Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC*)

Propagation d’ondes sonores dans les fluides (PC*)

I – Equation de propagation des ondes sonores : 1) Milieu de propagation et vitesse du son :

Les ondes sonores sont des vibrations de faible amplitude du milieu dans lequel elles se propagent à la vitesse c_s.

Dans l’air, c = 340 m.s ^{– 2} dans les conditions usuelles.

Ondes longitudinales

La diffraction des ondes sonores :

L’effet Doppler :

T ' T 1 v c

 

=  ± 

 

2) Hypothèses thermodynamiques :

La propagation des ondes sonores est caractérisée par un faible amortissement au sein du fluide où elles se propagent.

On négligera donc les phénomènes dissipatifs (conduction thermique et viscosité), ce qui revient à postuler le caractère isentropique de la propagation des ondes sonores.

Les seules forces prises en compte sont les forces de pression (la pesanteur est négligée).

Soient µ₀, P₀ et T₀ les caractéristiques du fluide au repos (supposées uniformes), on note :

• ^{µ µ= T −µ0 = ∆µ} , la variation de masse volumique du fluide ( ^{µ << µ µT, 0})

• ^{p = −P P0 = ∆P} , la variation de pression du fluide, encore appelée surpression acoustique ( ^{p << P P, 0} )

• ^v le vecteur vitesse d’une particule de fluide (nulle au repos)

L’approximation acoustique consiste à considérer que les grandeurs v

, µµµµ et p sont des infiniment petits du 1^er ordre

(ainsi que leurs dérivées spatiales et temporelles)

Notamment, les calculs seront effectués à l’ordre 1 en ces infiniment petits Dans le cadre de l’approximation acoustique, le coefficient de compressibilité isentropique donne :

0 0

1 1 _T 1

S S

S T S

V soit p

V P P p

µ µ

χ µ µ χ

µ µ

∂

∂  

 

= −  ∂  =  ∂  ≈ ≈

3) Linéarisation des équations :

Equation de conservation de la masse :

( _T ) ^T 0

div v

t µ + ^∂µ =

∂

Avec µ µ= ^T −µ⁰ :

(( 0 ) ) 0

div v

t µ + µ + ^∂µ =

∂

D’où :

0div v( ) div v( ) v grad. 0 t

µ + µ + µ + ^∂µ =

∂

Approximation linéaire (ou acoustique) : on se limite dans la suite aux termes du 1^er ordre :

0div v( ) 0 t

µ + ^∂µ =

∂

L’équation du mouvement du fluide est ici l’équation d’Euler (pas de viscosité) :

( . )

T v

v v grad v gradP f µ ^ ^∂∂t + ^ = − +

Après linéarisation :

0

v grad p µ ^∂t ^{= −}

∂

On rappelle de plus la relation entre la surpression et la variation de la masse volumique :

0 S

p

µ µ χ ≈

En éliminant la variable µ, on obtient le système d’équations couplées :

0

1

v grad p

t µ

∂ = −

∂

et

1 ( )

S

p div v

t χ

∂ = −

∂

4) Equation de propagation :

2

0 _S 2

p 0

p µ χ ^∂ t

∆ − =

∂

On reconnaît l’équation de propagation de d’Alembert ; la vitesse des ondes sonores s’en déduit :

2

2 2

0

1 1

0

s S

p p avec c

c t µ χ

∆ − ∂ = =

∂

De même :

2

2 2

0

1 1

0

s S

v v avec c

c t µ χ

∆ − ∂ = =

∂

0 0

0 0

= 1 = =

S s

P RT

et c

P M

χ γ γ

γ µ

Pour un gaz parfait :

Pour l’air à 25°C: c_s = 340 m.s ^{– 1}

5) Ondes sonores planes progressives :

a) OPPM en notation complexe :

b) Structure d’une onde sonore plane progressive :

6) Amortissement par viscosité des ondes sonores :

Equation de propagation :

Equation de dispersion :

II – Etude énergétique des ondes sonores :

1) Vecteur densité surfacique de puissance sonore :

2) Equation de conservation locale de l’énergie sonore :

On fait la somme de l’équation ^{−µ0 ∂}_∂^v_t ^{= grad p}

(multipliée par la vitesse ^v ) et de l’équation ^{( ) S}

div v p

χ ^∂t

= − ∂

(multipliée par la surpression p) :

3) Interprétation macroscopique :

4) Cas d’une onde plane progressive :

énergie

v = c

5) Intensité acoustique :

On définit l’intensité sonore (ou acoustique) en décibels (dB) :

Π_réf correspond au seuil auditif pour une fréquence de référence de 1 000 Hz.

Le seuil de douleur correspond approximativement à une intensité sonore de 120 dB.

III – Réflexion et transmission des ondes sonores :

1) Coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes :

On étudie la réflexion et la transmission d’ondes sonores planes au niveau du raccordement de deux conduites de sections S₁ et S₂, séparant deux milieux matériels d’impédances caractéristiques Z₁ pour x < 0 et Z₂ pour x > 0.

On définit ici l’impédance acoustique à partir de :

Z p

= Sv

On note :

0 1 1

1

Z c

S

= µ

et

0 2 2

2

Z c

S

= µ

On se limite au cas de l’incidence normale.

Conditions de passage :

* Continuité du débit volumique à l’interface : ^{v S1 1 = v S2 2}

* Continuité de la surpression : ^{p1 = p2}

2) Coefficients de réflexion et de transmission des puissances :

Interface liquide – gaz : c_liquide >> c_gaz, donc R = 1 et T << 1. La transmission des ondes sonores entre un liquide et un gaz est mauvaise.

Phénomène d’écho : réflexion des ondes sonores à l’interface solide – gaz.

3) Un peu de musique : ondes sonores stationnaires

Les deux milieux sont identiques (de l’air) ; les surfaces sont différentes (S₁ et S₂).

Les coefficients de transmission et de réflexion en vitesse et en pression sont :

2 1

2 1 2 1

/ 1

2 ; ; ;

1 / / 1

v v p v p v

S S

t r t t r r

S S S S

= = − = = −

+ +

Tuyau ouvert à une extrémité : nœud de surpression et ventre de vitesse

Tuyau fermé à une extrémité : nœud de vitesse et ventre de surpression

A gauche : réflexion d’une OPPM au bout d’une conduite, nœuds et ventres de vitesse. (a) : extrémité ouverte (Z = 0), (b) : extrémité fermée (^{Z→ ∞}).

Au milieu : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 2 et 3 d’un tuyau ouvert.

A droite : nœuds et ventres de vitesse des harmoniques 1, 3 et 5 d’un tuyau semi – fermé.

Application :

a) Pourquoi les grands orgues jouent beaucoup plus grave que les flûtes ?

b) On assimile une flûte simple à un tuyau ouvert. Calculer la fréquence pour une longueur L = 32 cm et tous les trous latéraux fermés. Que se passe-t-il si on ouvre un trou latéral ?

Quelles fréquences obtient-on si le trou latéral est placé au milieu ou au tiers de la longueur ?

c) Montrer qu’entre les cérémonies du 11 novembre à Strasbourg et celles du 14 juillet à Marseille, il peut y avoir 1 / 2 ton d’écart sur un même instrument à vent.