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C etI (b) Montrer que le triangle ABC est isocèle en B: (c) Déterminer l’a¢ xe du point D tel que ABCD soit un losange EXERCICE ❷ Soit U la suite dé…nie sur Npar 8&lt

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

EXERCICE ❶

1. (a) Véri…er que :(3 i)2 = 8 6i

(b) Résoudre dans C l’équation: z2 (1 +i)z 2 + 3i= 0

2. Pour tout nombre complexe z on pose: f(z) =z3 (1 + 3i)z2+ (4i 4)z+ 4 + 4i (a) Véri…er que 2i est une solution de l’équation f(z) = 0

(b) Déterminer les nombres complexes a; bet ctel que: f(z) = (z 2i)(az2+bz+c) (c) Résoudre l’équation :f(z) = 0

3. Le plan complexe étant rapporté à un repère orthonormé O;!i ;!j on donne les pointsA; B et C d’a¢ xes respectives2i; 1 +i et 2 + 4i

(a) Déterminer l’a¢ xe du point I milieu de [AC] puis placer les points A; B; C etI (b) Montrer que le triangle ABC est isocèle en B:

(c) Déterminer l’a¢ xe du point D tel que ABCD soit un losange EXERCICE ❷

Soit U la suite dé…nie sur Npar 8<

:

U0 = 3

Un+1 = 4 1 +Un Un

1. (a) Véri…er que pour tout entier naturel n on a: Un+1 = 4 1 1 Un (b) Montrer que pour tout entier naturel n on a:Un >2:

(c) Véri…er que pour tout entier naturel n on a :Un+1 Un = (Un+1 Un)2 Un : (d) Déduire que la suite U est décroissante.

(e) En déduire que la suite U est convergente et trouve limUn: 2. Soit V la suite dé…nie surN par:Vn= 1

Un 2

(a) Montrer que V est une suite arithmétique de raison 1 2: (b) Exprimer Vn puis Vn en fonction den.

(c) Calculer limVn etlimUn .

EXERCICE ❸ QCM

1

(2)

1. La limite de la suite U dé…nie sur N par:Un= 2n 3n 3n+ 2n

❒1 ❒ (+1) ❒ 1 .

2. Si l’équation (E) :z2+bz+i= 0 admet i comme solution dans alors le nombre complexe b=

❒1 +i ❒1 i ❒ 1 i .

3. le nombre complexe (1 +i)10 est

❒réel ❒imaginaire pur ❒ ni réel ni imaginaire pur .

4. Soient U etV deux suites tels que :Un Vn et limVn = +1 alors limun =

❒+1 ❒ -1 ❒0 .

5. Soit U une suite croissante non majorée, on alors :

❒limun= +1 ❒limun=-1 ❒limun= 0 . 6. soit f une fonction dont la courbe est la suivante:

soit la suitesU dé…nie comme suit : Un+1 =f(Un)

U0 = 1 que peut-on dire de la monotonie de la suiteU ?:

❒croissante ❒décroissante ❒ on peut pas conclure .

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