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L’onde de de Broglie dans les solutions de l’équation de Dirac
Patrick Vaudon
To cite this version:
Patrick Vaudon. L’onde de de Broglie dans les solutions de l’équation de Dirac. 2020. �hal-02425969v8�
1 Patrick VAUDON
Xlim - Université de Limoges – France
L’onde de de BROGLIE dans les
solutions de l’équation de DIRAC
2
Table des matières
Première partie
L’onde de de BROGLIE dans les solutions de l’équation de DIRAC.
Application à l’effet COMPTON
I – Introduction ... 4
II – L’onde de de BROGLIE ... 6
III – L’onde de de BROGLIE dans les solutions de l’équation de DIRAC ... 12
IV – Energie cinétique et énergie impulsionnelle ... 21
V – Energie dans les solutions exactes à l’équation de DIRAC ... 25
VI – L’effet COMPTON interprété en termes de solutions exactes à l’équation de DIRAC... 28
VII – L’effet COMPTON en dimension 2 dans le plan xy ... 35
VIII – La diffusion 3D ... 39
IX – échange d’énergie entre un photon incident, un photon diffusé, et une particule stationnaire de DIRAC ... 43
X – Diffusion COMPTON avec une particule en mouvement ... 48
XI – Création-annihilation de particules de DIRAC ... 53
Deuxième partie Une approche énergétique du Zitterbewegung XII – Zitterbewegung ... 60
XIII – Propagation guidée ... 70
XIV – Energie locale et instantanée dans un guide d’onde ... 81
XV – Approche énergétique du Zitterbewegung ... 84
Troisième partie Le tenseur et le quadrivecteur impulsion-énergie quantique XVI – Le tenseur impulsion-énergie en mécanique relativiste ... 93
XVII – Le tenseur impulsion-énergie de DIRAC ... 97
XVIII – Le tenseur impulsion-énergie pour une solution sinusoïdale propagative de DIRAC ... 104
XIX – Le tenseur impulsion-énergie pour une solution exponentielle propagative de DIRAC ... 110
XX – Le quadrivecteur impulsion-énergie quantique pour une solution propagative sinusoïdale ... 116
XXI – Le quadrivecteur impulsion-énergie pour une solution propagative exponentielle... 125
XXII – Interaction entre deux particules de DIRAC indépendantes ... 130
XXIII – Conclusion ... 134
Bibliographie ... 137
3
Première partie
L’onde de de BROGLIE dans les solutions de l’équation de DIRAC.
Application à l’effet COMPTON
4
I – Introduction
L’équation de DIRAC admet des solutions sous la forme de modes stationnaires où les variables de temps et d’espaces sont séparés dans des produits de fonctions sinusoïdales. On peut illustrer ce type de solutions à l’aide d’un exemple choisi arbitrairement :
) x k cos(
) z k cos(
) y k cos(
) x k sin(
jk ) x k cos(
) z k cos(
) y k sin(
) x k cos(
k
) x k cos(
) z k sin(
) y k cos(
) x k cos(
jk 0
) x k sin(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
jk ) x k cos(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
t t z
y x
x t t z
y x
y 3
t t z
y x
z 2 1
t t z
y x
t t t z
y x
0
(I-1)
Pour que ce bispineur soit solution de l’équation de DIRAC, rappelée ci-dessous dans une expression développée :
j z y j x
) ct j (
j z y j x
) ct j (
j z y j x
) ct j (
j z y j x
) ct j (
1 0
0 3
3
0 1
1 2
2
3 2
2 1
1
2 3
3 0
0
avec :
c m
ct x k c
0 t t
(I-2)
La solution (I-1) doit être associée à l’équation de conservation de l’énergie :
2 2 z 2 y 2 x 2
t
k k k
k (I-3)
Nous nous interrogeons, dans la suite de ce document, sur l’aptitude d’une solution stationnaire à décrire une particule quantique, et plus particulièrement, lorsque cette particule est en mouvement.
Nous savons construire des solutions à ondes progressives en sommant deux ou plusieurs solutions à ondes stationnaires, mais la vitesse de la particule n’apparaît pas de manière évidente dans ces solutions propagatives.
Nous allons montrer que l’onde progressive qui apparaît dans les solutions à l’équation
de DIRAC est une onde de phase de de BROGLIE. Dès lors, le lien avec la vitesse « physique »
de la particule va s’éclaircir, puisque cette vitesse est égale à la vitesse de groupe associée à
l’onde de phase.
5 A partir de ce constat, il devient possible d’analyser les changements internes qui s’opèrent lorsqu’une particule au repos reçoit de l’énergie en provenance d’une autre particule.
La situation expérimentale classique d’une telle situation est celle que l’on trouve dans la diffusion COMPTON.
Pour analyser ces transformations, nous formulons l’hypothèse que la particule vérifie à la fois l’équation de DIRAC lorsqu’elle est au repos, et lorsqu’elle a été mise en mouvement par un apport d’énergie, par exemple lors du choc avec un photon. A cette hypothèse, nous ajoutons la contrainte de conservation habituelle : l’énergie totale de la particule en mouvement doit être égale à l’énergie de la particule au repos, plus l’énergie qui lui a été apportée lors de l’interaction avec une autre particule, typiquement un photon.
En identifiant l’onde de de BROGLIE dans les solutions de l’équation de DIRAC, on remarque que la vitesse de groupe de cette onde correspond à la vitesse physique de la particule.
Ce constat incite alors à comparer les propriétés cinématiques de la particule ponctuelle relativiste avec les propriétés analogues déduites de la représentation de cette particule par un bispineur de DIRAC.
Les grandeurs cinématiques utilisées pour une particule ponctuelle en relativité sont essentiellement le quadrivecteur impulsion-énergie et le tenseur impulsion-énergie.
Il apparaît que ces grandeurs sont identiques aux valeurs moyennes temporelles des grandeurs analogues déduites des particules de DIRAC.
Nous analysons quelques propriétés de ces deux représentations d’une même particule
en mouvement afin d’étayer les idées qui sont présentées.
6
II – L’onde de de BROGLIE
Les travaux présentés dans la thèse de Louis de BROGLIE (Thèse Louis de BROGLIE) ont marqué un tournant important de la mécanique quantique. Ils établissent pour la première fois un lien indiscutable entre la masse d’une particule, sa vitesse, et l’onde qu’on peut lui associer.
Cette onde est de nature surprenante : elle a la propriété de propager une grandeur à une vitesse supérieure à celle de la lumière. Elle sera identifiée par de BROGLIE comme une onde de phase qui ne transporte pas d’énergie, mais représente, en réalité, un glissement de phase.
Nous allons montrer, dans les chapitres suivants, comment cette onde apparaît de manière spontanée dans les solutions de l’équation de DIRAC, d’où la motivation de lui consacrer un chapitre pédagogique.
Les notions qui gravitent autour de cette onde particulière ne sont guère évidentes ou intuitives. Nous proposons dans ce chapitre d’essayer d’en éclairer quelques facettes, en profitant des réflexions et des outils que nous ont procurés un siècle de recul sur la relativité restreinte.
Nous partons du questionnement historique de de BROGLIE concernant l’onde perçue par un observateur qui est en mouvement par rapport à la masse, et nous montrons comment sa réponse peut être interprétée à l’aide d’un résultat important de la relativité restreinte : la phase d’un phénomène, qui est une grandeur scalaire, est invariante par changement de référentiel.
Les calculs sont élémentaires, mais malgré quelques rappels fondamentaux, il est sans doute souhaitable d’avoir quelques notions de relativité restreinte, en particulier sur les quadri- vecteurs, pour aborder les paragraphes suivants avec profit.
I – L’onde de phase de de BROGLIE
L’hypothèse fondamentale de DE BROGLIE est la suivante : à toute particule qui possède de l’énergie de masse, on peut associer un phénomène ondulatoire, et donc une onde dont il faut préciser le comportement.
Ainsi, à une masse au repos m
0, on peut associer une onde de pulsation ω
0qui vérifie la relation de PLANCK :
2 0 0
m c
(II-1)
Pour une particule se déplaçant à une vitesse v, on utilise les résultats acquis de la
relativité, qui indique que l’énergie cinétique a été engrangée sous la forme d’énergie de masse.
7 Cela conduit à une deuxième relation, dans laquelle le mouvement ondulatoire associé à la particule a changé de fréquence, car on suppose toujours qu’il obéit à la relation de PLANCK :
2 2 2 2 0
c 1 v
c mc m
(II-2)
En égalant la quantité m
0c² dans les deux relations ci-dessus, on déduit que les pulsations ω et ω
0doivent être liées par la relation :
2 2
0
c
1 v
(II-3)
Examinons ces relations d’un point de vue relativiste. Nous désignons par (R
0) le référentiel dans lequel la particule est au repos, et par (R) le référentiel dans lequel elle se déplace à la vitesse v. Il s’ensuit que le référentiel (R) se déplace à la vitesse (-v) par rapport au référentiel (R
0).
La théorie de la relativité restreinte nous apprend que dans ces conditions, l’horloge portée par la masse qui est en mouvement dans le référentiel (R) retarde par rapport aux horloges disposées dans le référentiel (R). Ces dernières indiquent toutes la même heure, car le temps est une donnée unique dans un référentiel donné. On fait classiquement référence à cette propriété en disant que toutes les horloges disposées dans un même référentiel, et se déplaçant avec lui, sont synchronisées.
Si on désigne par T
0une durée mesurée par l’horloge portée par la masse m, et T la même durée mesurée par les horloges du référentiel (R), alors nous savons que les horloges en mouvement retardent suivant la relation :
2 2
0
c
1 v T
T (II-4)
On en déduit que des phénomènes ondulatoires de pulsation ω (observée dans le référentiel (R)) et ω
0(observée dans le référentiel (R
0)) devraient être liés par la relation :
2 2
0
c
1 v
(II-5)
Il y a une contradiction évidente entre les relations (II-3) et (II-5) qui indique que quelque chose nous a échappé dans les raisonnements que nous avons conduits. Il revient à de BROGLIE d’avoir réussi à lever cette ambiguïté en établissant un théorème qu’il appelle
« théorème d’harmonie des phases ». Ce théorème a été obtenu sans aucun calcul. Il représente, aux yeux de l’auteur, un modèle de raisonnement physique.
Dans le paragraphe suivant, nous allons analyser les fondements de ce théorème, en utilisant les relations de transformation relativistes appliquées aux quadrivecteur.
II - Le quadrivecteur onde
8 En relativité restreinte, les grandeurs qui se transforment par changement de référentiel en respectant la transformation de LORENTZ sont appelées des quadrivecteurs.
Dans la situation qui est traitée dans ce chapitre, le référentiel (R) se déplace à la vitesse (-v) par rapport au référentiel (R
0) dans la direction portée par l’axe Oz. Il s’ensuit que le quadrivecteur qui représente les coordonnées d’espace-temps se transforme de la manière suivante entre les deux référentiels.
2 0 2
2 0 2
0 0
c 1 v
c z ct v ct
c 1 v
vt z z
y y
x x
(II-6)
On peut adopter des notations qui simplifient ces expressions :
2 2 t
c 1 v
1 c v ct x
x z
x
x z z
y y
x x
t 0 t
t 0
0 0
(II-7)
On rappelle que la pseudo norme s d’un quadrivecteur ne dépend pas du référentiel dans lequel elle est calculée. Nous adoptons la signature suivante :
t0 2 02 20 20
t 2 2 2 22
x x y z x x y z
s (II-8)
Le quadri-vecteur onde est construit par analogie avec le quadri-vecteur impulsion- énergie de la mécanique relativiste, ce qui impose l’association suivante :
c / k k k
c / h
k k k
c / E
p p p
z y x
z y x
z y x
avec ω = 2πν (II-9)
Le terme entre parenthèse à droite de l’égalité constitue le quadri-vecteur onde.
On peut définir un pseudo produit scalaire dans l’espace de MINKOWSKY, en
procédant de manière analogue au produit scalaire défini dans les espaces vectoriels classiques.
9 Ce pseudo produit scalaire se calcule de la même manière que dans un espace vectoriel habituel, mais est affecté du signe moins pour les composantes spatiales, en cohérence avec la métrique de la pseudo-norme définie en (II-8).
Avec le quadri-vecteur onde et le quadri-vecteur espace-temps représentatif d’un point M de coordonnées (x, y, z, ct), on obtient le pseudo produit scalaire suivant :
ct k x k y k z t k . OM c
ct z y x . c / k k k
z y x z
y x
(II-10)
Ce pseudo produit scalaire possède la même propriété que pour un espace vectoriel habituel : il ne dépend pas du référentiel dans lequel il est évalué. Il s’ensuit que la phase de l’onde donnée par la relation (II-10) ne dépend pas du référentiel considéré.
Nous allons appliquer cette propriété aux grandeurs définies dans les référentiels (R
0) et (R).
Dans le référentiel (R
0) la particule est au repos, donc les composantes du vecteur d’onde sont nulles. Le produit pseudo-scalaire des quadrivecteurs onde et position s’exprime de la manière suivante :
0 0
0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 z
0 y
0 x
t ct
z y x . c / 0 0 0
ct z y x . c / k k k
(II-11)
Dans le référentiel (R) qui se déplace à la vitesse (-v) suivant l’axe oz, par rapport au référentiel (R
0), le produit pseudo-scalaire des quadrivecteurs onde et position s’exprime de la manière suivante :
ct k z t k z
c ct
z y x . c / k
0 0
z z
z
(II-12)
Puisque la phase est invariante par changement de référentiel, cela impose : z
k t
t
0 z0
(II-13)
C’est le théorème d’harmonie des phases établi par Louis de BROGLIE. La phase de l’onde (ω
0t
0) vue par un observateur du référentiel (R
0) est identique à la phase d’une onde progressive (ωt – k
zz) vue par un observateur du référentiel (R).
Il nous faut maintenant lever l’ambiguïté concernant la relation entre ω
0et ω. Pour cela
nous considérons le quadrivecteur onde. Il se transforme à l’aide de la transformation de
10 LORENTZ. On rappelle que la particule étant immobile dans le référentiel (R
0), les trois composantes k
x0, k
y0, k
z0sont nulles.
z 0
z 0
z y 0 y
x 0 x
c k c
c 0 k k
0 k k
0 k k
(II-14)
On obtient les relations réciproques en changeant le signe de la vitesse relative de (R) par rapport (R
0) :
k c c c
k c k c
k
0 k k
0 k k
0 0
z 0
0 z
0 0 z z
0 y y
0 x x
(II-15)
La dernière relation fournit une expression entre ω et ω
0:
2 2 0
0
c 1 v c c
(II-16)
C’est donc la relation (II-3), qui exprime la conservation de l’énergie relativiste, qui est correcte. Pour une onde progressive, il est impossible de séparer les variables d’espace et de temps comme cela a été fait ci-dessus dans l’obtention de la relation (II-5). Le traitement correct ne peut se faire qu’en utilisant le formalisme des quadrivecteurs, qui seul prend en compte l’interaction du temps et de l’espace. Ces deux aspects sont toujours intimement liés pour une onde qui se propage.
III -L’interprétation physique du théorème de l’harmonie des phases
Nous avons établi au paragraphe précédent une relation d’égalité entre la phase du phénomène périodique, vue par un observateur du référentiel (R
0), et la phase d’une onde qui se propage dans le référentiel (R), vue par un observateur du référentiel (R).
z k t
t
0 z0
(II-17)
L’onde vue du référentiel (R) est une onde progressive, dont on peut mettre en évidence
la vitesse de propagation que nous désignons par v
p:
11
p z
z
v
t z k z
t z k
t avec
z
p
k
v
(II-18)
De la transformation du quadrivecteur onde (II-14), on tire :
2 0 z 2
c v c
v
k c (II-19)
On en déduit la vitesse de propagation de l’onde associée au mobile dans le référentiel (R) :
v c v k
2
z
p
(II-20)
Il est apparent que cette vitesse est supérieure à c, vitesse de la lumière. de BROGLIE, en conclura que cette onde ne transporte pas d’énergie. Elle représente seulement un glissement de phase. Il appellera v
pla vitesse de phase, et il nommera onde de phase, l’onde qui lui est associée.
Il donnera également une autre interprétation de la relation d’égalité des phases, obtenue en exprimant la phase du référentiel (R) en fonction de ω
0:
0 0 z 0 20 0 2c t vz c z
t v z
k t
t (II-21)
Dans cette nouvelle expression de l’égalité des phases, la pulsation ω
0du référentiel (R
0) se retrouve à l’identique dans le référentiel (R). L’accord des phases exprime que le temps t
0du référentiel (R
0) s’est transformé en un temps t du référentiel (R), suivant la transformation de LORENTZ.
A l’image d’autres résultats issus de la relativité restreinte, le résultat (II-21) n’est guère
intuitif. Il n’est pas évident d’admettre qu’entre le phénomène ondulatoire observé dans le
référentiel (R
0), et le même phénomène ondulatoire observé dans le référentiel (R), le seul
élément qui a varié, et qui rend l’onde progressive, est dû à la transformation du temps.
12
III – L’onde de de BROGLIE dans les solutions de l’équation de DIRAC
Les solutions stationnaires de l’équation de DIRAC permettent d’élaborer des solutions faisant apparaître des ondes progressives. Comme dans le formalisme ondulatoire classique, il suffit d’ajouter deux modes stationnaires choisis avec pertinence.
Nous débutons ce chapitre en mettant en évidence une onde progressive, solution de l’équation de Dirac, sur un exemple particulier. En analysant les propriétés de l’onde obtenue, nous allons montrer qu’elle possède toutes les caractéristiques d’une onde de de BROGLIE.
Dans ce chapitre et dans les suivants, les solutions sont exprimées à une constante multiplicative près, sans pour autant changer de notation pour les composantes du bispineur (ψ
0,ψ
1,ψ
2,ψ
3). Cette simplification d’écriture ne semble pas nuire à la compréhension des idées qui sont développées. Nous savons également que, dans une théorie plus complète, une constante de normalisation est nécessaire pour donner à chaque terme du bispineur la dimension de la racine carrée d’une densité volumique d’énergie.
I – Construction d’une solution progressive
Les solutions stationnaires de l’équation de DIRAC se présentent sous la forme d’un produit de fonctions sinusoïdales dans lesquelles l’espace et le temps sont séparés. Un exemple choisi arbitrairement permet d’illustrer cette propriété :
) x k cos(
) z k cos(
) y k cos(
) x k sin(
jk ) x k cos(
) z k cos(
) y k sin(
) x k cos(
k
) x k cos(
) z k sin(
) y k cos(
) x k cos(
jk 0
) x k sin(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
jk ) x k cos(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
t t z
y x
x t t z
y x
y 3
t t z
y x
z 2 1
t t z
y x
t t t z
y x
0
(III-1)
La pseudo-norme du quadrivecteur onde (k
t, k
x, k
y, k
z) est une constante. Pour que les relations (II-1) soient solutions de l’équation de DIRAC, cette pseudo-norme doit vérifier :
2 2 z 2 y 2 x 2
t
k k k
k (III-2)
Dans ces relations, on a posé :
13
c m
ct x k c
0 t t
(III-3)
En introduisant ces relations dans la solution (II-1), et en les multipliant par la constante
c , on obtient une expression dont chacun des termes a la dimension d’une énergie :
ck cos( k x ) sin( k y ) cos( k z ) cos( k x ) j ck sin( k x ) cos( k y ) cos( k z ) cos( k x ) )
x k cos(
) z k sin(
) y k cos(
) x k cos(
ck j 0
) x k sin(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
j ) x k cos(
) z k cos(
) y k cos(
) x k cos(
c m
t t z
y x
x t
t z
y x
y 3
t t z
y x
z 2
1
t t z
y x
t t z
y x
2 0 0
(III-4)
La pseudo-norme du quadri-vecteur onde se transforme alors en une relation de conservation de l’énergie :
0 2 22 z 2
y 2
x
2
ck ck ck m c
(III-5)
On sait que ces solutions ne peuvent décrire la réalité d’une particule comme l’électron où le photon qui présentent des propriétés sphériques, mais elles constituent un bon support de raisonnement, dans un formalisme mathématique allégé par l’utilisation de coordonnées cartésiennes. C’est dans ce cadre qu’elles vont être utilisées dans la suite de ce document.
Il est apparent que la solution (III-1) ci-dessus ne peut pas représenter une particule en déplacement. On doit plutôt la considérer, par analogie avec les modes d’une cavité électromagnétique, comme une solution susceptible de représenter une énergie quantique enfermée dans un volume parallélépipédique.
Nous souhaitons maintenant imaginer une formulation susceptible de représenter cette particule en mouvement à une vitesse v
z, dans une direction arbitrairement choisie comme étant orientée vers les z positifs. De manière empirique, nous supposons alors qu’il est nécessaire d’introduire un paramètre de la forme (k
tx
t– k
zz) = (ωt – k
zz) dans une des fonctions sinusoïdales. Ce paramètre est connu pour représenter une onde qui se déplace vers les z positifs.
Dans un souci de simplification de l’exposé, nous posons provisoirement les constantes k
xet k
yégales à 0. L’expression simplifiée de la solution (III-1) est la suivante :
0
) x k cos(
) z k sin(
jk 0
) x k sin(
) z k cos(
jk ) x k cos(
) z k cos(
3
t t z
z 2 1
t t z
t t t z
0
(III-6)
En retranchant π/2 à la phase de chacun des termes, on obtient une nouvelle solution :
14
0
x k sin z k cos jk 0
x k cos z k sin jk x k sin z k sin
3
t t z
z 2
1
t t z
t t t z
0
(III-7)
En sommant les deux solutions (III-6) et (III-7) ci-dessus, on obtient une solution progressive dans la direction Oz :
0
z k x k sin jk 0
z k x k sin jk z k x k cos
3
z t t z 2
1
z t t t z
t t 0
avec k
2t
2 k
2z(III-8)
Cette solution est qualifiée de progressive, car le paramètre de chaque fonction sinusoïdale est égale à (k
tx
t– k
zz) = (ωt – k
zz). Cette phase est caractéristique d’une onde qui se propage vers les z positifs. Elle pourrait donc être susceptible de représenter une particule qui se déplacerait dans cette direction.
L’association de cette phase à une particule ponctuelle se déplaçant à la vitesse v
zsuivant Oz n’est guère intuitive. Elle nous interroge pour au moins deux raisons :
- On ne voit pas clairement comment faire apparaître la vitesse de déplacement v
zde la particule dans la solution de DIRAC, ce qui constitue un réel handicap pour montrer qu’une telle solution est susceptible de décrire une particule en mouvement.
- La vitesse de déplacement de cette onde est supérieure à la vitesse de la lumière.
Pour le montrer, nous posons :
p z
z
v
t z k z
t z k
t avec
z
p
k
v (III-9)
Dans cette expression v
preprésente la vitesse de propagation de l’onde. Nous savons que les grandeurs ω et k
zdoivent vérifier les conditions de conservation de l’énergie :
2 z 2
2 z 2 2
2
2 z 2 2 t
k c
c k
k k
(III-10)
En reportant cette valeur de ω dans la vitesse de propagation (II-9), on obtient :
k c k v k
z 2 z 2
z p
(III-11)
15 Il est apparent dans l’expression ci-dessus que la vitesse de propagation v
pest supérieure à la vitesse de la lumière.
Au vu du chapitre précédent, nous formulons l’hypothèse que cette onde, qui est solution exacte de l’équation de DIRAC, est une onde de phase, au sens où de BROGLIE l’a définie dans sa thèse.
II – La dualité onde-particule
Nous souhaitons mettre en évidence, dans les solutions progressives, les caractéristiques de la particule et de son mouvement. Pour cela nous utilisons la correspondance habituelle entre la particule et son onde associée.
Nous désignons par m
0la masse de la particule au repos, et par ω
0la pulsation de son onde associée.
Nous supposons que la particule se déplace à vitesse constante v
zsuivant l’axe Oz.
Nous désignons par m la masse de la particule en mouvement, et par ω la pulsation de son onde associée.
Dans ces conditions, l’énergie de masse au repos E
0, l’énergie de masse en mouvement E, et l’énergie impulsionnelle p
zc prennent les expressions analogues suivantes :
z z 2
2 z z 0 z
2 2 z 2 0
0 2 0 0
ck c
1 v c v c m p
c 1 v
c E m
c m E
(III-12)
Les deux premières lignes constituent les hypothèses fondamentales de de BROGLIE dans sa thèse. Il est commode et simplificateur d’utiliser une expression ondulatoire pour l’énergie impulsionnelle p
zc, en lui associant la pulsation ω
z. Il est aisé de remonter aux aspects particulaires en utilisant les relations (III-12) ci-dessus.
Avec cette notation homogène en ω, la solution progressive de l’équation de DIRAC (III-8) s’écrit, après multiplication par c de toutes les composantes :
0
c t z sin j 0
c t z sin c j
t z cos
3
z z
2 1
z z
0 0
(III-13)
L’équation de conservation de l’énergie prend l’expression simplifiée :
16
2 0 2 z
2
(III-14)
III – Vitesse de phase et vitesse de groupe
L’onde progressive qui est apparue dans la solution de DIRAC a pour phase :
c
t z z
k
t
z z(III-15)
La vitesse de phase v
pde cette onde a pour expression : c
1 c 1 k c
v
2 2 0 2
0 2 z
z p
(III-16)
La pulsation ω étant supérieure à la pulsation ω
0, la vitesse de phase est supérieure à la vitesse de la lumière. Cette propriété caractérise une onde de phase de de BROGLIE.
Nous définissons la vitesse de groupe v
gde cette onde par l’expression suivante : d c
d dk v d
z z
g
(III-17)
Lorsqu’on observe la définition de la vitesse de groupe v
g(III-17), la signification physique n’apparaît pas de manière évidente. Nous consacrons les quelques lignes suivante à justifier son importance.
De la relation de conservation de l’énergie (III-14 :
2
2z
20), on obtient, en rappelant que ω
0est une constante, une relation simple entre la vitesse de groupe et la vitesse de phase :
2 p g
p g
z z
z z
c v v
c 1 v c v d 1 d
d 2 d 2
(III-18)
On en déduit que la vitesse de groupe de l’onde de phase progressive (ωt – k
zz) peut s’exprimer par la relation :
2 2 0 p
2
g
c 1
v v c
(III-19)
17 Soit encore :
2 2 g 2
2 0
c 1 v
(III-20)
Les relations de de BROGLIE qui associent onde et particule (III-12) sont rappelées pour mémoire :
2 2 z 2 0
0 2 0
c 1 v
c m
c m
(III-21)
Elles permettent d’obtenir une nouvelle relation entre ω, ω
0et v
z:
2 2 z 2
2 0
c 1 v
(III-22)
Des relations (III-20) et (III-22), on déduit que la vitesse de groupe v
gest identique à la vitesse de déplacement de la particule v
zle long de l’axe Oz. Elle représente donc la vitesse de déplacement de la masse, ou de l’énergie associée à la masse, suivant l’axe Oz.
La longueur d’onde de de BROGLIE est obtenue en considérant la longueur d’onde de l’onde de phase. C’est aussi la longueur d’onde de la fonction ondulatoire qui apparaît dans les solutions exactes à l’équation de DIRAC.
Cette longueur d’onde s’obtient donc en divisant la vitesse de phase par la fréquence de l’onde de phase :
pv
pf 2
v (III-23)
Pour faire apparaître la vitesse de groupe v
g= v
zde la particule, on utilise la relation :
2 p z p
g
v v v c
v (III-24)
La pulsation ω est associée à la particule qui se déplace à la vitesse v
zsuivant la relation onde-particule rappelée en (III-21) :
2 2 z 2 0
c 1 v
c m
(III-25)
La longueur d’onde de de BROGLIE se déduit des 3 relations ci-dessus :
18
z
2 2 z 2 0
z 2
p
mv h
c 1 v
c m
v c v 2
2
(III-26)
IV – Quelques expressions de la solution de DIRAC progressive
Suivant les termes injectés dans la solution exacte simplifiée, on peut faire apparaître plutôt des aspects ondulatoires, énergétiques, particulaires ou purement relativistes. Nous donnons dans les lignes suivantes quelques-uns des multiples aspects de cette solution.
Dans les manipulations qui sont proposés, nous ne tenons plus compte de la nature physique de l’énergie représentée dans chacun des termes. Considérons par exemple la relation :
0 2 0
c
m (III-27)
Le terme à gauche de l’égalité reflète une énergie de masse, tandis que le terme à droite de l’égalité reflète une énergie ondulatoire : cette distinction a un vrai sens physique. Toutefois, d’un point de vue purement mathématique, nous pouvons utiliser indifféremment l’un ou l’autre terme pour obtenir des expressions homogènes dans leur formulation.
Nous partons d’une expression homogène déjà formulée en (III-13) en fonction des pulsations ω, ω
0, et ω
z:
0
c t z sin j 0
c t z sin c j
t z cos
3
z z
2 1
z z
0 0
(III-28)
En introduisant l’expression de la pulsation ω
z, en fonction des pulsations ω et ω
0, puis en multipliant par la constante de PLANCK barrée, on obtient :
0
c 1 z t sin 1
j 0
c 1 z t sin c j
1 z t cos
3
2 2 0 2
2 0 2
1
2 2 0 2
2 0 0
0
(III-29)
En introduisant les relations de de BROGLIE qui relient onde et particule, et la vitesse
de groupe v
g= v
z, on obtient :
19
0
c z t v
c 1 v
c sin m c v
c 1 v
c j m 0
c z t v
c 1 v
c sin m
c 1 v
c j m c z
t v
c 1 v
c cos m c m
3
2 z
2 z 2 0 z
2 z 2 0 2
1
2 z
2 z 2 0
2 z 2 0 2
z
2 z 2 2 0
0 0
2 2
2 2
2
(III-30)
On désigne par t
0le temps propre de la particule, c’est-à-dire le temps mesuré dans le référentiel dans lequel la particule est au repos. Le théorème d’harmonie des phases de de BROGLIE nous permet d’écrire :
0
t c sin v c 1 v j 0
t sin c 1 v j t cos
3
0 0 z
2 2 z 0 2
1
0 0 2 2 z 0 0
0 0
0
avec
2 0 0
2 z
2 2 z 2 z 0
c m
c z t v c
1 v c z t v t
(III-31)
Enfin, en divisant par l’énergie de la masse au repos, on obtient une expression minimaliste de la solution, dont chacun des termes est sans dimension :
0
t c sin j v t
c sin v c 1 v j 1 0
t sin j t cos t
sin c 1 v j 1 t cos
3
0 0 z 0
0 z
2 2 z 2
1
0 0 0
0 0
0 2
2 z 0
0 0
(III-32)
V – Conclusion
L’équation de DIRAC est invariante par changement de référentiel sous la
transformation de LORENTZ, ce qui lui garantit une totale compatibilité avec le théorème
d’harmonie des phases de de BROGLIE, qui est lui-même établi sur des bases purement
relativistes.
20 En utilisant les relations onde-particule posées par de BROGLIE, il est donc possible de faire apparaître les propriétés de vitesse et d’impulsion de la particule dans les solutions à l’équation de DIRAC.
La dualité onde particule apparaît dès sa construction dans l’équation de SCHRÖDINGER, à la fois dans la vitesse de propagation de l’onde, et dans le terme d’énergie cinétique. Cela donne un côté rassurant à cette équation qui décrit la propagation d’une onde en utilisant des grandeurs caractéristiques du mouvement de la particule.
Cette dualité est moins apparente dans l’équation de DIRAC, et il faut aller chercher la représentation de l’onde de phase de de BROGLIE pour découvrir où se trouve la vitesse de déplacement de la particule. La contrepartie de cette difficulté se trouve dans la puissance relativiste de cette équation qui permet de faire surgir le temps propre de la particule en complète cohérence avec le théorème d’harmonie des phases de de BROGLIE. Cela contribue, aux yeux de l’auteur, à faire de l’équation de DIRAC, véritablement l’équation fondamentale de la physique quantique.
Nous allons consacrer les chapitres suivants à analyser plus avant quelques propriétés
énergétiques de ces solutions.
21
IV – Energie cinétique et énergie impulsionnelle
Du point de vue relativiste nous sommes amenés à manipuler deux relations qui expriment la conservation de l’énergie. Nous rappelons les fondements de ces deux relations et examinons les relations entre les différentes formes d’énergie qui apparaissent.
I – l’énergie cinétique
La première de ces relations reflète le fait que si on ajoute de l’énergie à un système qui en possède déjà, l’énergie totale sera égale à la somme de l’énergie initiale, plus l’énergie qui lui a été apporté.
L’exemple relativiste classique qui traduit ce comportement est repris dans les lignes suivantes.
Soit E
0l’énergie d’une masse au repos m
0. Nous posons :
2 0
0
m c
E (IV-1)
On appelle E l’énergie de la même masse lorsqu’elle se déplace avec une vitesse v.
2 2
2 2
0
c mc
c 1 v
E m
(IV-2)
Nous désignons par énergie cinétique E
cinla différence entre ces deux énergies :
1
c m 1 c 1 v c 1 m c m c c 1 v
E m
0 22 2 2
0 2 0 2
2 2 0
cin
(IV-3)
L’appellation énergie cinétique tient au fait que si on se place dans des conditions où la
vitesse de la particule est très inférieure à la vitesse de la lumière, cette énergie correspond à la
relation qui définit l’énergie cinétique en mécanique classique :
22
2 2 0
2 2
0 2
2 2
0
cin
m v
2 1 1 c 2 1 v c m 1 c 1 v c 1 m
E
(IV-4)
Nous admettrons dans la suite de ce document que l’énergie totale d’une masse en mouvement est égale à l’énergie de la masse au repos plus son énergie cinétique.
cin
0
E
E
E (IV-5)
L’énergie cinétique est une forme d’énergie familière dans tous les problèmes qui relèvent de la mécanique classique ou relativiste.
II – L’énergie impulsionnelle
La conservation de l’énergie s’exprime aussi par une relation quadratique déduite de la constance de la pseudo-norme du quadrivecteur énergie-impulsion.
0 2 22
2 2 0 2
2
2 2 2 0
2
c m c
c 1 v
v c m
c 1 v
mc m
(IV-6)
Nous désignons par énergie impulsionnelle E
impla composante d’énergie qui est égal à l’impulsion de la particule multipliée par la vitesse de la lumière :
mvc c c 1 v
v E m
2 2 0
imp
(IV-7)
La relation quadratique (IV-6) entre l’énergie totale, l’énergie de la masse au repos et l’énergie impulsionnelle s’écrit alors :
2 imp 2 0
2
E E
E (IV-8)
L’énergie impulsionnelle est omniprésente dans les relations relativistes, mais on lui attribue rarement une signification physique. Nous proposons d’analyser sa relation avec les autres types d’énergie afin de progresser sur la compréhension de son rôle dans les phénomènes physiques, et plus particulièrement dans les solutions exactes à l’équation de DIRAC.
III – Quelques relations énergétiques
Nous sommes en possession des deux relations fondamentales qui expriment la
conservation de l’énergie dans les systèmes physiques :
23
2 imp 2 0 2
cin 0
E E E
E E E
(IV-9)
Il s’agit d’un système non linéaire de deux équations à 4 inconnues. Il est possible d’éliminer une des inconnues E ou E
0choisie comme paramètre. Cela fournit 2 autres relations entre les différentes sortes d’énergie.
- Elimination de l’énergie de masse au repos :
2 E EE E
2 cin 2
imp cin
(IV-10)
- Elimination de l’énergie totale :
2 E E E
E
2 cin 2
imp cin 0
(IV-11)
On en déduit quatre autres relations en isolant l’énergie impulsionnelle et l’énergie cinétique :
2 cin cin 0 2
imp
2 cin cin 2
imp
E E E 2 E
E EE 2 E
2 imp cin 0 2
cin
2 imp cin 2
cin
E E E 2 E
E EE 2 E
(IV-12)
Enfin, on peut donner une expression explicite de l’énergie cinétique et de l’énergie impulsionnelle. En retenant les signes qui donnent une valeur positive à l’énergie cinétique, on obtient :
2 imp 2 0 0 cin
2 imp 2 cin
E E E E
E E E E
2 cin cin 0 imp
2 cin cin imp
E E E 2 E
E EE 2 E
(IV-13)
La vitesse de déplacement de la particule peut également s’exprimer à l’aide de relations énergétiques. On déduit par un calcul algébrique élémentaire :
cin 0
imp imp
2
0 cin 2
cin 0
2 0 2
2 0
E E c E E c E v
E 1 E 1 1 E c
E 1 E E c
1 E c v
(IV-14)
IV – Une représentation graphique
Les résultats calculés dans le paragraphe précédent peuvent être représentés à l’aide
d’une figure géométrique simple. L’énergie de masse au repos est représentée en noir, l’énergie
24 cinétique en bleu, l’énergie impulsionnelle en rouge et l’énergie totale en vert. On obtient la représentation graphique de la figure (IV-I).
Figure (IV-1) : représentation graphique des différentes formes d’énergie présentes dans les deux relations de conservation de l’énergie.
Pour une particule massive, on observe que l’énergie cinétique est toujours inférieure à l’énergie impulsionnelle. Elle peut être qualifiée de très inférieure lorsque la vitesse de la particule est très inférieure à la vitesse de la lumière.
Pour un photon en revanche, ces deux énergies sont égales car la masse au repos du photon est supposée nulle.
Lorsqu’on apporte de l’énergie à une masse au repos, il apparaît que le rôle des énergies cinétique et impulsionnelle est très différent. Nous proposons, dans le chapitre suivant, de les introduire dans les solutions exactes à l’équation de DIRAC. Nous espérons ainsi pouvoir décrire prochainement des phénomènes tels que l’effet COMPTON, dans lequel un photon apporte de l’énergie à un électron.
E
0= m
0c²
E
imp25
V – Energie dans les solutions exactes à l’équation de DIRAC
Nous utilisons comme support de réflexion la solution progressive obtenue au chapitre précédent.
Nous souhaitons faire apparaître progressivement dans cette solution les différents types d’énergie, avec pour objectif final une expression qui ne dépendrait plus que de l’énergie au repos et de l’énergie cinétique.
Nous prenons comme point de départ une des expressions obtenues en introduisant le temps propre de la particule :
0
t c sin v c 1 v j 0
t sin c 1 v j t cos
3
0 0 z
2 2 z 0 2
1
0 0 2 2 z 0 0
0 0
0
avec
2 0 0
2 z
2 2 z 2 z 0
c m
c z t v c
1 v c z t v t
(V-1)
En introduisant la notation énergétique du chapitre précédent, on voit apparaître chaque type d’énergie dans les amplitudes relatives à chacune des sinusoïdes :
0
t sin jE 0
t sin E E j t cos E t sin jE t cos E
3
0 0 imp 2
1
0 0 cin 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
(V-2)
La pulsation ω
0du mouvement vibratoire peut être exprimée en fonction de l’énergie au
repos E
0:
26
0
E t sin jE 0
E t sin E E j E t cos E
3
0 0 imp 2
1
0 0 cin
0 0 0 0 0
(V-3)
Cette formulation est complètement décrite en fonction de l’énergie au repos E
0, de l’énergie cinétique E
cinet de l’énergie impulsionnelle E
imp. On rappelle que le temps t
0est le temps propre de la particule, c’est-à-dire le temps attaché au référentiel dans lequel la particule est immobile.
Dans le référentiel où la particule se déplace, le temps propre t
0doit être remplacé par le temps t déduit de la transformation de LORENTZ :
0
c z t v sin E
jE 0
c z t v sin E
E E c j
z t v cos E
E
3
2 z 0
imp 2
1
2 z 0
cin 2 0
z 0
0 0
(V-4)
L’énergie totale de la particule E = E
0+ E
cinest également liée à l’énergie au repos E
0par la relation :
0 cin
0
E E
E
E (V-5)
Après substitution dans la relation précédente (V-4), la pulsation de l’onde de phase apparente dans ce référentiel devient alors :
0
c z t v E sin E
jE 0
c z t v E sin E
E E c j
z t v E cos E
E
3
2 z cin
0 imp
2 1
2 z cin
0 cin
2 0 z cin
0 0
0
