Inversion de masse et solutions des équations de Dirac

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Submitted on 1 Jan 1959

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Inversion de masse et solutions des équations de Dirac

K.H. Tzou

To cite this version:

K.H. Tzou. Inversion de masse et solutions des équations de Dirac. J. Phys. Radium, 1959, 20 (12),

pp.933-936. �10.1051/jphysrad:019590020012093300�. �jpa-00236169�

INVERSION DE MASSE ET SOLUTIONS DES ÉQUATIONS ^{DE DIRAC}

Par K. H. TZOU,

Institut Henri-Poincaré, ^Paris.

Résumé. 2014 On identifie les solutions des équations ^{de Dirac} engendrées par l’opération ^inver-

sion de masse M et par les opérateurs MG, ^{G étant} le groupe de symétrie {I, ^{P, T, C, et combi-}

naisons }.

Abstract.

In Dirac’s theory, ^solutions generated by ^{the mass reversal} operation ^{M and} by ^the operators ^{MG are} identified, ^G being ^the symmetry group {I, ^{P, T, C, and} combinations }.

PHYSIQUE 20, 1959,

1. Introduction. Inversion de masse.

Dans

l’équation ^de Dirac,

-

e, x) + e, x)

0, (1) le signe ^{devant le terme de masse x} peut ^{être aussi}

bien ^« moins ^» que ^« plus ^{o. Les deux} possibilités

sont entièrement équivalentes ^au point ^{de vue} physique. ^{La théorie de Dirac est en} fait invariante par rapport ^{à la} substitution

si, ^sous M,

Les conséquences ^{de cette} invariance dans l’inter- action universelle de Fermi ont été étudiées par Tiomno sous l’hypothèse ^{de la} conservation de

parité [1] ^et par Sakurai ^sans conservation de

parité [2].

Nous nous intéresserons aux relations entre les solutions de l’équation (1) ^avec signe ^{+ devant x}

d’une part ^{et celles de} l’équation ^avec signe

devant x d’autre part. ^{En d’autres} termes, ^si T(z, e, x) ^{est une} solution de l’équation (1) ^et repré-

sente un certain état bien défini, ^{nous déduirons la}

solution engendrée par lVl ^et puis identifierons l’état qu’elle représente.

Nous avons étudié la pareille question ^{sous le}

groupe GL composé d’opérateurs L, P, T, ^{C et}

surtout sous le sous-groupe G, groupe de symétrie composé ^de P, T, ^C [3]. (Cet ^{article sera} désigné

ultérieurement comme A, ^{où l’on trouve les défi-}

nitions de tous ces opérateurs.) Dans la théorie de l’électron de Dirac, ^ces groupes doivent être com-

plétés par M de sorte que les groupes complets ^sont

enfin

Nous déduirons alors toutes les solutions _engen- drées par le groupe de symétrie § ^à partir ^d’une

solution donnée et identifierons les états qu’elles représentent.

Nous avons montré dans A qu’à partir ^{d’un état} quantique donné, ^le groupe G et le groupe L

engendrent ^tous les états du problème considéré,

si G et L lui sont entièrement applicables. ^En fait,

M n’engendrera ^{aucun état} nouveau comme nous

allons le montrer plus ^{loin. Dans cette} note, ^nous

nous bornerons aux solutions engendrées par MG,

celles engendrées par G ^{et L} ayant ^{été étudiées} déjà ^{dans A.}

2. Solutions engendrées par MGL ^{et MG. -} Nous avons défini dans A-§ ^{2 les} opérateurs L, P, T, C, ^A

L, P, LF j ^{et A}

A T. Si les propriétés

fonctionnelles des satisfont aux conditions

A-(9), A-(10) ^et (2), ^nous pouvons démontrer le théorème suivant : Si _e, x) ^{est une solution}

de l’équation (1), ^alors

sont aussi des solutions de cette équation. ^Les

sont des matrices 4-4 qui ^{ne sont en} général pas unitaires ni hermitiennes. Elles satisfont aux condi- tions

(Pour ^les co e mcients x et À, ^voir A- § 2.) ^{L es} spineurs (3) ^{sont les solutions} engendrées

de ~Y’(x, e, x) par

Nous ^nous intéresserons surtout aux solutions

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019590020012093300

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engendrées par lll G, qui ^{sont les huit} spineurs

suivants :

Les matrices r sont déterminées par ^les condi- tions

Toutes les r peuvent ^{être unitaires et hermitien-}

nes. En ce qui suit, ^{nous les} supposerons toujours

ainsi.

L’identification des états que représentent ^les

huit solutions (5) engendrées par MG dépend,

comme nous l’avons indiqué ^dans A, des gran- deurs constantes de mouvement du problème phy- sique considéré. Nous étudierons à ce propos ^aux

paragraphes suivants deux exemples simples

comme dans A : onde plane monochromatique ^et

électron dans un champ ^central électrostatique.

3. Onde plane monochromatique.

^{Les cons-}

tantes de mouvement sont ici les trois composantes

de la quantité ^de mouvement p. A un p donné

correspondent ^{deux solutions} (à énergie positive ^et négative)

Les u satisfont aux équations

Sous ~1, ^ces équations ^deviennent

L’opération ^{de sur} l’avant-dernière équation

nous donne

On arrive donc à l’identification

identité aux constantes de normalisation près.

M n’engendre ^{donc ni} changement d’état d’éner-

gie ⁿⁱ changement de p.

En combinant ce fait avec les règles ^d’identi-

fication données dans A- ~ 4, ^nous pouvons iden- tifier les solutions (5) ^{comme suit :}

Les solutions engendrées par ^sont donc exactement les mêmes que celles engendrées par G

(cf. A-25)).

Si l’on veut préciser l’état de polarisation ^dans

un système de Lorentz donné, c’est-à-dire la valeur _{propre s} ( == 1/2, -1~2) ^{de la} composante longitudinale du 3-vecteur spin, JpJ2

c;.p/21pl,

les solutions engendrées par MG ^{sont encore} les mêmes que celles engendrées par G, car, du fait que M n’engendre pas de changement de p, M n’engendre pas ^non plus ^de changement ^de

moment cinétique. ^En effet, ^nous avons, ^avec

s

s,

On peut ^{vérifier les} identifications (8) ^et (9) par calculs directs en adoptant ^{des solutions} explicites

de x) ^et

~)..

4. Électron dans un champ ^{central électro-} statique.

^{Dans ce} cas, les constantes de mouve-

ment sont énergie + Enh ^moment cinétique ^total

JJI

1) ^{et une} composante ^de celui-ci,

Jz

^m. Conformément ^au fait _que l’opération ^M n’engendre ⁿⁱ changement ^d’état d’énergie ^{ni chan-} gement ^de quantité ^de mouvement, ^elle n’engendre

aucun changement ^{du moment} cinétique ^J.

Ainsi, ^{M ne} change ⁿⁱ n, ni j, ^{ni m dans} le pro- blème du champ ^central.

En combinant cette règle ^{avec celles citées}

dans A-§ 5, ^les huit solutions (5) engendrées

par MG s’identifient de la manière suivante :

(m

m)

Comme dans le cas de l’onde plane ^monochro- matique, ^{les solutions} engendrées par MG sont ici aussi les mêmes que celles engendrées par G.

Les solutions _{e, r,} t) ^{sont en} général

caractérisées par ^deux constantes de norma-

lisation. Si nous les décomposons d’après ^{ces cons-} tantes, c’est-à-dire (cf. A-(36)),

nous avons remarqué ^dans A- ~ ⁶ que ^s apparaît

dans les grandes composantes ^{de sous la}

forme q) et ^{dans les} petites composantes

sous ~). Ainsi, ^dans l’approximation ^non relativiste, j ^{- s est le moment} cinétique ^orbital

de l’électron. Dans tous les cas où énergie ^{est une}

constante de mouvement, ^la substitution x - - x

entraîne ^un échange ^entre grandes ^et petites compo- santes, c’est-à-dire _que, sous M, Ym+ 1~2 ^deviennent

les grandes composantes ^{et les} petites.

L’opération ^M engendre ^{donc un} changement

de s : s - s.

Cette règle, ^{avec celles} données dans A- ~ 6, ^nous

amène à l’identification suivante :

Dans ce cas, les solutions engendrées par ^ne sont pas les mêmes que celles engendrées par G.

(Cf. A-(37).)

Dans le problème ^du champ ^{central, seul le}

groupe de symétrie complet §

1 ^{G, MG} 1 peut

donc engendrer ^à partir ^{d’une seule} solution, tY’n~~~1~2~ par exemple, ^{toutes les} huit solutions de même n et de même j. Séparément, ^{G ou MG} n’y

suffit pas.

On peut ^vérifier explicitement ^{les identifi-}

cations (10) ^et (11) ^{avec les} solutions de l’atome

d’hydrogène par exemple.

5. Conclusion et remarques.

Si l’on ne consi- dère que ^{1 es} solutions « complètes », solutions à deux constantes de normalisation et relativistes (la ^dé- composition ^{en deux} parties d’après ^{ces constantes}

n’est pas ^un procédé relativiste), ^M n’engendre pas de changement ^{d’état. Les états} engendrés par MG sont ainsi toujours ^{les mêmes} que ^ceux engendrés

par le groupe G. Ce fait donne ^une raison de plus ^à l’hypothèse que ^les interactions des fermions doivent être invariantes par rapport ^à l’inversion de _masse [1], [2].

Cette invariance est en fait l’invariance de chira- lité dont les conséquences ^{ont été} beaucoup ^étu-

diées dans les interactions universelles des fer- mions [2], [4] ^{et dans les} interactions boson- fermion [5]. ^{Dans cette} invariance de chiralité, ^il s’agit bien de l’invariance par rapport ^{à M et non}

pas de celle à CPT, bien que toutes deux soient caractérisées par la ^{même matrice} y5, ceci parce que

l’opération ^CPT engendre nécessairement un chan- gement ^{d’état de} chaque fermion, ^{mais M n’en-} gendre ^aucun changement ^{d’état comme nous avons}

vu plus ^haut.

Le fait =1 signifie l’invariance absolue de la théorie de Dirac _par rapport ^{à MCPT.}

Comme M n’engendre ^aucun changement ^{d’état de} l’électron, l’invariance sous CPT s’ensuit automa-

tiquement. ^{Il en est de même pour tous les} champs

et même aussi pour les interactions des champs qui

sont invariantes _par rapport ^à I,. L’invariance CPT peut donc être considérée ^comme la conséquence

de l’invariance absolue MCPT et de la caracté-

ristique ^{de M.}

Le principe ^de l’identification des solutions

engendrées par les groupes S,-¡ ^{et L n’a été exa-}

miné que dans les deux exemples ^les plus simples

dont solutions exactes existent. Dans les pro- blèmes plus compliqués, ^{on a} toujours recours aux

méthodes d’approximation ^{ou aux solutions d’essai.}

Dans ^ce _cas, les règles d’identification établies dans A et dans le présent ^article concernant le groupe de symétrie § pourraient ^{servir comme}

des critères pour vérifier si les solutions _appro- chées obtenues ou les solutions d’essai employées

sont acceptables ^{ou correctes.}

Dans l’équation ^de Dirac, ^{le terme de masse}

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pourrait être considéré comme valeur _propre d’une

cinquième ^{dimension ’t’,} c’est-à-dire celle de l’opé-

rateur

iô la fonction propre étant e2xT. Dans

ce cas, l’équation de Dirac s’écrira

ou, d’une manière plus symétrique,

où

On retrouvera l’équation (1) ^en prenant, ^comme

solution particulière,

Dans cette formulation, l’opérateur ^.lll repré-

sentera la transformation suivante des coordonnées

(ou substitution de variables correspondante) :

.lll se place ^{dans ce cas au même} plan que P et T.

Manuscrit _{reçu le} 22 juin ^1959.

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