ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Équations différentielles du second ordre qui se ramènent au 1er ordre
y ′′ = f ( y, y ′ ) : Cas où il manque x
Les solutions de l’équation y′′=f(y, y′), sont obtenues
1) En posant y′ =z, donc y′′ = z′ = dzdydxdy = z(1)z, , où z(1) désigne la première dérivée de z par rapport à y
2) En trouvant une solution de l’équation de 1er ordre z(1)z =f(y, z) donnant y′ =z en fonction de y , puis
3) en résolvant cette équation du premier ordre pour trouver les solutions donnant y en fonction de x
Exemple
Énoncé
Trouver la solution de l’équationy′′= (y′)3+y′
Réponse
• Posonsz =y′, puis y′′ =z′ =z(1)z , avec z(1) = dydz et substituons :
• zz(1) =z3+z; zz2(1)+1 = 1
• R dz
z2+1 =R
1dy;tan−1(z) = y+k1, k1 ∈R
• y′ =z =tan(y+k1), (solution triviale :z= 0)
• R dy
tan(y+k1) =R
dx; y=sin−1(k2ex) +k1, k1, k2 ∈R, (solution triviale :y=k, k∈R)
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Exercices :
Trouver toutes les solutions de :
y′′+ (y′)2y= 0 (1)
yy′′ = 2(y′)2−2y′ (2)
yy′′−(y′)2 =y2−lny (3)
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ANALYSE/DIFFERENTIELLES
Exercice
Réponses :
(Les solutions triviales sont négligées)
(1) z = 2
y2−2k1; y3
3 −2k1y= 2x+k2 k1, k2 ∈R (2) z =k12y2+ 1; k1y=tan(k1x+k2), k1, k2 ∈R (3) z2 =y2(ln2y+k1); , ln(lny+p
ln2y+k1) =±x+ln(k2) k1 ∈R, k2 ∈R∗+
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