Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note)

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Submitted on 1 Jan 1907

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Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note)

A. Battelli

To cite this version:

A. Battelli. Résistance électrique des solénoides pour des courants de haute fréquence - (2 e Note). J.

Phys. Theor. Appl., 1907, 6 (1), pp.701-710. �10.1051/jphystap:019070060070101�. �jpa-00241249�

,

Chaque ^tube représente sensiblement ’ ^{du couple du navire.}

Avec tous les amortisseurs, ^{le modèle écarté de sa} flottaison droite

s’y ^{arrête de} nouveau au bout due 2 à 3 oscillations au maximum.

Il est bien certain que, malgré les résultats encourageants ^obtenus

sur des modèles, ^des expériences ^{à la mer} pourront seules déter- miner la valeur pratique ^{de ce} procédé.

RÉSISTANCE ÉLECTRIQUE ^DES SOLÉNOIDES POUR DES COURANTS DE HAUTE FRÉQUENCE

(2e NOTE)

[Travail ^de l’Institut de Physique ^{de Pise} (Direct. ^A. Battelli)];

Par M A. BATTELLI.

Les considérations générales que j’ai exposées ^{dans une de mes}

notes précédentes ( ~ ) ^me permettent d’établir, dans leurs lignes prin- cipales, ^{les lois} d’après lesquelles ^les courants de haute fréquence ^se

distribuent dans la section d’un fil enroulé en solénoïde.

En pratique, les solénoïdes sont formés en enroulant un fil mé-

tallique ^à section circulaire sur un cylindre ^sur lequel l’axe du fil forme une hélice de pas ^constant p.

Toutefois, _pour plus ^de simplicité, ^nous supposerons que les dif- férentes spires ^sont de forme circulaire parfaite. ^En considérant une

quelconque ^{de ces} spires, je prends ^{comme axe des la} tangente

au fil au centre 0 (Iîg. 1) d’une section méridienne de la spire. Alors

u _-_ v = o ⁼ p ^et le problème ^{est réduit à} déterminer w en

fonction de ^x et y.

Dans le plan ^xy, je prends pour ^axe des x la perpendiculaire ^à

l’axe PQ ^{du solénoïde et} pour ^axe des _y la parallèle ^à PQ.

Désignons par

y) ^{= o}

une des lignes ^sur lesquelles u) ^{= Cte. Il} s’agit d’abord de mettre

grossièrement ^{en évidence la forme de ces} lignes. Evidemment ^elles

(1) ^{J. de} Phys., ^ce volume, p. ^559.

Article published online by EDP Sciences and available at

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphystap:019070060070101

702

coïncident avec celles sur lesquelles ^{la force} électrique ^{a une valeur}

constante. Or cette dernière se compose de deux termes, ^{l’un cons-}

tant pour ^tous les points du conducteur et dû à la force électromo- trice extérieure appliquée ^{aux deux} extrémités du solénoïde, ^et

l’autre variable en même temps que ^et y. Ce dernier représente ^la

FIa. 1.

force électromotrice induite en chaque point ^{du solénoïde} par le courant variable qui circule dans les autres points ^{de la même} spire ^{et des} spires voisines. Cette force électromotrice induite M

se compose elle-même de deux ^{termes :} l’un, F~ , dépendant unique-

ment du courant qui circule dans la spire ^à laquelle appartient ^le point considéré; l’autre, F2, dépendant ^{du courant} qui ^{circule dans}

les autres spires. ^En indiquant par p la distance ^d’un point ^du

conducteur à l’axe du fil, ^on peut ^{avoir une} expression approxi-

mative de F~ , ^en admettant pour ^{un moment} que le courant est

703

uniformément distribué autour de l’axe même. Dans ce cas, F, dépend uniquement ^de p. D’autre part, ^en supposant F2 développé

par ^la formule de Taylor ^{selon les} puissances croissantes de x et y, et en négligeant ^{les termes de} degré supérieur ^{à on} peut poser :

D’autre part, pour des raisons de symétrie, la valeur de M, ^et _par conséquent ^{celle de} F2, ^{doit rester} invariable quand ^on remplace ^y

par

^y, d’où :

J’admets que l’équation ^des lignes ^sur lesquelles ^{la densité u~ du}

courant est constante est réellement représentée par ^une équation

du type (2), ^{où tous} les coefficients ont une valeur constante sauf

qui varie d’une ligne ^{à l’autre.}

Soit maintenant un arc s qui ^{soit en} chaque point orthogonal ^{à la}

famille des surfaces s

Ona:

Or, pour l’équation (1), ^{on a :}

En substituant dans on ^{a :}

Légalité précédente, ^{en se servant des} coordonnées polaires p ^{et b,}

c’est-à-dire en posant :

est du type :

où p et q ^{sont seulement fonctions de} p.

704

On en tire :

Or, ^en coordonnées polaires, ^{on a :}

,

en outre :

En ne tenant compte d’abord que des points ^{situés sur la surface}

du conducteur, pour lesquels p ⁼ Cte, ^et par conséquent, ^{dans le}

passage d’un point ^à l’autre du contour :

d’où O

Pour de petites valeurs de 0, ^{on a :}

Donc, ^en attribuant à s la valeur à zéro au point ^A (fl g. 2) ^de

coordonnées _p ⁼ _o, 0 = o.

La valeur 80 ^{de s sur le contour du} conducteur et près ^{de A est :}

où l’on a fait :

Pour avoir la valeur de _s, toujours ^au voisinage ^{de A, mais à}

l’intérieur du conducteur, j’abaisse ^du point ^{P la} perpendiculaire ^{P P 0}

au contour et je désigne par ~ la distance PPo. ^En développant s

par la formule de Taylor, pour des valeurs suffisamment

petites, ^{on a :}

705

Pour calculer considérons la surface de densité de courant uni- forme passant par Po, ^{et soit} Po ^{sa normale au} point Po.

11 est clair que :

Fm. 2.

D’autre part, ^on peut ^retenir qu’au voisinage ^du point ^{A les sur-}

faces d’égale densité de courant sont parallèles ^{à l’axe du solénoïde.}

Il en résulte que près ^du point ^A l’angle

Donc :

Qu’on applique maintenant le résultat général exprimé par la for- mule (10) établie dans ma précédente ^{note et} qu’on observe que, dans

ce cas, o ^{= w.} En indiquant ^{par Wo cos wt} la densité du courant au

point A, on ^a pour ^les points ^{voisins :}

Cette formule donne une idée très claire de la loi d’après laquelle

706

le courant est distribué dans la section du fil : l’amplitude ^{de la den-}

sité du courant est :

et, ^{comme on le} voit, ^cette amplitude décroît suivant une loi exponen-

tielle, ^{soit avec} l’accroissement de la distance ~ du point ^{du contour}

du conducteur, ^{soit avec} l’augmentation de l’azimut 6.

Ces variations de la densité sont d’autant plus considérables que la valeur de « est plus grande ^et, par conséquent, que la fréquence

des courants est plus ^élevée.

Quant ^{à ce} qui ^se rapporte ^aux points qui ^{ne sont} pas voisins de A, ^{on ne} peut ^{affirmer si} la formule (7) ^{continue à} s’appliquer rigoureusement.

Qu’on observe, toutefois, que l’on sait déjà, a priori, d’après ^ce qui ^{a été demontré à ce} propos par Wien et par Sommerfeld, qu’il ^est superflu ^{de se} préoccuper ^{de ces} points, ^car la densité du courant est pratiquement négligeable.

Comme la formule (7) s’applique ^{à ce cas,} j’admettrai, ^{dans la} suite, qu’elle ^est valable aussi pour les grandes valeurs de ~ et de 6.

D’après ^{cette formule, on} peut ^{dire que,} pour de très hautes fré- quences, que le courant reste localisé autour des points ^{situés le} plus près de l’axe du solénoïde. Dans la figure 3, ^la partie ^{de la sec-}

tion du fil qui ^{est utilisée} pratiquement pour le passage du ^courant est parsemée ^de petits points.

Je _passe maintenant au calcul de ’la résistance R du solénoïde. En

désignant par W la chaleur dégagée par le ^courant dans le circuit

en une seconde, ^{on a :}

est l’élément de volume, w n la moyenne des valeurs du ^carré de w pendant ^une période. L’intégration ^{est étendue à tout le volume} occupé par le conducteur.

Soit 1 la longueur ^du conducteur, ^{et a le} rayon de ^sa section : danc :

On entend dans ce cas que l’intégration par rapport ^{à ~ s’étend de}

zéro et celle se rapportant ^{à 0 de}

^{x à} + ^x.

707 11 sera aussi superflu ^de s’occuper du deuxième terme, c’est-à-dire de En effet il est négligeable ^{vis-à-vis du} premier

pour ^les points qui ^{sont à} peu de distance de A ; ^au delà de cette

distance, zo 2 ^devient négligeable ^et, par conséquent, ^{sans altérer}

notablement les résultats, ^on peut poser :

où, pour la (7) :

En substituant, ^{on obtiont :}

h’IG. 3.

Quant ^{aux limites} d’intégration, ^{comme il est dit} plus haut, ^elles

sont 0 ^{et a} pour la première intégrale, ^{- 7t et + 7t} pour la deuxième.

708

Qu’on remarque toutefois que les fonctions intégrantes ^{e-2~*À et}

e2013~.~ tendent asymptotiquement ^{vers zéro par} l’accroissement de a et de ^{+ 0.} Pour les fréquences ^très élevées, c’est-à-dire pour de

grandes valeurs de _«, les valeurs de ces fonctions sont sensiblement différentes de zéro que dans le ^{cas où} les valeurs des variables 7, et e sont très voisines de zéro. Il s’ensuit que la valeur des inté-

grales ^en question ^reste sensiblement inaltérée, ^{même si on} prend

comme limites d’intégration ^{pour la} première intégrale ^{0 et} oc , ^et pour la deuxième - ^oc et + ^00.

Il s’ensuit que : ^’

et, par conséquent:

D’autre part, ^en désignant par ¹ l’intensité totale du courant, ^{on a :}

oiv dS est l’élément d’aire de la section du fil, ^{soit :}

Par des considérations analogues ^{à celles} indiquées pour le calcul de y~, ^{on obtient :}

La valeur moyenne du ^carré de 1 dans le cours d’une période ^est

donc :

-

-

Le rapport W donne, ^{comme on le} sait, la résistance du conduc-

12 ^In

teur On a donc :

où T désigne ^la période ^{du courant.}

Si le même fil était étendu en ligne ^{droite, on} trouverait, ^selon la formule bien connue de Lord Rayleigh, pour ^sa résistance R’, ^la valeur

et, par conséquent :

Le résultat exprimé par la formule (9) ^diffère essentiellement de celui trouvé par Sommerfeld, ^{et rend} compte ^{d’une très} importante

circonstance qui ^{se vérifie en} pratique, c’est-à-dire de la variation du rapport 2013R R ^{avec la fréquence des courants. Comme on le voit} par la formule (9), la valeur de ce rapport ^croît proportionnellement

à la racine quatrième ^{de la} fréquence.

Pour se rendre compte ^{de ce} qu’on ^{obtient au} point ^{de vue} expé- rimental, ^{il suilit de} jeter ^un coup d’oeil ^sur le tableau suivant, ^où

sont résumés les résultats des expériences peu nombreuses qu’on

connaît sur cette question. ^Ces expériences ^{ont été faites} par moi ^et

se trouvent dans mon travail sur les décharges oscillatoires (1).

On voit que, conformément ^{à ma} conclusion, par l’accroissement de la fréquence ^{la valeur du} rapport #, ^augmente.

Mais il y ^a plus ^{encore :} même la loi quantitative exprimée par

la formule, peut ^être considérée comme sensiblement confirmée par

ces expériences. ^En effet, ^{selon ma} formule, l’expression

devrait, pour les hautes fréquences, ^{conserver une valeur constante.}

Or, ^{si avec} les données établies plus ^{haut on} calcule la valeur de

(1) ^Loc. cil., p. 374.

710

la constante 1

Comme on le voit, ^surtout pour les deux premières fréquences,

la concordance entre ma formule et les expériences, ^si elle n’est pas due ^au hasard, ^est parfaite.

PHILOSOPHICAL MAGAZINE ;

Tome XXII ; fin du 2e semestre 1906.

THOMAS LYLE et J.-M. BALDWIN. - Experiments ^{on the} propagation ^{of lon-} gitudinal ^{waves of} magnetic ^flux along ^iron wires and rods (Expériences ^{sur la} propagation ^d’ondes longitudinales ^{de flux} magnétique ^le long ^{de fils et de} tiges

de fer).

^{P. 433.}

L’objet ^des expériences ^était de déterminer les modifications

apportées dans les coefficients des termes de la série harmonique capable ^de représenter ^{une «} onde de flux magnétique ^» quand ^cette

onde passe ^{à travers une} tige ^{de fer.}

Le sujet ^a déjà ^été étudié par divers ^auteurs (Oberbeck, Zenneck).

En désignant ^{par T la} période ^des oscillations, par + la différence de phase ^{en deux} points distants de 1 centimètres, ^la quantité

représente ^{la «} vitesse de propagation de l’aimantation ».

Les auteurs cités ont trouvé que l’amplitude Fx ^du flux résultant

aux différents points pouvait ^être représentée par ^la relation :

où X est une constante qui dépend ^{de la nature du métal de la} tige,

mais est indépendante de l’aire de la section.