Exercices de géométrie différentielle

Universit´e Paris Saclay Master 2 F.E.S.

Ann´ee 2020-2021 Pr´eparation `a l’agr´egation

G´eom´etrie diff´erentielle

Exercice 1. Montrer que les ensembles suivants sont des sous-vari´et´es deR³ :

— La sph`ereS<sup>2</sup> “ tpx, y, zq PR<sup>3</sup> : x<sup>2</sup>`y²`z² “1u;

— L’hyperbolo¨ıde `a deux nappesH2 “ tpx, y, zq PR³ : z²´x²´y² “1u;

— L’hyperbolo¨ıde `a une nappeH1 “ tpx, y, zq PR<sup>3</sup> : x<sup>2</sup>`y²´z² “1u;

— Le tore `a un trouT² “ tpx, y, zq PR³: pa

x²`y<sup>2</sup>´2q<sup>2</sup>`z²“1u.

Exercice 2. Montrer que les ensembles suivants sont des sous-vari´et´es deM_npRq :

1. Le groupe sp´ecial lin´eaire SL_npRq “ tM PM_npRq : detM “1u est une sous vari´et´e de M_npRq de dimensionn²´1 et de classeC⁸;

2. Le groupe orthogonal OnpRq “ tM P M_npRq : M^TM “ Iu est une sous vari´et´e de M_npRq de dimension ^npn´1q₂ et de classeC⁸.

Exercice 3. Montrer que le cˆone

C“ tpx, y, zq PR³ :x²`y²“z²u n’est pas une sous-vari´et´e de R³.

Exercice 4. (Quotient de Rayleigh) SoitAPM_npRq une matrice sym´etrique, on consid`ere le probl`eme de minimisation suivant

inf

}x}“1xAx, xy.

Montrer que ce probl`eme admet une solution. Comment pouvez-vous interpr´eter cette solution ainsi que le multiplicateur de Lagrange qui lui est associ´e ?

Exercice 5. (In´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique) On consid`ere le probl`eme de minimisa- tion

m“ inf

txPRⁿ:}x}“1ux₁¨ ¨ ¨x_n.

1. Montrer que ce probl`eme admet des solutions et quem“ ´n^´n{2. 2. En d´eduire l’in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique

1 n

n

ÿ

i“1

a_i ě

˜ _n ź

i“1

a_i

¸_1{n

pour touta₁, . . . , a_nPR^`.

Exercice 6. (In´egalit´e de Hadamard)

1. Justifier l’existence de M “maxtdetpu1, . . . , unq: }u1} “ ¨ ¨ ¨ “ }un} “1u.

1

2. Soit v₁, . . . , v_n PRⁿ tels que }v_i} “ 1 pour tout 1 ď iď n et M “ detpv₁, . . . , v_nq. En utilisant le th´eor`eme des extrema li´es, montrer l’existence d’unλiPRtel que

detpv₁, . . . , v_i´1, h, v_i`1, . . . , v_nq “2λ_ixv_i, hy pour touthPRⁿ. 3. Montrer quetv₁, . . . , v_nu est une base orthonorm´ee deRⁿ.

4. Quelle est la valeur deM?

5. En d´eduire l’in´egalit´e de Hadamard

|detpu1, . . . , unq| ď }u1} ¨ ¨ ¨ }un} pour toutu1, . . . , unPRⁿ. 6. Interpr´eter g´eom´etriquement ce r´esultat.

Exercice 7. On munit M_npRq de la norme de Frobenius}M}:“

bř_n

i,j“1M_ij². Montrer que le groupe sp´ecial orthogonal SOnpRq “ tM POnpRq : detpMq “1u est l’ensemble des ´el´ements de SLnpRqde norme minimale.

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