L'équation d'onde de Dirac et la géométrie de Riemann

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L’équation d’onde de Dirac et la géométrie de Riemann

V. Fock

To cite this version:

V. Fock. L’équation d’onde de Dirac et la géométrie de Riemann. J. Phys. Radium, 1929, 10 (11),

pp.392-405. �10.1051/jphysrad:019290010011039200�. �jpa-00205400�

L’ÉQUATION D’ONDE DE DIRAC ET LA GÉOMÉTRIE DE RIEMANN (1).

Par V. FOCK,

Université de Léningrad.

Sommaire. 2014 La notion du déplacement parallèle d’un demi-vecteur (fonctions 03C8 Dirac) permet d’établir, ^{dans la} géométrie ^de Riemann, ^une équation d’onde invariante qui ^{est une} généralisation de celle de Dirac. On peut ^{former un tenseur non} symétrique qui joue le rôle du tenseur de l’énergie ^{et satisfait aux} équations de mouvements d’Einstein :

sa divergence ^est égale à la force de Lorentz. On en déduit les équations de mouvement t de la mécanique quantique.

e

La théorie donne une interprétation géométrique ^de l’opérateur $$P03C3 2014 e/c ^{~03C3 qui figure}

dans l’équation ^{de Dirac et} semble fournir une base _pour l’unification de la théorie de l’électricité et de la matière.

1. Transformation de Lorentz pour ^un demi-vecteur.

1. Les quatre ^{fonctions 1Jo"}

de.Dirac subissent, pour*une transformation quelconque ^de Lorentz une substitution linéaire

homogène déterminée (~).

La loi de transformation des fonctions ,4’ est différente de celle d’un vecteur ou d’un

tenseur; ^ces fonctions constituent donc une quantité géométrique ^nouvelle qui ^sera désignée

par le ^{nom «} demi-vecteur ».

La loi de transformation d’un demi-vecteur prend ^{une forme} particulièrement simple

si l’on choisit les matrices a~ qui figurent ^dans l’équation ^{de Dirac} (3).

de la manière suivante

où pi et =1, 2, 3) ^{sont les} matrices introduites par Dirac. La matrice ^2, peut ^{être rem-} placée par

U5 - Pi--2. (Ï-)

A une transformation de Lorentz correspond ^{alors la} transformation suivante des fonc- tions ’1? :

où _x, ~, "’(, 0 ^{sont les} paramètres généralisés ^de Cayley-Klein.

(1) ^{Voir : 1- V. FocK et D.} lw,&riBxKo, Ueber eine inogliche geometrische Deutung ^der relativistischen Quantentheorie, ^Z. f. Pliys., ⁵⁴ (~929), î98; ^{2o Les} mêmes, ^Géométrie quantique linéaire et déplacement parallèle, ^C. R., ¹⁸⁸ (1929, 1470; 3~, V. FocK. Sur les équations de Dirac dans la théorie de relativité générale, ^C. R., ¹⁸⁹ (1929), 25; ^{4a V. FocK.} Geometrisierung ^der Diracschen Theorie des Elektrons.

Z. f Phys., ⁵⁷ (1929), ^261.

(2) Voir F. ;B10GLICH. Z f. Phys., ⁴⁸ (1928!, ^{852, J. v.} Neum&nn. Z. f. ⁴⁸ (1928), ^868.

(3) P. DIRAC. Proc. roy. Soc. (A) ^H7 (1928), 610; ⁱⁱ⁸ (1928), ^351.

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:019290010011039200

Les formules (3) ^{et les} expressions conjuguées peuvent ^s’écrire d’une manière symbo- lique

où S est la matrice

et S+ la matrice adjointe (’)

Introduisons les nombres

de sorte que la forme fondamentale de Minkowski puisse ^s’écrire

Les matrices S et S+ satisfont aux équations

où les ai~ sont des nombres réels vérifiant les relations.

Les relations (10) ^sont identiques ^{avec celles} qui sont vérifiées par les coefficients _atk d’une transformation de Lorentz,

On sait que ^ces coefficients dépendent ^{de 6} paramètres arbitraires. D’autre part, ^la

matrice S contient 4 constantes complexes liées par ^une relation (4) ; cela fait 6 constantes

(1) Une matrice transposée et conjuguée ^sera appelée

^malrice adjointe » ^et désignée par ^une

croix (SI) -

réelles indépendantes. ^{On en} déduit que les coefficients ail. de la formule (9) correspondent

à une transformation de Lorcntz la plus générale.

Posons

et appliquons ^au demi-vecteur la transformation S.

Pour les grandeurs tli transformées (que ^nous désignerons par deux accents ^on trouve au moyen de (5) ^et (9)

c’est-à-dire

En rapprochant (13) ^et (11) ^on voit que les quatre premières ^des grandeurs tli (i ~ 0, ~, 2, 3) ^{sont les} composantes ^{d’un vecteur} quadridimensionnel et que les deux der- nières : t1.4 ^et sont des invariants.

Voici les expressions explicites ^c.les

Au moyen de ^ces expressions ^on vérifie que les sont liés par la relation

d’où l’on déduit l’inégalité importante

qui exprime le fait que le ^vecteur tii ^est situé à l’intérieur du cône caractéristique (du ^même

côté que l’axe des temps), c’est-â-dire qu’il ^a le même caractère quadridimensionnel que la vitesse (caractère ^du temps).

2. Déplacement parallèle ^d’un demi-vecteur dans la géométrie de Riemann.

-

Pour dLfinir un demi-vecteur dans la géométrie ^de Riemann, introduisons avec Ricci et Levi Civita quatre congruences orthogonales qui définissent en chaque point ^de l’espace- temps quatre directions qui ^{forment un « n-èdre »} orthogonal. Cet n-èdre remplace alors,

dans le voisinage infiniment petit ^du point considéré, ^{les axes} Cartésiens de la géométrie

de Minkowski et on n’a rien à changer ^{dans nos} raisonnemeilts du numéro pré-

cédent.

Dans ce qui ^{suit nous} aurons à considérer deux sortes de composantes ^{d’un vecteur ou}

d’un tenseur : les composantes ordinaires (covariantes ^ou contrevariantes) qui correspondent

aux coordonnées et les composantes n-édriques qui correspondent ^aux directions du n-èdre.

Nous désignerons ^souvent les deux sortes de composantes par la même lettre, ^en affectant

les composantes n-édriques par ^{un accen} l (e1.’ ¡). Les coordonnées seront numérotées par des indices grecs ^et les directions du n-èdre par des indices latins ; les indices parcourent partout les valeurs 0, 1, 2, ^{3. Nous} adoptons la convention d’Einstein de supprimer ^le signe

somme en ^cas cle sommation par rapport ^aux indices grecs ; ^nous l’écrirons cependant

pour les indices latins.

Nous désignerons ^{les «} paramètres ^{» de} la congruence k par ^et les ^« moments »

par La relation tiitre les composantes ordinaires et n-édriques ^{d’un vecteur} s’écrit alors

Nous allons maintenant nous occnper de l’étude du déplacement ^parallèle d’un vecteur et d’un demi-vecteur.

Considérons l’accroissement des composantes d’un vecteur pour ^un déplacement ^infini-

.

tésimal Pour les composantes ordinaires covariantes ^{on a}

On déduit de (i ï) l’expression analogue pour les composantes n-édriques

où ds~ sont ^les composantes n-édriques ^du déplacement et f-kl les coefficients de rotation de Ricci

est le symbole de la différentiation covariante.

Considérons maintenant un demi-vecteur . L’accroissement de ses composantes ^{doit être-}

de la forme

où les 6~ ^{sont des} matrices ; l’expression complexe conjuguée ^s’écrit

. _

Nous avons ^vu (n° 1) que ^des composantes ^d’un demi-vecteur on peut ^{former un vecteur}

et deux invariants. La loi (20) ^du déplacement d’un demi-vecteur détermine donc celle pour

un vecteur. Mais cette dernière doit être identique à la loi (î8); ^de plus, ^{les deux}

invariants él, et ét5 ^ne doivent pas changer. Les matrices CI doivent par conséquent ^satisfaire

à certaines conditions qui permettent de les déterminer.

On a

°

D’autre part, otl’i ^est donné par la formule (f8 > qui peut ^s’écrire

En égalant ^{les deux} expressions pour 0 tl’ ^{on trouve}

De l’invariance de (:1.4 ^et t15 ^{on déduit}

On vérifie qu’une ^solution particulière ^de (2i) ^et (~?) est Ci

^ou

’

Si l’on pose pour la solution générale ^de (21) ^et (2~)

~on trouve que la matrice doit être hermitienne et commutative avec toutes les 1, 2, 3, 4, 5).

Cela entraîne la proportionnalité à la matrice unité, le facteur de proportionnalité

étant un nombre réel.

On déduit de là qu’une solution des équations (21) ^et (22) ^est complètement ^déterminée

si l’on donne sa « trace moyenne ^».

(Nous désignons par trace moyenne d’une matrice la ^somme de ses éléments diagonaux

°divisée par leur nombre). La trace de g’l ^est égale ^{à zéro.}

.et par conséquent la trace moyenne de CI ^est égale ^à

Laloi(2o) ^du déplacement parallèle ^étant donnée, la dérivée intrinsèque ^{d’un demi-}

vecteur s’écrira :

Plaçons-nous pour ^un moment dans ^{le cas} d’un espace de Minkowski. Supposons que les axes cartésiens coïncident avec les directions du n-èdre; ^{on a} alors :

La dérivée intrinsèque ^{se réduit à}

D’autre part, l’expression qui figure ^dans l’équation ^{de Dirac est} proportion-

nelle à

- ,,1 1 ^..-

ep’l ^{étant le} potentiel-vecteur.

Pour que les deux dernières expressions coïncident, ^{on n’a} qu’à poser

ce qui ^{nous donne la} signification physique du vecteur cp’z ^{de la formule} (24). ^{Nous avons}

obtenu en même temps ^une interprétation géométrique ^de l’opérateur Pl. Quant ^{à sa} signification physique, ^il correspond, ^{comme on} sait, ^{à la} quantité de mouvement.

Dans l’espace de Riemann général ^nous pouvons toujours poser

et interpréter la dérivation intrinsèque, ^{au facteur} 20132013. près, ^comme l’opérateur pour la

quantité ^de mouvement, hypothèse qui ^{sera vérifiée} plus ^tard (n° 5).

Si l’on exprime les matrices Cl par g’i ^{et le} potentiel ^{vecteur, la formule} (20) peut

s’écrire

On voit que dans la loi du déplacement parallèle ^d’un demi-vecteur figure ^{la forme}

linéaire différentielle de Weyl.

Considérons maintenant les composantes ordinaires covariantes ou contrevariantes des vecteurs.

Posons :

La formule (20) ^ou (J29) ^s’écrit

et la dérive intrinsèque par rapport

Les composantes ^et s’expriment par ,~7, ^{;~ :}

En substituant dans la formule

les expressions (32) ^et (34). ^on trouve que les et ^ro- satisfont à l’équation

On a au~ si

La matrice y, (3l) ^{satisfait aux mêmes} équations que rrs et à la condition auxiliaire

et elle est la solution unique ^{de ces} équalions.

Cherchons maintenant la loi de transformation des matrices y?, g’7 ^et r 0" _pour ^un chan-

gement quelconque des congruences orthogonales. ^Ce changement correspond ^en chaque point ^de l’espace-temps à une rotation du n-èdre, c’est-à-dire à une transformation locale de Lorentz. On voit que la transformation ^en question peut ^être définie par ^une matrice S dont les éléments sont fonctions des coordonnées et du temps.

Les paramètres des congruences ^se transforment comme un vecteur, ^{à savoir}

Multiplions la dernière formule par ejixk ^et faisons la somme. En tenant compte ^de (9),

on trouve

c’est-à-dire

relation qu’~on pouvait prévoir, ^{car les} composantes (34) d’un vecteur ne dépendent pas du choix du n-èdre.

La matrice transîormée g" peut être définie par des équations analogues ^à (36), (37)

et (38). Nous allons montrer que l’expression

satisfait à ces équations. ^{On a en effet}

et cette expression ^{s’annule en vertu de} l’équation satisfaite par y . On vérifie de même que les équations analogues ^à (37) sont satisfaites par 9"? si elles le sont par g,. On ^{a enfin}

identiquement

-

et par conséquent

puisque ^{la trace d’une matrice ne} change pas après ^une transformation canonique.

Toutes les équations pour g"; ^{sont donc} satisfaites et la formule (41) ^{est établie.}

Comme l’ ne diffère de q, ^{que par un} multiple ^{de la} matrice-unité, ^{la loi} (41) ^{est valable} pourIB

Pour certains calculs, il est utile d’introduire les matrices non hermitiennes

(où ^a4 peut ^être remplacé par 0:;)) qui ^{satisfont aux} équations

Pour ces rnatrices, ^{on a}

3. L,’équation d’onde de Diras. - ^Nous imposerons ^à l’équation due, Dirac dans la théorie de relativité générale ^les conditions suivantes.

L’équation d’onde doit :

1° Etre invariante pour ^un changement quelconque ^des coordonnées.

2° Etre invariante pour ^une rotation quelconque ^du n-èdre, de sorte que le choix des congruences orthogonales reste arbitraire.

3° Etre identique ^à l’équation adjointe ^{et telle} qu’on puisse ^{définir un vecteur du}

caractère du temps ^{et de} divergence ^nulle, qui pourrait ^ètre interprété ^comme vecteur du

courant.

4" Se réduire pour l’espace ^de Minkowski à l’équation primitive ^{de Dirac.}

Nous allons montrer que ^{toutes ces} conditions sont satisfaites par l’équation (1) ^si

l’on y remplace Pl par ^son expression généralisée (~8).

L’équation (1) peut alors s’écrire

- -

où l’on a posé

Si l’oo introduit les coordonnées, l’opérateur ⁵ prend ^{la forme}

1° L’invariance de l’opérateur J par rapport ^aux changements ^des coordonnées est évidente de la forme même de l’équation (50) ^ou (51).

~° L’invariance par rapport ^aux rotations du n-èdre peut ^{ètre démontrée comme il}

suit. Au moyen des formules établies dans les numéros précédents

on trouve

de sorte qu’on ^a

ou

est l’opérateur 5 transformé.

L’équation ^11r’’’

0 est donc bien équivalente ^{à 1"lr 0.}

Remarquons que l’expression

est invariante.

3° Au moyen de la relation (36) ^{on vérifie} par ^un calcul facile l’identité

(y ^est la valeur absolue du déterminant g; 1 qui montre que Fopérateur ^{5 est} identique ^à

son adjoint.

L’identité (55) ^nous permet de définir le vecteur du courant par la formule

En effet, si ~’ satisfait à l’équation 0, ^{on a}

ladivergence du vecteur du courant est donc nulle. Or, nous avons vu au n° 1 [formule (15)]

qu’un ^{vecteur formé au} moyen des fonctions ^{IF est} nécessairement du caractère du

temps.

41 Pour les coordonnées cartésiennes dans l’espace ^de Minkowski, ^les gl" ^sont égaux ^à

zéro et l’équation ^5W

^{0 se} réduit bien à l’équation ordinaire de Dirac.

Toutes les conditions sont donc satisfaites.

Tout opérateur qui

^{commute » avec} c, peut ^être exprimé linéairement en et

]. ^J

Comme opérateur, 9 + ^ne contient que les matrices aj ( j _-__ 0, 1, 2, 3) qui ^com-

mutent avec p3, il jouit bien de cette propriété. Pour faire la transformation correspon-

dante, introduisons les ^« quasi-vecteurs ^»

où ê. jikl

0, si deux des indices j, ^{i, k, 1} coïncident, ê¡ïkl

¹ s’ils sont tous différents et forment une permutation paire ^de 0, 1, 2, ^{3 et - 1} pour ^une permutation impaire.

Remarquons que les fi ^ne contiennent que les Yikl à trois indices différents. Or, ^{on sait} (1)

que la condition nécessaire ^et suffisante pour que les congruences du n-èdre soient ^nor- males à n familles de surfaces, ^est 0 pour trois indices différents.

Dans ce cas, le quasi-vecteur fi ^se réduit à zéro.

L’opérateur 5 transformé est de la forme

Supposons que l’espace de Riemann considéré soit tel qu’il ^{existe n surfaces} orthogo-

nales (ce qui n’a pas lieu dans l’espace de Riemann général). ^On peut alors introduire un

système de coordonnées orthogonales, ^{et l’on a}

tandis que les ht ^{et à indices} différents s’annulent. En substituant ces valeurs dans

(60), ^{on trouve}

Nous avons obtenu l’expression générale ^de l’opérateur de Dirac dans un système

de coordonnées curvilignes orthogonales. Cette formule est très utile dans les applica-

tions.

(1) ^L. EisitiqllAriT, Riernannian Geometry, Pi’inceton, 1926.

4.~ Tenseur d’énergie. - Dans la théorie classique, ^{le tenseur inixte} dénergie pour la matière incohérente est de la forme

où U,

2013 est le vecteur de la vitesse relativiste et po la densité invariante. Cette expres- dT

sinon peut ^s’écrire

d X4

où p est la densité non-invariante ma,sse ar unité de 1 ) ^{= c} - la vitesse

ou p ^{es a enSl e} nOll-Illvaflan e masse par ^{unI e e vo} ume, d t

==

x ^{a VI esse}

ordinaires, PQ ^la qu.antité de mouvement d’une particules ^{de masse m.}

Cherchnns l’expression analogue ^{dans la} mécanique quantique. ^La quantité qui correspond à P est llf qr; ^nous supposerons que l’opérateur pour la vitesse ordinaire ^c

m d x

est ^t et celui pour la quantité de mouvement est P, - 2 -r,, i ⁱ

^{(28). ( ) Dans le cas de}

relativité restreinte, ^cette signification physique ^{de nos} opérateurs ^a été établie par l’auteur dans un travail antérieur 1’) ; ^{dans le cas} général, ^{ce n’est} qu’une hypothèse

que ^nous devons vérifier.

Nous sommes donc conduits à considérer l’expression ’(2)

Nous avons écrit les opérateurs y- ^{et Pa; dans l’ordre} indiqué parce que l’expression (65) ^est invariante par rapp®rt ^aux rotations du n-èdre tandis que l’expression ^obtenue

en permutant l’ordre des facteurs ne l’est pas.

Le tenseur W’; ainsi défini est complexe ; ^comme le tenseur d’énergie doit être réel,

nous pouvons essayer de l’identifier ^avec la partie ^{réelle de} W", que ^nous désignerons par

~«6 en posant

Un calcul facile permet d’exprimer ^la partie imaginaire ^{sous la forme}

Elle est donc proportionnelle à la dérivée covariante du vecteur de courant.

Revenons à la partie ^réelle T’,*,.,

Le tenseur d’énergie classique ^{satisfait aux} équations de mouvement : sa divergence

est égale ^{à la} force de Lorentz. S’il en est de même avec le tenseur 7~, ^notre hypothèse

sur sa signification physique ^sera vérifiée. Nous allons montrer que c’est bien le

cas.

Pour trouver la divergence ^de 1"~; ^nous calculerons celle de et dans le résultat final nous pourrons ensuite séparer ^la partie ^{réelle et} imaginaire. ^{Comme le calcul est assez} long, ^{nous nous} bornerons à indiquer ^les principales étapes.

( 1 ) v, FocK. Z. f. Phys., ⁵⁵ (1929h ^127,

(2) ^Pour la relativité restreinte cette expression ^se réduit à celle proposée par plusieurs ^auteurs.

(Voir H. TETRODE. Z. f . Phys, ⁴⁹ (19?8), 858). ^La généralisation proposée par H, Tetrode pour la relativité générale ^Z. f. Phys., ⁵⁰ (1929), 336, ^ne peut guère être regardée ^{comme tout à fait} correcte, ^car elle ne

satisfait pas ^à certaines conditions qui ^nous semblent nécessaires.

2, .

On trouve, ^{en tenant} compte ^de l’équation ^{à lv}

⁰

où l’ori a posé

L’opérateur ^ne contient pas de différentiations et se réduit à ^une matrice qui peut être mise sous la forme

oÙ ,~~v ^-~ (l4. ( des matrices introduites au bout du numéro 2, tenseur de Rie-

mann (1) ^et

1

le tenseur électrique.. LrexpressÍon y:(j@(jlj qui figure ^dans (68) ^est égale à

où RqfJ. ^{est le tenseur de Riemann contractée} La formule (68) ^{peut donc s’écrire}

où Se est le vecteur du courant (56),

En égalant ^les parties ^{réelles et} imaginaires des deux membres de ¡’"équation obtenue

on trouve deux équations

dont la seconde ^{est une} identité facile à vérifier, ^{étant donrî6} 1"expressicn (67) ^pour UJI ^{et le}

fait _{que la} divergence ^{du vecteur S s’annule,}

La première équation ^montre que la divergence ^{du tenseur} 7’- ^{est bien} égale ^{à la force}

de Lorentz. Nous pouvons donc considérer le tenseur 7’Jg

^{comme tenseur} d’énergie ^et l’équéltion (74) ^comme l’analogue ^de l’équation classique de mouvement d’un milieu

continu.

(t) Au moyen de ^on peut déduire facilement les identités de Si l’on pose

on "1vérifie facilement l’identitê

D’autre part, la formule (’10) ^donne

La matriceU-,,,- te peut ^{être nulle} que si ^la quantité ^entre parenthèses e’annule, ce qufH fallait démontrer.

Remarquons qu’au moyen du ^tenseur le principe variationnel équivalent ^aux équations ^{de Dirac} peut ^s’écrire

5. Equations ^{de mouvement de la} mécanique quantique. - ^{On gait} (1) que les

équations quantiques ^de mouvement sont en réalité des relations entre les éléments de cer-

taines matrices et leurs dérivées par rapport ^au temps. Ces matrices sont formées au moyen des fonctions Ti, T2, ...

etc., satisfaisant à l’équation d’onde. Un élément Kmn ^de

matrice pour ^un opérateur ^{K est} défini par l’équation

flû le domaine d’intégration ^est l’espace proprement dit; Kmn ^{est donc une} fonction d’une seule variable : du temps ^{t. Si le} système ^{des fonctions} W~ ^est complet (1), l’ensemble des éléments définit complètement ^un opérateur K. Pour établir les équations ^{de mouve-}

ment il n’est cependant pas nécessaire d’avoir ^un système complet, ^et il suffit de considérer

un élément typique (7 i ) ^{formé au} moyen de deux solutions arbitraires W n ^de l’équation

d’onde.

En dérivant l’équation (77) ^par rapport ^au temps, ^{on obtient une} expression ^où figurent,

1.. t, 1 1 d",

C d’" t

t’1° . é

sous le signe intégrale, ^{les et Ces dérivées} peuvent être éliminées au

moyen de l’équation d’onde et le résultat peut ^{être mis sous la forme :}

où

et ~ est un opérateur qui dépend ^{de la forme de} l’équation ^{d’onde et de} l’opérateur ^{K. On} pent ^écrire l’ensemble des équations (78) ^{sous la forme} symbolique

et l’on _{dit que} l’opéra,teur L ^{est la «} dérivée totale ^» de l’opérateur 7~ par rapport ^au temps.

Pour l’équation d’oiide de Dirac, la dérivée totale par rapport à x° est de la forme

où 5 est l’opérateur (5i,) ^et (¡0)-1 ^est la matrice réciproque ^de ¡o.

Il est clair que les équations quantiques (80) ^{sont dc} simples conséquences mathématiques

de l’équation ^{d’onde et} qu’on n’introduit aucune hypothèse physique auxiliaire pour les obtenir.

Les équations (s0) présentent ^en général ^une analogie ^{avec les} équations classiques ^de

mouvement dans la forme de Lagrange. ^Cette analogie ^est beaucoup plus complète que celle qui existe entre l’équation ^d’onde quantique ^et l’équation classique de Jacobi. Dans le cas de l’équation ^de Dirac, cette dernière analogie ^n’existe plus ; cependant, ^{comme il}

a été démontré par l’auteur pour la relativité restreinte (3), ^on peut former des équations

par exemple, V. FocK. Z. f. ⁴⁹ (i9?9), ^323.

(2) C’est-à-dire, ^si chaque fonction des coordonnées de l’espace peut ^être dé relo)p3B ^{en série des} fonctions

(3) V. ^{FocK. Z.} ,f. ⁵⁵ (1929), ^121.

27 ~

de la forme (80) tout à fait analogues ^aux équations ^de Lagrange. Voyons si c’est le cas

dans la relativité générale.

Les équations classiques pour le mouvement d’une particule ^{de masse m et de} charge e

sont de la forme

°

où T est le temps propre de la particule. ^En introduisant les composantes covariantes de la

quantité de mouvement

. 9 a

on déduit de (81) ^les équations

où nous avons pris ^{comme variable} indépendante xo

^ct.

Nous allons chercher des équations quantiques ^{de la forme} (80) analogues ^à (83).

Désignons par qr met ^deux demi-vecteurs, solutions de l’équation

^0. Remarquons

que ^nos formules (57) ^et (73) restent valables si l’on remplace ^{dans S? et} par W,n ^et

W par Wn, c’est-à-dire, par deux solutions différentes ^de l’équation ^d’onde. Ecrivons la for- mule (57) ^{sous la forme}

Multiplions ^les deux membres par

.,

et inlégrons par rapport ^à Xl, x2, ^{x3; la} somme £ disparaît ^{et nous obtenons}

1T=1

ce qu’on peut écrire, d’après (80),

Les éléments de la matrice pour yo sont donc des constantes, ^{et on} peut supposer ^les fonctions W m normées de sorte qu’on ail

La matrice yo correspond ^{alors à} l’opérateur-unité.

Multiplions (84) ^par intégrons. Le résultat peut ^s’écrire (1)

(1) ^Les équations (87) ^et (89) ^{sont des} conséquences immédiates de (8&*).

Comme (l correspond ^à l’unité, l’analogue classique ^de y~ ^est donc la vitesse ordinaire

Considérons maintenant l’équation (73) ^{que nous écrirons sous la forme}

Multiplions (90) par d ^{V et} intégrons. ^On obtient, ^en divisant par c,

est en remplaçant y par ^son expression (89)

Puisque 1° correspond ^à l’unité, ^ces équations présentent, excepté le dernier membre, qui ^{est de} l’ordre de grandeur fi, ^une analogie complète ^{avec les} équations ^clas- siques (83).

L’apparition de yO provient ^{de notre} définition (77) d’un élément de matrice. En posant

au lieu de (77)

-

on aurait pu supprimer, dans la formule (92), ^le facteur (0.

Remarquons que dans ^un espace général de Riemann on peut ^choisir les coordonnées de façon qu’on ^ait identiquement yo ^{- 9 .}

Conclusion. - Le but principal de notre théorie est d’établir le fait que l’équation

de Dirac s’accorde parfaitement ^avec la notion de l’espace ^{de Riemann.}

La méthode géométrique introduite par Einstein dans la physique macroscopique ^s’est

trouvée applicable ^{dans la} physique microscopique; ^un demi-vecteur et l’équation ^d’onde

de Dirac sont des notions géométriques aussi fondamentales qu’un vecteur et l’équation

d’onde de d’Alembert.

Dans la théorie exposée, ^une liaison entre les grandeurs électromagnétiques ^et gravi- fiques s’établit par intermédiaire de la notion du demi-vecteur. Le potentiel-vecteur ^trouve

sa place ^{dans la} géométrie de Riemann. et on n’a pas besoin de la généraliser (Weyl, 1918)

ou d7introduire le parallélisme ^{à distance} (Einstein 192R~. ^{Dans ce} point ^{notre théorie}

-

développée indépendamment - ^{s’accorde avec} la nouvelle théorie de H. Weyl exposée

dans son mémoire « Gravitation et électron » (1).

Nous avons laissé de côté la ^« difficulté de Dirac » (énergie négative, etc.). ^{Il nous}

semble cependant que notre théorie ^est indépendante de cette difficulté et qu’elle peut ^servir

de base pour ^une théorie future, comprenant peut-être ^la quantification ^{de la} gravitation, qui ^saura la résoudre et unifier la théorie d’électricité avec celle de la matière.

(i) ^H. WEYL. Proc. Nat. Acad. Sc., ’15 (1929 , 323; ^Z. f. Phys., ⁵⁶ (1929), ^330. L’objet principal ^de

ce mémoire est la

difficulté de Dirac

La théorie proposée par Weyl pour résoudre cette difficulté

nous semble, cependant, ^{ouverte à} de graves objections; ^une critique de cette théorie est donnée dans

notre article cité au début (4°).