Étude sur les courants de Foucault

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Étude sur les courants de Foucault

A. Golombani

To cite this version:

ÉTUDE

SUR LES COURANTS DE FOUCAULT

Par A. GOLOMBANI.

Faculté des Sciences de

_Dijon.

Sommaire. - Les équations de

l’Électromagnétisme

classique applicables dans l’hypothèse du

« cylindre indéfini », permettent, néanmoins, dans l’état « quasi stationnaire », de calculer les champs

résultants en _{chaque point} d’un conducteur tubulaire d’axe parallèle au _{champ inducteur,} mais de

longueur finie et grande par rapport au diamètre.

L’intégration des _champs rendue _possible par les _{propriétés particulières} des fonctions de Bessel

permet de calculer le flux total résultant et la variation du flux initial à l’intérieur du solénoïde

contenant le _noyau.

Les énergies localisées s’en déduisent. Et, de _là, les variations de self et de résistance de l’enrou-lement ainsi que la self et la résistance propres du noyau tubulaire, fonctions de ses dimensions radiales et de la fréquence des oscillations.

On parvient enfin aisément à l’étude de facteurs très _importants dans la _technique des bobines destinées aux circuits oscillants pour toutes fréquences : le facteur de _qualité, la _{perméabilité} appa-rente et la résistance de _pertes.

LE JOURNAL DE PHYSIQUE ET LE RADIUM. SÉRIE _{VIII, IX,}

Un noyau tubulaire

magnétique

et

_conducteur,

long

par

rapport

à son

diamètre,

est

placé

dans un

solénoïde indéfini

_{qui produit}

un

champ magnétique

uniforme,

sinusoïdal,

de

_pulsation

m,

parallèle

à

son axe. La

fréquence

des oscillations est telle _que la

_longueur

d’onde

_{correspondante}

est

_grande

_par

rapport

aux dimensions du tube. Dans ces

condi-tions,

le

_système

se trouve dans un état

quasi

station-naire,

ce

qui permet

de définir l’uniformité du

_champ

dans un domaine limité.

Soit

_(r,

0,

z)

le

_système

de coordonnées

cylin-driques (fig.

I)

qu’impose

la

_symétrie

du

_problème.

Fig. i.

+

Appelons

avec Planck Ce = Hejwt

[2]

le

champ

magnétique global

résultant des interactions du

champ

inducteur et du

_champ

créé _par les courants

de Foucault et 6 = hejwt le

champ électrique global.

+

Ce dernier est

_{perpendiculaire}

à Je en

chaque point

et est

_tangent

aux

lignes

de courant

_qui

sont des cercles centrés sur l’axe et

perpendiculaires

à l’axe.

-Le

_{champ électrique G}

se réduit à sa

compo-sante be = h. Le

champ magnétique

se réduit à la

composante

jé= _ ce. Tous deux sont

indépendants

de z et 0 et restent donc fonction de r et f.

D’ailleurs,

1. Calcul des

_{champs. -}

10 DANS LA CAVITÉ.

-

Appelons

po et Eo la

perméabilité

et le

pouvoir

inducteur

_spécifique

du vide. Les

_champs

magné-- +

tique Je

et

_{électrique 6}

sont _{donnés par les}

équa-tions

-avec ₈₀ =

-L?

(c

vitesse de

propagation

des ondes

électromagnétiques

dans le

_vide),

(1.3)

entraîne

En

_prenant

le rotationnel de

_{(1. 2),}

un calcul

clas-sique

donne

_{l’équation}

scalaire

-et en

posant q

=

iw,

_on aboutit à

l’équation

de

e

Bessel :

Sa solutïon est

Jo

et

_"’B’"0

étant les fonctions de Bessel et de Neumann d’ordre

zéro,

...4 et B étant des constantes

_dépendant

des conditions limites.

H doit être fini _pour r = o. Donc B = _o. La

solu-tion

représente

donc une onde de

pénétration

convergente

dans la cavité

_(1).

De

_plus,

t

_désignant

la densité de courant

+

-Jé et v étant

_harmoniques,

en

passant

aux valeurs

imaginaires,

on déduit

Sans _{passer par l’intermédiaire}

de ï,

on

peut,

d’ailleurs,

écrire

qui,

par

(1.4)

donne

_(1.5).

2° DANS LE _MÉTAL, -

Appelons y la

conducti-bilité du

métal,

y et E sa

perméabilité

et son

pou-voir inducteur

_{spécifique supposés}

constants. En

employant

immédiatement la notation

_imaginaire,

les

_équations

de Maxwell s’écrivent

En

_prenant

le rotationnel de

_(1.7),

on obtient la

relation scalaire

-Le

_{terme EjWb correspond}

au courant de

dépla-cement

_{et 4Ri}

au courant de conduction. Le

rapport

du

_premier

au second

vaut,

en

( f

étant

2"’{

la

_fréquence).

Le

_quotient

E pour

les métaux étant

de l’ordre de

10-17,

on

peut

donc

négliger

le courant

de

_déplacement

devant celui de

conduction,

même

pour des

_fréquences

très élevées.

_Cependant,

cette

approximation

n’est

_légitime

_que si la

_longueur

d’onde des oscillations est

_grande

devant les

dimen-sions du conducteur

_(2).

Dans cette

_hypothèse

de

(1) Jo(s) fonction de Bessel d’ordre zéro est _égale à I

pour s = _o, mais N,, (s) devient infinie quand _{s + o.}

(2) Pour f == 10’0 par exemple 1. = 3 cm.

phénomènes quasi

stationn aires,

on

peut

alors

définir un

champ magnétique

uniforme dans un

domaine limité. Dans ces

conditions,

on

_peut

écrire

et, en

posant

_{p =}

I

on aboutit à la solution

Í ;: 1-1:’; (1)

complète

de

_{l’équation}

de Bessel

_qui

est

Il _y a, cette

fois,

_{superposition}

de deux

ondes,

l’une due à

_JO,

_convergente,

_qui

reste finie

_puisque

r

ne devient _pas

infini,

l’autre

divergente

correspon-dant à la fonction de Neumann

_qui

reste

_également

finie

_puisque

r ne s’annule pas

(3).

Enfin,

le

_{champ électrique}

dans le métal

_tangent

aux

lignes

de courant

circulaires,

est

Pour achever le calcul de H et

_h,

il reste à

déter-miner les constantes

A, B,

C. CONTINUITÉ. -

Appelons

ro

_{et Ti}

les rayons

exté-rieur et intérieur du tube.

_Exprimons

la continuité

du

_champ

_électrique

et du

_{champ magnétique (qui}

sont

_tangentiels)

au contact du métal et de la cavité. On obtient les deux

_équations

suivantes :

Il continu :

h continu :

Enfin,

sur la surface extérieure ~ ~

_Ho

donne

une troisième relation

Si l’on remarque que est très

petit

En tenant

_compte

de la relation

C est la constante d’Euler: o,55~2..2Vo~~/) devient infini

et en

posant

=1

(s

_rayon

réduit),

on déduit des

égalités (1.11),

(1.12), (1.13) :

p

(Sans produire

d’ambiguïté,

on

peut

simplifier

l’écriture en

supprimant

l’indice zéro des

fonc-tions

_Jo

et

_No).

2. Calcul des flux. - Le flux

magnétique

total

se _{compose :}

10 du flux à travers le métal

_{d’épaisseur}

20 du flux dans la cavité _{de rayon r,}

CALCUL

Or

Donc

~2

dépend de so

par l’intermédiaire de A.

En utilisant les relations

et

cas

particuliers

_pour = i de

et

on trouve

En

_remplaçant

_{A, .B,}

_{C par leur valeur} et en

supprimant

momentanément afin

_d’alléger

l’écri-ture le

_{symbole 1’-j après}

les _{variables so}

_{et si}

dans

J,

J’,

N,

N’,

on obtient tous calculs faits

J,

N et leurs dérivées

J’,

1~’

_peuvent

être

_exprimées

_{par leurs valeurs}

_{asymptotiques}

_qui

sont

En effectuant les calculs et en

posant - - s,

_{- si}

(o-

est

l’épaisseur

réduite),

on trouve fir_alement

Le flux total résultant à travers la section droite du noyau est

VARIATION DE FLUX. - Avant l’introduction dans le

_champ

du tube

_magnétique

et _conducteur,

le flux était

1 Il’

Supposons

maintenant c

petit

(c’est-à-dire

e = _r.o -

r,

petit

devant

_p).

On

_peut

_remplacer

les

exponentielles

par leurs

développements

en série :

En

négligeant -

devant

l’unité,

la variation à4J

s’écrit finalement

(l’indice

zéro de la variable s

_peut

être

_supprimé).

APPLICATION. - C’est cette valeur de ~~

qui

doit intervenir dans la mesure de la

perméabilité

des

La variation de flux est donc

soit

couches minces

_cylindriques

_{par les méthodes}

d’in-duction.

La variation du flux d’induction mesurée avec

Po

l’unité

_O0

et

_produite

_{par l’introduction} de la

substance est

La

_{partie purement}

_magnétique

de cette varia-tion

_(y

=

o)

est

277

Foucault à cette variation de flux est donc

qu’on peut

écrire

’

le

_déphasage

de sur

.po

est

- QS .

Par

_rapport

à la f. e. m. induite _eo il est

_égal

à

L 1 AOy t d.. d,

Le module de vers i si s

augmente

indé-(DO

finiment et b

AOy

-

2013 ’

Enfin,

si

’-2-,L2

est

_grand

2JJL P. 03BC2

lorsque (7

tend vers i,

AOy

tend vers 1

(6).

Par

contre,

(Po

tend vers zéro si s

_augmente

indéfi-O0

niment ou si 0’ tend vers zéro

La variation

_{d’amplitude}

due aux seuls courants

induits,

rapportée

à celle

_qui

est due au seul

magné-tisme,

est

Nous verrons

plus

loin _{que le} module de

l’inten-sité totale dans le _noyau est _I,, = Ho c s

.

4R03BCV

1 4 +

u2

Si s croît à a-s

constant, Is

et

tg

_{q restent}

inchangés,

Mais à varie comme s2. ainsi _que

o

0 .

Mais A varie comme s .

EXEMPLE. - Cas d’un tube de nickel

_(en

couche

cylindrique mince).

ce

qui correspond

à un _{rayon de 5} mm et une

épais-seur e

= 2

_p

(~

= micron).

On trouve .1 = _o,gg.

Les courants de Foucault n’introduisent

_qu’une

variation

_égale

au centième de celle due au

magné-tisme seul. De

_plus,

tg Q = JS

= 10-,.

5 AO03BC 7 »

.1 1-P,

varie comme

O, tandis varie comme :7 s.

0 à

0

(a) Pour des couches _métalliques minces

G"2 S2

4.

Dans les mêmes

conditions,

avec s = 5o

(r=25 mm)

on aurait obtenu A

= 0,75

et

_tgQ

= 5.10-4. Le

je .2-S2 ,

terme étant très

_petit

_pour des couches minces :J.’2

devant

4,

l’importance

des courants induits croît

comme le carré du _rayon

Supposons qu’on

opère

à une

fréquence

plus

élevée : 105 _avec = _{I o.} Alors p = _o, 1 mm. S. Si r r ’"" == 5 _{mm, mm, s} s ’"" = 5o. 50. S. Si _e e

1

_03BC, on ,.,..,

== -

p, on a OE == 5.

Dans ces

conditions,

l’importance

des courants

induits devient environ

_sept

fois

_plus

_grande

_que

celle due au

magnétisme

seul

2.io-2).

On est donc

_obligé,

en haute

fréquence, d’employer

de très

_petits

_rayons. Avec s = 5

_(r

=

o,5

mm),

_on

aurait,

dans les mêmes

conditions, A

= 1

2013 2013

=

o,g3.

100

Et avec s

= 2,5

(r

=

o,25

= g8,3

_{pour 100.} En

_définitive,

l’étude du

_magnétisme

des couches minces en haute ou _moyenne

fréquence

conduit à

utiliser des

_{dépôts cylindriques}

_pour

_{lesquels s}

est

petit,

c’est-à-dire de

_petits

_rayons

_(à

’sera voisin

de I et p

négligeable).

On

peut

arriver facilement à

ce résultat _par

projection

cathodique

cylindrique

sur des tubes de verre, de

silice,

etc.

_(1).

3. Force électro motrice induite dans le solé-noïde. Intensité dans _{le noyau.} - La variation de flux A4J

_produit

dans le solénoïde une f. é. m.

induite

Dans

_{l’hypothèse}

de s

grand

et a-

petit,

cette f. é. m. a _{pour valeur}

En _{admettant que} l’enroulement inducteur

_porte

(1) Dans la théorie, on a supposé _{que la} cavité était le vide.

Dans le cas d’un _{diélectrique,} il suint de _remplacer la vitesse c

par V =

20132013.

Pour du verre, _{u. = 1, S =} Les calculs

B 03BCE V"

restent absolument inchangés ainsi que toutes les

approxi-mations.

(8) Dans tout _l’exposé, je suppose pour _{simplifier quel le} solénoïde porte une _{spire par centimètre} et _que le _noyau a une _longueur unité. Si le solénoïde _porte n _{spires par centimètre}

et si le _noyau a une longueur I, les valeurs de _Rl et _Li seront

multipliées par n2 1. Les valeurs de (î, divisées par 1,

une

spire

_par

centimètre,

on a

Ho

=

4 7": l p, l pétant

l’intensité maxima

_{qui parcourt}

l’enroulement.

Remarquons,

dès _{maintenant, que}

_{l’expression}

de e

(3 .1 )

permet

de calculer l’intensité totale du

courant induit. En

effet,

le coefficient d’induction mutuelle du solénoïde et du tube

_{d’épaisseur}

c et

de rayon s est

Donc l’intensité induite est

Nous retrouverons cette valeur directement.

L’expression

de e

qui

est

complexe

indique

_qu’une

partie

de la f. é. m. induite :

produit

un accroissement de résistance du solé-noïde

_représenté

_{par le coefficient} de

_{- I,,.}

Par

contre,

le coefficient de

_Ip

dans le terme

représente

une variation d’inductance de

l’enrou-lement

_(positive

ou

négative).

L’accroissement de résistance

correspond

à une

dépense

d’énergie

sous forme d’effet

Joule dans le tube

12

soit

Lorsque

0- varie

(0-

«

_I)

cette

_énergie

_passe par un

.

maximum pour

c’est-à-dire une

épaisseur

en

_posant

-

(9).

Tous les termes du

V2R03BCyw

développement

obtenus, en

supposant ,j s

petit,

sont

_{indépendants}

_{de p. En}

_fait,

seul le

_premier

terme, e =

~--=

2

est

_important.

D’autre

_{part, si y}

est

trés

_grand,

les

_phénomènes

d’aimantation

superfi-cielle interviennent et les

_équations

de

_départ

n’en

tiennent pas

compte. L’indépendance

de e

optima

vis-à-vis de est donc un _peu illusoire dans ce cas.

2 li- ,

Pour ’7= 203BC, on trouve ¿

,S

la

_tangente

à

_l’origine

de la courbe de

_l’énergie

en

r jL- -. -, y w .

fonction de o-

_{S3 Hfi}

isoit201320132013 ( / -2013

_2).

4-P.-’" 0 _{y !)} La valeur du maximum ne

dépend

_pas

de li.

~

Fig. 2.

(toujours

dans

_{l’hypothèse}

_{~. pas} très

_grand),

mais l’inclinaison à

_l’origine

est inversement

proportion-nelle à

~/ ~a .

Toutes les autres variables contribuent

à l’acuité du

_phénomène,

_{particulièrement}

le

rayon

(r3).

Le

_premier

terme donnant la valeur

_{optima e}

= a été trouvé la

première

fois par J. J. Thomson

[4]

qui

évalua la

_quantité

de chaleur

_produite

dans l’in-duit en utilisant la valeur moyenne du vecteur de

Poynting

(1a). Depuis,

le

_phénomène

a été étudié

théoriquement

et

_{expérimentalement}

_par G. Ribaud.

Dans de nombreuses

_{publications,}

ses résultats

confirment l’existence et l’exactitude de la valeur

optima [3].

(1) Un _{développement} de _{plus poussé} conduirait à une

valeur de _{l’épaisseur optima}

n ro ,

A _partir de maintenant, nous _{désignons par} e la

cons-tante / 2 T:

-

qui a les dimensions d’une _{longueur (effet}

de _peau).

(10) Voir plus loin _{[paragr. 5,} form. (~ .10)] le calcul de la

CALCUL DE L’INTENSITÉ ET DE LA DENSITÉ DE

COURANT. - Dans le

métal,

on a les relations

sui-vantes :

En

_{remplaçant .H}

_par sa

valeur,

on a

et

le calcul donne

Comme

_{précédemment,}

l’écriture a été

simplifiée

en mettant

Jso

ou

Nso

à la

place

de

J,,,V-- 1

ou

-1

En

_{remplaçant B}

et C par leur valeur

(1.15), (1.1 ~),

on trouve

En

_remplaçant

_J,

_{J’, N,}

NI _par leurs valeurs

asymptotiques (2.3),

on obtient finalement

et,

en faisant u

petit,

ou

avec

Puisque a-

est

_petit,

on

_{peut prendre}

_{pour densité} de

(11) On retrouve bien la valeur de _{1, (3.2)} obtenue par

l’intermédiaire de et M. _{Remarquons que c’est} le terme

en _quadrature avec le _{champ qui correspond} à _l’énergie Joule.

courant i =

ij

= Ii

soit

e

Si e tend vers

zéro,

la densité

superficielle i,

_

~~~

_ry r~>

est décalée

de 7"

sur

Ho

ainsi _que

hs=ls.

A ce moment,

9 ...,

la f. é. m. induite est évidemment

1

montre _que si e

croît,

l’amplitude

de h

diminue.

Mais la

_composante

réelle RH0r2w2ye _passe Mais la

_composante

réelle

_{1+4R2e2r2w2y2}

_passe

.

par un maximum _pour e -

7

a

9’-L

A ce

moment,

-. /..l.

Y = R.

l

4. Variations de self et de résistance de l’inducteur. Résistance et self de l’induit. -La connaissance de

_permet,

_{par l’intermédiaire} de la f. é. m. e écrite sous la forme

complexe,

de

calculer

_{l’augmentation}

de résistance de l’enrou-lement et sa variation de self.

On a

trouvé,

_{pour la f.} é. m.

induite, l’expression

d’où

_{l’augmentation}

de résistance de l’enroulement

Elle _{passe par} un maximum pour o

= s

et vaut

ce

qui

correspond

bien à une

2y03BC

énergie

Joule

".> ... TT

Comme

_{Ri peut}

encore s’écrire sous une forme

symétrique

par

rapport

à e et y :

on voit que si w _y est très

grand,

Rl

tend

Remarquons

enfin _que si la ’

2Rrew

correspondant

à

_Rl

maximum est

_faible,

il est

néces-saire,

pour observer ce

maximum,

_d’avoir une

grande

La variation d’inductance sera donnée _par

soit

Si e -~ o, o.

Enfin,

l’énergie

électromagnétique

a _{pour valeur}

qui présente

un minimum pour

Pour 1, cette valeur de e devient

rapidement

égale

à la valeur e =

~‘

qui

est

_{l’épaisseur optima}

correspondant

au maximum d’effet Joule.

CALCUL DE LA RÉSISTANCE ET DE LA SELF DU

TUBE. -

Écrivons

que la

puissance

dépensée

par effet

Joule

dans l’enroulement est

_égale

à la

puis-sance

_dépensée

_{par effet Joule} dans le tube.

Nous avons vu _{que la valeur de}

Ii’

dans le tube H20 o2 S2i 1

était

2 j«2.

Il vient

donc,

en

appelant

_Ol,

16R203BC2

’ ,

o2s2

03BC2 la résistance du tube

d’où

(12) La valeur R = 21:,. est celle _que 1 on _pourrait calculer

,je’

directement en _supposant une densité de courant uniforme

dans une couronne d’épaisseur e, de rayon r et de

conducti-bilité y.

(par

unité de

_longueur)

et

En

_{appelant £}

la self du _tube, un calcul

identique

portant

sur la valeur

imaginaire

de e :

conduit à écrire

ce

qui

donne

Ainsi,

lorsqu’un

tube

_{métallique magnétique}

est

placé

dans un

champ

magnétique

sinusoïdal,

son

rayon r étant

grand

et son

épaisseur

e

petite,

vis-à-vis

de _{p p}

B

= 1

, il se

produit

une distribution

de courants dans

_{l’épaisseur}

du tube _{telle que la self}

qui

en résulte est .

La

_présence

de e en dénominateur semble

indiquer

que 1-’

peut

devenir extrêmement

_grand

si e tend vers zéro

(13).

f! _{passe par} un minimum pour

si F

est assez

_grand.

_Enfin,

(13) Le coefficient de self d’un circuit parcouru par un

courant i et dont _{l’épaisseur} tend vers zéro devient infini.

Le _champ

~1

à une distance d augmente, en _effet, indéfiniment

si d - o, à moins que 1 tende _{plus rapidement que d} vers zéro.

En _fait, la façon dont nous avons obtenu (4.5) ne nous

permet évidemment pas de faire tendre e vers zéro. Le

En dehors de ces

valeurs,

si cay est très

grand,

Nous avons ainsi calculé 1" et iR dans le cas du tube : s

_{grand, 7 petit.}

Le calcul

_peut

être conduit dans

_{n’importe quel}

cas

et de manière

_identique

_par l’intermédiaire de

Mais il faut évidemment

utiliser,

dès l’instant où l’on ne se

place plus

dans des cas

limites,

les tables

de fonctions de Bessel

_(14).

5. Cas du

_cylindre

_plein.

- Comme nous le

verrons

plus

loin,

ce cas est très

important

dans la

pratique.

Les

_équations

de

_départ

sont évidemment

beaucoup

plus

simples

que pour le tube.

Toujours

en

négligeant

le courant de

déplacement

devant celui

de

_conduction,

elles donnent Le

coefficient de la fonction de Neumann étant nul

et H devant être

_égal

à

_Ho

_{pour s} = _{so, on} obtient

immédiatement

Supposons :

petit.

On en

déduit,

après

calcul,

(en

mettant s à la

_place

de _{so pour}

_alléger

l’écriture).

20 s

grand.

-

Ici,

en

appelant

Rs et

I,

les

parties

réelles et

imaginaires

(14) Ainsi, la transformation d’un _{cylindre plein} en tube entraîne _{l’apparition} de la fonction de Neumann dans les équations des _champs et de la densité de courant. En même

temps, apparaît, sur la face interne du tube, une couche de

courant. Ce n’est que lorsque la _fréquence devient suffisamment

élevée que la couche interne _disparaît. Il ne reste plus que la couche externe pour laquelle ;~ = (Le flux interne est

nul.) Si l’inducteur et le _{noyau sont de même nature,} le

cou-rant et l’induction dans l’inducteur, se _{reproduisent à} ce

moment dans le _noyau comme des _images réflétées.

En

_remplaçant

_Rs et

_I,

_par ces valeurs dans

et en faisant s

grand

dans

l’expression

obtenue,

on obtient ii Ce résultat est

évident,

le

LI- ’" Y

champ

dû à _{la nappe} de courants

_superficiels

devant

s’opposer

au

champ

inducteur _pour

créer un

champ

résultant nul sur l’axe du

_cylindre.

Nota. - Pour les

grandes

valeurs de s, la formule

asymptotique

donnant est

qui,

par la relation

donne

Ces

_{développements}

conduisent à des formules

simples

pour les fonctions

D’où Comme et il vient . ffi tl (1 ,s"

qui,

" avec

’P 0 = -’--’

" donne

(en supprimant

l’indice zéro à

_s).

D’où

Comme

_{précédemment,}

on en déduit une _augmen=

tation de résistance

_primaire

La

_{puissance dépensée}

_par effet Joule est

La résistance du

_cylindre

est donnée _{par la} rela-tion

’

D’où

La variation de self

_L,

du

_primaire

sera donnée par

Soit

Le coefficient de self

_apparent

_{pour la} hauteur icm

est donc S’il croît avec >,

c’est tout

_simplement

_{parce que}

_{l’hypothèse}

du

cylindre

indéfini

_supprime

le

_{champ démagnétisant.}

La self Jfi _{du noyau} sera donnée par

l’égalité

D’ où

s’annule donc _{pour p.} == _i, ce

qui

est normal.

j

/8

La valeur r =

V83 E

n’est

pas

acceptable, puisque,

par

hypothèse,

r s.

2° s grand.

D’où

aupa-ravant, on déduit

et

On en

déduit,

_pour la chaleur

dégagée

dans le

noyau,

Remarquons

que, dans

l’expression générale

de ~~ obtenue dans le cas du tube

_{(2 . 7),}

si o n’est _pas

petit,

la

_{partie principale}

de A(D a _pour valeur

D’où

qui

est

_identique

à la valeur de e trouvée

direc-tement

_(5.9).

Tout se _passe donc à ce moment comme si le

cylindre

était

plein.

Si l’on fait le

_rapport

de

_l’énergie

_dépensée

dans

le tube pour

l’épaisseur

optima (3.3),

à celle

dépensée

dans le tube

_plein

de même rayon

exté-rieur

_(et

de même

_nature),

on trouve

Ce

_rapport

étant

_beaucoup

_plus

_grand

que I, la

chaleur

_dégagée

dans le tube est

_beaucoup

_plus

grande

que dans le

cylindre

plein

(15).

En

_employant

les valeurs

_{asymptotiques (5.4)}

pour

Jo

et

_J,,,

on aboutit à une

énergie

L’augmentation

de résistance du

_primaire

est donc

et _{la ,variation de self}

(15) Je n’insiste pas sur cette _{discussion, qui} a _déjà été

approfondie théoriquement et _{expérimentalement par G.}

Ribaud _[31.

D’autre _part, Marc Jouguet a fait une étude _complète des

valeurs Rl et _Li dans le cas du _{cylindre plein} et de

l’ellip-soïde _[6].

Cette

valeur tend vers la limite

évidente -+ ;:2

r2

ou y

augmente

indéfiniment

(16).

Enfin,

L,

s’annule

pour r _{== t/ 2013±2013 == 1l.Z.} Si _{ia est} assez

_grand,

ce

V 2Rwy c

zéro

_peut

s’observer et

_correspond

d’ailleurs à un

maximum de

_{L1 CD.}

_Cependant,

pour des valeurs

de ~.

élevées,

ce résultat n’est pas à

retenir,

car nos

équations

de

_départ

ne tiennent pas

compte

du

champ

démagnétisant.

Pour cette

raison,

on ne

peut

_{pas déduire} des

expressions

de

_Ri

et

_L,

_que,

_{lorsque 03BC}

croît

indéfi-niment

_.R1

devient infini

_positif

et

_L,

infini

_négatif.

D’ailleurs,

une théorie

identique

portant

sur la

sphère

ou

l’ellipsoïde

montre _que

.~1

tend vers une limite

finie,

tandis _que

_R1

tend vers zéro

quand j

croît

indéfiniment.

Cependant,

pour des valeurs _{normales de 1-j-,} les variations de W,. en fonction de _[1. ont

qualitati-vement la même _{allure pour la}

_sphère

et le

_cylindre

indéfini. La

_puissance

absorbée croît avec _p.

[6] (17).

CALCUL DE LA RÉSISTANCE ET DE LA SELF DU NOYAU. - On déduit aisément des

égalités

et

les valeurs

et

représente

la section utile 1

Ainsi,

la self _propre du noyau pour la distribution de

courant existante

_comporte

une

partie

constante

et une

partie

variable

2Rr V2R03BC

qui

décroît si ü)y

wy

croît. -La

_{première partie}

_correspond

à la localisation

superficielle

du courant à la limite.

(is) Je suppose néanmoins que w reste toujours inférieur à

une limite telle _que la longueur d’onde _{correspondante} soit

grande devant les dimensions du noyau, afin de _négliger les

courants de déplacement devant ceux dus à la conduction.

(17) Notons aussi que les phénomènes d’aimantation super-ficielle qui prennent naissance pour y très grand, ne modifient pas la valeur de l’intensité _{superficielle} dans le

REMARQUE. 2013

Supposons

que, dans un

champ

magnétique

alternatif,

on

place

un tube constitué

par des

spires jointives d’épaisseur

e et de rayon

moyen r, au nombre de n _{par centimètre.} Si r est

grand

et e

petit

vis-à-vis de E, on a vu _{que cR., ==}

~^;‘’~ .

Si l’on déroule les n

spires,

on forme un

cylindre

de

diamètre e, de

longueur 2Rnr qui,

placé

parallè-lement au

champ prend

une résistance

-2étant

petit

par

rapport

à ê.

r>>

Donc,

(Ils =

2 R r2 Rc.

r étant

grand

_par

rapport

e2

à e, 6ts est

beaucoup plus grand

que Rc.

Pour les

selfs,

on a de même

_ , 1 _, ’B

et

avec n

= I

et r

grand

_par

rapport

à _8, on trouve

e 1 7U

que Ls = çzj - - _{f(, ,}

8 E4 * -

1

Au

_point

de vue des

puissances dépensées

dans

chaque

cas, on aura

et

Si,

en

particulier,

e =

"2013 ?

on tire

e étant

petit

vis-à-vis de _s, l’enroulement du conduc-teur favorise la

_{production d’énergie}

Joule.

6. Self et résistance de

_pertes

d’une bobine. Surtension. - Nous avons

jusqu’ici

raisonné

sur 1.p et sa dérivée par

rapport

au

temps

_pour

calculer £,

cu,

Li,

Rl.

En

_opérant

sur

2013 .

bt

(+1

+

$2)

ou

(Dl

₊

O2

= Y

est le flux résultant

total,

il est

évident

_qu’on

est conduit à considérer la self totale

de la bobine

_(enroulement

et

_noyau)

ainsi que

l’indique

l’équation

où U est la tension aux extrémités et

R~

la

résis-tance

_électrique

de l’enroulement.

Le

_{flux ut}

_{== ~1 +}

_~2

étant

_{complexe, ’~}

=

’~7 - j ~.; ~,

(6.1)

peut

s’écrire

R1=

que nous avons

déjà

calculé est une r

ésis-I>>

tance de

_pertes

due à l’existence des courants de Foucault. La ,

correspond

à une

induc-Ip

tance L. Nous allons calculer dans

_chaque

cas les

’valeurs de L et

_R1

de

_façon

à

_exprimer

le quo-tient

LU’

_qui

caractérise la

surtension,

ou facteur

Ri

, i

de

_qualité

de la bobine. Le

_rapport

p."

_{= O0}

_o nous

, .., 03BCa , i

donnera la

_{perméabilité}

_apparente

et r =

1 -

_

03BCO0

, ; u

le facteur de réduction du flux de la bobine. l’

Remarquons

que

(D,

est le flux à travers l’enrou-lement en l’absence de _{noyau. Donc} est le flux

à travers le _{noyau pour} des oscillations de très basse

_fréquence.

Lw

Le facteur

_Ri

ne tient

_compte

_{que des}

pertes

par courants de Foucault. En

réalité,

pour

déterminer le facteur de

_qualité

réel de la

_bobine,

il faudrait tenir

_{compte :}

10 due la résistance de

l’enroulement;

20

des

_pertes

_par

_hystérésis

et _{par effet de} retard. Dans ces

conditions,

on aboutit à la formule

dans

_laquelle

~,l constante de l’effet de retard est

indépendante

de c~ et

Ho;

oc constante de

Rayleigh

règle

la montée

_quadratique

de la courbe d’induc-tion

_(1s).

D’autre

_part,

dans le calcul de

_QF,

nous

suppo-sons B en tous

_points

du _corps. En

_{r éalité,}

si l’on veut tenir

_compte

de

_{l’hystérésis}

et de l’effet

de retard dans le domaine de

_Rayleigh,

il faut écrire

le

_{développement}

de B

en ne considérant _{que le terme} fondamental de

pulsation

oj

(20).

(18) Nous supposons n = i. U _correspond donc à la

diffé-rence de _potentiel sur cm de _longueur du solénoïde. Pour

n _spires et une longueur _{de noyau} 1, il faut _multiplier R1

et _{L par} l dans tous les cas _envisagés.

(19) Les trois angles QF,

.) ,,1 ’ï: xjf°

étant _petits, le _principe

5 _{j, a}

de superposition s’applique. Mais _{l’expérience} montre que, pour des poudres, E,, n’est pas toujours indépendant

d e et _H~.

(2°) D’ailleurs, la théorie montre _{que la présence} de termes

en cos 3 w 1 « produit des voix voisines » sur les lignes de

transport à différentes ondes porteuses, car la _pulsation

tombe, en général, dans une autre bande de _fréquence. Mais

ce terme _parasite est _{proportionnel} à _R~ résistance de _pertes

Enfin, les bobines étant

_toriques,

dans la

_majorité

des cas, il

n’y

a _{pas de}

champ démagnétisant

dù

aux extrémités.

CAS DU CYLINDRE PLEIN. -

a. s

pefit (r ; E).

-Les

_équations

_{précédentes}

nous donnent

Donc,

et

d’où

Donc,

F, Y) ~ I.

Q F

est inversement

propor-tionnel à s2.

On en tire d’ailleurs la formule connue

qui

donne la résistance de

_pertes

_par courants de Foucault en fonction de l’inductance.

l’intermédiaire des valeurs

_{asymptotiques,}

on trouve

D’où

Donc

Si s est

grand,

i.

Ri

son module

i ~~ ; N 2 ‘~

tend vers zéro si s

_augmente

indéfiniment.

Son

_{module !}

1°f)

= 2

=

I

_{tend vers zéro si}

, s

r GR03BCyw

s

_augmente

indéfiniment.

1.

Cas du tube

_{(s > 1, ~ I).}

- Les résultats sont

évidemment

_{plus complexes.}

De

_{l’expression}

En utilisant la valeur de »

_déjà

calculée

_(2.7),

on obtient

qui

donne

Lorsque c

tend vers

zéro, s

étant constant

ce

qui

est normal.

Donc r -~ _o,

puisque

e E et E tend alors vers zéro.

Enfin,

ce

qui

donne

d’où

Si p. est

grand, o-

étant

_petit,

_pour des valeurs de s de

quelques

unités

_{Qp peut}

être très

_grand.

On voit

aussi _que si s - x

(à

r

constant) Ql: -~

o et o

a s constant sc. De

plus, Q f,

_{passe par} un

1

minimum _{Pour a} "

_{== 2013201320132013}

]J

et croît ensuite

(ü 1).

Ce minimum

_peut

d’ailleurs s’écrire

Pour des valeurs de y très faibles

(poudres

ou

semi-conducteurs), w peut

se trouver en dehors de la

gamme de

_fréquence

d’utilisation : le minimum ne

Signalons

que la résistance de

_pertes

_Ri

_passe

par un maximum pour o- =r

~S ,

ce

qui

donne

Si la nécessité conduit à la construction d’un _noyau

tubulaire,

il y a donc intérêt à se tenir

éloigné

de la

condition (j === 2 :J..

s

Dans

l’ensemble,

une

augmentation de p

fait

croître

_et

une

augmentation

de 1

fait décroître

QF

et p..a. Il faut donc éviter

_qu’un

accroissement

de 1-,t

dans la fabrication _{du noyau}

_{s’accompagne}

d’un accroissement de _y. De cette

_façon,

_QF

_{et Il,,} pour-ront rester

_importants.

CONCLUSION. -- Les

qualités

d’une bobine

dépendent

de

_QF

et n. Dans le cas du

cylindre plein,

ces deux

paramètres

sont fonction de s seulement

Pour un matériau donné

(ia,

_y

donnés)

et une

même

_{fréquence QF}

croît si r décroît

(toujours

dans

. l’hypothèse

r >

_~).

D’où l’intérêt de la division du matériau servant de noyau. Par contre, si s

croît,

QF-i,

d’où amortissement du circuit oscillant contenant la bobine. Notons aussi

_qu’une

diminu-tion de _’Y ou r

augmente

Qr~

et fJ-a. Mais une

dimi-nution de li.

augmente

Qr

et diminue N t,.

Enfin,

r et M étant

donnés,

_03BCa varie comme

V03BC.

,

,

Mais

_QF

varie

comme 20132013 ’

Une

_augmentation

, 03BCy

de li.

fait donc croître et décroître

_QF.

_{Il y} a

donc intérêt à diminuer y. Autrement

dit,

deux

noyaux de

même t..t,

peuvent

avoir des surtensions

différentes si

_{leur pi,}

est différent et inversement.

La

_technique

actuelle recherche donc des noyaux de forte résistivité

_(poudres

_{agglomérées}

de substances

ferro-magnétiques

et même

_{semi-conductrices)}

_qui

possèdent

cependant

une valeur

de p

assez

_grande

pour conserver _{un fJ-a}

important.

Mais une difficulté

surgit

dans cette voie car les

_pertes

_par

hystérèse

sont

_{proportionnelles}

au coefficient oc de

Rayleigh.

Je donne ci-dessous

_quelques

valeurs obtenues au

laboratoire du

_Magnétisme

à Bellevue

_(Tableau

_II).

Qu’il

me soit

permis,

_pour

terminer,

d’exprimer

ma reconnaissance à MM. Ribaud et Bauer,

qui

ont

bien voulu s’intéresser à ce

travail,

ainsi

qu’à M.

Bou-taric,

qui

a mis à ma

disposition

une utile

docu-mentation.

Manuscrit reçu le 5 juillet 1948. BIBLIOGRAPHIE.

[1] BECKER et _{DORING, Ferromagnétisme, Springer,} Berlin.

[2] Max PLANCK,

Électromagnétisme.

[3] G. RIBAUD, J. de Physique, juin 1923, août _1926,

juin 1932, novembre _{1932, janvier 1946,} avril _1947;

Technique moderne _{(avril-mai 1929).}

[4] J. J. THOMSON, Recent Researches.

[5] E. JAHNKE et F. EMDE, Funktionentafeln mit Formeln

und Kurven.

[6] Marc JOUGUET, Courants de Foucault et _fours à induction,

Gauthier-Villars.

[7] J. _MAXWELL, Traité d’Étectricité et de Magnétisme.

[8] A. _GRAY, G. B. MATHEWS et T. M. MAC ROBERTS,

Bessel _functions and their applications to _physics

(Macmillan).

[9] WHITTAKER et _WATSON, Modern _Analysis.

[10] G. N. _WATSON, Bessel _{functions, 1922 (Cambridge}

Uni-versity Press).

[11] MESNY, Radioélectricité Générale. T. II.

[12] SCHELKUNOFF, Electro-magetic waves, (Van Nostrand,