Montrer que la densité du courant d’aimantation

.

Université Mohammed V de Rabat Année universitaire : 2019-2020

Faculté des Sciences–Rabat SMP-S4-Électricité 3

Série 3: Équations de Maxwell dans les milieux

Exercice1

On considère un milieu matériel (LHI) conducteur de permittivité électrique , de perméabilité magnétiqueµet de conductivité électriqueγ. On désigne par−→

j`(−→r , t) la densité du courant de conduction dans le volume du milieu.

1. Exprimer la densité du courant de polarisation−→

j_pol(−→r , t)en fonction de,µ,γ, et−→ j_`.

2. Montrer que la densité du courant d’aimantation −→

j_a(−→r , t)s’écrit sous la forme suivante

−

→j_a(−→r , t) = µ

µ₀ −1 −→

j_{`</sub>(−→r , t) +γ∂−→ j<sub>`}(−→r , t)

∂t

! .

3. Commenter.

Exercice2

On considère une sphère de rayonR, portant une chargeQ(t). Cette sphère est placée dans un milieu de conductivitéγ. SoitM un point à une distancer > Rdu centre.

1. Démontrer les relations suivantes

−

→E(r, θ, φ, t) =E(r, t)−→u_r, −→

B(r, θ, φ, t) =−→ 0.

2. Trouver l’expression de la densité du courant libre de conduction,−→ j_`.

3. En appliquant les équations de Maxwell, déterminer une équation différentielle enQ(t).

4. Retrouver cette équation différentielle en utilisant l’aspect énergétique associé.

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Série 3: Correction des exercices

Exercice 1

1. On va calculer la densité de courant de polarisation.

En combinantD~ =₀E~ +P~ etD~ = ~E, on obtient

P~ =D~ −₀E~ = ~E−₀E~ = (−₀)E.~

En utilisant la loi d’Ohm~j_`=γ ~E, on trouve

P~ = −0

γ ~j_`.

Par définition, la densité du courant de polarisation~j_pol est donnée par

~j_pol = ∂ ~P

∂t. En effet, on trouve

~j_pol = ∂ ~P

∂t = −0

γ

∂~j`

∂t.

2. On a la relation suivante

M~ = 1

µ0

− 1 µ

B.~

Par définition, on a

~j_a=−→

rot ~M = 1

µ₀ − 1 µ

−→

rot ~B.

En utilisant les équations de Maxwell, on obtient

~j_a=µ 1

µ0

− 1 µ

~j_`+∂ ~E

∂t

! .

Enfin, on trouve

~j_a= µ

µ₀ −1

~j<sub>`</sub>+γ∂~j`

∂t

! .

3. Remarques

• Si=0, la densité de courant~j_pol est nulle.

• Siµ=µ₀, la densité de courant~j_aest nulle.

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Exercice 2

1. On va utiliser les symétries et les invariants associées.

SoitM un point de l’espace physique à trois dimensions. Les plans de symétries sont

P_S1 = (M, ~ur, ~u_θ) P_S2 = (M, ~ur, ~u_φ)

où on a utilisé les coordonées sphériques.

En utilisant la symétrie sphérique, on trouve

E(r, θ, φ, t) =~ E(r, t)~ur, B(r, θ, φ, t) =~ −→ 0.

2. En appliquant le théorème de Gauss, on obtient

E(r, t) =~ Q(t) 4π0r²~u_r. En utilisant la loi d’Ohm, on trouve

~j_` =γ ~E = γQ(t) 4π₀r²~ur.

3. En utilisant l’équation de Maxwell-Ampère, on a

µ₀~j_`+µ₀₀∂ ~E

∂t =−→

rot ~B =~0.

On en déduit

µ0

γQ(t) 4π₀

1

r²~ur+0

dQ(t) dt

1 4π₀

1 r²

~ ur=~0.

En multipliant par4π₀r², on obtient dQ(t)

dt + γ

₀Q(t) = 0.

4. On va utiliser le bilan d’énergie. En effet, on a la relation suivante d

dt 1

20E²

=−~j ~E=−γE².

Un calcul simple donne d dt

1 2₀

Q(t) 4π₀r¹

2!

− −γ

Q(t) 4π₀r²

2

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qui conduit à

₀Q(t)dQ(t)

dt =−γQ(t).

Enfin, on trouve

dQ(t) dt + γ

0

Q(t) = 0.

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