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Détermination des courants de Foucault au moyen du
potentiel vecteur électrique
Mintcho P. Zlatev
To cite this version:
16
DÉTERMINATION
DES COURANTS DE FOUCAULT AU MOYEN DU POTENTIEL VECTEURÉLECTRIQUE
Par Mintcho P.
ZLATEV,
ÉcolePolytechnique
de Sofia,Bulgarie.
Résumé. 2014 Dans le présent travail on propose une méthode relativement
simple
pour calculerles courants de Foucault où l’on utilise le potentiel vecteur du champ électrique tourbillonnaire induit. Le vecteur indiqué est déterminé par la formule (2) où l’intégration s’étend suivant le
contour magnétique inducteur fermé non ramifié. Cette méthode est basée sur la loi d’Ohm en
forme différentielle,
appliquant
le théorème de Stokes. Les résultats obtenus (5) et (6) sont valablesà conditions déterminées et peuvent être utilisés pour des calculs pratiques des appareils
élec-triques d’induction.
Abstract. 2014 This article shows
a relatively
simple
method for eddy current calculation, makinguse of the vector
potential
of an induced electric rotational field. This vector is determined byequation (2), where the integration extends over a closed unbranched inducing magnetic contour.
The method is based on Ohm’s law in differential form, by applying Stokes’ theorem. The
re-sults obtained (5) and (6) can be used for
practical
calculation of electrical induction apparatus.LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM
PHYSIQUE APPLIQUÉE
SUPPLÉMENT AU No 3.
TOME 21, MARS 1960, PAGE
Introduction. -- Le calcul des courants de Fou-cault conformément à la loi d’Ohm en forme diff
é-rentielle
exige
parprincipe qu’on
évalue lechamp
électrique
tourbillonnaire induit Equi
provoqueces courants. On sait
[1] [2] (1)
que pour résoudre leproblème
ainsiposé
on utilise lepotentiel
vec-teur
AB
de l’inductionmagnétique
B. Dans ce cas onpart
de la relation connuePar substitution dans
l’expression
de la loiindiquée
(8 == yE)
on obtient avec une certaineapproximation
où 8
désigne
la densité du courant de Foucaultcherché i, qui
traverse une section arbitraire s dans un milieumétallique
de conductivitéélectrique
y.Le flux du vecteur 8 à travers s
représente
lavaleur
correspondante
de i.La détermination de ce flux suppose la connais-sance du
potentiel
vecteurmagnétique
L’intégration
s’étend sur le contour À ducou-rant
inducteur ie
dont lechamp
magnétique
induitle courant de Foucault i. Le calcul de
AB
s’accom-pagne de certaines difficultésparticulièrement
lors-qu’il s’agit
d’un contour À de formecomplexe.
En confirmation de ceci il suffit derappeler
que le(1) Les chiffres entre crochets et ceux qui suivent se
rapportent aux références de la bibliographie annexée à
cet article.
potentiel
vecteurAB
duchamp
magnétique
d’uncontour de courant circulaire
s’exprime
au moyend’intégrales elliptiques.
Dans le
présent
travail on montre que lepoten-tiel vecteur A du
champ électrique
tourbillonnaire induit Epermet
qu’on
détermine
d’unefaçon
rela-tivement
simple
le courant de Foucault iqui
estinduit par un contour inducteur
magnétique
ferménon ramifié r’ et
qui
traverse une sectionarbi-traire s limitée par un contour fermé T’.
1. Détermination du
potentiel
vecteurélec-trique.
Dans un travail récent
[3]
A. V.Kalyaev
intro-duit la notion de
potentiel
vecteurAD
du vecteurdéplacement électrique
D(par analogie
avec le po-tentiel vecteurmagnétique AB)
à condition quep = 0 et div D =0.
Le vecteur
est calculé de la même manière que pour déterminer
AB
àpartir
deséquations
de Maxwell relatives auchamp
électromagnétique.
Dans cette formule sdésigne
laperméabilité électrique
dumilieu,
e = -
d(D/dt
est la tension électromotrice(la
force
électromotrice) induite,
etreprésente
le flux d’inductionmagnétique
à traversn’importe
quelle
section
transversale s’ du contour r’. Dans ce cas on suppose que la ’section s’ estassez
petite
et la fuite deslignes
d’inductionmagnétique
estnégligée.
Au moyen de la formule
(1)
on déduit17
sion du vecteur du
champ
électrique
tourbillon-naire induit
en utilisant
l’égalité
qui
estanalogue
àl’égalité
connueLa
grandeur
rreprésente
la distance entre les différents éléments linéaires dl’auxquels
onpeut
décomposer
le contour r’ et lepoint
où l’on déter-mine lechamp
E.La
même expression
du vecteur E est retrouvéepar la relation
introduite
dans
le travail[4]
entre lechamp
magné-tique
inducteur H et lechamp électrique
tourbil-lonnaire induit E. Dans le travail[4]
àpartir
del’expression
du vecteurE,
après
transformation,
onobtient
plus spécialement
la formuledu
potentiel
vecteur duchamp
électrique
tourbil-lonnaire induit E étant donné queLa formule
(2)
est valable à la conditiondéjà
mentionnée que la section transversale s’ ducon-tour
magnétique
r’ soit assezpetite.
Ceci estnéces-saire pour
qu’on puisse
admettre que le module duvecteur 0 Biot
est constant aux différentspoints
de cette section. Dans le cas contraire on doit
uti-liser la formule modifiée
qui
est valable pour un circuitmagnétique
de ma-térieldiélectrique
et nonferromagnétique.
2. Méthode de calcul. - Considérons
un contour
magnétique
fermé non ramifié r’ parexemple
uncircuit
magnétique
en fer d’unappareil électrique
d’induction. Admettons que la fuite des
lignes
d’induction
magnétique
estnégligée
et que le flux(D à travers toute section transversal e s’ du
con-tour r" est le même. En outre supposons que la
condition de validité de la formule
(2)
soit satis-faite.Calculons le courant de Foucault i
qui
traverseune section arbitraire s en milieu
métallique
deconductivité
électrique
y. En conformité avec la loi d’Ohm en forme différentielle nous avonsEn substituant
(3)
dans(4)
et enappliquant
lethéorème de Stokes on obtient
où r
désigne
le contour ferméqui
limite la sectionarbitraire s. En utilisant la formule
(2)
on trouvel’expression
cherchée du courant de Foucault i àtravers la section s.
où
La
grandeur
Gpeut
êtreappelée
conductibilitééquivalente
du milieu pour la section considérée s card’après
la formule(5)
ellereprésente
le coeffi-cient deproportionnalité
de la tension électro-motrice induite e = -d I>/dt
et le courant i.La relation
(6)
estanalogue
à la formule deNeumann
qui
détermine le coefficient d’induction mutuelle M de deuxcontours Il
etl2.
Évidemment
le courant de Foucault ipeut
être considéré comme un courant mutuel et Gcomme une conductibilité mutuelle par
rapport
auxdeux contours r et
r’,
et e comme une tension excitant le courant mutuel i.3.
Application
de la méthode. - Toutes lesfor-mules données ci-dessus sont valables à condition que nulle
part
dansl’espace
il n’existe decharges
électriques
pouvant
exciter un autrechamp
élec-trique
comme cela estindiqué
dans le travail[3]
sous la forme p == 0. En outre il faut remarquer
que les formules
(4),
(5)
et(6)
sont valables si laconductivité
électrique
y est la même pour toutl’espace,
c’est-à-dire si le milieuremplissant l’espace
est
homogène.
Les
problèmes qui
peuvent
être résolus à l’aide de la formule(5)
sont dutype
suivant :Supposons
qu’on
ait comme données lesdimen-sions
géométriques
du circuitmagnétique
induc-teur, le courant excitateur
(la
forcemagnéto-motrice) F
=nie,
ainsi que la courbe B =f(H).
Le flux d’induction
magnétique
(D(t)
est trouvépar la méthode
graphique analytique
ou bien il estmesuré
expérimentalement.
Pour une section déterminée s on déduit de la
formule
(6)
la conductibilitécorrespondante
G. Enremplaçant
dans la formule(5)
nous obte-nons le courant de Foucault cherché iqui
traverse18
Dans les formules
indiquées
on introduit unecertaine
approximation
car on neprend
pas enconsidération le
champ
magnétique
excité parsuite de la variation du
champ électrique
tourbil-lonnaire induit E. L’erreur commise estcompensée
dans une certaine mesure par le fait
qu’on
ne tientpas
compte
de 1 a fuite deslignes
d’inductionmagnétique.
Les influences de ces deuxchamps,
conformément à la loi de
Lenz,
sontopposées.
Les formules
(5)
et(6)
peuvent
satisfaire auxexigences
de lapratique
pour un corps conducteurlimité
lorsque
la surface du corps est à peuprès
tangentielle
auxlignes
de force duchamp
élec-trique
tourbillonnaire induit E dansl’espace
homo-gène.
Cecipermet
d’utiliser les formules ci-dessus pour calculer les courants de Foucault dans desappareils électriques
d’induction parexemple
lescompteurs
électriques,
lesrelais,
etc.Conclusion. - En
vertu de cette
étude,
onpeut
faire les déductions suivantes :
1)
L’utilisation dupotentiel
vecteurélectrique
pour calcul er les courants de Foucault
qui
sont excités par un contourmagnétique
donné r’ etqui
traversent une section limitée par un contourr
permet
d’éviter les difficultésqui
accompagne-raient ce calcul à l’aide dupotentiel
vecteurmagné-tique.
2)
On introduit la conductibilitééquivalente
decaractère j mutuel
parrapport
aux deux contoursfermés r et r’
qui
estexprimée
par une formuleanalogue
à celle ducoefîicient d’induction
mutuelle.3)
Les résultats obtenuspermettent
de déter-miner les moments des forcesélectromagnétiques
qui
s’exercent dans desappareils électriques
d’in-duction. Cette détermination seral’objet
d’unautre travail.
Manuscrit reçu le 1 er octobre 1959.
BIBLIOGRAPHIE
[1] SMYTE (W. R.), Static and dynamic
electricity,
1950.[2] BRUHAT (G.), Cours de Physique générale.
Électricité,
1944.
[3] KALYAEV (A. V.), Formule de l’intensité du champ
électrique.
«Électricité», 1937,
3 (en russe).[4] ZLATEV (M. P.), Étude des champs électriques non
