HAL Id: jpa-00234906
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00234906
Submitted on 1 Jan 1954
HAL is a multi-disciplinary open access
archive for the deposit and dissemination of
sci-entific research documents, whether they are
pub-lished or not. The documents may come from
teaching and research institutions in France or
abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est
destinée au dépôt et à la diffusion de documents
scientifiques de niveau recherche, publiés ou non,
émanant des établissements d’enseignement et de
recherche français ou étrangers, des laboratoires
publics ou privés.
Solution des équations de Maxwell et des équations de
Dirac pour des conditions initiales données
Émile Durand
To cite this version:
SOLUTION DES
ÉQUATIONS
DE MAXWELL ET DESÉQUATIONS
DE DIRACPOUR DES CONDITIONS INITIALES
DONNÉES.
,Par ÉMILE DURAND,
Faculté des Sciences de Toulouse, Physique théorique.
Sommaire. - On
part d’identités très condensées faisant intervenir l’opérateur du second ordre des
équations d’ondes et l’on décompose cet opérateur en un produit de deux opérateurs du premier ordre;
de cette manière les potentiels des fonctions d’ondes s’introduisent naturellement.
L’avantage de ces identités sur les méthodes qui utilisent l’intégrale de Fourier est que le résultat
s’exprime immédiatement à l’aide des fonctions données; elles donnent aussi bien la solution du problème de Cauchy pour les équations d’ondes du second ordre que la solution des systèmes d’équations aux
dérivées partielles du premier ordre pour des conditions données au temps t = o.
Ces identités sont tout à fait analogues à celles données par l’auteur (1) dans d’autres publications
pour résoudre le problème de Kirchhoff.
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. 15, AVRIL
1954,
A.
Équations
de Maxwell.L’identité fondamentale concernant
l’opéra-teur des ondes non amorties, - Elle s’écrit :
la
fonction §
dépend
des trois variablesd’espace
Xu
(u
=1, 2,3)
et dutemps
i; v est une constante;âuâll
avec une somme sur l’indice muet u, est lelaplacien;
. AL’intégrale triple
de la deuxièmeexpression
estétendue au volume de la
sphère
de centre xll et derayon
vt;
on aposé
dans cette
intégrale,
alors que r est une variabled’intégration
dans lapremière
expression;
di
est lesymbole
de dérivationpartielle
parrapport
autemps.
Pour démontrer l’identité
(1)
on dérive sous lesigne
somme et parrapport
à la limite vt; on obtientOn notera en
passant
que l’identité(3)
donne
la formule de Poissonquand ~
obéit àl’équation
elle donnealors ~
(xu, vt)
quand
onconnaît ~
(xu, o)
et
~i (xu, o)
ainsi que les sourcesf
(xu, vt)
pour t
> o. Pour vérifier que le second membre de(3)
estidentique
aupremier,
nous commencerons par écrireautrement le
laplacien
Endésignant par d,,
les dérivées parrapport
aux variablesx~~,
on ales crochets dans cette dernière
intégrale signifient
qu’il
fautprendre
la fonction autemps
T ~ t - v-1 7Bc’est-à-dire que, par
exemple,
on a écrit
simplement
dv’ pourdx’, dX’2 dx’.;.
Onvérifiera que pour ces
grandeurs
entre crochets et àcause
de ail
== 2013 ~
pour les fonctions de r, on aAprès
avoirintégré (5)
dans tout le volume de lasphère
derayon vt
et avoir transformé enintégrale
de surface le dernier terme en, d"i on
obtient,
en intro-duisant la dérivéenormale d
=nrl
0tudn
(1) C. R. Acad. Sc., ~g53, 236, 1337 et ~g53, 257, 647.
282
Si l’on tient
compte
deon voit que
(6) peut
s’écrireEn
portant
cetteexpression
(9), ~.e
(4)
dansl’équa-tion
(3),
il resteet l’identité
(1)
est bien ainsi vérifiée.Solution des
équations
de Maxwell pour des conditions initiales données autemps
1 = o.-On
part
de l’identité(1) appliquée
à chacune des+
,
composantes
d’un vecteur et(xu, vi);
poursimplifier
l’écriture nous poserons
-L’indice m
indique
la moyenne de etprise
sur toutes les directions0,
o; les crochets sonttoujours
les fonctionsprises
autemps r
=== t - v-1 r;
avec ces notations l’identité s’écrit :Entre
opérateurs
on a la relationet en dérivant
l’intégrale (12)
sous lesigne
somme oupar
rapport
auxlimites,
on obtientLes
symboles primés
rot’ et div’ concernent les dérivations parrapport
auxxll.
De même, enappli-quant
l’opérateur
t àl’intégrale
de(12)
-écrite avec un autre vecteur 03
(xu,
vi),
on obtient l’identitéEn additionnant les identités
(14)
et(15),
on obtientl’identité
Cette identité
(16)
conduit directement à la solution que nouscherchons;
quand a
ét ~~ sont des cons-tantes, leséquations
de Maxwell s’écrivent :avec
- -~ + -2013~.
Dans
(16) remplaçons
c1 par E et B par il vient,en tenant
compte
de(17)
Toujours
en tenantcompte
de(17) remplaçons
+ + + +
dans
(16) t1 par H
et é3 par --- Z-zE;
on obtient+
Ces formules
(18)
et(19)
donnent les valeurs H(xu, ut)
++ + valeurs dans tout
l’espace
H (x, o)
et E(x,
o)
pour 1
= o, etquand
on donne lescharges
et les courants pour > o.+ +
On
peut
écrire E et H sous la formeà condition de poser, avec v-1 =
-
-Ces
grandeurs
A, V, A’,
V’ sont lespotentiels et
lesantipotentiels
classiques.
Cas où les conditions initiales ne
dépendent
pas de l’une des coordonnées
d’espace,
parexemple
z. -- Ilnous faut d’abord établir une identité
analogue
à(1)
pour une fonction de deuxvariables
d’espace
et dutemps.
Pour cela nouspar-tirons de
(2), où §
nedépend
pas de z,l’intégrale
étantétendue au volume de la
sphère
de centre{x,
~,o)
et derayon vt,
d’oùOn effectue un
changement
de variable sur C défini paron en déduit
+,
demi-sphère supérieure;
-,
demi-sphère
inférieure;
et
La transformation
(23)
faitcorrespondre
à l’intérieurde
chaque demi-sphère
de rayon vf, l’intérieur du volume limité par le cônep2
= v2(i -- T)2
et leplan T
= o(fig. ).
L’identité(22) prend
alors la formeOn
peut
l’appliquer
à chacune descomposantes
d’un+
vecteur cI et poser
Fig, i .
l’indice m
indique
la moyenne calculée pour toutes les valeurs de l’identité(26)
devient alorsPour
simplifier
l’écriture des relationsqui
vont suivre on définira lesgrandeurs
suivantes avec unindice zéro ,
En raisonnant sur cette identité
(29)
comme sur l’identité(12)-(13),
on est conduit à l’identité~ -~ +
284
sont deux vecteurs
quelconques
. --+ --+
,
Les rot’ et
grad’
concernent les dérivations parrapport
auxvariables 1
et -n. Enopérant
sur cetteidentité
(31)
comme sur l’identité(16)
on est conduità
(20),
avcl’expression
suivante pour lespoten-tiels :
Cas où les conditions initiales ne
dépendent
pas de deux des variables
d’espace.
- Onpart
alors de l’identité
où seule subsiste la variable
d’espace
x. Lesymbole ;
placé
au bas du doublesigne
sommesignifie
quel’intégrale
est étendue à la surface dutriangle
hachuré de lafigure
2. L’identité(33)
peut
êtrevérifiée directement en dérivant sous le
signe
sommeet par
rapport
aux limites. Onpeut
aussi l’obtenir àpartir
des identités(13)
ou(29).
De
(33)
ondéduit,
toujours
de la mêmemanière,
l’identité
qui
correspond
à(16)
et(31)
sous la formeDans
(34)
les dérivationsprimées
serapportent
à la -+ +variable
E.
et et U3 sont deux vecteursquelconques.
De cette identité et commeprécédemment
on en-7 -déduit encore les
expressions (20)
pour E et H enposant
#
En
particulier quand ?
= i 1 == o et en tenant-+
-
j
+compte
de ().,!
=d,,
rot = d.,[n x ...],
où n est unvecteur de
composantes
n,x =i, n, = n; =
o, on en
déduit
On
notera,
comme il est bien connu que l’on passede
(36)
à(37)
par leschangements
Dans cette
expression,
lasignification
des diffé-rentes lettres est la suivante :n,, et dQ ont la même
signification
que dans lafor-mule
(1).
~s
est la valeurde ~
sur lasphère
S de rayon(t
-a),
soit10
eth
sont les fonctions de Bessel de secondeespèce,
d’ordre zéro et un. En
posant
vr = vt --r, l’iden-tité
(1) peut
encore s’ecrire :Par
conséquent
pour établir l’identité(38)
il suffira de montrer que l’on aPour cela il suffit de calculer les dérivées
partielles
de la dernière
parenthèse.
Les dérivations parrap-port
à t donnentLes dérivations par
rapport
aux xu sont immédiatescar ces variables n’interviennent pas dans les
limites,
mais on transformera ensuite les
expressions
obte-nues.Les dérivées
a:l
serapportent
eton a ri identité
En
intégrant
les deux membres de cette identitédans le volume de la
sphère
de rayon(t - T)
et en transformant lepremier
membre enintégrale
desurface,
on obtientDe
plus,
sur lasphère
de rayon v(1
-7)
on aEn tenant
compte
de(47)-(48),
l’identité(46)
devientEn
portant
(43),
(44)
et(49)
dans(42),
on voit quele second membre est
identiquement
nul à cause deL’identité
(38)
est donc ainsi vérifiée.Solution de
l’équation
des ondes amorties avecsecond membre. - Avant de donner une
appli-cation de
(38)
auxéquations
deDirac,
nous allonsmontrer comment cette identité conduit à la solu-tion bien connue
(2)
duproblème
deCauchy
pourl’équation
286
Il suffit pour cela
d’appliquer l’opérateur
diffé-rentiel auxintégrales;
on transforme ensuite lesdérivations par
rapport
à 1 en dérivations parrap-port
à - et l’on est finalement conduit à l’identitéDans
(52)
les traits surmontant les lettresdésignent
les valeurs moyennes, comme dans(39);
l’indice zérocorrespond
à ces mêmes valeurs pour = = o; enparticulier
(52)
est uneidentité,
mais si l’on tientcompte
de(51)
on a la solution du
problème
deCauchy.
Solution des
équations
de Dirac pour desconditions initiales données. - On
part
del’identité
(38) appliquée
à chacune desquatre
compo-santes avec n = 1, 2, 3,4~
de l’onde deDirac,
mais on
remplace ko
pariko, i
étant lesymbole
desimaginaires (i2 = -1 ) ;
commeon a l’identité de
départ
sous la formeSi l’on
désigne
par x", a,,, avec u = 1, 2, 3, lesquatre
matrices de la théorie de Dirac et par oc,, la matrice unité àquatre
rangs, on a entreopérateurs
la relationDéfinissons les
potentiels
On
des fonctions d’ondes~n,
par
l’expression
L’identité
(53) prend
alors la formesimple
Transformons
l’expression (55)
de~,t
en dérivantles
intégrales
de laparenthèse,
cequi
donneLes
expressions
(56)
et(57)
sont valablesquelles
que soient les fonctions§n ;
si ces dernières obéissentaux
équations
de Dirac en l’absence dechamp,
soitla formule
(57)
se réduit à(56)
et(59)
constituent la solution de notreproblème
car elles donnent
yn (xn,
ct)
quand
onconnaît yn (xn,
o)
Cas où les
(xu, o)
nedépendent
pas de z.-Au lieu de
(53)
onpart
de l’identitéCette identité se déduit de
(53)
de la même manière que(26)
se déduit de(2).
On aboutitalors,
avec(56)
toujours
valable,
mais avecau au
égal simplement
à
(x
d,r
+ (l2 à l’identitéavec les indices zéro
qui indiquent
les valeursprises
au
temps r
= o, c’est-à-direPour des solutions de
(58)
aveca2 d).,
il reste
simplement
287
Cas où les
tfn (xa, o)
nedépendent
pas de y et de z. -- Onpart
de l’identitécette identité
(68)
se vérifie aisément par dérivationet en tenant
compte
deOn
peut
aussi la déduire de l’identité(53).
Avec les mêmes définitions que
précédemment
pour les
fin
onpeut
mettre(68)
sous la formeavec
Quand ~,,
obéit auxéquations
de Dirac(71)
se réduit àLa solution cherchée est donc donnée par
(70) et (73)
Manuscrit reçu le 2 0 octobre 195 3.
FATIGUE D’UNE CELLULE A MULTIPLICATEURS
D’ÉLECTRONS,
Par F. LENOUVEL et J. DAGUILLON.
Observatoire de Haute-Provence, Saint-Michel l’Observatoire (Basses-Alpes).
Sommaire. - Nous
avons repris l’étude effectuée par l’un de nous [1] et déterminé la résistance
ohmique de la pellicule semiconductrice qui recouvre le dernier étage d’un photomultiplicateur. L’in-fluence de cette résistance est vérifiée directement. Ce travail est effectué sur les multiplicateurs à I9 étages de Lallemand [2].
LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. TOME AVRIL 19~4, PAGE
Description
etenregistrement
duphénomène
defatigue.
- Nous avonsdéjà signalé
qu’un
photo-multiplicateur
n’estplus
fidèle dès que le courant anodedépasse
4.
1 o-13 Aquelle
que soit la tensiond’alimentation [ 1].
Nous avonsrepris
lesexpériences
correspondant
à cetteétude;
unphotomultiplicateur
à 19
étages
est alimenté par une tension constantede 160o V
(80 V
parétages),
le courant anode estenregistré
en fonction dutemps.
La cathode de cephotomultiplicateur
est éclairée par unelampe
à travers un coinréglable.
Pour un flux lumineux
déterminé,
le courant anode a une valeursupérieure
au courant limite et le tableau I donne la valeur de ce courant en fonctiondu
temps.
sLa
figure
ireprésente
les variations du courantanode
qui
montrent unphénomène
defatigue,
car ce courant estsupérieur
au courant limite(4. z o-8 A);
la diminution du courant anode est de8,5
pour 100TABLHAUL
