Sur la théorie du photon de L. de Broglie

HAL Id: jpa-00234642

https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234642

Submitted on 1 Jan 1952

HAL is a multi-disciplinary open access

archive for the deposit and dissemination of

sci-entific research documents, whether they are

pub-lished or not. The documents may come from

teaching and research institutions in France or

abroad, or from public or private research centers.

L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

destinée au dépôt et à la diffusion de documents

scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,

émanant des établissements d’enseignement et de

recherche français ou étrangers, des laboratoires

publics ou privés.

Sur la théorie du photon de L. de Broglie

M. El-Nadi

To cite this version:

540

par

l’équation

On

peut

alors considérer al comme un

_paramètre

et _{définir pour}

V,

comme

_{précédemment,}

une

pulsa-tion

_complexe

_que l’on _{calcule aisément pour}

_chaque

valeur de at, à

_partir

de

_{l’équation}

En

_fait,

les deux

_équations

ne sont pas, en toute

_{rigueur, équivalentes}

lorsque

ufl

est fonction du

_temps.

La

_pulsation

déterminée par

ce

_procédé

est

_cependant

d’autant

_plus

voisine de la

_{pulsation complexe}

naturelle,

pour une valeur

donnée de

_{l’amplitude,}

_que a

_(/)

est

_plus

lentement

variable.

En

_particulier,

la méthode sera correcte au

voisi-nage de la

stabilisation,

comme nous avons _pu nous en rendre

_compte

sur un

_exemple

en déterminant

la

_pulsation

réelle instantanée et les constantes de

temps

de l’oscillateur de van der Pol.

Manuscrit reçu le 28 juin 1952.

BIBLIOGRAPHIE.

[1] DZUNG M. - Congrès de

Cranfield, Conférence on Auto-matic Control, 16-21 _{juill. 1951.}

[2] ROCARD Y. -

Dynamique générale des vibrations.

[3] HEIZING. -

Quartz crystals and electrical circuits.

[4] BLAQUIÈRE A. 2014 C. R. Acad. Sc., 1951, 233, 345. [5] BLAQUIÈRE A. 2014 C. R. Acad. Sc., 1951, 233, 1434 [6] BLAQUIÈRE A. 2014 C. R. Acad. Sc., 1952, 234, 1741.

SUR LA

THÉORIE

DU PHOTON DE L. DE BROGLIE

Par M. EL-NADI.

Faculté des Sciences de l’Université Fouad Ier, Le Caire

_(Égypte).

Sommaire. - Une nouvelle notation, spécialement adaptée à la théorie des particules de spin I

développée par L. de Broglie, est _proposée. Elle rend _plus claire la correspondance entre les champs macroscopiques réels et les _{champs microscopiques imaginaires} liés au _photon.

LE _JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. =

TOME

_d3,

NOVEMBRE _1952, PAGE 540.

L. de

_Broglie

a donné une nouvelle

_équation

de la

particule

de

_spin

i

_qu’il

considère comme

_composée

de deux

_particules

élémentaires,

ou

_plutôt

d’une

particule

et de son

_{antiparticule,}

liées ensemble _par une forte attraction. Dans ce

_qui

_suit,

nous intro-duirons une nouvelle notation avec

_laquelle

_peut

s’exprimer

la théorie de de

_Broglie.

Nous verrons,

de

_plus,

_que cette notation rend

_plus

claire la rela-tion entre le

_{champ macroscopique}

réel et le

_champ

microscopique complexe

associé aux

_photons.

L’équa-tion d’onde de Dirac pour l’électron

peut

s’écrire

sous la forme

Dans

_{l’équation}

_(1),

les

_opérateurs

de matrice à

quatre

dimensions a~

n’opèrent

_que sur la matrice à une colonne Tk située à leur droite

(1).

Il nous faut maintenant considérer le cas où les

opérateurs

ag

opèrent

sur les fonctions

_placées

à leur

_gauche,

c’est-à-dire,

par

exemple,

W k ai. Pour

distinguer

entre les deux

_types

_{d’opérateurs,}

nous

pouvons mettre le

symbole

o du côté où

_{l’opérateur}

opère.

On vérifie facilement les relations

(1) Nous pouvons renvoyer au cas intéressant où

l’opéra-teur de _quantité de mouvement p opère sur la fonction d’onde

placée à sa _gauche. Voir DIRAC, Quanttum Mechan ics, Oxford Llniv. _Press., 3e éd., p. 256.

541

Alors,

l’équation

de

_{Dirac (~)}

s’obtient en mettant

sous forme d’un

produit

de deux facteurs

l’équation

d’onde de Klein-Gordon

Prenant en considération les

opérateurs (2),

nous

voyons que

l’équation

(3)

peut

être mise sous la

forme

où o

_indique

le côté où

_{agit l’opérateur.}

De

_(4),

nous tirons

l’équation

d’onde

D’autre

_part,

L. de

_Broglie

a montré _que si une

particule

de masse au _{repos pLo} est décrite _par

l’équa-tion de Dirac

_(1),

nous _{pouvons lui} associer une

particule

«

_{complémentaire}

» décrite par

_{l’équation}

où la fonction d’onde

_~~

est liée à la fonction d’onde de la

_première

_particule

’~’ _{par la relation}

₍₂₎

Puisque

les

_{c~i (i ~. 1, 2, 3, 4)}

sont

_supposés

être hermitiens et a2

imaginaire

dans le Mémoire de

L. de

_Broglie,

nous en concluons _que al, ac3 et oc4 sont des matrices

symétriques,

tandis que oc2 est

antisymétrique.

En

_{développant (6)}

et tenant

compte

de ces

propriétés

des matrices oc, nous avons

ou

_simplement

ce

_qui

donne bien

_{l’équation (5).}

Nous _{voyons donc} que

l’équation (5),

obtenue en transformant

l’équa-tion de

Klein-Gordon,

est

_{l’équation}

d’onde de

L. de

_Broglie

relative à la

_{particule complémentaire.}

On verra

_plus

loin _que les

_{opérateurs gauches}

oai

sont, en

_fait,

_analogues

aux

_{matrices Bi}

introduites

par L. de

Broglie

pour décrire les

particules

de

spin

1.

L’imaginaire conjuguée

de

(5)

est

De

₍₅₎

et

_(8),

nous tirons

_{l’expression}

de la densité de courant de

_probabilité

Nous pouvons, de

même,

montrer _{que les}

opéra-, teurs de

spin

pour la

particule

décrite par

(5)

sont

Si nous _{supposons maintenant que} la

particule

de

spin

i est

_composée

d’une

particule

élémentaire de

spin

liée à sa

_{complémentaire}

_par une forte

attraction,

nous _pouvons

_adopter

la méthode de

L. de

_Broglie

_{pour établir}

_{l’équation}

d’ondes.

Puisque

les deux

_particules

constituantes ont la même

énergie

et les mêmes

_composantes

de

_quantité

de mouvement, nous avons

correspond

à chacune des

_quatre

coordonnées x, y, z

et 1 et est une fonction d’onde à 16

_composantes

qui

décrit la

_{particule complexe}

de

_spin

i.

En

_{multipliant (1)}

_par 4Ji et

₍₅₎

_par

Wb

nous avons,

d’après (11),

~ °

qui

sont les

_équations

de L. de

_Broglie

_{pour les}

particules

complexes,

écrites dans la nouvelle

nota-tation. Les

_{équations originales}

de de

_Broglie

s’écrivent :

542

L’opérateur

matriciel B,. est

_identique

à

l’opéra-teur

_gauche

ou,. En

ajoutant

(14)

et

(15),

il vient

où

_{l’opérateur}

hamiltonien H est _{donné par}

En utilisant l’hamiltonien

_(17),

nous obtenons les

_opérateurs

_{suivants pour les}

_composantes

de

quantité

de mouvement du

_{spin :}

Ces

_opérateurs

ont les _{valeurs propres} -!-- i ou >,

qui

sont les sommes

_algébriques

des valeurs _propres des

_particules

constituantes. De

_même,

les nouvelles notations

_peuvent

s’étendre à l’ensemble de la théorie de L. de

_Broglie,

en notant que

l’opérateur

Dans la nouvelle

notation, 4J

est une matrice

_4x4

au lieu d’une matrice à une seule colonne de 16

élé-ments dans le travail de L. de

_Broglie.

Écrivons

quelques-unes

des

_{équations qui}

relient les

_grandeurs

électromagnétiques

aux

_composantes

de la

fonc-tion d’onde du

_photon

(Dik.

Puisque

la fonction d’onde est

_complexe,

il est clair que les

grandeurs électromagnétiques

associées au

_{photon (19)}

sont, elles

aussi,

de nature

complexe.

Considérons maintenant les

_équations

d’onde du

photon

les

_équations

associées à

_{(20 b), (20 a)}

sont

Nous remarquons que

(21 a)

et

₍₂₁

_b)

sont

iden-tiques

à

_{(20 a)}

et

_{(20 b),}

à ceci

_près

_que les fonc-tions d’onde des unes sont les fonctions associées à

celles des autres. En

_ajoutant

_{(20 a)}

à

₍₂₁

_a)

et

_{(20 b}}

à

₍₂₁

_b)

et en

_posant

il vient

D’après (22),

nous _{voyons que W est} une matrice

hermitienne,

(23 b)

est donc

_simplement

l’associée hermitienne de

₍₂₃

_a)

et, dans ce cas, la série

d’équa-tions

_{(20 a)}

et

_{(20 b)}

se réduit à

₍₂₃

_a).

De

_plus,

_pour une fonction d’onde hermitienne

~’,

les

_grandeurs

_{électromagnétiques}

maxwelliennes

₍₁₉₎

deviennent toutes réelles. Cela montre _{que le}

carac-tère de réalité des

_grandeurs

_{électromagnétiques}

macroscopiques

est

dû,

en

_fait,

à la

_{superposition}

des

_grandeurs

_complexes

associées aux

_{équations (20)}

et

_(21),