Nom : . . . .
Prénom : . . . . Devoir n
oAv. 2021 . . ./. . .
DS 08
Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.
Le barème est approximatif. La calculatrice en mode examen est autorisée.
Attention ! Le sujet est recto-verso.
Exercice 1 18 points
Le plan est rapporté à un repère orthonormal O;→−
ı ,→−
.
1 Étude d’une fonctionf On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) =lnx
x .
On notef0la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On noteCf la courbe représentative de la fonctionf dans le repère O;→−
ı ,→−
. La courbeCf est représentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
1.5 pt a. Déterminer les limites de la fonctionf en 0 et en +∞. La limite de la fonctionf en 0 est−∞car lim
x→0 ;x>0
1 x
= +∞et lim
x→0 ;x>0(ln(x)) =−∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé.
xlim→0+f(x) =−∞
En +∞, la limite de la fonctionf est 0 (voir le cours).
xlim→+∞f(x) = 0 1 pt b. Interpréter graphiquement les résultats.
xlim→0+f(x) =−∞, donc la droite d’équationx= 0 est asymptote verticale àCf.
xlim→+∞f(x) = 0, donc la droite d’équationy= 0 est asymptote horizontale àCf au voisinage de +∞. 1 pt c. Calculer la dérivéef0de la fonctionf.
f0(x) =
1
x×x−1×ln(x)
x2 = 1
x2×(1−ln(x)) . 2 pts d. En déduire les variations de la fonctionf.
Commex2>0 sur ]0; +∞[,f0(x) est du signe de (1−ln(x)) sur ]0 ; +∞[, or sur ]0 ; +∞[ ;
1−ln(x)>0 ⇐⇒ x <e;
1−ln(x) = 0 ⇐⇒ x= e
On déduit le tableau de variations def sur ]0; +∞[ : x
f0(x)
Variations de f
0 e +∞
+ 0 −
−∞
1 e 1 e
0 0
2 pts e. Montrer que l’équationf(x) = 0,3 admet une solution uniqueαdans [e; +∞[. Donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
D’après le théorème de la bijection :
- f est une fonction dérivable (donc continue) sur l’ intervalleI = [e; +∞[.
- f est strictement décroissante sur l’ intervalleI= [e; +∞[.
- f(e) =1
e et lim
x→+∞f(x) = 0
- f réalise donc une bijection de [e; +∞[ sur
0;1 e Comme 0,3∈
0;1
e
(1
e ≈0,36 ), l’équationf(x) = 0,3 a une racine uniqueαdans [e; +∞[.
Grâce à une calculatrice, on obtient :f(5,9)≈0,3008 etf(6)≈0,2986 ainsif(5,9)>0,3> f(6), et donc commef est strictement décroissante sur [e; +∞[,5,9< α <6
5,9 est donc une valeur approchée deαau dixième.
2 Étude d’une fonctiong
On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g(x) =(lnx)2
x . On noteCg la courbe représentative de la fonctiongdans le repère
O;→− ı ,→−
. 2.5 pts a. Déterminer la limite degen 0, puis en +∞.
Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation:(lnx)2
x = 4 ln√
√ x x
!2
. La limite degen 0 est +∞carg(x) =f(x)×ln(x) or ,
x→lim0 ;x>0ln(x) =−∞; lim
x→0 ;x>0f(x) =−∞; donc on obtient par produit le résultat énoncé.
La limite degen +∞est 0 car : 4 ln(
√
√ x) x
!2
= 2 ln(
√
√ x) x
!2
= ln(x)√ x
!2
=(ln(x))2 x =g(x).
Donc lim
x→+∞(g(x)) = lim
x→+∞
4 ln(√
√ x) x
!2
= lim
X→+∞
4 ln(X) X
!2
= 0 car lim
X→+∞
ln(X) X
!
= 0 ; on a poséX=√ xet Xtend vers +∞quandxtend vers +∞.
1 pt b. Interpréter graphiquement les résultats.
xlim→0+g(x) = +∞, donc la droite d’équationx= 0 est asymptote verticale àCg.
xlim→+∞g(x) = 0, donc la droite d’équationy= 0 est asymptote horizontale àCg au voisinage de +∞. 1 pt c. Calculer la dérivéeg0de la fonctiong.
g0(x) = 1
x2×(2 ln(x)−(ln(x))2) = 1
x2×(2−ln(x))×ln(x), g0(x) = 1
x2 ×(2−ln(x))×ln(x) 2 pts d. Dresser le tableau de variation de la fonctiong.
On étudie le signe de la dérivée :
doncg0(x) s’annule si et seulement si ln(x) = 0 ou ln(x) = 2 donc pourx= 1 oux= e2.
7
2−lnx >0 ⇐⇒ −lnx >−2
⇐⇒ lnx <2
⇐⇒ x < e2 x
signe de lnx signe de 2−lnx
signe dex2 signe deg0(x)
0 1 e2 +∞
- 0 + +
+ + 0 -
0 + + +
- 0 + 0 -
On en déduit le tableau de variation degsur ]0; +∞[ : x
g0(x)
Variations de f
0 1 e2 +∞
− 0 + 0 −
+∞
0 0
4e−2 4e−2
0 0 7 g(1) =(ln 1)2
1 = 0 7 g(e2) =(lne2)2
e2 =(2)2 e2 = 4e−2 3 a.
2 pts Démontrer que les courbesCf etCg possèdent deux points communs dont on précisera les coordonnées.
Les courbesCf etCg se coupent aux points dont les abscisses sont les solutionsf(x) =g(x)
f(x) =g(x) ⇐⇒ ln(x) = (ln(x))2
⇐⇒ 0 = (ln(x))2−ln(x)
⇐⇒ 0 = ln(x)×(ln(x)−1)
⇐⇒ ln(x) = 0,ou ln(x) = 1
⇐⇒ x= 1 oux= e ce sont les deux pointsA(1 ; 0);B
e ; 1
e
. 1 pt b. Étudier la position relative des courbesCf etCg.
La position relative des courbesCf etCgest donnée par l’étude du signe def(x)−g(x).
f(x)−g(x)<0 ⇐⇒ ln(x)<(ln(x))2 ⇐⇒ ln(x)(1−ln(x))<0
x 0 1 e +∞
ln(x) || − 0 +
(1−ln(x)) || + + 0 −
ln(x)×(1−ln(x)) || − 0 + 0 − f(x)−g(x)<0 ⇐⇒ ln(x)<0 ou ln(x)>1 ⇐⇒ x <1 oux >e
f(x)−g(x)>0 ⇐⇒ 1< x <e
La courbe def est au dessus de la courbe degpourx∈]1 ; e[.
La courbe def est au dessous de la courbe degpourx∈]0 ; 1[∩]e ; +∞[.
La courbe def coupe la courbe deg pourx= 1 ou pourx= e.
1 pt c. Tracer sur le graphique de l’annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbeCg .
Exercice 2 13 points
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal O;→−
i ,→− j ,→−
k
, on donne les points A(1 ; 2 ; -1), B(−3 ;−2 ; 3) et C(0 ; -2 ; 3).
1 a.
2 pts Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
A, B et C ne sont pas alignés ssi# » ABet# »
ACne sont pas colinéaires.
AB# »
−3−1
−2−2 3 + 1
=
−4
−4 4
et # »
AC
0−1
−2−2
−3 + 1
=
−1
−4
−2
. Ayant −4
−1 ,
−4
−4, les coordonnées des vecteurs # » ABet # »
ACne sont pas proportionnelles et donc les points A, B et C ne sont pas alignés.
2 pts b. Montrer que le vecteur#»n(2 ; -1 ; 1), est un vecteur normal du plan (ABC).
#»n(2 ; -1 ; 1), est un vecteur normal du plan (ABC) ssi #»n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) soit
( #»n·# » AB= 0
#»n·# » AC= 0
# »
Comme#»nest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC)#»n(2 ; -1 ; 1), est un vecteur normal du plan (ABC).
2 pts 2 Soit (P) le plan dont une équation cartésienne estx+y−z+ 2 = 0. Démontrer que les plans (P) et (ABC) sont perpendiculaires.
• (P) le plan dont une équation cartésienne estx+y−z+ 2 = 0 a pour vecteur normal#»
n0
1 1
−1
• Le plan (ABC) a pour vecteur normal#»n
2
−1 1
• #»n·#»
n0= 1×2 + 1×(−1) +−1×1 = 2−1−1 = 0
Les plans (P) et (ABC) ayant des vecteurs normaux orthogonaux, sont perpendculaires.
3 On appelle G le barycentre des points pondérés (A, 1), (B, -1) et (C, 2) c’est à dire que
# » GA−# »
GB+ 2# » GC=#»
0 2 pts a. Démontrer que le point G a pour coordonnées ( 2 ; 0 ; -5).
PosonsG
x y z
, alors# » GA
1−x 2−y
−1−z
# » GB
−3−x
−2−y 3−z
et # »
GC
0−x
−2−y
−3−z
# » GA−# »
GB+ 2# » GC=#»
0 ⇐⇒
1−x 2−y
−1−z
−
−3−x
−2−y 3−z
+ 2
0−x
−2−y
−3−z
=
0 0 0
⇐⇒
1−x−1 + 3 +x−2x= 0 2−y+ 2 +y−4−2y= 0
−1−z−3 +z−6−2z= 0
⇐⇒
−2x=−4
−2y= 0
−2z= 10
⇐⇒
x=−2 y= 0 z=−5
On trouve bien que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5).
1 pt b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P).
La droite (CG) est orthogonale au plan (P) ssi un vecteur directeur de (CG) et un vecteur normal de (P) sont colinéaires.
Or# » CG
2 2
−2
et #»
n0
1 1
−1
. On remarque que # » CG= 2#»
n0.
Ainsi # » CGet #»
n0, ce qui prouve que la droite (CG) est orthogonale au plan (P).
1.5 pt c. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (CG).
M
x y z
∈(CG) ⇐⇒ # »
CM=t# » CG(t∈R)
⇐⇒
x y+ 2 z+ 3
=t
2 2
−2
⇐⇒
x= 2t y= 2t−2 z=−2t−3
Une représentation paramétrique de la droite (CG) est
x= 2t y= 2t−2 z=−2t−3 1 pt d.
Déterminer les coordonnées du point H, intersection du plan (P) avec la droite (CG).
M
x y z
∈(P)∩(CG) ⇐⇒
x= 2t y= 2t−2 z=−2t−3 x+y−z+ 2 = 0(1) (1) ⇐⇒ 2t+2t−2+2t+3+2 = 0 ⇐⇒ 6t=−3 ⇐⇒ t=−1
2. En reportant dans la représentation paramétrique de (CG), on obtient
H(−1;−3;−2) 4 a.
1 pt Démontrer que pour tout pointMde l’espace, on a :
# » MA−# »
MB + 2# »
MC = 2# » MG
# » MA−# »
MB + 2# »
MC =# »
MG +# » GA−# »
MG +# » GB
+ 2# »
MG +# »
GC
=# » MG +# »
GA−# » MG−# »
GB + 2# » MG + 2# »
GC
= 2# »
MG +GA# »−GB + 2# » GC# »
| {z }
#»0
= 2# » MG
0.5 pt b. Déterminer que l’ensemble (S) des points M de l’espace tels que
2# » MG
= 12 ( on précisera les éléments caractéristiques)
M∈(S) ⇐⇒
2# »
MG = 12
⇐⇒ 2MG= 12
⇐⇒ MG= 6
Une figure faite avec GeoGebra :
Exercice 3 7 points On considère l’équation différentielle
(E) : y0−2y= e3x.
1.5 pt 1 Montrer que la fonctionudéfinie sur l’ensemble des nombres réelsRparu(x) =xe2xest une solution de l’équa- tion différentielle (E).
uest dérivable surRcomme composée et produit de fonctions dérivables surR u=aboùa(x) =xetb(x) =e2x
ainsia0(x) = 1 etb0(x) = 2e2x
u0(x) = 1×e2x+ (2e2x)×x= (1 + 2x)e2x On forme alorsu0(x)−2u(x) = (1 + 2x)e2x−2xe2x=e2x
ayant∀x∈R, u0(x)−2u(x) =e2x,uest une solution de l’équation différentielle (E).
1.5 pt 2 On considère l’équation différentielle (E0) :y0−2y= 0. Résoudre l’équation différentielle (E0).
y0−2y= 0⇔y0= 2y.
(E’) est du typey0=ay; les solutions de (E’) sont donc les fonctions définies surRpar :
y=Ce2xoùCdésigne une constante réelle quelconque.
1 pt 3 Soitvune fonction définie et dérivable surR. Montrer que la fonctionvest une solution de l’équation différen- tielle (E) si et seulement si la fonctionv−uest solution de l’équation différentielle (E0).
Soitvune fonction dérivable surR.
Montrer quevest solution de (E) si et seulement siv−uest solution de (E’).
On sait queuest une solution particulière de l’équation (E) ; on a donc :∀x∈R;u0(x)−2u(x) =e2xou encore
∀x∈R;e2x=u0(x)−2u(x) D’où la chaîne d’équivalence :
v est solution de (E) ⇔ ∀x∈R;v0(x)−2v(x) =e2x
⇔ ∀x∈R;u0(x)−2u(x) =v0(x)−2v(x)
⇔ ∀x∈R;v0(x)−u0(x) =−2v(x) + 2u(x)
⇔ ∀x∈R; (v−u)0(x)−2(v−u)(x) = 0
⇔ (v−u)0−2(v−u) = 0
⇔ (v−u) est solution de(E0) 1.5 pt 4 En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
vest solution de(E) ⇔ (v−u) est solution de(E0)
⇔ ∀x∈R; (v−u)(x) =Ce2x
⇔ ∀x∈R;v(x)−u(x) =Ce2x
⇔ ∀x∈R;v(x) =u(x) +Ce2x
⇔ ∀x∈R;v(x) =xe2x+Ce2x Conclusion : Les solutions de l’équation différentielle (E) sont les fonctions
1.5 pt 5 Déterminer l’unique solutiongde l’équation différentielle (E) telle queg(0) = 1.
g(0) = 1⇔(C+ 0)e0= 1⇔C= 1.
Ainsi l’unique solutiong de l’équation différentielle (E) vérifiantg(0) = 1 est définie par g(x) = (x+ 1)e2x
Exercice 4 6 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat portera sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. On ne demande pas de justification. Il est attribué1,5point si la réponse est exacte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Question 1 1.5 pt
On considère les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier natureln:un= 1− 3
4 n
etvn= 1 + 1
3 n
. On considère de plus une suite (wn) qui, pour tout entier natureln, vérifieun≤wn≤vn.
On peut affirmer que :
a. les suites (un) et (vn) sont géométriques. b. La suite (wn) converge vers 1.
c. La suite (un) est minorée par 1. d. La suite (wn) est croissante.
Comme−1<3
4<1 et−1< 1
3<1 , on déduit lim
n→+∞
3 4
n
= 0 et lim
n→+∞
1 3
n
= 0, puis lim
n→+∞un= 1 et lim
n→+∞vn= 1 ; et pour tout entier natureln, vérifieun≤vn≤wn; le théorème des gendarmes s’applique et
nlim→+∞wn= 1 ; la bonne réponse estb.
Question 2 1.5 pt
On considère la fonctionf définie surRpar :f(x) =x2e2x. La fonction dérivée def est la fonctionf0définie surRpar :
a. f0(x) = 4xe2x. b. f0(x) = x2−2x
e2x. c. f0(x) =
x2+ 2x
e2x. d. f0(x) =
2x2+ 2x e2x. f est dérivable comme somme de deux fonctions dérivables.f =uv,d’oùf0=u0v+v0uavec pour tout réelx, dansR: ( u(x) =x2
v(x) = e2x ainsi :
( u0(x) = 2x v0(x) = 2e2x
f0(x) = 2xe2x+ 2e2x×x2
=
2x2+ 2x e2x
=
2x2+ 2x
e2x, la bonne réponse estd.
Question 3 1.5 pt
Que vaut lim
x→+∞
x2−5x+ 1
−x2+ 2x
a. -1 b. 0 c. 1 d. +∞
On peut écriref(x) = x2
1−5
x+1 x
x2
−1 +2 x
=
1−5 x+1
x
−1 +2 x
xlim→+∞ 1−5 x+1
x= 1
xlim→+∞
−1 +2 x=−1
Par quotient lim
x→+∞
x2−5x+ 1
−x2+ 2x =−1
Comme lim
x→+∞
x2−5x+ 1
−x2+ 2x =−1 ; la bonne réponse esta.
Question 4 1.5 pt
On suppose queg est une fonctiondeux fois dérivable sur l’intervalle [−4; 4]. On donne ci-dessous la représentation graphique de sa fonction dérivéeg0.
On peut affirmer que :
a. gadmet un maximum en−2. b. gest croissante sur l’intervalle [1 ; 2].
c. gest convexe sur l’intervalle [1 ; 2]. d. gadmet un minimum en 0.
D’après le graphique,g0est croissante sur [1; 2], commegest deux fois dérivable on déduit queg0 est dérivable, et que sa dérivée est positive sur [1; 2].
Ainsi pour tout réelxde [1; 2] on ag00(x)≥0.
Comme pour tout réelxde [1; 2] on ag00(x)≥0,gest convexe sur l’intervalle [1 ; 2]. La bonne réponse estc.
