De la propagation des ondes sur les surfaces élastiques

A NNALES DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE T ^OULOUSE

L ^OUIS R ^OY

De la propagation des ondes sur les surfaces élastiques

Annales de la faculté des sciences de Toulouse 3

^e

série, tome 22 (1930), p. 185-247

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DE

LA

PROPAGATION DES ONDES

SUR LES

SURFACES ÉLASTIQUES

Par M. LOUIS ROY.

’

INTRODUCTION ^.

Dans deux

publications

^récentes

(’),

^{nous avons}

développé

la théorie de la surface

élastique,

considérée

géométriquement

^du

point

^{de vue de MM. E. et F.}

Cosserat, d’après

^{la méthode}

énergétique appliquée

^{avec tant de succès} par Duhem ^aux fluides et aux corps

élastiques

à trois dimensions. Suivant une distinction

analogue

^{à celle}

que ^nous avions

déjà

faite dans ^nos recherches antérieures sur la

ligne élastique (~),

nous avons été conduits à considérer tout d’abord la

surface

^{à six}

paramètres,

^en

chaque point

^de

laquelle

l’orientation du trièdre mobile est laissée

arbitraire ; puis

la

surface

^{à trois}

paramètres,

^en

chaque point

^de

laquelle la

connaissance de la sur-

face moyenne détermine

complètement

l’orientation de ce trièdre. Nous nous propo- sons, dans ce

qui suit,

d’étudier les lois de la

propagation

^des

^ondes,

^{au sens d’Hu-}

goniot,

^{sur de telles surfaces.}

Comme cette étude utilise nécessairement un certain nombre des résultats antérieurement

obtenus,

nous avons cru bon de les

rappeler

^{dans un}

chapitre préli- minaire, qui

^a

l’avantage

^{de fixer en même}

temps

^les

principales

notations. Vient ensuite l’étude des ondes au

point

^{de vue}

cinématique,

^dans

laquelle

^nous retrouvons,

(1)

^L. Roy, ^{Sur les}

équations générales

^des

surfaces élastiques (Journal

^de

mathématiques

pures et

appliquées,

^{t. VIII,} 1929, p.

g3

^à

II4);

^{Sur les}

équations générales

^des surfaces ^élas- tiques ^{à trois}

paramètres

(Journal ^de l’École Polytechnique, ^2e série, ^{cahier n°} 27, 1929, p.

159

^à

203).

(~)

^L. Roy, ^{Sur les}

équations générales

^des

lignes élastiques

^{et la}

propagation

^{des ondes} (Annales ^{de la Faculté} des Sciences de Toulouse, 3e série, ^t. XVIII,

1926,

p. 117 à

1 95) .

I86

comme il était à

prévoir, plusieurs

^formules

que.nous

avions autrefois rencontrées dans la

propagation

des ondes sur les membranes flexibles

(’). ~

L’étroite

analogie, que

^{nous avions}

déjà

^{constatée entre les}

équations

^{de la sur-}

face et de la

ligne

^{à six}

paramètres,

^se

poursuit

^{dans la théorie de la}

propagation

des ondes. Mais une notable

complication surgit

^{dans le cas de la}

^surface,

^{du fait}

qu’il

^{existe sur une surface une infinité de sens de}

propagation possibles,

^tandis

que, ^{sur une}

ligne,

^{ce sens est celui de la}

ligne

elle-même. Les

équations

relatives à la surface se

compliquent

^{donc de la}

présence

des cosinus directeurs de la normale à

l’image

^de

^l’onde,

^{dans le}

plan

^des coordonnées

curvilignes

^d’un

point

^{de cette}

surface.

Les

équations

^de

propagation

^{sur la surface à six}

paramètres,

^{obtenues en suppo-}

sant t

indépendantes

^les

composantes

^du

déplacement

^{et de} la rotation virtuels du trièdre

mobile,

^ne

peuvent

pas être

appliquées

^sans

précautions

^{à la} surface à trois

paramètres,

pour

laquelle

^{ces six}

composantes

^{sont liées} par trois relations. Il est donc

indispensable

^de

reprendre

l’établissement de

l’équation

fondamentale des ondes de choc pour ^cette seconde classe de surfaces. Mais on se heurte alors à une

difficulté, qui

n’existait pas pour la

ligne élastique

^et

qui

^{tient à ce} que les conditions

aux limites _{n’ont pas} la même forme que pour la surface

à

six

paramètres;

^cette

circonstance

nécessite,

^{avec un}

changement

^de

méthode,

^{des calculs}

plus compliqués.

Le cas d’une surface de contexture

symétrique

^ou

isotrope

^nous conduit à des résultats

particulièrement

intéressants :

parmi

^les vitesses de

propagation possibles

que ^nous obtenons, ^se retrouvent celles _que mettent en évidence les

équations

^des

mouvements

tangentiels

^et transversaux des

plaques planes;

^nous reconnaissons ainsi _que ces formules anciennes restent valables pour des surfaces de forme

quel-

conque.

~

Enfin, les conclusions très

générales auxquelles

^nous aboutissons sont les sui- vantes : :

Aucune onde n’est

susceptible

^{de se} propager ^{sur une}

surface élastique affectée

^de

viscosité,;

Les lois de

propagation

établies pour ^les ondes

de

^{choc restent valables} pour les ondes d’accélération et lea ondes d’ordre

supérieur.

On voit que ^ces

propositions

^sont

identiques

^à celles que ^nous avons antérieure- ment énoncées au

sujet

^des

lignes élastiques.

^{Comme elles}

s’appliquent également

aux corps

élastiques

^{à trois} dimensions, ^{en se limitant toutefois aux} déformations infiniment

petites

que nous avons seules

envisagées,

^{on voit}

qu’elles

constituent, au

point

^{de vue de la}

propagation

^{des ondes, la}

propriété

^la

plus générale

^{commune .à}

tous les milieux

élastiques, quel

que soit le nombre de leurs

dimensions.

(i ^{> L.} Rov, ^{Sur la}

propagation

des ondes dans les membranes flexibles (Journal ^{de mal.hé-} matiques pures ^et appliquées. ^{6e Série, t.} YML I9I2, ^p. 229 à 329).

Le

présent

^{Mémoire a} été résumé en

cinq

^Notes

publiées

^{dans les}

Comptes

^rendus

de

l’Acàdémie

des Sciences ^:

L’équationfondamentale

des ondes de choc sur les

surfaces élastiques,

^{séance du}

27 janvier I930;

La

propagation

^{des ondes sur les}

surfaces élastiques

^{cc six}

paramètres, séance

^du

I,o ^février

1 930 ;

^,

La

propagation

^{des ondes sur les}

surfaces élastiques

^{ec trois}

paramètres,

^{séance du}

II

juin 1930; .

. La

propagation

^{des ondes sur les}

surfaces élastiques isotropes

^{à trois}

paramètres,

séance

du 23 juin 1930;

^{; ,}

La loi

adiabatique dynamique

^{relative aux}

surfaces élastiques,

^séance

du 7 juil-

let

1930.

’

CHAPITRE!

Généralités.

i. Surface

élastique

^{à six}

paramètres. -

^{En un}

point

M d’une surface

S,

élevons deux demi-normales

égales

^et

opposées MNi

^et

MN,,

^{dont la}

longueur

totale e = soit très

petite

par

rapport

^{à ses} dimensions transversales et à ses

rayons de courbure

principaux

^{en chacun de ses}

points. Lorsque

^{M décrit S, la}

longueur

^e restant constante ou variant avec

continuité,

^le

segment

^{décrit un}

certain volume. On

appelle surface élastique

^le corps

élastique occupant,

^{dans son} état

primitif,

^le volume ainsi défini. La surface

élastique

^est donc limitée par ^ses deux faces

S~,

^{lieux des}

points NI

^et par ^un bord

engendré

par le

segment NtNS’ quand

^le

point

^{M décrit le contour de la}

surface

moyenne S. La

longueur

^e

est

l’épaisseur

^{de la} surface

élastique

^au

point M ; lorsque

^cette

épaisseur

^{est con-}

stante, ^{les deux} faces

S,; SI

^sont

parallèles

^à la surface moyenne.

La

configuration géométrique

^{de la surface}

élastique,

à l’instant l,est

regardée

comme suffisamment déterminée _{par la} connaissance d’une suite continue de trièdres

trirectangles ^Muvw,

^dont le lieu des sommets, à l’instant

considéré,

^{est la}

surface S et dont les axes sont définis de la manière suivante : l’un des

plans

^de

coordonnées,

uMv _par

exemple,

^est

tangent

^{en M à un} feuillet matériel arbitrai- rement choisi

passant

par ^ce

point

^{et l’un des deux} axes, Mu _par

exemple,

^{est tan-}

gent

^{en M} à l’une des fibres de ce feuillet. L’orientation par

rapport

^{à S de}

chaque

trièdre Muvw _{ou, pour}

abréger,

^de

chaque

^trièdre

(M)

^étant

arbitraire,

^la

configu-

ration

géométrique

^{de la surface}

élastique,

à l’instant t, ^{se trouve}

complètement

définie.

analytiquement

par les coordonnées x, y, ^z de M relatives à un trièdre fixe

trirectangle Oxyz

^{et trois autres}

paramètres

^0, ~,

’f’

^au moyen

desquels s’expri-

ment les cosinus directeurs des axes

Mu, Mv,

_{Mw par}

rapport

^{aux axes} fixes. Ces six

paramètres

^x, y, 2:;

8 , ~ , ’f

doivent être

regardés

^{comme des fonctions conti-}

nues du

temps

^{t et} de deux variables

géométriques.

^On

peut prendre

pour celles-ci les arcs

PM = s,

de coordonnées

curvilignes

^{tracés sur S dans son état}

actuel ;

^{mais il est}

_plus

avantageux ^de

prendre

^{les arcs} pm ^{= co,} p, m - o~, ^,

auxquels

se réduisent les

précédents,

considérés comme des fibres

matérielles, dans

^l’état

primitif

^{de S.}

Chaque point

^matériel

M(x

y,

z)

^{de S est ainsi}

caractérisé,

à tout

instant,

par ^un même

système

de valeurs de U~ , c,~1. Comme état

primitif,

^nous

conviendrons de

prendre

^{l’état naturel,} c’est-à-dire l’état

d’équilibre

que

prend

^la

surface

élastique, quand

elle n’est soumise à aucune force extérieure et

quand

^tous

ses

points

^sont

portés

^{à une même}

température

^absolue

T~.

^{Enfin, nous} pouvons

toujours

^{supposer que le réseau}

(cj, c,~!)

^{choisi sur l’état}

primitif

^est

orthogonal.

Cela

posé,

^aux éléments linéaires

MM = ds, MM~, = ds~,

^{tracés sur l’état actuel,}

correspondent

sur l’état

primitif

^{les éléments}

mm’

⁼

mm~,

^{= et l’on a}

en

posant

conformément à la notation

abrégée

^dont nous avons fait ^{un constant} usage dans

nos

publications

antérieures sur la

ligne

^{et la surface}

élastiques.

Soient d’autre

part

les deux autres fonctions bien connues. Les déformations

élastiques

^{au sein de cha-}

que tronçon ^étant

toujours

^très

petites,

^{les fonctions}

égales

à l’unité dans l’état

primitif,

^en diffèrent très peu dans l’état

actuel;

^{de même} la fonction

F,

^nulle dans l’état

primitif,

^{est très}

petite

^dans l’état déformé. Il ^en résulte _{que la} fonction H

se réduit à ^aux termes du second ordre

près.

Traçons

^{dans un}

plan

^{deux axes de} coordonnées

rectangulaires OÙ)..

^{A cha-}

que

point

matériel M de S

correspond,

^{dans ce}

plan,

^un

point

^{fixe m} de coordon- nées ~~ , c,~~ .

Donc,

^{à la} surface moyenne S de contour C

correspond,

^{dans le}

°

plan

^{une aire fixe}

^dl

^{de contour c et l’on trouve} pour ^les cosinus direc-

teurs _a,

b, c

^{de la} demi-normale extérieure à la courbe

C,

menée ^{en un}

point

^M

de cette courbe dans le

plan tangent

^{en M à}

S,

^,.

a, b désignant

les cosinus directeurs de la demi-normale extérieure au contour c

menée dans le

plan

^au

point (c~~, homologue

^{de M et}

le

rapport

^{de deux} éléments linéaires

homologues dL,

^{dl de C et de c aux mêmes}

points.

^°°

°

Enfin, à l’élément

superficiel

de la surface moyenne

primitive correspond

l’élément de la surface moyenne actuelle. Ces deux éléments étant consti-

tués par ^les mêmes

points matériels,

^{les deux} tronçons

qui

^leur

correspondent, découpés

dans la surface

élastique perpendiculairement

suivant leurs contours, ont la même masse. De

là, l’équation

^{de continuité}

p ^et po

désignant

^{les densités}

superficielles

^{de la surface}

élastique

^au

point

^{M dans}

son état actuel et dans son état

primitif.

2. Les douze fonctions

caractéristiques

^{de la} déformation. ^- Soient

a , ~ , y ; x~, ~i, y~;

x~,

;~s,

~~~ ² les cosinus directeurs des axes

Mu, Mv,

^{Mw du} tr ièdre

(M)

^au

point M(x, y, z)

^{et à l’instant t. Les} cosinus directeurs des axes du trièdre

(M’)

^au

point

infiniment voisin + ~x ~03C9 , y + ~y ~03C9

d03C9, z

+ ~z ~03C9d03C9) et au même m-

stant t sont

On sait

qu’on

passe ^de

(M)

^à

(M’)

par ^une translation et une rotation infiniment

petites,

^{dont nous}

désignerons

^par

(;, ( p,

q,

r)d«

^les

composantes

^sui-

vant les axes mobiles

Muvw ,

^soit

Soit de même

(M~.)

^{’ le} trièdre mobile au

point

y

+ 2014

B

J~ ^’ dM~

’

àw, /

et au même instant ~; ^on _{passe de}

(M)

^à par la translation

(~,~~ ~)~~

^et

par la rotation

(Pi’

définies par les formules

analogues

^à

(5)

On reconnaît alors _que la déformation de la surface

élastique

^{dans son} état actuel par

rapport

^{à son état}

primitif

^est caractérisée _par les douze fonctions

de ~~, ~~~; t,

l’indice zéro se

rapportant

^{à l’état}

primitif.

Cela

posé, imprimons

^{à la surface}

élastique

^un

déplacement

^{virtuel et soient}

les

composantes

suivant Muvw du

déplacement

virtuel de

M; 1 wv ,

1 mw les

composantes

^{suivant les mêmes axes de} la rotation virtuelle de

(M).

^{Il en résulte}

pour

S, 7j, ^~;

p, q, ^{r ;}

~4,

^{... ,} rt les variations virtuelles

3. Potentiel

thermodynamique

^{interne et.} viscosité. ^- Le

potentiel

^thermo-

dynamique

interne de la surface

élastique

^{est ’ .}

f

^{étant une} fonction donnée des douze déformations

(7),

^{de la}

température absolue T,

de o, W1 et

l’intégration

^{étant étendue à l’aire}

_image

de S dans le

plan

la variation virtuelle

isothermique

^{de + est ainsi . ~}

Le travail virtuel de viscosité est d’autre

part

~, ~,,

^...,

^A;

étant les actions de

viscosité,

^{fonctions des}

quinze paramètres

^dont

dépend déjà

^{la fonction}

f

^et des douze dérivées

D’après l’hypothèse

^{de Lord}

Rayleigh,

^ces actions dérivent d’une

, fonction

^dissi-

pative 3),

^forme

quadratique

^définie

positive

^{de ces}

^dérivées,

^telle

qu’on

^ait

Si maintenant on pose

il

vient, d’après ( I o) et ( I I ),

ce que ^nous écrirons pour

abréger

le

signe ~. ^indiquant

^{une somme} de deux groupes de termes, ^{le second se} déduisant du

premier qui

^est écrit par

l’adjonction

^{de l’indice i.}

(*)

^Pour

abréger,

^nous

représenterons

^{très souvent de cette} façon ^{les dérivées} par rapport

~ p ^{.. -B3} C

au temps, soit 03BE ⁼⁼

~t, 03BE

⁼

20142014 ,

^....

4.

Équations

^du mouvement. - On obtient les

équations

^du mouvement,

d’après

les

principes

^de

l’Énergétique,

^{en écrivant}

qu’on

^{a dans toute} modification virtuelle

désignant

le travail virtuel des forces extérieures et

U

celui des forces d’inertie.

Soient alors

les

composantes

suivant les axes Muvw de la force et du

couple

extérieurs

appliqués

au tronçon

edS;

;

les

composantes analogues

^{relatives aux forces}

d’inertie ;

les composantes

^{de la force et du}

couple

extérieurs

appliqués

^{à un élément de bord}

edL de la

surface,

suivant les axes Muvw issus d’un

point

^{M de C}

appartenant

^{à cet} élément. On a

En

transportant

^les

expressions (16)

^et

(t4)

^dans

l’égalité (1 5)

^{et en} y

remplaçant

les variations

0;, ô ~ , ... , ~ r~

par leurs valeurs

(8),

^on

reconnaît, après

^{des inté-}

grations

par

parties, qu’on

^{doit avoir :}

I. En

chaque point

^{de la surface}

élastique,

^{les six}

équations indéfinies

Il. En

chaque point

^{de son contour, les} six conditions aux limites

La force d’inertie a pour

composantes

et le

couple

^d’inertie

(A, ^{B, ... ,} F) désignant

^{les moments et}

produits

d’inertie du tronçon ^relatifs

aux axes Muvw

(’),

^{, soit ~ .}

l,

m, n

désignant

^{les cosinus} directeurs d’une demi-normale à

,S

_par

rapport

^aux

axes mobiles

Muvw,

^et

les

composantes

suivant les mêmes axes de la rotation instantanée ^du tronçon, ^c’est à dire du trièdre

(M).

5. Relation

supplémentaire. -

^La

quantité

de chaleur

dégagée,

^{dans une modi-}

fication réelle élémentaire, par ^une

portion

arbitraire de la surface

élastique

^est

(1)

^Il n’y ^a évidemment ^aucune confusion à craindre entre les

produits

^{d’inertie E, F}

et les fonctions

déjà désignées

^{ainsi dès le n° 1.}

la

quantité

désignant

^la

capacité calorifique

de la surface

élastique rapportée

à l’unité de surface

primitive

^{et E}

l’équivalent mécanique

^{de la chaleur.}

Soit,

^d’autre

part, Fn

_{le flux} de chaleur en un

point

^{du contour de la}

portion

^de

surface

élastique

considérée et relatif à la demi-normale extérieure à l’élément de bord edL

correspondant;

^{on a}

^aussi,

^en

supposant

^{la surface athermane et dénuée}

de sources de chaleur, ,

k étant le double du coefficient de conductibilité

extérieure(’)

que, pour

simplifier,

nous supposons ^le même pour les deux faces et

Te

^la

température

absolue extérieure.

En

égalant

^les

expressions (23)

^et

(24),

^{on en}

^déduit,

^{en tenant}

compte

^{de la}

petitesse

des déformations

élastiques, l’équation

indéfinie de la

température

I (Fa, F..,) désignant

^les

composantes

^{du flux} de chaleur suivant

chaque ligne

^du

e

’

réseau ’ ce sont des fonctions linéaires et

homogènes

des dérivées

~T ~(03C9, 03C94)

^{dont les}

coefficients,

fonctions de co,

T,

^{sont les} coefficients de conductibilité

calorifique

de la surface ^au

point

^considéré.

6. Surface

élastique

^{à trois}

paramètres.

^{- Dans le cas de la surface}

élastique

à trois

paramètres,

^le feuillet matériel

tangent

^{en M à l’un des}

plans

^de coordonnées du trièdre mobile

(M)

^est l’élément de la surface moyenne S ^{en ce}

point.

^{L’un des}

axes de ce

trièdre,

Ma par.

exemple,

^{est donc}

pris ^tangent

^{à l’un des éléments de}

fibre de

S,

à ds par

exemple;

^le

plan

^{uMv est ainsi le}

plan tangent

^{en M à cette} surface dont la normale est alors l’axe Mw. La seule connaissance de S entraînant maintenant celle de

chaque ^trièdre,

^{la surface}

élastique

^ne

dépend plus

^{que des trois}

paramètres

^x, y, ^z, coordonnées de M fonctions de _{~~,, t} ^.

(’)

^Il n’y ^a évidemment ici aucune confusion à craindre entre ce coemcient et le rapport défini par la formule

(3).

Ainsi,

Mu coïncide avec la

tangente

^{à la}

ligne s

^{du réseau et Mv fait avec la}

tangente

^{à la}

ligne s,

^un

angle,

nul dans l’.état

primitif, égal

^au

glissement

g de S

en M dans l’état actuel, en ce sens que

l’angle

^{du réseau dans cet état est}

03C0 2 - g.

Soient alors

les dilatations en M des

lignes s, s.

^du

^réseau;

^{les trois}

premières

^formules

(5)

^et

(6)

donnent

d’où

puisque

^les déformations sont nulles dans l’état

primitif.

^Les formules de

Kirchhoff, qui

^{sont à la base} du calcul du

potentiel thermodynamique ^interne, exigent

^{en outre}

qu’on

^ait

d’où

Dix des

égalités (8)

deviennent

alors, d’après (26)

^et

(28),

D’après (27)

^et

(29)

les douze fonctions

(7) caractéristiques

^{de la} déformation se

réduisent à

sept,

^{de sorte que le}

potentiel thermodynamique

^interne

(g)

^devient

et le trav ail vi rtuel de

viscosité (1 1)

L’égalité (i4)

s’écrit ainsi

avec,

d’après ^{( I 3~.}

Il résulte en outre du choix des ^axes que les

composantes %, ~~e,

^{sont nulles.}

Si alors on pose

l’équation

fondamentale

(r5)

^de

l’Énergétique

^s’écrit

et, ^{en tenant}

compte

^des

égalités (30)

^et

(3 ~ ),

^{on reconnaît}

qu’on

doit avoir :

I. En

chaque point

de la surface

élastique, les

^six

équations

^indéfinies

où

v, ffi,w,

^sont des inconnues

auxiliaires;

II. En

chaque point

^{de son} contour, les

sept

conditions aux limites

où sont trois autres inconnues auxiliaires.

Remarquons

que dans le calcul de

ïp d’après

les formules

(20),

^{on doit}

^faire,

,

d ’après (2 1 ),

puisqu’on

^{a ici}

(l, m)

^{= 0, n = i.}

Enfin, lorsque

^les faces du trièdre mobile

(M)

^{sont des}

plans

^de

symétrie

^de

contexture, ^le

potentiel thermodynamique

^interne par unité d’aire a pour

expression

... , étant les coefficients d’élasticité de la

surface,

^{fonctions de} c~,

T;

de sorte que les

égalités (34)

^nous

donnent,

dans le cas d’une substance dénuée de

viscosité,

Dans le cas d’une substance

isotrope,

^{on a}

),,

^{étant les deux} coefficients d’élasticité de

Lamé, 03BD

le troisième coefficient d’élas- ticité

qu’introduisent

les variations de

température.

CHAPITRE II

Les ondes au

point

^{de vue}

cinématique.

7. ^. Préliminaires. ^-

Supposons qu’une

^onde

persistante,

c’est-à-dire une

ligne

^de

discontinuité pour certains éléments du mouvement, ^se propage ^{sur une} surface

élastique

^et

^soit,

à l’instant t, ^{C cette onde}

supposée

^{tracée sur} la surface moyenne S.

Elle

partage

^{cette surface en deux}

régions

^{1 et 2. Soit}

^alors,

^au même instant t, C’ le lieu des

points

^de

^S, qui

^{seront atteints} par l’onde à

l’instant

ultérieur 1 + dt.

Supposons

que la courbe C’ soit située dans la

région

^{2 ; on} dira que l’onde se pro- page de la

région

^{i vers la}

région

^{2, ou encore} que le ^{mouvement 1 se} propage dans le mouvement ^2. Dans ces

conditions,

^la demi-normale MN menée à l’onde C au

point

^{M dans le}

plan tangent

^{en fil à la}

région 2

^{et vers cette}

région

coupe la courbe C’

en un

point M’2.

^{Soit =} la valeur

algébrique

^du

segment comptée positivement

^{suivant cette}

demi-normale;

^la

quantité positive

^.

~

s’appelle

la vitesse de

propagation

^{de l’onde se}

propageant

^{de la}

région

^{mers la}

région

^{2 .}

Supposons

^au contraire la courbe C’ située dans la

région

^{i ; on} dira que l’onde

se propage de ^la

région

^{2 vers la}

région

^{i, ou encore} que le ^{mouvement 2 se} propage

dans,

^{le mouvement 1. Dans ces}

conditions,

^{la courbe C’ rencontre en un}

point M’1

le

prolongement

^{de la} demi-normale menée eu NI à l’onde C dans le

plan tangent

en M à la

région

^{1 et vers} l’extérieur de cette

région.

^Soit

dN1

^{= la valeur}

algébrique

^du

segment comptée positivement

^{suivant cette}

demi-normale;

^la

quantité négative

^’

s’appelle

^{la vitesse de}

propagation

^{de l’onde se}

propageant

^{de la}

région 2

^{vers la}

région

^{i .}

’ Cela

posé,

nous savons

qu’à

la surface S à l’instant t

correspond,

^{dans le}

plan c~ 0 ~~1,

^{une aire fixe}

^,L image

de S. ~ l’onde C

correspond

^{donc dans ce}

plan

^son

image

c,

séparative

^des

régions

^{i et 2}

correspondant

^à celles de S. En m,

image de M,

^{menons la} demi-normale ^mn à c

dirigée

^{vers la}

région

^{2 et soit dn = mm’}

la valeur

algébrique

^du segment ^mm’

intercepté

par ^{c et}

c’, image

^de

^C’,

^{sur cette}

demi-normale ou son

prolongement,

^suivant que l’onde se propage de la

région

ⁱ

vers la

région

^{2 ou} inversement. La

quantité

qui

^{a le}

signe

^de

G~~

^ou suivant le sens de la

propagation, s’appelle

la vitesse de

propagation

^de

l’image

^{de l’onde.}

Nous conviendrons d’affecter de l’indice i ou de l’indice 2 toute

quantité

^relative

aux

régions

^{1 ou 2, et nous}

désignerons

par ^la

caractéristique

^ô’ la variation

brusque qu’éprouve

^toute

quantité

discontinue A à la traversée de

l’onde,

^en

passant

^{de la}

région

^{1 à la}

région

^{2, soit}

8. Ondes de choc sur la surface à six

paramètres. -

Considérons tout d’abord

une onde de

choc,

c’est-à-dire une onde du

premier

ordre par

rapport

^aux para-

mètres x,

y, :; «,

p,

y; x,,

f:11,

03B31; Xi’

03B22,

03B32 fixant la

configuration

^{de la surface}

élastique

^à

chaque

instant. Chacun d’eux restant continu à la traversée de

l’onde,

on a par

exemple

^"

le

long

^de

l’image

^c de l’onde à

l’instant t,

c’est-à-dire

pour ^{toutes les} valeurs de

clco,

^telles que

a, b étant les cosinus directeurs de la demi-normale

mn

à la courbe c. On en conclut

qu’il

^{existe une}

quantité

^{À telle}

qu’on

^ait

Écrivons

maintenant _que

l’égalité (47)

^a

^lieu,

^{non seulement au}

point m(w, (joj

à l’instant t. ^{mais au}

point

+

dw , w~ ~

à l’instant t +

dt;

^il vient

pour

c’est-à-dire

d’où, d’après (45)

^et

(48).

En

définitive,

^{une onde de choc se}

propageant

^{sur une surface}

élastique à

^six

paramètres

^est caractérisée par douze

quantités

telles

qu’on

^ait

Les neuf

quantités

^a,

^b,

^{..., relatives aux} cosinus directeurs se réduisent d’ailleurs à trois

paramètres indépendants,

^{car les} six relations entre les cosinus

dérivées par

rapport

^{à c~~ ou à} c~~ et écrites de

part

^et d’autre de l’onde

donnent,

d’après (49),

Les relations

(50)

^sont

identiques

^{à celles} que nous avons antérieurement obtenues pour la

ligne élastique(1);

les trois

premières expriment

que

chaque

^{vecteur dis-}

continuité

(a, b, c), (ai, b1, ci), (a~, bJ, cj

^{est normal à chacun des axes Mu, Mv,}

Mw du trièdre mobile

qui

^lui

correspond.

(’) ^{L. Roy, Sur les}

équations générales

^des

lignes élastiques

^{el la} propagation ^{des ondes,}

p. i5(), ^formules

(91).

^{_ .}

D’après

^les

égalités (5), (6)

^et

(4g),

l’onde considérée sera en

général

d’ordre zéro par

rapport à ~ , ~,

^{... , R et nous aurons}

Inversement,

^les

égalités (50)

^et

(51 ) permettent d’exprimer

^{les douze}

quantités X,

pL, ^{v ; a,}

b,

..., , c~, ^en fonction des six discontinuités

~’(~,

^{, ... r) ou}

ô’(~~,

r~, ^...,

r~),

^ce

qui

^donne par ^un calcul facile ^.

égalités

^{où l’on}

_peut remplacer

^aux

premiers

^{membres a} par ^b et, ^aux

seconds,

;, r,, ... , r par Çs, ~~, ... , r, .

^{~ .}

De

même,

l’onde considérée est en

général

d’ordre zéro _par

rapport

^à

E, F, H,

_{p ;}

mais le

produit pH

^reste continu à la traversée de

l’onde, d’après l’équation

^{de conti-}

Enfin,

la formule

(47)

^{et les deux autres}

analogues expriment

^la

continuité,

^{à la} traversée de

l’onde,

^des

composantes

^d’un élément dL

parallèle

^à

^{l’onde ;}

^il

_en

^est

donc de même du

rapport

^k

d’après (3),

les cosinus directeurs a, b étant alors ceux

de la demi-normale à l’onde.

’

g. Vitesses de

propagation.

^- Cherchons la relatlon entre la vitesse de propaga- tion de l’onde et celle de son

image

^{dans le}

plan

^{nous allons voir}

qu’elle dépend

^{du sens de}

propagation.

’

,

’

Supposons

^{tout d’abord} que l’onde se propage de ^la

région

^{1 vers la}

région

²

et soient

l’équation

^{de son}

image

^{c dans le}

plan o~ 0 c,~~ ,

les

composantes

^du

segment

^mm’

envisagé

^{au Le}

point m’(w

^{+ d~~, +}

se trouvant sur

l’image

^{c’ de}

^l’onde

à l’instant t +

dt,

^{on a}

c’est-à-dire

d’où, d’après (45)

^et

(53),

Soient d’autre

part

a~.

b~,

ct ^les cosinus directeurs de la demi-normale menée à l’onde C au

point

^{M dans le}

plan tangent

^{en M à la}

région 2

^{et vers cette}

région;

x +

dx,

_{y +}

dy, z

^{+ dz les} coordonnées du

point

M’ d’intersection de la courbe C’

avec cette

demi-normale ;

^{on a}

d’où,

d’après (4l~),

M +

dco,

~~, +

dm,

^{étant les} coordonnées de

l’image

de M’. Cette

image

n’étant pas le

point ^m’,

parce que ^la demi-normale MN à l’onde C n.’a pas pour

image

^{la demi-}

normale mn à

l’image

^{c de cette}

^onde,

^les accroissements

dc~~,

^n’ont

plus

^la

même

signification

que dans les formules

(53)

^et

(54).

^{Mais comme}

l’i mage

^{de M}

est

également

^{si tuée sur c’, ces} accroissements satisfont encore à la relation

(54).

Or,

^{on a}

d’après (55),

^{de sorte que}

l’égalité (54)

^{s’écrit encore}

Cette formule montre que les ^nouveaux accroissements

peuvent

^être substitués aux anciens dans le calcul

de ev

^{et cette} circonstance tient à ce que

l’image

de MN fait un

angle

infiniment

petit

^{avec mn . .}

’

Cela

posé, l’égalité (56)

^{et les deux autres}

analogues

^{nous donnent}

et comme, d’une manière

générale,

^{les cosinus} directeurs

abc

^d’une demi-nor- male MN à une courbe

C,

^{tracée sur la surface} moyenne S et

menée

^{en un}

point

^M

de cette courbe dans le

plan tangent

^{en M à S, sont donnés} par les formules

(2),

a, b

désignant

^les

cosinus,directeurs

^{de la} demi-normale à

l’image

^{c de C au}

point homologue

^{de M et dans le sens}

correspondant

^’à MN, ^{il vient dans le cas actuel}

L’égalité (58)

devient ainsi

d’après (57)

Lorsque

^la

propagation

^de l’onde s’effectue en sens

contraire,

^{on trouve de même}

en mettant

~’

^{à la}

place

^de

^y,

^ces deux vitesses étant de

signes

contraires. Si donc

on a

les égalités (59)

^et

(60) multipliées respectivement

par 03C12 ^et p, ,

puis ajoutées

^membre

à membre nous

donnent, puisque

^le

produit pH

^est

continu,

Cette relation a été obtenue pour ^la

première

fois par

Riemannl’)

dans la propa-

gation

^{des ondes}

planes

^en

Hydrodynamique;

^{elle a} été étendue

plus

tard par M. Jou-

guet(’)

^{au cas des ondes de choc}

quelconques

dans les fluides. Comme nous avons

antérieurement reconnu

qu’elle s’applique également

^{au fil}

flexible,

à la membrane flexible et à la

ligne élastique(3),

^nous voyons

qu’elle

s’étend à la

propagation

^des

ondes de choc sur toutes les

catégories

^de corps minces.

’

(1)

^RIEMANNS WERKE, p.

(2)

^E. JOUGUET, ^{Sur la}

propagation

^des discontinuités dans les

fluides (Comptes

rendus,

t. 132, ^{18 mars}

Ig01).

(3)

^{L. RoY,} Recherches sur la

dynamique

^du

fil flexible (Annales scientifiques

^de

l’École

Normale

supérieure,

^3e série, ^t. ~g, Ig12, p.

384).

^{- Sar la}

propagation

des ondes dans les membranes

flexibles.

p.

2;fi.

^{- Sur les}

équations’ générales

^des

lignes élastiques

^{et la} propaga- tion des ondes, p. 156.

10. Ondes d’accélération et d’ordre

supérieur

^sur la surface à six

paramètres. - Supposons

maintenant l’onde du second ordre par

rapport à x, y, z; 03B1, 03B2, ..., 03B32 (onde d’accélération);

^{nous aurons} par

exemple

le

long

^{de c} à l’instant t, c’est-à-dire

pour ^toutes les valeurs de

t telles _que

On conclut des deux

premières (62) qu’il ^existe

^une

quantité

^{A telle}

qu’on

^ait

Écrivons

maintenant que les

égalités (61)

^{ont lieu}

également

^au

point

⁺

dw ,

d(t)l)

de c’ à l’instant t +

dl ;

^{il vient}

pour

Les deux

premières

^donnent

d’après (63)

^.

et

la

troisième

(62)

^{est ainsi}

satisfaite ;

la dernière donne ^-

En

résumé,

^une onde du second ordre par

rapport à x, y, z; 03B1, 03B2, ..., 03B32 est

caractérisée _{par douze}

quantités À, po, v; a, b, ... ,

c~, telles

qu’on

^ait

’

pour

p + q + r = 2 .

Plus

généralement,

^{on reconnaît}

qu’une

onde d’ordre n par

rapporta

^x, y, ^z;

ce ,

~3, ... ,

y$ ^est caractérisée par douze

quantités

^1.., ~., ^{v ; a,}

b,

^{... ,} c, , telles

qu’on

^ait

pour p

+ q

+ ^{r = n et} les six relations entre les cosinus directeurs dérivées n fois par

rapport

^{à c~,} ~~~, ^ou t conduisent ^encore aux

égalités (50).

D’autre

part,

^{l’onde est en}

général

^{d’ordre n - i} par

rapport à ~, ~,

^..., r, ;

P, Q, R ;

^{de sorte} que les

égalités (5)

^et

(6

dérivées n ^- 1 fois nous

donnent

d’après (64)

^.

pour

p + ~ ~ r = n -1 (’).

^{On en}

déduit, d’après (5o),

^les

égalités

analogues

^aux

égalités (52).

^Enfin, par suite de la continuité de

H,

^{la vitesse de}

propagation

^{de l’onde a} pour valeur,

d’après (59)

^et

(60),

Comme d’ailleurs H et k diffèrent très _{peu de}

l’unité,

par suite de la

petitesse

des déformations

élastiques

^{au sein de}

chaque

^{tronçon, on voit que cette vitesse}

diffère très _{peu de la} vitesse de

propagation ~*)

^de

l’image

^{de l’onde.}

i 1 . Ondes sur la surface à trois

paramètres. -

Nous allons rechercher ce que deviennent les formules

générales

et

(65),

^{du fait des}

égalités (26) ^et (28) qui

caractérisent la surface à trois

paramètres.

Tout

d’abord, quel

que soit l’ordre de la

discontinnité,

les deuxième et troisième groupes

(51)

^et

(65)

^montrent

qu’on

^a,

d’après (26),

Le vecteur

(X, v)

^{est donc}

dirigé

^suivant

^Mu,

^{de sorte que, A étant sa valeur}

algébrique

^{suivant cet axe, on a}

D’autre

part,

le dernier _groupe

(51)

^et

(65)

^montre

qu’on

^a,

d’après (28),

^’

Il résulte alors des

première,

^{deuxième et}

quatrième

^formules

(50)

que les ^vec- teurs

(a,

b,

c)

^et

(a,, b~, cj

^sont

dirigés

^{suivant de sorte}

que A

^et

~1

^étant

leurs valeurs

algébriques

^{suivant cet axe, on a}

’

(t)

^Il n’y ^a évidemment aucune confusion possible ^{entre ces} nombres p, q, ^{r et} les composantes de la rotation par unité ^de longueur

désignées

par les mêmes lettres.

Les deux dernières

(50)

s’écrivent

ainsi

jointes

^{à la troisième}

(50),

^{elles donnent}

Le vecteur

(a, , b’l. cj

^{a donc} pour valeur

B/A’

^{+ il} est contenu dans le

plan

uMv et. ses

projections

^{sur Mu et Mu sont}

respectivement

^{-^ ~ et}

_A .

.. ^, En

définitive,

^{une onde se} propageant ^{sur une} surface

élastique.à trois paramètres

est caractérisée _par trois vecteurs

indépendants,

^{l’un il}

dirigé

^suivant

Mu,

^{les deux}

autres A,

~~ dirigés

suivant Mw et par ^un

quatrième

^veeteur

~~1Q

⁺

p1

^contenu

dans le

plan

^{uMv et}

complètement

^déterminé par les deux

précédents.

Nous dirons que les discontinuités A,

V d,!

⁺

di

^sont

tangentielles et.que

^les

deux

autres

,

sont normales. Les

égalités (5 r)

^{relatives aux ondes de} choc se réduisent ainsi à

et les

égalités (65)

^{relatives aux ondes} d’accélération et d’ordre

supérieur

^à

Soient enfin

a’, b’,

^{c’ les cosinus} directeurs de la

tangente

^à

l’onde;

^{on a}

dL

désignant l’élément

^{linéaire de l’onde}

auquel correspond,

^{dans le}

plan c~ 0 0~, , l’élément

^dl de

composantes

d’où

Mais on ^en

négligeant

^les déformations

élastiques,

c’est-à-dire des termes du

premier

^{ordre de}

petitesse,

de sorte

qu’il ^vient,

^{à ce}

degré d’approximation

^J

On en

déduit, d’après (70),