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Équations de Dirac-Madelung
J. Yvon
To cite this version:
ÉQUATIONS
DE DIRAC-MADELUNG Par J.YVON,
Faculté des Sciences de
Strasbourg.
Sommaire. 2014
Madelung a mis la mécanique de Schrödinger sous une forme qui rapproche cette
mécanique, appliquée à l’électron, de l’électrodynamique classique relative à un fluide électrique continu. Nous montrons dans le présent article que la mécanique relativiste de Dirac peut subir la même
transformation. Les formules tensorielles obtenues présentent encore ici un certain aspect électrodyna-mique classique; elles mettent en valeur le caractère géométrique des scalaires, vecteurs et tenseurs attachés à l’électron. Ces résultats pourront peut-être rendre service pour obtenir les perfectionnements que paraît nécessiter l’actuelle théorie quantique du rayonnement.
1. Notations. ---- Nous utilisons le
langage
géométrique
et les notations propres à la relativité restreinte. Unpoint
quelconque
de l’Univers ouespace-temps
est défini par sesquatre
coordonnéescontrevariantes
(réelles)
le module carré du vecteur
qui joint l’origine
à cepoint
esten
pratique
nous choisirons des axesrectangulaires
ordinaires;
le module carréprécédent
s’écrit alorsles vecteurs du
genre
temps
ont donc un module carrénégatif,
c’est le cas desvitesses;
les vecteursdu
genre
espace ont un module carrépositif.
Un
grand
nombre de nosformules,
établies enaxes
rectangulaires,
sont aussi valables en axesobliques quelconques,
pourvu toutefois que lechan-gement
de
coordonnées résulte d’une transfor-mation(linéaire)
de déterminantégal
à+
I.Nos notations demandent une
justification.
Il aparu
commode,
suivantl’exemple
donné par beau-coup dephysiciens, d’adopter
les indices inférieurs pour lescomposantes
contrevariantes et les indicessupérieurs
pour lescomposantes
covariantes,
toutsimplement
parce que lescomposantes
contre-variantes sont d’un
emploi plus
courant que les autres. D’autrepart
le module carré(2)
est souventpris
avec unsigne
différent : cette convention neparaît
préférable
que pour lesproblèmes
relatifs à lamécanique
dupoint
matériel.Le volume
d’espace-temps
construit surquatre
vecteurs a,,
b,,
c,,d,,
soitsera noté
les sont les
composantes
covariantes d’untenseur;
leurs seules valeurspossibles
sont -I, o, -- . En
particulier
XIZ34 =+ 1.
Dans la
géométrie
del’espace-temps
leproduit
vectoriel de deuxvecteurs ai
et b,
est un tenseurantisymétrique
appelé
bivecteur. Parmi lescomposantes
non nulleson
envisage
engénéral
dans lesapplications
les sixcomposantes
indépendantes
nous associons au bivecteur un tenseur
antisymé-trique appelé
bivecteur associé formulé pardans le
système
des coordonnéesrectangulaires
fonda-mentales cette définition
s’explicite
nous noterons que
Enfin nous utiliserons une notation
abrégée
pourdérivées
partielles,
qui
estpossible
ici parce que nous n’aurons àenvisager
des dérivées que parrapport
aux seulsparamètres
xi, x2, X3, x4. Nous poseronssimplement
B
autrement dit les
~),
sont lescomposantes
symbolique
contrevariantes de
l’opérateur
gradient
d’espace-temps.
2. Formules
d’électrodynamique
classique.
-La théorie de Maxwell-Lorentz des
phénomènes
électriques
nepeut
plus
êtreappliquée aujourd’hui
au domaine de la
physique microscopique;
elle n’en19
reste pas moins un
guide
indispensable
pour l’édifi-cation dedescriptions plus
parfaites
de la nature. ,ussi devons-nous transcrire certaines de seséqua-tions dans notre formalisme. Il faut s’arrêter à ce
problème,
résolu enprincipe
depuis
longtemps,
enraison de l’indécision
qui
arégné
jusqu’à
présent
dans le choix des notations.
On
imagine
unmilieu,
régi
par lagéométrie
de larelativité
restreinte,
danslequel
se trouve définien
chaque point
un vecteur d’Univers densité de courantélectrique j, ;
ce vecteur est du genretemps;
j4
est la densitéélectrique
d’espace
en unitésélectro-statiques ;
dans le cas de l’électron c’est unequantité
négative; jl’ j 2’ j3
sont lescomposantes
de la densité de courantélectrique d’espace
en unitésélectro-magnétiques ;
enfin il y a conservation del’élec-tricité,
cequi
s’écritAu courant est lié un
potentiel
vecteur d’Universdonné par la formule des
potentiels
retardésvalable seulement avec les axes fondamentaux et sufplsamment
explicite.
Dupotentiel
vecteur dérivele tenseur
antisymétrique
champ
électromagnétique
ce tenseur se dédouble dans le
langage
ordinaireen un
champ magnétique
et un
champ électrique
le
champ magnétique
estexprimé
en unitésélectro-magnétiques
et lechamp
électrique
en unitésélectro-statiques.
Lorsque
le fluideélectrique
est soumis à l’actiond’un
champ électromagnétique,
que ce soit lechamp
électromagnétique qu’il produit
lui-même ou que ce soit unchamp imposé,
il y a lieu de considérer enchaque
point
de l’Univers un vecteur densité deforce
Introduisons le vecteur u,, de module carré
égal
à -
z,
qui
estparallèle
au vecteur densité decourant,
mais de sens
contraire;
nousappellerons
ce vecteur la vitessed’Univers,
quoique
ses dimensions ne soient pas celles d’une vitesse. Nous poserons alors.il = - el Ji( 1 ;
>dans cette formule e est la
charge
de l’électron en valeur absolue et en unitésélectrostatiques;
D est une densité scalaired’Univers,
toujours positive.
Le
transport
de l’électricité estaccompagné
d’untransport
de matière.L’hypothèse
laplus
simple
consiste à admettre que les vecteurs
représentatifs
de ces
transports
sont dans unrapport
constant; autrement dit elle consiste à écrire le vecteur densité de courant de matière(1 (» 1
mo est la masse au repos de l’électron. Sous
l’in-fluence de la densité de la force résultante
f,
le mouvement de l’électricité se déduit alors de larelation
- , .
compte
tenu de(5), (8),
(9),
cette relationpeut
s’écrire encoreIntroduisons le vecteur densité
d’impulsion-énergie
une solution
particulière
de(12)
s’obtient en admet-tant que g, vérifiel’équation
On notera que le résumé
précédent
ignore
l’exis-tence de
polarisation électrique
et depolarisation
magnétique.
. 3.
Équations
de Dirac. - Nous devonsporter
notre attention maintenant sur une théorie
plus
correcte des
phénomènes électriques :
leséquations
de Dirac
permettent
le traitement de l’évolutiond’un électron dans un
champ
électromagnétique
imposé,
qui
est donné par sonpotentiel
vecteurd’Univers
V,.
Ce traitement est conforme auprin-cipe
de relativité restreinte. L’électron estenvisagé
comme un fluide continu défini enchaque point
del’espace
parquatre
fonctions d’ondeimaginaires
qui
définissent,
par une combinaison linéaireappro-priée
(1),
non pas unvecteur,
mais unspineur.
Le lecteur sait que l’on considère habituellement
l’électron comme
ponctuel;
dans cetteconception
le fluide continu dont il vient d’être
question
aseulement une
signification
statistique;
cette manièrede voir les choses rend les
plus
grands
serviceslorsqu’on
se pose desproblèmes
complexes,
parexemple
leproblème
de l’interaction de deuxélec-trons ; mais elle est absolument
superflue
pourl’examen
intrinsèque
deséquations
de Dirac : ilsemble que nous pouvons mieux
parvenir
à lescomprendre
en ne leur faisant pas dire cequ’elles
ne contiennent pas.20
A
partir
des fonctionsd’onde
nous pouvonsattacher à
chaque point
del’espace
lesgrandeurs
tensorielles suivantes(2) :
Précisons le sens du
tenseur;
dans un élément devolume
d’espace
d~ existe unpetit
aimant dont le momentélectrique
a pourcomposantes
et un
petit
doubletélectrique
decomposantes
Nous poserons
ja, sont les
composantes
de lapolarisation
magnétique
ou intensitéd’aimantation;
de mêmesont les
composantes
de lapolarisation électrique.
Au tenseur depolarisation
nous devons rattacherdeux vecteurs densités de
courant,
d’unepart
ladensité courant
électrique
depolarisation
le vecteur
représente
alors le courantélectrique
« vrai ».Envisageons
maintenant le bivecteuril y a une densité de courant
magnétique
depolari-sation
(3)
dont lescomposantes
s’écriventLe Tableau suivant
rappelle
comment les seizegrandeurs physiques
se déduisent des fonctionsd’onde
(1).
Pour obtenir l’une des
grandeurs
physiques,
multipliée
par la constantementionnée,
il suffitde
prendre
dans laligne correspondante
les fonctions d’ondeindiquées,
avec lesigne,
demultiplier
chacuned’elles par
l’imaginaire conjuguée qui
est en tête de sacolonne,
puis
d’ajouter.
La densitéélectrique j
est nécessairementnégative.
(z) L. DE BROGLIE, L’électron magnétique, Paris, 1934. (3) E. HEXRIOT, Les couples de radiation et les moments
éfecfromagnétiques, Paris, 1936.
(4) ,1’ représente J’imaginaire conjuguée de ~~, 2 ,~ h est la
con-stante de Planck.
Les
composantes
diverses que nous venonsd’envi-sager
ne sont pasindépendantes;
on a démontréles relations suivantes
(5) :
il ne
peut
y avoir d’autre relationindépendante.
Il est
avantageux
d’écrire cesformules
en faisantapparaître
le vecteur unitaire ui et en introduisantun nouveau vecteur unitaire Si, de module carré
égal
à+
r,parallèle
et de même sens que le vecteur al-On trouve alors quenous pouvons poser
21 la densité de
polarisation
s’écritmaintenant
Notons encore la formule utile
Écrivons
maintenant leséquations
aux dérivéespartielles
deDirac,
qui régissent
l’évolution desfonctions
d’onde et par suite desgrandeurs physiques:
Nous avons
posé
là,
pouralléger
tout une série decalculs
intermédiaires,
"
4.
Élimination
des fonctions d’onde. - Nousnous proposons maintenant d’éliminer des fonctions d’onde de manière à établir la théorie sur des
rela-tions où
figurent explicitement
lecourant,
lespin,
les deux invariants et les
grandeurs
tensoriellesqui
s’y
rattachent. Nousentreprenons
donc à propos del’électron de Dirac ce que
Madelung (6 )
a réussi àpropos de
l’électron
quantique
non relativiste. Nousrappelons
d’abord deux relations diffé-rentiellesqui
s’établissent aisément en combinantlinéairement les
équations
de Dirac à l’aide desimaginaires conjuguées
des fonctionsd’onde;
cesont
l’équation
de conservation de l’électricitéet
l’équation qui
montrequ’en général
le vecteurdensité de
spin
n’est pasconservatif,
Les fonctions
d’onde
peuvent
toujours
se mettresous la forme
,
où m est un des indices oc,
~3,
y,8,
et o
unequantité
réelle. Nous choisissons r de manière que
Fô,
parexemple,
soit unequantité
réelle. En combinantlinéairement
les formules issues duTableau
1on trouve que
nous pouvons alors poser, avec un
signe
inva-riable dans un domaine où
F~
ne s’annule pas,(s) F. Zeit. f ür Phys., r ~26, 40, p. 322.
posons encore
les indices affectés à la lettre a n’ont naturellement aucune
signification
tensorielle. Lesparamètres a
sont des intermédiaires utiles de notre calcul. Ils
permettent
d’éliminer les F à l’aide des relationsIl est facile de montrer que les a vérifient les
relations
et
Considérons comme inconnues les
quatre
expres-sions
par
rapport
à ces inconnues leséquations (34)
ont un déterminantqui
vautsimplement
-(2!12 a,)2;
lesles
quatre
expressions
obtenues nous retiendronsseulement les deux dernières
des combinaisons linéaires obtenues par tâtonne-ment à
partir
maintenant des huitéquations
(34)
et(35)
à la fois nous donnent enfinquatre
relations résumées parDans le domaine où nous nous sommes
placé
les
équations
de Dirac sontéquivalentes
à l’ensemble deséquations (27), (28), (36)
et(37).
Des calculs assez
longs
permettent
ensuite demontrer que
et que
le crochet non
explicite
qui figure
dans(39)
est le même que celuiqui figure
dans(36).
Nous pouvonsmaintenant éliminer
J39 - X3
entre lapremière
équation
(36)
et la troisièmeéquation (37)
etopérer
d’une manièreanalogue
pourJ49.
Les deux relationsobtenues s’écrivent d’une manière
générale
la
première
relation obtenuecorrespond
à l’in-dice i =3,
la deuxième à l’indice i =4.
En réalitéles relations
qui
correspondent
à l’indice i = 1et à l’indice i = 2 sont
également
vérifiées : en effetces
quatre
r elations ne sont pasindépendantes;
compte
tenu despropriétés
des vecteurs u et s,(orthogonalité,
module carréégal
à +
ou -I )
et des
équations (27)
et(28),
de cesquatre
relations il en est deux seulementd’indépendantes, qui
peuvent
être choisiesarbitrairement;
leurvérifi-cation entraîne celle des deux
autres.
Nous avons donc
remplacé
dans notresystème
d’équations
les relations(36)
par les relations(40).
Nous allons maintenant
porter
notre attention sur leséquations
(37);
nous pouvons éliminer y,qui
n’apas de caractère
tensoriel,
en formant les six expres-sions~
(o,
-(t),
le calcul est
pratiquement
inabordable par suite de lacomplication
del’expression (39) qui figure
dans le second membre. On s’en tire en utilisant l’invariance relativiste de la théorie de Dirac et enimaginant
d’utiliser des axesparticuliers
pourlesquels,
en unpoint
donné del’espace-temps
auvoisinage duquel
nousraisonnons,
les vecteursorthogonaux
u, et s, soient chacun réduits à avoir uneseule
composante.
Il est facile ensuite de reveniraux axes
orthogonaux quelconques.
Ainsi trouvons-nousil a fallu introduire un nouveau
paramètrë a;
défihipar
le vecteur
Dg,
semblegénéraliser
,le vecteur densitéd’impulsion-énergie
de la théorieclassique.
Ce quenous avons
appelé
letransport
de matière aupara-graphe
2prend
uneexpression
assezcompliquée;
unepartie
dutransport
de matière est liée au courantélectrique
vrai,
comme auparagraphe
2,
à conditionde
multiplier
aupréalable
la densité de courantcorrespondant
par -cos-n. De même un
transport
de matière est lié au courant de
magnétisme, toujours
avec la même relation de
proportionnalité,
àcondi-tion de
multiplier
aupréalable
la densité de cecourant par
-~-- sin"f¡.
Les
équations (41),
oùles g,
seraient lesinconnues,
sont
intégrables,
cela résulte de la manière mêmedont elles ont été
obtenues,
mais ce résultatpeut
s’établir aussi directement enprofitant
des23 Dans les formules
(40)
et(42) explicitons
lesdensités de
polarisation
en fonction des vecteurs u, et ilvient, compte
tenu de(27)
et(28),
les rela-tionsrespectivement équivalentes
A toute solution des
équations
de Diraccorrespond
une solution des
équations
tensorielles. Laréci-proque n’est pas vraie. La discussion des solutions
de ces
équations
nécessite donc uneétude,
que nousn’aborderons pas dans cet article. Voici néanmoins
quelques
remarques.Il est d’abord bien entendu que nous considérons
seulement,
à propos deséquations
tensorielles,
lessolutions
qui
sont uniformes(sauf peut-être
en cequi
concerne leparamètre "r¡),
continues et dérivables.Alors D a
partout
nécessairement le mêmesigne.
C’est par convention le
signe positif.
Avec les
équations
de
Dirac,
u4 estpartout
positif.
Avec leséquations
tensorielles,
il n’est pasimpossible a priori
que u4puisse changer
designe
d’un
point
à l’autre. Nous laisserons ces solutions de côté. Mais il existe certainement des solutions pourlesquelles
u4 estpartout
négatif.
Soit unecertaine solution
qui correspond
à un certainpotentiel imposé
V,;
changeons
V,
en -V,;
nous obtenons immédia-tement une solution du nouveauproblème
avecsi
(45)
représente
un électronnégatif,
(46)
représente
un électron
positif.
Mais nous pouvons trouverencore une autre solution du nouveau
problème :
S’il est
permis
de faire abstraction de la formulel’électron
(47)
est un électronpositif,
comme lemontrera clairement le
paragraphe
suivant.Limitons-nous maintenant aux solutions pour
les-quelles
u4 estpositif.
Ce sont des solutions dusystème
de Dirac seulement si leparamètre a~
défini par(32)
est
positif.
Nousindiquerons
rapidement
que ceparamètre
est sûrementpositif
si cos -n estnégatif,
mais que si cos Yi est
positif
un choixapproprié
des axespeut
rendre a7 négatif
(u4
restanttoujours
positif
après
lechangement),
au moins dans certainsdomaines. Comme on va le
voir,
le cas où COS-fiest
positif
se rattache à l’électronpositif
telqu’il
estinterprété
par(47).
Il semble donc que leséqua-tions tensorielles diffèrent assez
profondément
deséquations
de I)irac pour cequi
concerne les deux sortes d’électricité. Il est d’ailleursimpossible
d’ap-profondir
cettequestion
en-l’a»sence de théorie duravonnement.
5.
Approximation
nonquantique.
- Noséqua-tions tensorielles
permettent
aisément de trouverce que devient l’électron
quand
la constante de Planck tend vers zéro.L’équation (28)
nous montrequ’à
la limite parsuite,
Les
équations
(-4)
et(41)
deviennentrespecti-vement
le mouvenient de l’électricité est celui que nous avons rencontré en
électrodynamique classique,
lorsque
lechamp
défini par Vcomprend
seulementle
champ imposé
et que le rotationnel d’Univers du vecteurimpulsion-énergie
est nul. Tenonscompte
seulement des solutions telles que u4 soit
positif;
le cas cos r, _ - icorrespond
à l’électronordi-naire,
le cas cos -ri =+
icorrespond
à l’électronpositif.
L’équation (11)
est alors valable.Le
système
deséquations
limitescomprend
aussil’équation
de conservation de l’électricité. Par contre lespin
et le tenseur depolarisation
sont annulés.Toutefois
l’équation (43), qui
régit
l’évolution duvecteur unitaire SI’
parallèle
au vecteur densité despin,
conserve unesignification.
Elles’écrit
une fois résolues les
équations (45)
et(46)
onpeut
résoudre d’une
part
l’équation
deconservation,
cequi
donne D et d’autrepart
l’équation (47) :
-. elle donne l’évolution duspin,
devenu infinimentpetit,
le
long
d’unetrajectoire
de courant. Lespin
nejoue
plus
qu’un
rôlepassif, qu’il
est néanmoinsintéres-sant d’examiner.
L’équation (13) permet
d’élimine
de
l’équation (47), qui
s’écrit maintenanten même
temps
notonsl’expression
actuelle de ladensité de
polarisation
Cette évolution du
spin
estidentique
à celleimaginée
par Kramers(7).
Dans la théorie24
taire des
aimants,
un aimantplacé
dans unchamp
magnétique
est soumis à uncouple.
Lagénérali-sation relativiste la
plus simple possible
donne letenseur densité de moment
mécanique angulaire
ou,
d’après (49),
compte
tenu despropriétés générales
de ui, s;, de(46),
la relation(48)
estéquivalente
à la relationce
qui
montre l’identité des formules deKramers ~
et des nôtres. Kramers raisonnait en fait sur un
modèle
ponctuel,
mais il serait facile de ramenernotre
approximation, qui
est uneapproximation
d’ «
optique géométrique
», au modèleponctuel.
Le tenseur
joue
le mêmerôle,
à propos de l’action descouples,
que le vecteurn’tocui,
à
propos
de l’action des forces.Il serait sans doute intéressant de
reprendre
cetraitement
classique
duspin
enremplaçant
lechamp
imposé
ouchamp
extérieur par lechamp
total et enessayant
de formuler les théorèmes de conservation suivant la méthodepréconisée
par Henriot(A).
6.
Approximation
non relativiste. - Ondéve-loppe
cetteapproximation
enregardant - ?
u1’ u, U3e
comme infiniment
petits;
cependant e
V reste fini.c
Nous supposerons de
plus
que si a une direction àpeu
près
invariable,
parexemple
celle deOz;
alors s.est voisin de
+
i, s1, s2, s4 sont dupremier
ordre,
sin Yj
du second. Onpeut
regarder
commeconstant
et,
nous limitant au cas de l’électronordi-(8) E. HENRIOT, Loc. cit.
naire,
commeégal
à -z . Le
champ
magnétique
n’est pas arbitraire : il doit être
parallèle
à Oz. Une fonction Spermet
d’éliminer les vitesses ui, U2, u3 par les relations ., .-.
cette fonction doit vérifier la relation
à
laquelle
il fautadjoindre l’équation
deconser-vation de l’électricité. Nous avons ainsi obtenu
l’équation
deSchrôdinger
duproblème
sous la forme que lui a donnéeMadelung (1).
Leprésent
article consiste donc essentiellement en la
générali-sation des idées de
Madelung.
7. Conclusion. -
Nous pensons avoir
précisé
lasignification
desgrandeurs
tensorielles relativesà l’électron
magnétique
ainsi que les relationsqui
existent entre elles. Ces relations montrent que l’électronmagnétique
peut
êtretraité
comme unfluide
continu,
électrisé etpolarisé,
etqu’il apparaît
alors comme pourvu d’un caractère foncièrement
classique,
tant du moins que l’on ne considère quele
champ
électro-magnétique
imposé.
Dans ce domaine
restreint,
onpeut
prétendre
que la
mécanique
ondulatoire de l’électron n’estrien d’autre
qu’une conséquence
de sonaimanta-tion : en effet les
propriétés
ondulatoiresparaissent
étroitement liées à l’existence du tenseur de
polari-sation. Il ne faut toutefois pas oublier que notre
système
tensoriel n’est pas strictementéquivalent
à celui de Dirac.(9) F. MADELUNG, Loc. cit.
