HAL Id: jpa-00241235
https://hal.archives-ouvertes.fr/jpa-00241235
Submitted on 1 Jan 1907
HAL is a multi-disciplinary open access archive for the deposit and dissemination of sci- entific research documents, whether they are pub- lished or not. The documents may come from teaching and research institutions in France or abroad, or from public or private research centers.
L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est destinée au dépôt et à la diffusion de documents scientifiques de niveau recherche, publiés ou non, émanant des établissements d’enseignement et de recherche français ou étrangers, des laboratoires publics ou privés.
Résistance électrique des solénoides pour les courants de haute fréquence
A. Battelli
To cite this version:
A. Battelli. Résistance électrique des solénoides pour les courants de haute fréquence. J. Phys. Theor.
Appl., 1907, 6 (1), pp.559-568. �10.1051/jphystap:019070060055901�. �jpa-00241235�
559 Dans ces dernières expériences, il est nécessaire de maintenir l’ai-
guille par un arrêt b qui empêche le disque de sortir de l’ouverture circulaire du plateau A.
Conclusions. - Cet appareil permet de mesurer, comme on vient de le voir, des potentiels très élevés avec une erreur relative infé-
. ,t
rieure a
100°
En prenant un fil de diamètre convenable, la limite est le potentiel
dont la distance explosive correspond à la distance des plateaux.
Il permet de charger une batterie à un potentiel connu, car il suf- ,
fit de tordre le fil de l’angle calculé et de saisir l’instant où le disque
est attiré.
Il peut être, sans difficulté, manié par des mains inexpérimen-
tées.
RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE DES SOLÉNOIDES POUR LES COURANTS DE HAUTE FRÉQUENCE.
Travail de l’Institut de Physique de l’Université de Pise.
Par M. A. BATTELLI.
PREMIÈRE PARTIE.
La résistance électrique des conducteurs métalliques n’est physi- quement déterminée que lorsqu’on a établi la loi d’après laquelle le
courant électrique se distribue dans les différents points du conduc-
teur même.
Cette distribution varie considérablement avec les variations du caractère du courant. On ne connaît pas bien la loi qui préside à ces variations, si ce n’est lorsqu’il s’agit d’un conducteur rectiligne
à section circulaire.
On rencontre assez rarement ce cas dans les recherches expéri- mentales, où l’on emploie le plus souvent des conducteurs enroulés
en solénoïdes. Dans un précédent travail (1) que j’ai publié en colla-
boration avec le Dr Magri, nous avons eu l’occasion d’observer (1) Meinoi-ie della R. Accadernia delle Scienze di ronino, 2, 51, p. ’311; 1902.
Article published online by EDP Sciences and available at
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019070060055901
560
que la distribution du courant dans l’épaisseur du fil est très diffé-
rente de celle qui a lieu dans les mêmes conducteurs rectilignes.
On observe toujours qu’avec des courants oscillatoires la résis- tance d’un solénoïde, composé d’un fil dont l’épaisseur ne soit pas très faible, est toujours plus élevée que la résistance qu’aurait ce
même fil seil était disposé en ligne droite. La différence croît avec
l’augmentation de la fréquence des courants, et elle est d’autant plus importante que l’épaisseur du fil est plus forte et que la distance entre chaque tour de la spirale est plus faible.
Dans un conducteur rectiligne, les courants alternatifs ne passent
que par une mince couche superficielle; lorsque le même conducteur est enroulé en spirale, la portion de conducteur qui ne participe pas
au passage des courants se trouve accrue et, par conséquent, la
section utile du conducteur est encore diminuée.
Nos résultats ont été confirmés par Dolazelek (~ ), qui, indépen-
damment de nos observations, remarqua que la résistance de
quelques bobines était supérieure à la résistance que ces mêmes bobines présentaient pour des courants continus. Il attribua cette
augmentation à des courants de Foucault et à des défauts d’unifor- mité de la distribution du courant dans la section du fil.
Mais Wien (2) montra que ces augmentations de résistance ne
pouvaient être attribuées à des défauts d’uniformité, ce que nous avions déjà établi.
Cet auteur proposa une interprétation théorique des résultats de
Dolazelek, et ses formules finales concordent assez bien avec les
expériences, pourvu que celles-ci fussent faites avec des bobines à
plusieurs couches de fil. Dolazelek a employé des courants dont la fréquence a été poussée jusqu’à 3 000 alternances par seconde.
lue cas d’un solénoïde avec une seule couche de spires a été traité
à part par Wien. Il est arrivé à la conclusion qu’avec des courants
de fréquence N la résistance R est donnée par une série du type
où Ro est la résistance pour des courants continus, a, b, c, ... sont
des constantes qui dépendent de l’épaisseur du fi) et de la distance
entre chaque tour du solénoïde.
(1) 12, p. 1142: ~.903.
(2) Ann. d. Phys., ~1’~, p. ~ ; 1904.
561 Le calcul effectif de semblables constantes est très compliqué, si
bien que Wien s’est contenté de trouver seulement la valeur de la
première d’entre elles.
Indépendamment de cet inconvénient qui fut relevé par Wien, la
série (1) ne peut fournir une valeur suffisamment exacte de R. En
effet, dans les raisonnements qu’il fait pour établir cette valeur, Wien
. suppose implicitement que la distribution du courant dans la section du fil est uniforme dans tous les points qui se trouvent à la même distance de l’axe du solénoïde, c’est-à-dire sur les points d’un cylindre
coaxial avec le solénoïde.
11 est à présumer que, de même que dans un conducteur rectiligne
le courant tend à se localiser à la surface du conducteur, dans le cas présent la densité du courant sera supérieure aux points qui sont
à proximité de la surface du conducteur. Il se peut aussi qu’avec un
solénoïde il y ait, à côté du phénomène étudié par Wien, un phéno-
mène analogue au skinetrekt des conducteurs rectilignes. Il s’ensuit que la résistance des solénoïdes élémentaires étudiés par Wien ne
peut pas être considérée comme quantité indépendante de la fré- quence des courants.
Plus récemment, Sommerfeld(’) a repris le même problème, en
passant du cas des solénoïdes usuels formés de spires distinctes l’une de l’autre a11 cas d’un solénoïde idéal constitué par un tube vide intérieurement dans lequel le courant est obligé de décrire des lignes
circulaires ayant pour axe l’axe du tube. Il calcule pour de hautes et de basses fréquences la résistance d’une portion annulaire du tube comprise entre deux plans dont la distance est égale à l’épaisseur des parois du tube. Cette portion constitue par conséquent une spire à
section carrée.
Sommerfeld a comparé la résistance R de ses solénoïdes hypo- thétiques, qu’il suppose être construits avec un ruban de section
carrée, avec les résistances correspondantes R’ que l’expérience donne
à ces solénoïdes, quand leur section, pour une aire égale, est trans-
formée en un cercle. Il était arrivé à la conclusion qu’entre 1-~ et R’
il y a bien une très notable différence (égale environ à a0 0/0 de R’),
.
1 R .
l " 1
mais que le rapport pP .. R est une constante y, qui q a la même valeur
(y = 0,6) aussi bien pour les hautes que pour les basses fréquences.
(1) Ann. d. 15, p. 6’~~ : 1904.
562
T3/
Toutefois, en réalité, la constance du rapport 1 pp R dans les cas exa-
minés pa r Sommerfeld doit probablement être attribuée plutôt à une
coïncidence qu’à une loi physique.
En effet, le rapport T- a une valeur égale à 1 pour les courants continus. Il est vraiment improbable que cette valeur arrive, d’une
manière presque discontinue, à 0,6 aussitôt que le courant devient alternatif. Il est, aussi, peu probable que cette dernière valeur se con- serve constamment pour les hautes et les basses fréquences.
Il semblerait même, d’après les conclusions de Sommerfeld, que,
pour les hautes fréquences, la résistance d’un fil enroulé en hélice devrait être indépendante du pas de l’hélice, ce qui est tout à fait
contraire aux expériences.
J’ai tenté par une autre voie de résoudre théoriquement cet impor-
tant problème, en m’occupant seulement du cas des très hautes fréquences. Pour les courants de basse fréquence, les résultats de Wien sont excellents. J’ai fond~ mes déductions sur une observa- tion ayant un caractère assez général, et qui élargit considérablement l’étendue théorique des lois bien connues qui indiquent la localisa- tion des courants de haute fréquence à la surface dans les conduc- teurs rectilignes.
On sait que, dans un conducteur de forme quelconque, les trois composantes u, v, w de la densité du courant, si celui-ci est variable p ar rapport au temps t, satisfont aux équations :
où
et les constantes p et 7 représentent respectivement la perméabilité magnétique et la résistance spécifique du conducteur.
Ces équations ont été intégrées dans deux cas particuliers : 1° dans
le cas où le conducteur est formé d’une plaque métallique ; 2° dans
le cas où le conducteur est formé par un cylindre plein ou vide.
>
563 Dans ces deux cas, si la fréquence des courants est suffisamment
élevée, on trouve que ~1 ~, en indiquant par
la densité du courant à la surface du conducteur et en représentant
donc par w le nombre d’alternances que fait le courant en 2x secondes dans un point M (fig. l) à l’intérieur du conducteur et situé à la dis-
tance 1 de la surface, la densité du courant est
FIG.
où « est une constante et précisément :
Comme on le voit, l’amplitude
de la densité du courant décroît, par une loi exponentielle, en même
temps que saugmente. Par conséquent, pour detrès hautes fréquences
le courant peut être considéré comme presque complètement localisé
dans une très faible couche ~ superficielle du conducteur. En outre, la
phase du courant diminue quand s augmente, dans la même mesure (1) J.-J. TH011S0N, Recent Researches in elect1’icity and maqîietism, 237 et suiv.
En me servant des formules données par Thomson, j’admets que 7n - o, c’est- à-dire que les dimensions du conducteur sont négligeables par rapport à la lon- gueur d’onde des courants.
Il .
564
avec laquelle croît, en valeur absolue, l’exposant qui apparaît dans
la précédente expression de l’amplitude.
On doit remarquer que, pour les conducteurs cylindriques à sec-
tion circulaire, on a, comme on le sait,
et, en substituant dans l’équation précédente, on obtient :
D’autre part, il est facile de vérifier que l’expression (2) satisfait à l’équation :
On arrive donc à admettre que, pour,des fréquences très élevées,
le terme
dans l’équation (4) est négligeable par rapport aux autres, c’est-à- dire que le conducteur se comporte comme si le rayon de courbure p de la section du fil était infiniment grand.
Considérons maintenant le cas général d’un conducteur de forme
quelconque. Supposons que les cosinus de direction du courant a, ~3, ,~, soient connus. En indiquant par o la grandeur de la densité du courant au point des coordonnées x, y, ,~~, on a :
et une quelconque des équations (1) peut servir à la détermination effective de ~. Pour avoir une plus grande symétrie du calcul, il vaut
mieux se servir d’une combinaison linéaire, particulière, celle qu’on
obtient en multipliant chacune des éqnations (1) respectivement par
oc, par ~ et par y et en sommant les résultats. C’est l’équation :
où le facteur D a la signification :
565 0 étant le symbole bien connu du premier paramètre différentiel. :
Dans le cas où le courant a une direction constante, u, 6, y sont des constantes et, par conséquent, D = o ; alors J satisf’ait aux
mêmes équations auxquelles satisfait une quelconque de ses compo- santes.
Mais, si la direction du courant n’est pas constante, D est en
général différent de zéro, et l’équation (6) à laquelle satisfait la gran- deur m de la densité du courant est différente généralement de celles auxquelles satisfont les composantes M, v, 2o de la même densité.
L’impurtance plus ou moins grande que peut prendre, dans les cas
les plus fréquents, le terme D . ,, par rapport aux autres qui entrent
dans l’équation (6] est subordonnée à la nature des expressions
effectives de x, , y, en fonction J, z.
En limitant mes considérattons au cas le plus intéressant pour le
problème à résoudre, je supposerai que (du moins dans la limite d’un champ suffisamment étroit autour d’un point quelconque du conducteur) les lignes du courant peuvent être considérées ap-
proximativement comme des arcs de cercle ayant tous un même
axe. En prenant cet axe pour axe des et en plaçant convenable- ment les deux autres axes de coordonnée, on a :
et
On en déduit facilement que :
L’équation (6) devient donc :
Dans la plus grande partie des cas, les lignes de courant ont une
courbure négligeable ; par conséquent, en négligeant le dernier
566
terme de cette équation, on a :
Pour arriver à la généralisation indiquée plus haut, considérons la famille de surfaces sur chacune desquelles la densité du courant
ait une valeur constante m.
Soit
une de ces surfaces.
Prenons un point x, y, z de cette surface et orientons les axes des x et des y comme les tangentes aux lignes principales de cour-
bure au point choisi. L’expression effective du paramètre prend
la forme :
où, selon les notations de Monge : -.
En indiquant par s la distance normale d’un point quelconque du
conducteur à la surface = z (~, y) et en se rappelant que
où 1est la courbure moyenne de la surface même, on a :
p
’
en substituant dans (8) on obtient finalement :
Comme on le voit, cette formule coïncide avec celle (4) qui est va-
lable pour les conducteurs cylindriques à section circulaire. On peut la regarder comme une généralisation de cette dernière, obtenue en
attribuant à-la signification de courbure moyenne de la surface,
p
sur laquelle la grandeur de la densité du courant est constante.
567
Comme, dans l’équation (4), le terme - 1 7 _s pour les courants de P ’S
haute fréquence est négligeable par rapport aux deux autres, on
est amené à affirmer que, dans l’équation (9) aussi, le terme
est négligeable par rapport aux autres.
FIG. 2.
On peut donc très approximativement substituer à l’équation (9) l’équation
Par conséquent, en indiquant par 90 la valeur de la grandeur de la
densité du courant sur une des surfaces sur lesquelles m = C , et en
considérant un arc (fog. 2) d’une des trajectoires orthogo-
nales à la famille des surfaces mêmes, compté à partir de la surface fixe S pour laquelle p _ CI., 1 on a :
où, comme d’habitude,
Donc, pour des courants de haute fréquence dans le passage d’une à une autre de la ramille de surfaces sur lesqielles R -C te,
, la densité du courant varie suivctnt les mêmes lois qui servent pour les conducteurs cylindriques et pour les plaques planes.
C’est la généralisation à: laquelle j’ai fait allusion au commence- ment.
568
Cette loi est applicable à tous les cas oix les lignes de courant sont des cercles de très grand diamètre, ayant un même axe, qu’ils
soient formés par des spires d’égal diamètre ou de diamètre diue- rent, par des spires à pas constant ou variable, par des fils de sec- tion circulaire ou de section différent, etc.
Je montrerai dans une autre note les conséquences qu’on peut tirer relativement à la résistance des solénoïdes ordinaires.
ANNALEN DER PHYSIK;
T. XXII, n° 1; 1907.
L. HOLBORN et S. VALENTIINIEII. - Eine Vergleichung der optischen Tempe-
raturskale mit dem Stickstoffthermometer bis 1 6000 (Comparaison de l’échelle de températures optiques avec l’échelle du thermomètre à azote jusqu’à 1 600°).
- P. 1-49.
Les expériences ont été effectuées sur deux thermomètres à azote : le réservoir de l’un est en platine iridié à 20 0/0 d’iridium ; celui du deuxième, en iridium pur. Quelques modifications ont été apportées
au manomètre pour réduire l’espace nuisible. Ce réservoir est chauffé dans un four électrique formé de trois tubes concentriques en terre
réfractaire Marckquardt : le courant passe dans un cylindre de pla-
tine enroulé sur le tube intérieur..On obtient 1 i60°, 1 450" et 1 600°
avec des intensités respectivement égales à 100, 125 et 135 ampères,
Dans ce four vertical, la température est beaucoup rnoins uniforme
qne dans le four horizontal. On détermine la répartition en déplaçant
la soudure d’un élément thermoélectrique de quantités connues le long* du tube. Le pouvoir thermoélectrique de l’élément pourrait être
modifié au cours de l’expérience par la pulvérisation du platine et de l’enveloppe qui se produit aux températures élevées, eu présence de l’oxygène. On y remédie en faisant circuler dans le 1’our un courant d’azote. L’élément est en outre protégé par un tube de quartz fondu.
Il est nécessaire de mesurer la dilatation du platine iridié et de l’iri-
dium à ces températures élevées.
Entre 0° et i 000°, on a, d’après des expériences antérieures, pour le platine iridié à 20 OiO :
