La loi de Poiseuille

30 | La Lettre du Cardiologue • N° 495 - mai 2016

HISTOIRE

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La loi de Poiseuille

D. Chemla*, P. Abastado**

* Service des explorations fonction- nelles cardiovasculaires, hôpital de Bicêtre, Faculté de médecine Paris Sud, Le Kremlin-Bicêtre.

** Cardiologue, Paris.

J

ean Léonard Marie Poiseuille (1797-1869) a laissé son nom à une loi fondamentale de l’hémo dynamique permettant au cardiologue, au pneumologue ou au réanimateur de calculer les résistances vasculaires d’un sujet. Poiseuille est également à l’origine de l’emploi du millimètre de mercure en médecine pour exprimer les chiffres de pression artérielle : en 1828, il a inventé un mano- mètre à mercure sous la forme d’un tube en U pour mesurer la pression dans les artères des animaux.

Le manomètre de Poiseuille-Ludwig sera utilisé dans les facultés de médecine jusqu’au milieu du XX ^e siècle. Enfi n, sans jamais employer le terme de viscosité, Poiseuille indiqua très clairement le rôle de la température et de la nature du liquide dans les écoulements. En l’honneur de Poiseuille, l’unité de viscosité dynamique est la Poise dans le système CGS.

Torricelli, Pascal et la pression atmosphérique

En opposition à la physique d’Aristote et aux dogmes religieux du Moyen Âge, on découvrit au XVII ^e siècle que la nature n’a pas horreur du vide, et que l’air a un poids. Dans la Florence de la Renaissance, les princes italiens se faisaient concurrence dans le faste et l’inno- vation de leurs palais, mais aucun de leurs ingénieurs en charge de la construction des fontaines n’arrivait à pomper l’eau de l’Arno à une hauteur supérieure à 10 mètres environ. Les expériences préparatoires étaient rendues particulièrement complexes par la nécessité de manipuler des tubes en verre de plus de 10 mètres de haut. On consulte Galilée (Galileo Galilei 1564-1642), qui note à propos de la citerne et de la pompe à eau : “ Je crus que l’appareil était détérioré, mais l’artisan que j’avais trouvé pour faire la réparation me dit qu’il n’y avait aucun défaut, sinon du côté de l’eau qui, étant trop basse, ne souffrait plus d’être élevée aussi haut. ” Un des élèves de Galilée, Evangelista Torricelli (1608-1647), trouvera la solu- tion. Pour simplifi er les expériences, Torricelli a l’idée de remplacer l’eau par le mercure, beaucoup plus dense (1 mmHg = 13,6 mmH ₂ O). Torricelli fait fabri- quer un tube d’environ 1 mètre, le remplit de mercure, le bouche un instant avec son doigt, le renverse

dans une cuve remplie elle aussi de mercure, et constate que le niveau du mercure descend dans le tube et se stabilise à une hauteur de

“ 26 pouces et trois lignes et demi ” au-dessus du niveau de la cuve. Torricelli prouve ainsi l’existence du vide (l’espace contenu dans le tube au-dessus du mercure) et met en évidence le poids de l’air : “ La colonne de mercure est assez haute pour équilibrer le poids de l’air extérieur qui la retient vers le haut .” Rappelons que la pression atmosphérique est de 760 mmHg au niveau de la mer (0,76 × 13,6 = 10,3 m d’eau, la limite infranchissable des fontainiers).

Pour expliquer le phénomène, les débats feront rage entre les partisans d’une théorie où l’horreur de la nature pour le vide maintient le mercure en suspension, et ceux, comme Torricelli, pour qui une loi purement mécanique est en jeu. Blaise Pascal (1623- 1662), infl uencé par l’expérience de Torricelli et par une conversation avec René Descartes (1596-1650), décide de travailler sur la hauteur du “vif-argent”, ancien nom du mercure, conservé de nos jours par les Anglo-Saxons sous le terme de quicksilver . Pascal recentre la question sur le poids de l’air et, par une hypothèse limpide, fait faire un pas décisif à la nouvelle physique en train de naître : “ … s ’il arrive que la hauteur du vif-argent soit moindre en haut qu’en bas de la montagne (…), il s’ensuivra nécessairement que la pesanteur et pression de l’air est la seule cause de cette suspension du vif-argent, et non pas l’horreur du vide, puisqu’il est certain qu’il y a beaucoup plus d’air qui pèse sur le pied de la montagne que non pas sur son sommet, au lieu qu’on ne saurait pas dire que la nature abhorre le vide au pied de la montagne plus que sur son sommet ”.

Pascal confi rme l’existence de la pression exercée par le poids de l’air atmosphérique en montrant la diminution de la pression avec l’altitude dans la fameuse “expérience des liqueurs” (des liquides). Le 19 septembre 1648, il fait mesurer par son beau-frère, Florin Périer, la hauteur du tube de mercure dans un jardin situé au niveau le plus bas de Clermont - Ferrand et au sommet du Puy-de-Dôme, élevé d’en- viron 1 000 mètres (on mesura 8,5 cm de moins).

dans une cuve remplie elle aussi de mercure,

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HISTOIRE

Pascal répète avec succès cette expérience à la tour Saint-Jacques de Paris, et sa conclusion est sans appel : “ Les liqueurs pèsent suivant leur hauteur.” Pascal adopte le principe “que la nature n’a aucune répu- gnance pour le vide ; qu’elle ne fait aucun effort pour l’éviter ; que tous les effets qu’on a attribués à cette horreur, procèdent de la pesanteur et pression de l’air ; qu’elle en est la seule et véritable cause, et que, manque de la connaître, on avait inventé exprès cette horreur imaginaire du vide, pour en rendre raison ”. Malgré cette démonstration, l’idée restera longtemps contestée, même par de grands savants de l’époque.

Le premier baromètre a été inventé par Torricelli, sans doute vers 1644. La communauté scientifi que rebaptise le millimètre de mercure en l’honneur du savant (1 mmHg = 1 Torr). En l’honneur du génial Fran- çais, l’unité de pression est le “Pascal” dans le Système international (1 Pa = 1 Newton/ m ² ) . La pression atmosphérique (1 atmosphère = 1 bar = 760 mmHg au niveau de la mer = 101 325 Pa) diminue quand l’altitude augmente. Cette notion a longtemps été utilisée dans les avions pour mesurer la hauteur de l’appareil (altimètre), avant le GPS. La pression condi- tionne la température d’ébullition de l’eau et une surpression l’augmente : c’est le principe des auto- claves hospitaliers ou de la Cocotte-Minute. L’eau bout à une température de 100 °C au niveau de la mer (pression atmosphérique 760 mmHg). À l’inverse, cette température baisse avec l’altitude. Au sommet de l’Everest (pression atmosphérique 253 mmHg), l’ébullition de l’eau est observée vers 70 °C, ce qui empêche sans doute les vrais amateurs de thé d’y aller.

Hales et la pression artérielle

Une distinction souvent oubliée existe donc entre la pression manométrique et la pression absolue.

Notre corps est entouré par l’air ambiant, et la pres- sion manométrique est mesurée en référence à la pression atmosphérique. Le zéro de référence (qui correspond à la pression atmosphérique) est situé au niveau de l’oreillette droite en hémodynamique cardiaque. Au niveau de la mer, une pression arté- rielle manométrique de 120 mmHg correspond à une pression absolue de 880 mmHg (120 + 760 = 880).

On doit la première mesure directe de la pression artérielle au révérend Stephen Hales (1677-1761), un clergyman anglais qui étudia la chimie, la physique et la physiologie végétale et animale durant le temps libre que lui laissait son ministère. Laissons-lui la parole. “ En décembre [1733] je fi s attacher à terre sur le dos une jument vivante (…) j’ouvris l’artère crurale

gauche à environ trois pouces de son ventre, j’insérais un tuyau de cuivre dont l’alésage était d’un sixième de pouce de diamètre, et au moyen d’un autre tube de laiton convenablement adapté, je fi xais un tube de verre pratiquement du même diamètre et d’une longueur de neuf pieds. Puis, après avoir délié la ligature artérielle, le sang monta dans le tube à une hauteur de huit pieds et trois pouces perpendiculairement au-dessus du niveau du ventricule gauche du cœur… ” D’après Hales, la jument “ était âgée d’environ 14 ans (…), ni très maigre ni très vigoureuse ”, ce qui pourrait expliquer, en plus du stress expérimental, les chiffres élevés de pres- sion artérielle, environ 185 mmHg. Hales rapporta avec précision et pour la première fois les variations systolo diastoliques de la pression artérielle sanglante, à chaque battement cardiaque et avec la respiration.

Hales, qui n’était pas médecin, fut à l’origine d’une révolution épistémologique : pour la première fois, une expérience produit une série de chiffres refl é- tant précisément la force du sang dans les artères.

Hales mesura ainsi la pression artérielle de diffé- rents animaux et émit l’hypothèse qu’elle devait être d’environ 7,5 pieds chez l’homme (soit une pression artérielle systolique de 170 mmHg). L’importance des travaux de Hales fut reconnue et saluée, mais n’eut pas immédiatement de retombée scientifi que ni même médicale. Il faudra attendre plus de 130 ans pour qu’une mesure sanglante soit effectuée en 1856 par le chirurgien français Jean Faivre (1824-1871), chez 3 jeunes patients amputés, révélant des pressions de 115-120 mmHg au niveau fémoral ou huméral, et révisant donc à la baisse la proposition de Hales.

Pour cette mesure, Faivre bénéfi cia d’un manomètre à mercure développé à la suite des travaux de Poiseuille et de Ludwig.

Le mystère Poiseuille

Nous disposons de peu d’informations sur la vie de Poiseuille. Il est né à Paris le 22 avril 1797 ; son père était charpentier. Nous ne savons rien de ses études avant son admission en 1815 à l’École poly- technique, à l’âge de 18 ans. Il y suit les cours de professeurs prestigieux comme Cauchy, Hachette, Arago et Thénard. Mais c’est sans doute Petit, son professeur de physique, qui aura le plus d’infl uence sur lui et sur sa légendaire précision expérimentale.

L’École a été créée en 1794, et en 1804 Napoléon lui donne son statut militaire et sa devise “ Pour la Patrie, les Sciences et la Gloire ”. La période troublée de la Restauration voit Gaspard Monge, enseignant de la première heure, démis de ses fonctions (1815).

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“Docteur, j’ai encore une question”

Par le Pr Philippe Descamps

Gynécologue-Obstétricien

HISTOIRE

Le 13 avril 1816, Louis XVIII ordonne le licenciement des élèves de l’École pour des raisons politiques : parmi eux, Auguste Comte (X1814) et Poiseuille (X1815). À la réouverture de l’Ecole (1817), Poiseuille n’y retourne pas, préférant se consacrer à des études de médecine.

Durant ses recherches doctorales, Poiseuille met au point le manomètre à mercure. Sa thèse de médecine intitulée “Recherches sur la force du cœur aortique” (1828) sera couronnée par la médaille d’or de l’Académie des sciences. Après sa thèse, Poiseuille se tourne vers l’étude de la microcirculation mésenté- rique de la grenouille ; il réalise très vite que le carac- tère non contrôlé des conditions expérimentales in vivo ne lui permettra pas de formuler des conclusions claires et pertinentes. Il démarre alors, probablement entre 1830 et 1838, ses expériences sur la circulation des liquides dans des tubes de verre de petit diamètre.

En 1839 et en 1841, il dépose successivement 2 enve- loppes scellées à l’Académie des sciences pour prendre date de ses résultats. Suivront des communications, des demandes de vérification et d’études complémen- taires par une commission spéciale, des articles (15 entre 1828 et 1868), de nombreux prix, des honneurs (il est élu membre de l’Académie de médecine de Paris), et des échecs (il échouera par 3 fois à être élu à l’Académie des sciences).

Mais beaucoup de points restent obscurs dans cette biographie : nous ne savons pas précisément où Poiseuille effectua ses travaux, même si certains auteurs ont soulevé l’hypothèse non prouvée d’un soutien de François Magendie (1783-1855), le maître de Claude Bernard (1813-1878), dans son laboratoire de la Pitié-Salpêtrière. Nous ne savons pas quels furent ses soutiens financiers (le rôle de son beau-père a été suggéré). Nous ne connaissons pas le nom du maître verrier qui construisit les tubes expérimentaux, ni le nom de ses assistants dans son travail expérimental particulièrement fastidieux (la calibration d’un seul tube capillaire prenait 12 heures). Nous ne savons pas vraiment si Poiseuille exerça la médecine, ni quelles furent ses conditions exactes de travail à la fin de sa vie, période où il rejoignit l’enseignement public parisien à partir de 1858 et fut un temps inspecteur scolaire sani- taire. Poiseuille est mort à Paris le 26 décembre 1869.

La loi de Poiseuille

Étudiant les écoulements laminaires dans un tube cylindrique, Poiseuille se demanda quelle était la relation entre le débit moyen de sortie du liquide (Qmoy), le gradient de pression motrice entre les 2 extrémités du tube, ou surpression (P1 – P2), et les

caractéristiques du tube en termes de longueur (L) et de diamètre (D). Poiseuille considéra la surpres- sion comme la grandeur indépendante, et étudia le débit de différents liquides, à différentes tempéra- tures, circulant dans des tubes de taille variable. Il démontra par exemple que, pour une même surpres- sion, le débit augmentait d’un facteur 16 lorsque le diamètre était multiplié par 2. Plus généralement, il formula la loi suivante où K est une constante : (Qmoy) = (K × D⁴/L) × (P1 – P2)

Le diamètre des tubes étudiés allait de 0,015 à 0,6 mm. Le terme de viscosité avait été proposé dès 1823 par le Français Claude-Louis Navier (1785-1836), mais Poiseuille ne l’employa pas. Il indiqua cependant très clairement que la constante K était fonction de la température et de la nature du liquide, si bien que sa loi sera ultérieurement dérivée à partir des équations de Navier-Stokes et reformulée ainsi :

(Qmoy) = (π r⁴/8ηL) × (P1 – P2)

où r est le rayon du tube. L’ingénieur allemand Gotthilf Hagen (1797-1884) arriva de façon indépendante aux mêmes conclusions, mais l’emploi par certains du terme “loi de Hagen-Poiseuille” semble abusif tant la précision des conclusions de Poiseuille paraît insurpassable.

Les apports de la loi de Poiseuille sont majeurs. Cette loi démontre le contrôle des écoulements laminaires par la viscosité. D’autre part, sur un plan fonctionnel purement descriptif, elle indique que le débit moyen entre 2 points, 1 et 2, d’un circuit est proportionnel à la différence de pression moyenne entre ces 2 points.

Qmoy = G × (P1 – P2)

Le coefficient de proportionnalité G est la conduc- tance hydraulique, mesurant la facilité avec laquelle le débit circule. Selon les auteurs et les ouvrages de référence, cette loi est parfois rattachée aux travaux effectués en 1856 par l’ingénieur français Henri Philib ert Gaspard Darcy (1803-1858), et elle est alors appelée loi de Darcy.

La notion de résistance

Plutôt que de considérer la facilité avec laquelle le débit circule, il est très souvent utile d’avoir une estimation de l’opposition du circuit à la circulation du débit, de la difficulté avec laquelle le débit circule. La résistance hydraulique du circuit est simplement l’inverse de la conductance hydraulique du circuit (R = 1/G) et il vient : R = 8 η L/π r⁴

La grandeur qui caractérise la résistance d’un fluide newtonien à son écoulement est sa viscosité (η).

L’énergie de friction visqueuse est obligatoirement

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“Docteur, j’ai encore une question”

Par le Pr Philippe Descamps

Gynécologue-Obstétricien

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perdue sous forme de chaleur et la résistance (la perte énergétique) dépend du caractère laminaire ou turbulent du régime de débit. Dans un régime laminaire, les particules se déplacent selon des lignes parallèles, ayant des vitesses différentes, maximale au centre d’un tube cylindrique, nulle à la paroi ; les pertes frictionnelles sont minimales du fait de la distribution homogène des forces visqueuses. À l’équilibre et en moyenne, il faut donc faire l’hypothèse de couches de sang formant des lignes parallèles à l’axe du vaisseau et circulant lentement. La viscosité traduit simplement la résistance au glissement de ces lignes de courant les unes par rapport aux autres (cisaillement).

Dans un régime turbulent, les particules changent brusquement de direction, ce qui entraîne une perte énergétique additionnelle et augmente la résistance.

L’apparition d’un régime turbulent est favorisée par des valeurs élevées de diamètre du tube, de la vitesse moyenne et de la densité du liquide, et par des valeurs basses de viscosité. Tous ces facteurs sont regroupés au sein du nombre de Reynolds, du nom de l’Anglais Osborne Reynolds (1842-1912). Un régime turbulent survient pour une valeur du nombre de Reynolds supé- rieure à 2 000. Lorsque le régime est turbulent, le débit est proportionnel non plus au gradient de pression motrice (loi de Poiseuille), mais à la racine carrée de ce gradient.

Aspects énergétiques de la résistance

Il est classique de discuter les nombreux prérequis de l’application de la loi de Poiseuille in vivo (vais-

seau rigide et cylindrique, flux laminaire, absence de territoire “collabable”). Aucun n’est cependant nécessaire pour traiter la résistance de Poiseuille comme une expression de la dissipation de l’énergie hydraulique moyenne dans le circuit par unité de temps, ou puissance (W’). La pression étant une puissance par unité de débit, l’énergie hydraulique dissipée par unité de temps est :

W’ = (P1 – P2) × Q = Q² × R

Cette dissipation se fait sous forme de chaleur (princi palement) et sous forme de conversion de l’énergie gravitationnelle ou cinétique en pression.

Dans la circulation systémique, P1 est la pression artérielle moyenne, P2 la pression dans l’oreil- lette droite et Q, le débit cardiaque. Pour un débit cardiaque donné, la résistance reflète donc la dissipa- tion de l’énergie hydraulique délivrée à la circulation systémique par le ventricule gauche.

La composante de la résistance qui est liée non pas à la viscosité sanguine, mais à l’anatomie des vais- seaux (longueur, rayon) est appelée “hindrance”.

In vivo, la très fine balance qui existe entre les stimuli vasoconstricteurs et vasodilatateurs a des effets majeurs sur la résistance R, dans la mesure où les variations induites agissent selon la puis- sance quatrième du rayon fonctionnel des artérioles systémiques (r⁴) pour déterminer R. L’importance du rayon vasculaire est également illustrée par une expérience triviale : lorsque nous buvons un soda (newtonien) avec une paille, nous savons tous que la puissance à fournir pour compenser la visco- sité du soda augmente considérablement lorsque le diamètre de la paille diminue. Merci Monsieur

Poiseuille ! ■

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