L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2010-2011
D. Blotti`ere Math´ematiques
Devoir surveill´ e n˚6
Dur´ee : 2 heures
L’usage de la calculatrice est interdit.
Le bar`eme prendra significativement en compte :
• la pr´esentation,
• la clart´e des explications,
• le soin port´e `a l’argumentation des r´eponses,
• la justesse du vocabulaire et des symboles employ´es.
Probl` eme I − Puissances de matrices et applications aux probabilit´ es
1Dans ce probl`eme,pd´esigne un nombre r´eel strictement compris entre 0 et 1, diff´erent de 1 2. Partie A : Puissances d’une matrice d´ependant d’un param`etre.
SoitM la matrice carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels d´efinie par :
M =
1 p
p−1 p
1 0
.
1. R´eduction de la matrice M.
(a) D´eterminer les valeurs propres deM.
Afin d’all´eger l’´ecriture, nous noterons r= 1−p p .
(b) Montrer que les vecteurs (1,1) et (1−p, p) sont des vecteurs propres deM et forment une base de R2.
(c) NotonsP la matrice carr´ee d’ordre 2 `a coefficients r´eels d´efinie par : P =
1 1−p
1 p
.
Montrer queP est inversible et calculerP−1. (d) Calculer la matriceP−1M P, not´eeD dans la suite.
2. Calcul des puissances successives de M.
(a) Montrer, `a l’aide d’un raisonnement par r´ecurrence, que pour tout entier natureln:Mn =P DnP−1. (b) Calculer pour tout entier natureln, la matriceDn.
(c) En d´eduire que pour tout entier natureln:
Mn = 1 2p−1
p(1−rn+1) (1−p)(rn−1) p(1−rn) p(rn−r)
.
1. D’apr`es le sujet du concours A-TB 2008.
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Partie B : Calcul des termes successifs d’une suite r´ecurrente sur deux termes.
On d´esigne par (un)n∈N la suite num´erique d´efinie par ses deux premiers termes u0, u1 et la relation de r´ecurrence :∀n∈N, un+2= 1
pun+1+p−1 p un. 1. Pour tout entier naturel n, on pose :Xn=
un+1
un
.
(a) Montrer que pour tout entier natureln: Xn+1=M Xn. (b) Montrer que pour tout entier natureln: Xn=MnX0.
2. En utilisant la partieA, exprimer pour tout entier natureln,un en fonction den,p,r,u0 etu1. Partie C : Probabilit´es.
Un joueur souhaite acheter une voiture de luxe au-dessus de ses moyens et pour cela il se rend au casino. Le prix de la voiture correspond `a N jetons (N ∈N≥2) et le joueur re¸coit une mise initiale denjetons (0≤n≤N).
Le croupier effectue alors une suite de lancers ind´ependants avec une pi`ece truqu´ee. La probabilit´e que PILE apparaisse est ´egale `a p.
Lorsque le r´esultat est PILE, le joueur re¸coit un jeton, dans le cas contraire, il perd un jeton.
Le jeu se termine soit par la ruine du joueur, d`es qu’il n’a plus de jeton (il n’y a donc aucun lancer sin= 0), soit par sa victoire, d`es qu’il a obtenuN jetons.
On noteraαn la probabilit´e que le joueur soit ruin´e avec une mise initiale den.
1. Calculerα0 etαN.
2. On suppose ici : n ∈ J0, N −2K. En consid´erant le r´esultat du premier lancer de la pi`ece, justifier la relation :
αn+1=p αn+2+ (1−p)αn.
3. En d´eduire pour toutn∈J0, NK, l’expression deαn en fonction den,p,ret α1. 4. `A l’aide deαN, calculer la valeur deα1.
5. En d´eduire pour toutn∈J0, NK, l’expression deαn en fonction den,p,ret N.
Probl` eme II − Une racine cubique de matrice
SoitAla matrice deM3(R) d´efinie par :
A=
−3 11 2
0 8 0
−4 4 3
.
1. D´eterminer les valeurs propres deA.
2. La matriceAest-elle diagonalisable ?
3. Donner une base de chacun des sous-espaces propres deA.
4. Donner une matriceP ∈ M3(R) inversible et une matriceD∈ M3(R) diagonale telles que :A=P DP−1. 5. CalculerP−1.
6. Donner une matrice diagonale ∆∈ M3(R) telle que ∆3=D.
7. En d´eduire une matrice B ∈ M3(R) telle que : B3=A. On donnera explicitement les coefficients de la matriceB.
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