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Soit la matrice A m = 0

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Devoir de synthèse n 01(4 ème E.G) Durée 02 heures

Exercice n 01(8 pts) :

Soit la matrice A m = 0

@ m + 2 1 0

2 m 1

2 2 1

1

A avec m 2 R:

1.(a) Montrer que det (A m ) = m 2 + 4m + 4: B (1pt)

(b) Déterminer la(es) valeur(s) de m pour que la matrice A soit inversible.B (1pt) 2. On prend maintenant m = 3:

Soit B = 0

@

1

5 1

25 1

0 1 5 25 1 5 2

5 8

25 17 25

1 A

(a) Calculer A 3 B: B (1; 5pts) (b) En déduire A 3 1 : B (1; 5pts)

3. Résoudre dans R 3 le système (S) : 8 <

:

5x + y + z = 25 y + z = 2

10x 8y + 17z = 75

: B (3pts)

Exercice n 02(3 pts):

Calculer les limites suivantes:

(a) lim

x!4

p 2x+1 3

x 4 : B (0; 75pt) (b) lim

x!0

+

x

2

3

jxj : B (0; 75pt) (c) lim

x!+1

x

2

+3x

4

2

x

2

+1 : B (0; 75pt) (d) lim

x!0

sin( x)

x : B (0; 75pt)

Exercice n 03(6 pts):

Soit f (x) = cos(2x) x

2

+1

1. Déterminer D f : B (0; 5pt)

2. Montrer que pour tout x 2 D f , on a: jf (x)j x

2

1 +1 : B (0; 5pt)

1

(2)

3. Calculer lim

x! 1 f (x) et en déduire lim

x!+1 f (x) : B (1pt) 4. Soit g la restriction de f à l’intervalle 0; 4 :

(a) Montrer que g réalise une bijection de 0; 4 sur un intervalle I que l’on précisera.

B (1; 5pts)

(b) Déterminer g 1 (0) et g 1 4+ 4

2

: B (1pt)

(c) Construire (C g ) et (C g

1

) dans un même repère orthonormé O; ! i ; !

j : B (1; 5pts)

Exercice n 04(3 pts):

On donne la …gure ci-dessous:

1. Déterminer graphiquement:

(a) D h : B (0; 5pt) (b) h 0 (0) B (0; 75pt)

(c) h 0 p

5 : B (0; 25pt)

(d) Le signe de h 0 (x) pour x 2 p

5; B (0; 5pt)

2. La fonction h est-elle prolongeable par continuité en 3 2 ?Justi…er votre réponse.B (1pt)

Lycee Secondaire Ali Zouaoui 08 12 2011 Enseignant : Abdessattar El F aleh

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