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Lycée l’Oiselet 1 Avril 2021
DEVOIR COMMUN 2021 DE MATHÉMATIQUES
– Spécialité Maths –
Durée de l’épreuve : 2 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES
Les calculatrices sont autorisées.
Le candidat doit traiter les quatre exercices en commençant par le quatrième qui sera ramassé au bout de 30 minutes.
La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part
Exercice 1 18 points Le plan est rapporté à un repère orthonormal
O;→− ı ,→−
.
1 Étude d’une fonctionf On considère la fonctionf définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : f(x) =lnx
x .
On notef0 la fonction dérivée de la fonctionf sur l’intervalle ]0 ; +∞[.
On noteCf la courbe représentative de la fonctionf dans le repère O;→−
ı ,→−
. La courbeCf est repré- sentée en annexe 1 (à rendre avec la copie).
a.
1.5 pt Déterminer les limites de la fonctionf en 0 et en +∞. b.
1 pt Interpréter graphiquement les résultats.
c.
1 pt Calculer la dérivéef0de la fonctionf. 2 pts d. En déduire les variations de la fonctionf.
e.
2 pts Montrer que l’équationf(x) = 0,3 admet une solution uniqueαdans [e; +∞[. Donner une valeur approchée au dixième de cette solution.
2 Étude d’une fonctiong
On considère la fonctiongdéfinie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par : g(x) =(lnx)2
x .
On noteCgla courbe représentative de la fonctiong dans le repère O;→−
ı ,→−
. 2.5 pts a. Déterminer la limite degen 0, puis en +∞.
Après l’avoir justifiée, on utilisera la relation: (lnx)2
x = 4 ln√
√ x x
!2
. b.
1 pt Interpréter graphiquement les résultats.
c.
1 pt Calculer la dérivéeg0 de la fonctiong.
2 pts d. Dresser le tableau de variation de la fonctiong.
3 a.
3 pts Étudier la position relative des courbesCf etCg. On précisera les coordonnées des points d’inter- section.
b.
1 pt Tracer sur le graphique de l’annexe 1 (à rendre avec la copie) la courbeCg .
Annexe 1 Nom , prénom : Groupe :
Exercice 2 13 points
Dans l’espace muni d’un repère orthonormal
O;→− i ,→−
j ,→− k
, on donne les points A(1 ; 2 ; −1), B(−3 ; −2 ; −3) et C(0 ; −2 ; 3).
1 a.
2 pts Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés.
b.
2 pts Montrer que le vecteur #»n(2 ; -1 ; 1), est un vecteur normal du plan (ABC).
2
2 pts Soit (P) le plan dont une équation cartésienne estx+y−z+ 2 = 0. Démontrer que les plans (P) et (ABC) sont perpendiculaires.
3 Soit G le point de l’espace vérifiant :
# » GA−# »
GB+ 2# » GC=#»
0 a.
2 pts Démontrer que le point G a pour coordonnées (2 ; 0 ; −5).
1 pt b. Démontrer que la droite (CG) est orthogonale au plan (P).
Exercice 3 7 points On considère l’équation différentielle
(E) : y0−2y= e2x. 1
1.5 pt Montrer que la fonctionudéfinie sur l’ensemble des nombres réelsRparu(x) =xe2x est une solution de l’équation différentielle (E).
2
1.5 pt On considère l’équation différentielle (E0) :y0−2y= 0. Résoudre l’équation différentielle (E0).
3
1 pt Soitvune fonction définie et dérivable surR. Montrer que la fonctionvest une solution de l’équation différentielle (E) si et seulement si la fonctionv−u est solution de l’équation différentielle (E0).
4
1.5 pt En déduire toutes les solutions de l’équation différentielle (E).
5
1.5 pt Déterminer l’unique solutiong de l’équation différentielle (E) telle queg(0) = 1.
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, quatre réponses sont proposées, dont une seule est exacte. Le candidat complètera le tableau de la page 6 qui sera ramassé 30 minutes apès le début de l’épreuve. On ne demande pas de justification. Il est attribué1,5point si la réponse est exacte. Aucun point n’est enlevé en l’absence de réponse ou en cas de réponse fausse.
Question 1 1.5 pt
On considère les suites (un) et (vn) telles que, pour tout entier natureln:un= 1− 3
4 n
etvn= 1 + 1
3 n
. On considère de plus une suite (wn) qui, pour tout entier natureln, vérifieun≤wn≤vn.
On peut affirmer que :
a. les suites (un) et (vn) sont géométriques. b. La suite (wn) converge vers 1.
c. La suite (un) est minorée par 1. d. La suite (wn) est croissante.
Question 2 1.5 pt
On considère la fonctionf définie surRpar :f(x) =x2e2x. La fonction dérivée def est la fonctionf0 définie surRpar :
a. f0(x) = 4xe2x. b. f0(x) =
x2−2x
e2x. c. f0(x) =
x2+ 2x
e2x. d. f0(x) =
2x2+ 2x e2x. Question 3
1.5 pt
Que vaut lim
x→+∞
x2−5x+ 1
−x2+ 2x
a. -1 b. 0 c. 1 d. +∞
Question 4 1.5 pt
On suppose quegest une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle [−4; 4]. On donne ci-dessous la repré- sentation graphique de sa fonction dérivéeg0 .
$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ A rendre au bout de 30 minutes.
Nom , prénom : Groupe :
Question 1 Question 2 Question 3 Question 4 Réponse
