− →

B

⁰

= B

⁰

− u →

y

les champs en z = e

⁺

. Exprimez E

⁰

et cB

⁰

en fonction de E et de cB . En déduire la matrice M

₀

telle que

E

⁰

cB

⁰

= M

₀

E

cB

.

2. On considère à présent une succession de 2N couches de milieux diélectriques d'épaisseur e

1

et d'indice n

1

et de milieux d'épaisseur e

2

et d'indice n

2

tels que n

1

e

1

= n

2

e

2

=

^λ₄

.

3. Déterminez les matrices M

1

et M

2

qui décrivent le passage de l'onde au travers d'une couche 1 ou d'une couche 2 respectivement. En déduire la matrice qui décrit le passage d'une onde au travers d'une couche 1 puis d'une couche 2.

4. En déduire la relation entre les champs E

0

cB

0

en x = 0 et les champs E

t

cB

t

en sortie de dispositif.

5. En considérant les champs en x = 0 comme la superposition d'une onde incidente E

i

cB

i

et d'une onde rééchie

E

r

cB

r

, déterminez les coecients de transmission et de reexion du dispositif.

Solution

1. E →⇒ E

₁

→

E

2

← ⇒ E

⁰

→ et B =

^E_c

, B

₁

= n

^E_c¹

, B

₂

= −n

^E_c²

et B

⁰

=

^E_c⁰

. Continuité en 0 : E = E

1

+ E

2

cB = cB

₁

+ cB

₂

⇔ cB = n(E

₁

− E

₂

) ⇔ E

1

= (E + cB/n)/2 E

₂

= (E − cB/n)/2 Continuité en L :

E

⁰

= E

1

e

^ink0L

+ E

2

e

^−ink0L

cB

⁰

= cB

1

e

^ink0L

+ cB

2

e

^−ink0L

⇔ cB

⁰

= n(E

1

e

^ink0L

− E

2

e

^−ink0L

) ⇔ E

⁰

= Ecos (nk

0

L) + i

^cB_n

sin (nk

0

L)

cB

⁰

= n iEsin (nk

₀

L) +

^cB_n

cos (nk

₀

L)

donc E

⁰

cB

⁰

=

cos (nk

0

L)

_nⁱ

sin (nk

0

L) in sin (nk

0

L) cos (nk

0

L)

E cB

( k

0

en −k

0

avec l'autre convention) 2. Avec nL =

^λ₄

,

E

⁰

cB

⁰

=

0

_nⁱ

in 0

E cB

et (dans l'ordre inverse des couches rencontrées)

M

2

M

1

=

0

_nⁱ

2

in

2

0

0

_nⁱ

1

in

1

0

= −

ⁿ_n¹

2

0

0 −

ⁿ_n²

1

3 Daniel Suchet - 2012

Donc



 

 

E

T

= E

0

−

ⁿ_n¹

2

^N

cB

T

= cB

0

−

ⁿ_n²

1

N

⇔



 

 

E

T

= (E

i

+ E

r

)

−

ⁿ_n¹

2

^N

E

T

= (E

i

− E

r

)

−

ⁿ_n²

1

N

⇔



 

 

τ = (1 + r)

−

ⁿ_n¹

2

^N

τ = (1 − r)

−

ⁿ_n²

1

^N

⇔



 

 

τ − r

−

ⁿ_n¹

2

N

=

−

ⁿ_n¹

2

N

τ + r

−

ⁿ_n²

1

^N

=

−

ⁿ_n²

1

^N

⇔



 

 

 

  τ =

²

−ⁿ_n¹

2

N

1+_n

1 n2

2N

r =

¹⁻

_n

1 n2

2N

1+_n

1 n2

2N

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4 Daniel Suchet - 2012