Ecoulement laminaire de fluide visqueux en conduite circulaire

Ecoulement laminaire de fluide visqueux en conduite circulaire

x x x

x r x x

x u f

x u p

r u r u u x u u t

u μ ρ

ρ ^ω ω + ∇ +

∂

−∂

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂ ₂

(0.1)

r r

r r

r r r x

r u f

r r u u r

p r

u u r u r u u x u u t

u ρ

μ ω

ρ ^ω ω ^{ω ω} ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

− ∂

−

∇

∂ +

−∂

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ −

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2 2

2 2

(0.2)

ω ω ω ω

ω ω ω ω

ω ρ

μ ω ω

ρ ω u f

r r u u p

r u u u r u r u u x u u t

u _{r r}

r

x ⎟+

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

−

∇

∂ +

− ∂

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ +

∂ + ∂

∂ + ∂

∂ + ∂

∂

∂

2 2

2 2

(0.3)

Par l'introduction d'un système de coordonnées cylindriques selon la figure ci-dessous, la vitesse longitudinale dans le tube devient une fonction de r, u = u(r). Les équations (0.2) et (0.3) permettent de dire que la pression ne dépend ni de r, ni de ω, donc p = p(x).

u u_x =

Le gradient de pression dp/dx est considéré comme constant et les équations de Navier-Stokes en coordonnées cylindriques s'écrivent :

2 2 2 2

2 2 2

1 ,

1 r y z

dx dp dr

rdu dr

d z r

u y

u ⎟ = +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

∂ +∂

∂

∂

μ ⁽¹⁾

d'où

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

dx dp dr

du r du

u d dr rdu dr

d

r μ

1 1

1

2 2

(2)

Figure: Coordonnées cylindriques (x, r) de l'écoulement dans un tube circulaire.

En fait l’équation (2) s’écrit : ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛ +r dr dx

dr μ

1 1

2 ,

le membre de gauche est une fonction de r, celui de droite une fonction de x, donc chacun des termes est constant, ce qui donne un gradient de pression constant.

Les conditions aux limites sont exprimées par u = 0 à la paroi r = a du tube et par la symétrie de la fonction u (r) autour de l'axe r = 0. Ceci signifie que pour r → 0, on obtient selon la condition du/dr = 0.

Par intégration de (2), on obtient

r C r dx dp dr

du ₁

2

1 ⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

μ (3)

La condition de symétrie autour de r = 0 donne C₁ = 0. En intégrant (3) et en tenant compte de la condition à la limite à la paroi (r = R = a), le résultat final s'écrit

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

2 2

4 1 )

( a

r dx

dp r a

u μ

(4)

Le profil de vitesse est donc parabolique (figure1 ci-dessous). Pour évaluer le débit-masse dans le tube, on a besoin de la vitesse moyenne um. En se référant à la figure, on obtient

um = ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

=

∫

∫

a

a

a 2

0 2

2 0 1

2 4 ) 1 (

π μ π

= ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

dx dp a

μ 8

2 (5)

Figure 1: Profil de vitesse parabolique dans

un tube circulaire. Figure 2: Forces de frottement et de pression sur un volume de contrôle dans le tube circulaire.

La distribution de vitesse peut donc s'écrire

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

−⎛

=

2

1 . 2 )

( a

u r r

u _m (6)

et la pression baisse donc le long du tube si um > 0 Selon (5), on obtient

4 2

8 8

a M a

u dx

dp μ _m μ &

−

=

−

= , M& =πa²ρu_m (7)

Le débit-masse M& dans le tube est donc proportionnel à a⁴ et au gradient de pression dx dp. La diminution de la pression est due au frottement à la paroi du tube. Le théorème de quantité de mouvement, appliqué au volume de contrôle de longueur dx dans la direction i selon la figure 2, donne (attention, la contrainte > 0 est déjà orientée physiquement vers les x positifs et ce qui agit sur le volume de contrôle est : -

τp

τp) 0

2 − 2 =

−πa dp τ_P πadx , ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

dx a dp

P 2

4τ (8)

où , la contrainte de cisaillement à la paroi, a été exprimée en fonction du diamètre 2a du tube. Il est d'usage de définir un

τp

coefficient de perte de charge λ (ou f) par

( )

Re 64 32

) 2 / 1 (

4 )

2 / 1 (

2 /

2

2 = = =

= −

m m P

m u a u

u a dx dp

ρ μ ρ

τ λ ρ

(9)

où le nombre de Reynolds est défini par rapport au diamètre 2 a et à la vitesse um. est donc uniquement une fonction de Re. La généralisation de (9) appelée loi de Poiseuille ou Hagen- Poiseuille pour un écoulement turbulent dans une conduite de paroi lisse ou rugueuse et de section arbitraire est donnée ailleurs (lois de Blasius et diagrammes de Moddy-Nikuradse) .

ςf

On peut également évaluer selon la définition. Dans ce cas il faut définir une coordonnée y mesurée à partir de la paroi et orientée vers le centre du tube (fig. ci-dessous). Par conséquent, on pose y = a - r et on obtient

τp

) ( )

0

( r a

r y u

y u

P =

∂

− ∂

=

∂ =

=μ∂ μ

τ (10)

En utilisant (6) et (7) il vient

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛−

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

− ⎛

−

=

= dx

dp a a u a

u r ^m

a r m

P μ 2 2 ₂ 4μ 2

τ (11)

confirmant le résultat selon (8).

Figure: Evaluation de τ_pd'après la formule (10).

Généralisation des perte de charges régulières (linéaires) dans les conduites Rappels théoriques

Equation de Darcy-Weisbach (1854,1845) :Loi générale de la perte de charge Δh , Δp est

g D h LU

2 . . ² λ

=

Δ ,

D h LU

g

p . 2.

ρ 2

λ ρ Δ =

= Δ avec :

λ : coefficient de perte de charge U : vitesse moyenne de débit (=Q/S) Q : débit volumique,

S : section de la conduite, D : diamètre de la conduite,

L : longueur du tronçon de la conduite, λ est fonction du nombre de Reynolds

- pour Re < 2400, régime de Poiseuille : λ = 64.Re^-1