La fusion de deux corpuscules en théorie fonctionnelle

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Submitted on 1 Jan 1960

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La fusion de deux corpuscules en théorie fonctionnelle

Florence Aeschlimann

To cite this version:

Florence Aeschlimann. La fusion de deux corpuscules en théorie fonctionnelle. J. Phys. Radium,

1960, 21 (12), pp.859-862. �10.1051/jphysrad:019600021012085900�. �jpa-00236393�

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LA FUSION DE DEUX CORPUSCULES EN THÉORIE FONCTIONNELLE Par FLORENCE AESCHLIMANN,

Physique mathématique, ^Institut Henri-Poincaré, ^Paris.

Résumé.

Étude d’un système ^{de deux} corpuscules ^à spin ^en théorie fonctionnelle relativiste ; équation ^{de l’onde} barycentrique, équations relatives et équation réduite. Parmi les états de ce

système, il y a, ^en certains _cas, ceux pour lesquels les ondes relatives sont des corstantes ; ^ceci exprime que le ^mouvement relatif autour du barycentre ^est évanescent. Pour deux corpuscules

de spin 1/2 et de même _masse, on obtient ainsi un système ^fondu qui ^se comporte ^{ccmme un cor-}

puscule ^de spin ^{1. De} là, par l’approximation conduisant à la mécanique ondulatoire usuelle, ^on

retrouve les résultats de la méthode de fusion ; ^on obtient donc une justification physique ^du procédé formel de la fusion.

Abstract.

Study ^{of a} system ^{of two} particles ^with spin in relativistic functional theory; ^equa-

tion of the barycentric ^wave, equations ^of the relative motion and reduced equation. ^{In the set}

of the states of the system, ⁱⁿ some cases there exist states where the relative waves are cons-

tants. This case corresponds ^to vanishing relative motion. In the case of two particles ^of spin 1/2 ^{of the same mass, a melted} system is obtained which is equivalent ^{to a} particle ^with spin ^1.

From this result, by ^the approximation giving ^{the usual wave} mechanics, ^the equations given by

the fusion method are obtained. The fusion method is thus justified ^{and its} physical signi-

ficance is apparent.

LE PHYSIQUE TOME 21, 1960,

1. Introduction.

Je me propose d’étùdier ici le processus de fusion de deux corpuscules ^en

théorie fonctionnelle en partant des résultats obte-

nus dans ^un article précédent ^{sur les} systèmes ^de corpuscules [1].

La méthode de fusion de M. Louis de Broglie [2]

en mécanique ondulatoire usuelle apparaît ^comme

un procédé formel pour construire ^un corpuscule ^de spin ^{1 à} partir ^{de deux} corpuscules ^de spin 1/2.

Cependant ^{on a tout} lieu de penser que la fusion n’est pas seulement ^un procédé formel mais corres-

pond ^{à un} processus physique : il y aurait un état dans lequel ^deux corpuscules complémentaires apparaîtraient ^{comme fondus et se} comporteraient

comme un corpuscule ^de spin ^1. Dès les débuts de la théorie de la fusion, ^J. L. Destouches [3] ^avait interprété l’équation d’évolution de M. Louis de

Broglie ^comme l’équation ^du barycentre ^{des deux} corpuscules ^et l’équation de condition comme

l’équation exprimant l’évanescence du mouvement relatif autour du barycentre. ^{Par la} suite, ^{M. de} Broglie ^{et Mme Tonnelat ont} essayé ^{de décrire une}

véritable interaction entre les deux constituants.

Mais toute description dans le cadre de la méca-

nique ondulatoire usuelle ne peut être satisfaisante

car elle exige l’utilisation de l’espace ^de configu-

ration _{pour deux} corpuscules ^{et ceci ne} peut ^s’accor-

der avecslqutransformations de Lorentz. De là des difficultés qui n’ont pu jusqu’ici ^être surmontées.

Bien que l’interprétation donnée par J. L. Des- touches semble assez satisfaisante, ^{elle ne peut} cependant ^être acceptée pour la raison d’invariance par les transformations de Lorentz que ^{nous venons}

d’indiquer ^{et l’on a dû se} borner à considérer la, fusion comme un procédé purement ^formel.

En théorie fonctionnelle, la situation est complè-

tement changée parce que ^l’on n’a pas à utiliser

l’espace ^de configuration. Chaque corpuscule ^est représenté par ^une fonction ui(P, t) ^{fonction de} point ^de l’espace-temps, c’est-à-dire par ^un champ.

Il n’y ^{a aucune} difficulté d’invariance _{par les} trans- formations de Lorentz et la méthode de fusion

prend ^{dans cette théorie une} signification physique

satisfaisante.

2. Équations fondamentales. - Pour un sys- tème de deux corpuscules ul ^et U2, ^{on a comme}

équations

Nous avons admis [4] que les opérateurs Li ^de

ces équations étaient de la forme

où 5? ^{ne contient} pas b, ^P _dt ^{d’où pour P les équations q}

3. Équations ^{de l’onde} barycentrique.

^{Si l’on}

a un système ^de corpuscules doués ^{de spin ou de}

spin isotopique, ^la fonction ul ^du je corpuscule ^a

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019600021012085900

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des composantes u?a. La fonction ug de l’onde

barycentrique ^{aura des} composantes ^{avec des in-}

dices correspondant ^à chaque corpuscule ^{du sys-} tème ; ^{on aura} pour ^un système de deux corpus- cules :

UG(P, 1)ce,> ⁼⁼ Ul(P, t)a..U2(P, t)(3

et cela pour ^tous les systèmes oc, g de valeurs

possibles des indices. Le système d’équations ^pour

l’onde ua(P, t) s’obtient de la même façon que dans le cas de l’absence de composantes, ^en pre- nant la dérivée par rapport ^au temps ^{des deux} membres de l’équation précédente ^{et en} remplaçant

les ()uf).. ^par leur expression fournie par ^les équations

ot p p p q

du système ^de corpuscules. ^{On a}

Posons

alors l’équation ^{de l’onde} barycentrique ^est

Explicitons ^cette équation ^{dans le cas} d’un sys- tème de n corpuscules de Dirac de spin 1/2. ^{On a}

dans ce cas

et

Alors

où 0 désigne ^le produit de fusion :

4. Ondes relatives. ^- On _pose

Il est plus intéressant d’exprimer l’équation ^de ug

en fonction des ondes relatives ur.lcx(3 ^et u,.2,,,g ^au lieu des ondes _Ul0153 et u,p. On ^a

° ’

d’où l’on tire _{ula et} u2p ^en fonction de _ug et de Ur,1 et u,.2 et ^comme ula ^et ue ^ne figurent ^dans l’équa-

tion (1) que ^{sous le} signe gradient, ^{on obtient} après

calcul de grad u1a ^et grad U29 puis regroupement

des termes

5. Équations ^des ondes relatives.

On a

d’où en , dérivant par rapport ^au temps puis ^en remplaçant p --!0. ^et 2013 par les seconds membres

Õt Õt p

des équations ^écrites plus ^{haut on a}

Après regroupement ^{des termes et} remplacement

de ui et U2 par leurs expressions ^{en fonction}

de uq,«3 ^et u,..,,,5 ^et ur,2ap ^{on obtient}

et une

expression ^p analogue ^g pour 2013 ^p _{-à t} ^{qu’on q}

obtient en échangeant ^{dans la formule} précédente

les indices 1 et 2.

6. Onde réduite.

^{En se} reportant ^{aux défi-}

nitions de uGap, U,l0153(3, ur2ay ^en fonction de Ul.0153 ^et U2.(3, ^on voit que l’on ^a

On peut alors poser

En dérivant par rapport ^au temps ^{l’une de ces} expressions ^{et en} utilisant des équations déjà écrites, ^{on obtient une} équation ^pour ura. ^Par

exemple ^{en dérivant} l’expression de um3 ^en fonc- tion de _u1a et de u3, ^{on obtient}

En explicitant 1 et 412’ ^{on obtient une} équa-

tion explicite pour uraa. Considérons le cas de deux

corpuscules ^de Dirac ^de spin 1/2 ^pour lesquels

l’équation (4) prend alors la forme

Le mouvement relatif s’évanouit si arg u3 ^{= 0} pour oc, p ⁼ 1, 2, 3, ^{4. Cela a lieu en} particulier

si um3 ⁼ Cte, auquel ^cas l’équation précédente

se réduit à

7. Corpuscule ^fondu.

Nous dirons que les deux corpuscules représentés par les ondes ul,a ^et U2.9 ^sont fondus si les ondes relatives _Urla:t3 et ur2a:

sont constantes, ^{ou encore si} l’onde réduite ufaa ^est constante soit _uraa ⁼ C. Eaa où C ^{est une cons-} tante et Eap ^est égal ^{à 1 ou} 0 selon les valeurs des indices ap. ^{Dans ces} conditions où les deux

corpuscules ^{sont fondus et} constituent un corpus- cule de spin 1, l’équation ^{de l’onde} barycentrique

se réduit à

Cette équation ^{doit être} complétée par la condi- tion d’évanescence du mouvement relatif :

-

Il faut encore exprimer que ^ces deux dernières

équations ^sont compatibles. Lorsqu’elles ^le sont, ^les

solutions correspondantes définissent un système

fondu constituant un corpuscule ^de spin ^{maximum 1} (spin ^{0 ou} 1).

8. Transformation des équations.

^{En combi-}

nant linéairement ces équations, ^{on obtient}

équations que l’on peut ^alors transformer en

9. Équations ^du corpuscule obtenu par fusion.

Si l’on a

alors dans ce cas les équations précédentes ^cons-

tituent les équations ^d’un corpuscule ^de spin ¹

représenté par ^une onde uIap si l’on pose

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Les équations précédentes ^nous fournissent alors les équations ^{de l’onde} uj.,,,3 ^du corpuscule ^de spin ¹

obtenu par fusion de deux corpuscules ^de spin 1/2

de même masse :

On peut ^les combiner de différentes façons ^et

notamment obtenir ainsi :

10. Raccordement avec la Mécanique ^ondula-

.

tiore usuelle.

Considérons un grand ^{nombre de} paires identiques ^de corpuscules ^{et examinons leur}

onde moyenne MM.i,xp. Supposons remplies ^les hypo-

thèses pour que ^le théorème de J. L. Destouches [5]

soit valable. Alors avec une prob’abilité qui est égale

à l’unité à la limite, l’onde moyenne uIa ^satisfait

aux équations ^linéaires

Si ^on calcule des prévisions ^à l’approximation ^de

la mécanique ondulatoire usuelle, ^{on devra} poser

que l’onde moyenne umj,,,e ^est la plus probable, par suite on aura

où K est une constante permettant la normalisation de la fonction d’ondes prévisionnelle (D,,,g. ^Alors (D,ag

satisfait ^aux équations :

ou encore par combinaison linéaire à

En explicitant ^les opérateurs 51 ^et SJ2 qui ^sont

déduits d’équations ^de Dirac, comme nous l’avons fait plus haut, ^{on obtient} exactement les équations

de M. Louis de Broglie ^des corpuscules ^de spin ^1.

Ainsi la théorie fonctionnelle permet ^de justifier

la méthode de fusion : la fusion de deux corpuscules correspond à l’état de mouvement tel que ^{le mou-} vement autour du barycentre s’évanouit et cela

sans utiliser l’espace ^de configuration ^{et en} respec- tant l’invariance vis-à-vis des transformations de Lorentz.

Manuscrit reçu le ^{1er mars} 1960.

BIBLIOGRAPHIE

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[3] DESTOUCHES (J. L.), C. R. Acad. Sc., 1934, 199, ¹⁵⁹⁴

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[5] DESTOUCHES (J. L.), ^{C. R. Acad.} Sc., 1959, 248, ^2722.

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