HAL Id: hal-01718836
https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-01718836
Submitted on 27 Feb 2018
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Ecoulement transitoire d’un fluide viscoélastique linéaire en milieu poreux
Bakhtiyor Khuzhayorov, Jean-Louis Auriault, Pascale Royer
To cite this version:
Bakhtiyor Khuzhayorov, Jean-Louis Auriault, Pascale Royer. Ecoulement transitoire d’un fluide vis-
coélastique linéaire en milieu poreux. 4èmes Journées d’Etude sur les Milieux Poreux, Jun 1999,
Nancy, France. �hal-01718836�
Ecoulement transitoire d’un fluide visco´ elastique lin´ eaire en milieu poreux B. Khuzhayorov
Uzbekistan Academy of Sciences, Division of Samarkand, 3 Temur Malik Street, Samarkand City, Republic of Uzbekistan.
J.-L. Auriault
Laboratoire ”Sols, Solides, Structures”, UJF, INPG, CNRS UMR 5521, BP 53X, 38041 Grenoble cedex, France. Jean-Louis.Auriault@hmg.inpg.fr
P. Royer
Laboratoire ”Sols, Solides, Structures”, UJF, INPG, CNRS UMR 5521, BP 53X, 38041 Grenoble cedex, France. Pascale.Royer@hmg.inpg.fr
1 Introduction
Le but de cette ´ etude est de d´ eterminer une loi de filtration pour d´ ecrire l’´ ecoulement tran- sitoire d’un fluide visco´ elastique lin´ eaire en milieu poreux. Pour cela on utilise une m´ ethode d’homog´ en´ eisation : le comportement macroscopique est d´ etermin´ e ` a partir de la description ` a l’´ echelle des pores. On montre que, dans l’espace de Fourier, la loi de filtration macroscopique ainsi obtenue est une loi de Darcy g´ en´ eralis´ ee avec un tenseur de perm´ eabilit´ e dynamique.
2 Description locale et estimations
On consid` ere un milieu poreux rigide p´ eriodique. La p´ eriode Ω est O(l) et caract´ erise l’´ echelle des pores. Sur cette p´ eriode, le solide et l’espace poreux occupent respectivement les domaines Ω
set Ω
let leur fronti` ere commune est d´ esign´ ee par Γ.
Soit L la longueur caract´ eristique macroscopique. La condition fondamentale qui doit ˆ etre v´ erifi´ ee pour pouvoir appliquer la m´ ethode d’homog´ en´ eisation est la s´ eparation des ´ echelles : ε =
Ll<< 1.
L’espace poreux est satur´ e par un fluide visco´ elastique lin´ eaire incompressible. Pour un ´ ecoulement lent (c.-` a-d. ` a faible nombre de Reynolds), la conservation de la quantit´ e de mouvement s’´ ecrit :
ρ ∂⃗ v
∂t = − ∇p ⃗ + ∇˜ ⃗ τ . (1)
Pour un fluide visco´ elastique lin´ eaire, le d´ eviateur des contraintes, ˜ τ , est tel que :
˜ τ + λ
1∂˜ τ
∂t + (λ
2)
2∂
2τ ˜
∂t
2+ ... (λ
n)
n∂
n˜ τ
∂t
n= 2µ (
D ˜ + θ
1∂ D ˜
∂t + (θ
2)
2∂
2D ˜
∂t
2+ ... (θ
n)
n∂
nD ˜
∂t
n, )
(2) o` u les λ
ket les θ
k, (k = 1, ..., n) sont respectivement les temps caract´ eristiques de relaxation et de retard. Notons que le mod` ele visco´ elastique lin´ eaire (1-2) est valide si tous les temps de relaxation et de retard sont petits par rapport au temps caract´ eristique de l’´ ecoulement :
λ
k<< l
V , θ
k<< l
V , (k = 1, ..., n) (3)
La description locale de l’´ ecoulement s’´ ecrit : ρ
∑
nk=1
(λ
k)
k∂
k+1⃗ v
∂t
k+1+
∑
nk=1
(λ
k)
k∂
k∂t
k( ∇ ⃗ p
) − µ
∑
nk=1
(θ
k)
k∂
k∂t
k(∆⃗ v) + ρ ∂⃗ v
∂t = − ∇ ⃗ p + µ∆⃗ v, (4)
∇ · ⃗ ⃗ v = 0, (5)
⃗ v/
Γ= ⃗ 0. (6)
Pour obtenir des effets visco´ elastiques ` a l’´ echelle macroscopique, les temps caract´ eristiques de relax- ation et de retard doivent ˆ etre du mˆ eme ordre de grandeur que le temps caract´ eristique dynamique T , introduit par le terme ρ
∂⃗∂tv. On consid` ere donc le cas o` u:
T
λ
k= O(1), T
θ
k= O(1) (k = 1, ..., n). (7)
L’´ equation de conservation de la quantit´ e de mouvement (4) introduit les nombres adimensionnels suivants :
Q = | ∇ ⃗ p |
| µ∆⃗ v | Re
t= | ρ ∂⃗ v
∂t |
| µ∆⃗ v | Λ
k= | ∇ ⃗ p |
| (λ
k)
k ∂k∂t
k( ∇p ⃗ ) | , Θ
k= | µ∆⃗ v |
| µ (θ
k)
k∂
k∂t
k(∆⃗ v) |
(8)
1
On montre que si on prend L comme longueur caract´ eristique de r´ ef´ erence, l’ordre de grandeur de Q correspondant est Q
L= O(ε
−2). D’autre part on montre qu’un r´ egime transitoire ` a l’´ echelle macroscopique implique : Re
tL= O(ε
−2). Enfin, compte tenu de (7), il vient : Λ
kL= O(1), Θ
kL= O(1). On d´ eduit de ces ordres de grandeur la description locale normalis´ ee. Dans l’espace de Fourier, elle s’´ ecrit :
˜
ρ⃗ v = − ∇ ⃗ p + ε
2µ∆⃗ ˜ v, (9)
∇ · ⃗ ⃗ v = 0, (10)
⃗ v/
Γ= ⃗ 0, (11)
o` u
˜
ρ = iωρ, µ ˜ = µS(i, ω), S(i, ω) = 1 + θ
1iω + (θ
2iω)
2+ ...(θ
niω)
n1 + λ
1iω + (λ
2iω)
2+ ...(λ
niω)
n. (12) 3 Comportement macroscopique
La m´ ethode d’homog´ en´ eisation utilis´ ee est bas´ ee sur le petit param` etre ε caract´ erisant la s´ eparation des ´ echelles. La pression et la vitesse, sont recherch´ ees sous forme de d´ eveloppements asymptotiques en puissances de ε. L’homog´ en´ eisation conduit au comportement macroscopique suivant :
∇ · ⃗ V ⃗ = 0, (13)
o` u V ⃗ est la vitesse macroscopique de filtration du fluide et est d´ efinie par :
V ⃗ = − K(ω) ˜ ∇ ⃗ p. (14)
Le tenseur de perm´ eabilit´ e dynamique ˜ K(ω) est d´ efini par K ˜ =< k > ˜
Ω, < · >
Ω= 1
|Ω|
∫
Ωl
