Sur les ondes planes progressives en milieu continu

(1)

HAL Id: jpa-00235670

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235670

Submitted on 1 Jan 1957

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L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Sur les ondes planes progressives en milieu continu

Jean Kieffer, Jean Dapoigny

To cite this version:

Jean Kieffer, Jean Dapoigny. Sur les ondes planes progressives en milieu continu. J. Phys. Radium,

1957, 18 (5), pp.359-360. �10.1051/jphysrad:01957001805035901�. �jpa-00235670�

(2)

359 phique (fig. 1) ^on ^a ^dessiné les courbes donnant le

potentiel ^{U de} ^la ^molécule ^en ^fonction ^de ^la ^distance

internucléaire r. On a tracé la parabole harmonique

notée par M. E. ^{Pillow :}

On ^a également ^tracé la courbe de Morse :

FIG. Z

On remplace ^{alors la} longueur CE par ^une longueur

dessinée en D’F’ et qu’on portera ^à partir ^d’un point

d’abscisse : _ro _{= re} + ( v ⁺ ^considéré ^comme

le ^« centre » de la fonction d’onde de Morse. D’F’ est mesuré sur une horizontale de cote U’ et ^{non sur} l’horizontale d.e cote L~ qui porte ^{CE. II} êt Û’ ^sont ^les potentiels correspondant âu même nombre quantique

de vibration (fictif) ^v’

U = we ÎU~ + 1I2) ^V’

^-

(v’ + 1l 2) ⁺ ^{Xe CJ)e} (v’ + 1/2) ^2.

Le point ^D’ ^étant lui-même considéré comme

« centre» donc : C’D’

⁼

( v’ + 1) ^on ^calcule ^C’F’

dont on retranche C’D’ avant de le porter ^sur ^le graphique des fonctions d’onde, ^à partir ^du point r,.

Une opération analogue ^est faite de l’autre _{côté pour} trouver la longueur ^C’B’ puis ^D’B’.

Modifications proposées.

^-°

^De ^ce qui précède ^il

résulte que les abscisses des points, ^sur ^le graphique

des fonctions d’onde, ^{seront :}

Toutes les longueurs ^étant considérées en valeur absolue ici. Au lieu d’écrire :

il suffit de l’écrire :

En remplaçant ^v’ ^en fonction de ^x. ^Ici intervient

une simple question de notation ^et d’écriture. Je propose de tout exprimer ^en fonction de x ; de manière à pouvoir calculer simultanément les abscisses et les ordonnées d’une manière plus cohérente. On voit sans

peine que

En plus ^le ^nombre quantique ^fictif ^v’ correspond ^à

une valeur simple ^de x, ôn ^{a :} v’ ₊ 1/2 == x~/2, ên remplaçant Û par (v’ ⁺ 1/2) ^mc ^{dans la} parabole,

avec D

⁼

w~ /4xe.

A ce moment C’D’ s’écrit

Reportons ^dans ^les expressions ^ci-dessus (1) ^et (2)

il vient :

’

On remarque alors que ^ces expressions s’écrivent :

Ce qui reviendrait à prendre ^comme ^«centre» (fictif)

le point d’abscisse re + (v ⁺ y2) xe ja.

Pour finir, il suffit d’exprimer ^en ^x ^les ^lon-

gueurs C’F’ et C’B’ ce qu’on peut ^écrire algébriquement

sous une seule forme :

de sorte qu’on peut ^réunir l’écriture dés deux abscisses ainsi :

où tout est fonction simple ^{de xe} ^x2.

Conclusion.

^-

Si légère ^soit-elle ^cette simplification

est capable d’alléger ^des ^calculs toujours trop longs.

Il est utile de _remarquer qu’elle ^est acquise ^sans ^rien

modifier aux principes posés par M. E. Pillow ^comme base de ^sa méthode. Il ne s’agit pas d’une approxi-

mation supplémentaire ; ^mais d’une forme d’écriture plus avantageuse.

J’adresse ici des remerciements à Miss M. E. Pillow

qui ^m’a communiqué ^avec ^la plus grande ^amabilité,

de très utiles détails.

Lettre _reçue le 21 mars 1957.

BIBLIOGRAPHIE

[1] ^PILLOW (M. E.), ^Proc. Phys. Soc., ^A 1951, 64, ^772.

[2] ^HERZBERG (G.), Spectra of diatomic molecules, Van Nostrand, ^N. Y., 1950.

SUR LES ONDES PLANES PROGRESSIVES EN MILIEU CONTINU

Par Jean KIEFFER et Jean DAPOIGNY,

Laboratoire des Hautes-Pressions, ^Bellevue (Seine-et-Oise).

Nous donnons _par des considérations de cinématique simples ^une énumération exhaustive des ondes _pro-

gressives qui ^sont possibles ^dans ^un milieu continu

quelconque. Nous les rassemblons en diff érents _groupes ayant ^chacun ^des propriétés physiques particulières.

Du point ^de ^vue mathématique ^un ^tel ^groupe ^est

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001805035901

(3)

360 caractérisé par ^la ^forme particulière que prennent ^les solutions des équations ^du ^mouvement.

L’état du milieu est défini ^à l’instant t si l’on connaît

en chaque point ^{du milieu} ^la déformation e (comme ^on

a entre déformation et densité ^la relation e

^-

1.

^-

p,lp,

la déformation conserve même _pour les fluides ^une

signification mathématique). Ôn peut âussi ^se ^donner l’état du milieu _par l’une ou l’autre des deux relations suivantes : a(t, s) ôu x(t, c), a ^étant ^la coordonnée qui

fixe la position qu’occupait ^à ^l’instant ^{initial t}

⁼

⁰

l’élément matériel qui ^à l’instant t porte ^la ^défor- mation F- ; x ^étant ^la position ^à ^l’instant ^t ^de ^ce ^même

élément matériel. Dans ce qui ^suit ^{nous nous} ^limitons

au cas où, pour ^un instant donné, ^a ^{et x sont} ^fonctions

monotones de la déformation. Toute onde réelle peut être représentée par simple juxtaposition ^d’un plus ^ou

moins grand ^nombre ^de telles branches.

FIG. 1

La figure ^{montre à} l’instant t les deux fonctions a et x pour ^une onde de compression. ^{Pour x} ^{= a} > P nous

supposons le milieu au repos dans ^son état naturel.

Pour x R’ et a Q’, ^nous supposons que le milieu est dans l’état de déformation homogène Emax, animé

en bloc d’une vitesse particulaire qui êst ^celle ^du point ^R ên coordonnées x ou du point Q ên

coordonnées a. est l’épaisseur de l’uncle ^-t

l’instant t ; Q’P ^est l’épaisseur qu’occupait ^à ^l’instant

initial 1

⁼

0 la masse intéressée _par l’onde à l’instant 1.

La manière dont varie le triangle PQR ^{au cours} ^du temps permet ^de classer les ondes en groupes. ^{Posons :}

Les vitesses particulaires associées à ces ondes s’obtiennent de la manière suivante : prenant ^comme variables indépendantes ^le temps t ^et ^la déformation _E, les lois de d,érivation donnent :

qui ^{s’écrit :}

Nous avons groupé ^les différents ^cas possibles ^dans

le tableau ci-dessous.

On remarquera ên particulier que chaque fois que les deux vitesses de propagation, C êt c, ^sont égales pour des valeurs de t et s données ie déplacement ^{relatif 8} ^ne dépend que de la déformation êt la vitesse particulaire

est fournie _par l’expression simple ^{v u -} ^cC.

Lettre reçue le 25 mars 1957.

Sur les ondes planes progressives en milieu continu

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https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00235670

Submitted on 1 Jan 1957

HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.

Sur les ondes planes progressives en milieu continu

Jean Kieffer, Jean Dapoigny

To cite this version:

Jean Kieffer, Jean Dapoigny. Sur les ondes planes progressives en milieu continu. J. Phys. Radium,

1957, 18 (5), pp.359-360. �10.1051/jphysrad:01957001805035901�. �jpa-00235670�

359

phique (fig. 1) on a dessiné les courbes donnant le

potentiel U de la molécule en fonction de la distance

internucléaire r. On a tracé la parabole harmonique

notée par M. E. Pillow :

On a également tracé la courbe de Morse :

FIG. Z

On remplace alors la longueur CE par une longueur

dessinée en D’F’ et qu’on portera à partir d’un point

d’abscisse : ro = re + ( v + considéré comme

le « centre » de la fonction d’onde de Morse. D’F’ est mesuré sur une horizontale de cote U’ et non sur l’horizontale d.e cote L~ qui porte CE. II et U’ sont les potentiels correspondant au même nombre quantique

de vibration (fictif) v’

U = we ÎU~ + 1I2) V’

(v’ + 1l 2) + Xe CJ)e (v’ + 1/2) 2.

Le point D’ étant lui-même considéré comme

« centre» donc : C’D’

( v’ + 1) on calcule C’F’

dont on retranche C’D’ avant de le porter sur le graphique des fonctions d’onde, à partir du point r,.

Une opération analogue est faite de l’autre côté pour trouver la longueur C’B’ puis D’B’.

Modifications proposées.

De ce qui précède il

résulte que les abscisses des points, sur le graphique

des fonctions d’onde, seront :

Toutes les longueurs étant considérées en valeur absolue ici. Au lieu d’écrire :

il suffit de l’écrire :

En remplaçant v’ en fonction de x. Ici intervient

une simple question de notation et d’écriture. Je propose de tout exprimer en fonction de x ; de manière à pouvoir calculer simultanément les abscisses et les ordonnées d’une manière plus cohérente. On voit sans

peine que

En plus le nombre quantique fictif v’ correspond à

une valeur simple de x, on a : v’ + 1/2 == x~/2, en remplaçant U par (v’ + 1/2) mc dans la parabole,

avec D

w~ /4xe.

A ce moment C’D’ s’écrit

Reportons dans les expressions ci-dessus (1) et (2)

il vient :

On remarque alors que ces expressions s’écrivent :

Ce qui reviendrait à prendre comme «centre» (fictif)

le point d’abscisse re + (v + y2) xe ja.

Pour finir, il suffit d’exprimer en x les lon-

gueurs C’F’ et C’B’ ce qu’on peut écrire algébriquement

sous une seule forme :

de sorte qu’on peut réunir l’écriture dés deux abscisses ainsi :

où tout est fonction simple de xe x2.

Conclusion.

Si légère soit-elle cette simplification

est capable d’alléger des calculs toujours trop longs.

Il est utile de remarquer qu’elle est acquise sans rien

modifier aux principes posés par M. E. Pillow comme base de sa méthode. Il ne s’agit pas d’une approxi-

mation supplémentaire ; mais d’une forme d’écriture plus avantageuse.

J’adresse ici des remerciements à Miss M. E. Pillow

qui m’a communiqué avec la plus grande amabilité,

de très utiles détails.

Lettre reçue le 21 mars 1957.

BIBLIOGRAPHIE

[1] PILLOW (M. E.), Proc. Phys. Soc., A 1951, 64, 772.

[2] HERZBERG (G.), Spectra of diatomic molecules, Van Nostrand, N. Y., 1950.

SUR LES ONDES PLANES PROGRESSIVES EN MILIEU CONTINU

Par Jean KIEFFER et Jean DAPOIGNY,

Laboratoire des Hautes-Pressions, Bellevue (Seine-et-Oise).

Nous donnons par des considérations de cinématique simples une énumération exhaustive des ondes pro-

gressives qui sont possibles dans un milieu continu

quelconque. Nous les rassemblons en diff érents groupes ayant chacun des propriétés physiques particulières.

Du point de vue mathématique un tel groupe est

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:01957001805035901

360

caractérisé par la forme particulière que prennent les solutions des équations du mouvement.

L’état du milieu est défini à l’instant t si l’on connaît

en chaque point du milieu la déformation e (comme on

a entre déformation et densité la relation e

phique (fig. 1) ^on ^a ^dessiné les courbes donnant le

potentiel ^{U de} ^la ^molécule ^en ^fonction ^de ^la ^distance

notée par M. E. ^{Pillow :}

On ^a également ^tracé la courbe de Morse :

On remplace ^{alors la} longueur CE par ^une longueur

dessinée en D’F’ et qu’on portera ^à partir ^d’un point

d’abscisse : _ro _{= re} + ( v ⁺ ^considéré ^comme

le ^« centre » de la fonction d’onde de Morse. D’F’ est mesuré sur une horizontale de cote U’ et ^{non sur} l’horizontale d.e cote L~ qui porte ^{CE. II} êt Û’ ^sont ^les potentiels correspondant âu même nombre quantique

de vibration (fictif) ^v’

U = we ÎU~ + 1I2) ^V’

(v’ + 1l 2) ⁺ ^{Xe CJ)e} (v’ + 1/2) ^2.

Le point ^D’ ^étant lui-même considéré comme

( v’ + 1) ^on ^calcule ^C’F’

dont on retranche C’D’ avant de le porter ^sur ^le graphique des fonctions d’onde, ^à partir ^du point r,.

Une opération analogue ^est faite de l’autre _{côté pour} trouver la longueur ^C’B’ puis ^D’B’.

^De ^ce qui précède ^il

résulte que les abscisses des points, ^sur ^le graphique

des fonctions d’onde, ^{seront :}

Toutes les longueurs ^étant considérées en valeur absolue ici. Au lieu d’écrire :

En remplaçant ^v’ ^en fonction de ^x. ^Ici intervient

une simple question de notation ^et d’écriture. Je propose de tout exprimer ^en fonction de x ; de manière à pouvoir calculer simultanément les abscisses et les ordonnées d’une manière plus cohérente. On voit sans

En plus ^le ^nombre quantique ^fictif ^v’ correspond ^à

une valeur simple ^de x, ôn ^{a :} v’ ₊ 1/2 == x~/2, ên remplaçant Û par (v’ ⁺ 1/2) ^mc ^{dans la} parabole,

Reportons ^dans ^les expressions ^ci-dessus (1) ^et (2)

On remarque alors que ^ces expressions s’écrivent :

Ce qui reviendrait à prendre ^comme ^«centre» (fictif)

le point d’abscisse re + (v ⁺ y2) xe ja.

Pour finir, il suffit d’exprimer ^en ^x ^les ^lon-

gueurs C’F’ et C’B’ ce qu’on peut ^écrire algébriquement

de sorte qu’on peut ^réunir l’écriture dés deux abscisses ainsi :

où tout est fonction simple ^{de xe} ^x2.

Si légère ^soit-elle ^cette simplification

est capable d’alléger ^des ^calculs toujours trop longs.

Il est utile de _remarquer qu’elle ^est acquise ^sans ^rien

modifier aux principes posés par M. E. Pillow ^comme base de ^sa méthode. Il ne s’agit pas d’une approxi-

mation supplémentaire ; ^mais d’une forme d’écriture plus avantageuse.

qui ^m’a communiqué ^avec ^la plus grande ^amabilité,

Lettre _reçue le 21 mars 1957.

[1] ^PILLOW (M. E.), ^Proc. Phys. Soc., ^A 1951, 64, ^772.

[2] ^HERZBERG (G.), Spectra of diatomic molecules, Van Nostrand, ^N. Y., 1950.

Laboratoire des Hautes-Pressions, ^Bellevue (Seine-et-Oise).

Nous donnons _par des considérations de cinématique simples ^une énumération exhaustive des ondes _pro-

gressives qui ^sont possibles ^dans ^un milieu continu

quelconque. Nous les rassemblons en diff érents _groupes ayant ^chacun ^des propriétés physiques particulières.

Du point ^de ^vue mathématique ^un ^tel ^groupe ^est

caractérisé par ^la ^forme particulière que prennent ^les solutions des équations ^du ^mouvement.

L’état du milieu est défini ^à l’instant t si l’on connaît

en chaque point ^{du milieu} ^la déformation e (comme ^on

a entre déformation et densité ^la relation e

la déformation conserve même _pour les fluides ^une

signification mathématique). Ôn peut âussi ^se ^donner l’état du milieu _par l’une ou l’autre des deux relations suivantes : a(t, s) ôu x(t, c), a ^étant ^la coordonnée qui

fixe la position qu’occupait ^à ^l’instant ^{initial t}

⁰

l’élément matériel qui ^à l’instant t porte ^la ^défor- mation F- ; x ^étant ^la position ^à ^l’instant ^t ^de ^ce ^même

élément matériel. Dans ce qui ^suit ^{nous nous} ^limitons

au cas où, pour ^un instant donné, ^a ^{et x sont} ^fonctions

monotones de la déformation. Toute onde réelle peut être représentée par simple juxtaposition ^d’un plus ^ou

moins grand ^nombre ^de telles branches.

La figure ^{montre à} l’instant t les deux fonctions a et x pour ^une onde de compression. ^{Pour x} ^{= a} > P nous

supposons le milieu au repos dans ^son état naturel.

Pour x R’ et a Q’, ^nous supposons que le milieu est dans l’état de déformation homogène Emax, animé

en bloc d’une vitesse particulaire qui êst ^celle ^du point ^R ên coordonnées x ou du point Q ên

coordonnées a. est l’épaisseur de l’uncle ^-t

l’instant t ; Q’P ^est l’épaisseur qu’occupait ^à ^l’instant

0 la masse intéressée _par l’onde à l’instant 1.

La manière dont varie le triangle PQR ^{au cours} ^du temps permet ^de classer les ondes en groupes. ^{Posons :}

Les vitesses particulaires associées à ces ondes s’obtiennent de la manière suivante : prenant ^comme variables indépendantes ^le temps t ^et ^la déformation _E, les lois de d,érivation donnent :

qui ^{s’écrit :}

Nous avons groupé ^les différents ^cas possibles ^dans

On remarquera ên particulier que chaque fois que les deux vitesses de propagation, C êt c, ^sont égales pour des valeurs de t et s données ie déplacement ^{relatif 8} ^ne dépend que de la déformation êt la vitesse particulaire

est fournie _par l’expression simple ^{v u -} ^cC.